CC BY
57
УДК 629.78
ПРОГРАММЫ УПРАВЛЕНИЯ И ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ АВИАЦИОННО-КОСМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
© 2010 В. И. Потапов
Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет)
С использованием формализма принципа максимума определяются программы управления и траектории движения сверхзвуковой первой ступени авиационно-космической системы с целью набора максимальной скорости при заданном угле наклона траектории и нефиксированной высоте.
Авиационно-космическая система, сверхзвуковая первая ступень, программы управления коэффициентом подъёмной силы, траектории движения.
Введение. Для запуска на околоземные орбиты малых спутников могут быть использованы авиационно-космические системы (АКС) со сверхзвуковой первой ступенью. В качестве такой ступени может быть использован либо модернизированный сверхзвуко -вой самолёт, либо специально созданный аппарат.
Использование самолёта - прототипа тяжёлого истребителя МиГ-31И - рассмотрено в [1]. Показано, что при запуске второй (ракетной) ступени самолёт имеет небольшую скорость (несколько больше ско-рости звука) на высоте не более 30 км.
Поэтому для создания лучших условий для запуска ракетной ступени (бульшая ско -рость и высота) необходимо создавать специальные аппараты.
Одним из них является аппарат MPV (MIPCC-powered vehicle - аппарат с охлаждаемыми двигателями; Mass Injection PreCompressor Cooling - система дополнительной подачи кислорода и охлаждения двигателя) системы RASCAL (Responsive Access, Small Cargo, Affordable Launch - доступная система для запуска малых грузов по требованию) [2,3]. Прототип такого аппарата рассматривается в данной работе в качестве первой ступени АКС.
Схема манёвра. При движении первой ступени можно выделить следующие характеристики траектории.
1. Максимальная скорость полёта, ко -торая соответствует горизонтальному полё-
ту на определённой высоте.
2. Максимальная высота полёта. Решение задачи соответствует манёвру «горка» с вырожденным прямолинейным участком [2].
3. Максимальный угол наклона траектории. Решение задачи определяется величиной перегрузки, соответствующей начальному участку манёвра [2].
При исследовании движения первой ступени АКС выделим два участка: активный (с работающей двигательной установкой -ДУ и силой тяги) и пассивный (с выключенной ДУ и отсутствием силы тяги).
На активном участке аппарат из режима горизонтального полёта начинает криволинейный набор высоты. Управляющим параметром является нормальная скоростная
перегрузка пуа. Активный участок продолжается до тех пор, пока не будет достигнута предельная высота работы ДУ. После выключения ДУ наступает пассивный участок, на котором движение аппарата определяется программой управления Суа (V) - зависимостью коэффициента аэродинамической подъёмной силы Суа от времени V.
В работе рассматривается пассивный участок движения аппарата, а активный участок лишь определяет его начальные условия.
Модель движения. Система дифференциальных уравнений, описывающих пассивное движение аппарата, имеет вид:
dV dt х
р • V2 • S
2 m
■ g • sin в,
dO_
dt
С р•V2•S в
-----------g • cose
2m
dh Tr ■ а — = V • sin в.
dt
(1)
Здесь ї - время, в секундах; V - скорость, в ; д _ угол наклона траектории; И - высота, в м; Сха = / (Суа, М) - коэффициент лобового сопротивления; М - число Маха; р = f (и) - плотность воздуха на заданной
высоте, в кг/ з; £ - площадь крыла, в м2;
м
g - ускорение свободного падения, в
м/
При моделировании движения аппарата на активном участке используются уравнения (1), в двух первых из которых учитываются составляющие тяги ДУ.
Зависимость коэффициента лобового сопротивления от коэффициента подъёмной силы имеет вид:
С =С + АС
ха ^хаО^^1 '“'уаз
(2)
^хаL = 2 А • С.
дСу,а уа
(3)
На управление наложены ограничения:
С"■ £ С а (t )£ СZ . (4)
Максимальное значение коэффициента
~ /^тшах г
подъемной силы С уа определяется либо из условия ограничения максимально допустимой перегрузки пуа тах, либо из условия ограничения максимального значения коэффициента подъёмной силы Сду". Перегрузка определяется следующим выражением:
п.
^ Р V 2 S mg 2mg
(5)
где Ya - аэродинамическая подъёмная сила.
г1 /"»max
Следовательно, С уа является наименьшим из следующих двух значений:
С max
уа =min
Сдо (M),
С Пуа = 2n„mg
уа pV2 S '
(6)
где Сха0 - коэффициент пассивного лобового сопротивления, А - коэффициент отвала поляры.
Следовательно, для коэффициента лобового сопротивления производная по коэффициенту подъёмной силы определяется следующим образом:
Для летательного аппарата MPV системы RASCAL Сду" соответствует углу атаки,
равному 200.
Задача оптимизации. Рассмотрим задачу о максимизации скорости в конце пассивного участка движения первой ступени при заданном угле наклона траектории и нефиксированной высоте. Её решение позволит, во-первых, определить структуру управления и, во-вторых, определить зависимость между наибольшей конечной скоростью и соответствующей ей конечной высотой, ко -торые являются начальными условиями старта второй ступени АКС.
За критерий оптимизации примем значение конечной скорости
С„арУЧ
-----+ g Sin в
2m
(7)
Минимальное значение коэффициента
^ /"»min
подъемной силы С равно нулю.
Для определения оптимального коэффициента подъёмной силы С°урр (V) воспользуемся формализмом принципа максимума Понтрягина.
2 .
О
Функция Гамильтона имеет вид:
Н
у±
V
с Р-V2-S в C„a-----------g-cos в
2m
+
+у h - V sin в +
^ Р-V2-S
cxa—2-----+ g-sin в
2m
где у0, уИ - сопряжённые переменные, соответствующие фазовым координатам: углу наклона траектории 0 и высоте И. Система уравнений для сопряжённых переменных имеет вид:
У в У h
У в g sin в
V
у h-V - cos в + g - cos в,
^ VS dp ^ V2 -S dp
у -с-----------------і—+ с-----------------------i_
в ya 2m dh xa 2m dh
j j
(9)
Ув_
V
+
циента подъёмной силы Сорр0. Тогда из (10) получим выражение для ув0:
¥в 0 =-Cya 2VA . (12)
(8) Для обеспечения отсутствия разрывов
функции С уа (t) будем считать, что оптимальное значение коэффициента подъёмной силы С°уа0 в начальный момент времени соответствует конечному значению Суа на активном участке.
Начальное значение сопряжённой переменной yh0 неизвестно. Поэтому будем задавать ряд значений y h 0 и оценим влияние
данной переменной на конечные параметры движения.
Результаты моделирования. В начальный момент времени пассивного участка
( tн = 0) известны скорость Ун, угол наклона траектории вн и высота hH, которая равна
высоте выключения ДУ ( hH =26,8км [2]). Они
соответствуют конечным условиям движения на активном участке и вместе с коэффициентом подъёмной силы представлены в таб-(10) лице 1 для различных значений перегрузки
п /"зч nya, определяемой только подъёмной силой
С учётом (3) условие (10) примет вид: уа^ F м м
(5). Принято, что Пуа max = 5.
В таблице 2 для различных значений перегрузки пуа на активном участке, определяющих разные начальные условия движения на пассивном участке (табл. 1), и для различных значений сопряжённой переменной
y h0 представлены полученные в результате моделирования пассивного движения конечные значения высоты hK и скорости V при достижении заданного угла наклона траектории вк = 20°, соответствующего условию старта второй ступени системы RASCAL [2]. Как следует из табл.1, при перегрузке
пуа =2 начальный угол наклона траектории вн меньше 20°. Поэтому при моделирова-
Запишем необходимое условие экстремума функции Н по управлению Суа:
ЭН _ ув p -V -S + с Р -V -S _ 0
дСуа V 2m
2m
(2 ACya)_ 0
откуда следует:
Copt _ _ ув
уа ~ 2VА
(11)
Для определения оптимальной программы управления Сорр (V) необходимо решать совместно уравнения движения (1) и уравнения сопряжённой системы (9).
Как следует из (11), Сорр зависит от значения сопряжённой переменной ув . Предположим, что в начальный момент времени Vн известно значение оптимального коэффи-
Таблица 1. Начальные условия движения на пассивном участке
Пуа 2 3 4 5
в, град 19 26,9 33,1 38,4
1193 1193 1186 1174
С уа 0,145 0,217 0,292 0,374
Таблица 2. Конечные условия движения на пассивном участке
Пуа 2 3 4 5
Конечные условия h, км V ■ Мс h, км Г-Ус h, км Г-Ус h, км V ■м/с
У< = 0 30,1 1133 40,36 1040 48,8 941 56,1 832
у <0, = 0>! 35,7 1061 44,24 979 51,7 888 57,9 788
у< = 0,5 37,3 1007 46,48 919 53,7 830 59,8 737
у <0 =1 37,4 1004 46,5 915 53,8 827 59,9 728
нии движения на пассивном участке угол в = 20° достигается дважды. В табл. 2 для
этой перегрузки представлены результаты, соответствующие второму, конечному значению угла наклона траектории. При других
значениях перегрузки пуа угол вн больше
20° (табл. 1), и поэтому аппарат достигает этого значения угла наклона траектории только один раз в конце пассивного участка.
По результатам моделирования обоих участков движения в качестве примера на рисунках 1 и 2 показаны зависимости коэффициента подъёмной силы Суа от времени і
для крайних значений перегрузки: пуа =5 и
п =2
уа
На рис. 1 участок АВ соответствует активному участку набора высоты. Движение происходит с максимальной перегрузкой
,_шах г ~ ~ ~
пуа =5 и соответствующей ей величиной
Сутах. В точке В на высоте 26,8 км происхо -дит выключение ДУ Дальнейший набор вы-
соты происходит в пассивном режиме при начальной скорости V=1174 м/c и угле наклона траектории в = 38,4° (табл. 1) с программой управления, определяемой согласно (11) с учётом ограничений на управление (4).
Участок BEF соответствует движению при начальном значении сопряжённой переменной = 0. На участке BE коэффициент
подъёмной силы уменьшается до тех пор, пока не достигает в точке E минимального
значения С™п=0. Принято, что дальнейшее
движение (участок EF) происходит с этим
значением Суа.
Участок BCDE'F' соответствует движению при начальном значении сопряжённой
переменной y h = 1. После выключения ДУ коэффициент подъёмной силы принимает значение, соответствующее максимальной
перегрузке =5 (участок BC). Значение ко -
эффициента подъёмной силы Суа увеличи-
/ /"»max \
вается (поскольку увеличивается С уа ) до тех
Рис. 1. Зависимость коэффициента подъёмной силы Суа от времени Г при пуа =5
пор, пока не достигает в точке С максимального допустимого значения Сду°а". Дальнейшее движение происходит с Суа = Сду°ап (участок СБ). На участке ББ' происходит резкое уменьшение коэффициента подъёмной силы с максимального значения в точке Б до минимального значения ( С™п =0) в точке Б'. Принято, что дальнейшее движение (участок Б'Б') происходит с этим значением Суа.
Принципиальное отличие характера этих двух траекторий заключается в следующем.
Первая траектория АВББ соответствует малым значениям Суа и, как следствие, малым значениям коэффициента лобового сопротивления Сха, что приводит к большей скорости в конце траектории. В то же время малые значения Суа приводят к меньшей ко -
нечной высоте.
Вторая траектория АВСББТ' реализуется с большим значением Суа. В результате
увеличивается угол наклона траектории 0, что приводит к росту конечной высоты. Большие значения С уа приводят к увеличению ко -
эффициента лобового сопротивления Сха, и
как следствие, к уменьшению конечной ско -рости. Таким образом, в конце манёвра при
угле наклона траектории 0к = 20° первая траектория обеспечивает большую конечную скорость при меньшей высоте, а вторая, напротив, большую высоту при меньшей ско -рости (табл. 2).
Программы управления для малой перегрузки пуа =2 на активном участке представлены на рисунке 2.
На рис. 2 участок АВ соответствует активному участку движения. В точке В на высоте 26,8 км происходит выключение ДУ и начинается пассивный участок движения с программой управления, определяемой согласно (11) с учётом ограничений на управление (4).
Участок ВБ соответствует движению при начальном значении сопряжённой пере-
Рис. 2. Зависимость коэффициента подъёмной силы С)о от времени Г при п =2
менной уАо = 0. На участке ВБ коэффициент
подъёмной силы уменьшается.
Участок ВСББТ' соответствует движению при начальном значении сопряжённой
переменной 0 = 1. На участке ВС коэффициент подъёмной силы быстро растёт, пока не достигает в точке С максимально допустимого значения Суо". Дальнейшее движение происходит с коэффициентом подъёмной силы, соответствующим этому значению.
На участке ББ', аналогично рис. 1, происходит резкое уменьшение коэффициента подъёмной силы с максимального значения
( СУо") в точке Б до минимального значения
( С™п =0) в точке Б'. Принято, что на участке Б'Б' движение происходит с этим значением
Суа.
Из рис. 1 и 2 можно сделать вывод о том, что коэффициент подъёмной силы
Суа (0 уменьшается к концу пассивного уча-
стка движения независимо от величины перегрузки пуа на активном участке движения.
На рис. 3 в качестве примера для перегрузки пуа =5 показаны изменения скорости
V, угла наклона траектории 0 и высоты к для начальных значений сопряжённой переменной Уй0 = 0 и Ук 0 =1
Из рис. 3 следует, что независимо от начальной величины сопряжённой переменной высота к монотонно возрастает, ско -
рость V монотонно падает, угол наклона траектории 0 вначале увеличивается и достигает максимального значения, а затем снижается до заданного конечного значения
0к = 20° . При = 0 в конце траектории до-
стигается большая скорость при меньшей высоте, а при ук 0 = 1 достигается большая высота при меньшей скорости (табл. 2).
На рисунках 4 и 5 показаны зависимости конечных условий движения: скорости
п, км в,град. 60
55
50
45
40
35
30
25
20
1,с
Рис. 3. Зависимости скорости V, угла наклона траектории 0 и высоты к от времени V,
----- У, =1 - - - Ук0 = 0
Рис. 4. Зависимость конечных условий движения первой ступени от начального значения сопряжённой переменной ук0 при пуа =2
840
820
800
780
760
740
720
Рис. 5. Зависимость конечных условий движения от начального значения сопряжённой переменной ук0 при пуа =5
V и высоты к от начального значения со-
кк
пряжённой переменной у к для крайних значений перегрузки: пуа =2 и пуа =5.
Дальнейшее увеличение ук0 не приводит к существенным изменениям конечных условий движения V и кк.
Заключение. В конце участка пассивного движения для уменьшения торможения аппарата и максимизации конечной ско -рости коэффициент подъёмной силы уменьшается и может принимать минимальное значение.
Большие значения перегрузки пуа позволяют достигнуть большего угла наклона траектории на пассивном участке движения, что приводит к большей конечной высоте при меньшей конечной скорости.
Библиографический список
1. Балакин, В. Л. Траектории движения сверхзвукового самолёта как первой ступени авиационно-космической системы [Текст]/В. Л. Балакин, В. И. Потапов//Вест-
ник Самарского государственного аэрокосмического университета. - 2009. - №2(18). -С. 7-13.
2. Responsive Access Small Cargo Affordable Launch (RASCAL) Independent Performance Evaluation David Young AE8900 Special Project Report May 3, 2004 School of Aerospace Engineering Space System Design Laboratory Georgia Institute of Technology Atlanta, Georgia 30332-0150. http:// hdl.handle.net/1853/8372.
3. Балакин, В. Л. Траектории движения летательного аппарата с охлаждаемыми турбореактивными двигателями как первой ступени авиационно-космической системы [Текст]/В. Л. Балакин, В. И. Потапов//Вест-ник Самарского государственного аэрокосмического университета. - 2009. - №3(19), часть 3. - С. 273-278.
References
1. Balakin, V. L. Motion trajectories of supersonic aircraft as the first stage of aerospace systems / V. L. Balakin, V. I. Potapov// Journal of Samara State Aerospace University - 2009. -No. 2(18). - pp. 7-13.
2. Responsive Access Small Cargo Affordable Launch (RASCAL) Independent Performance Evaluation David Young AE8900 Special Project Report May 3, 2004 School of Aerospace Engineering Space System Design Laboratory Georgia Institute of Technology Atlanta, Georgia 30332-0150. http:// hdl.handle.net/1853/8372.
3. Balakin, V. L. Motion trajectories of aircraft with mass injection pre-compressor cooling turbojet engines as the first stage of aircraft-space systems/ V. L. Balakin, V. I. Potapov// Journal of Samara State Aerospace University - 2009. - No. 3(19), part 3. - pp. 273-278.
CONTROL PROGRAMS AND MOTION TRAJECTORIES OF HYPERSONIC FIRST STAGE OF AN AEROSPACE SYSTEM
© 2010 V. I. Potapov
Samara State Aerospace University named after academician S. P. Korolyov (National Research University)
Control programs and motion trajectories of the hypersonic first stage of an aerospace system are defined using the maximum principle. The aim is to reach maximum velocity at a given trajectory slope and altitude.
Aerospace system, hypersonic first stage, lift coefficient control programs, motion trajectories.
Информация об авторе Потапов Валентин Иванович, аспирант кафедры динамики полёта и систем управления, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет) . Область научных интересов: динамика и управление движением летательных аппаратов. E-mail: [email protected].
Potapov Valentin Ivanovitch, post-graduate student, Samara State Aerospace University named after academician S. P. Korolyov (National Research University), [email protected]. Area of research: dynamics and control of aircraft propulsion.
