CC BY
13
12. Zeng Ming [et al.]. The multilayer and wide-deck vibrating screen based on the innovative long-span vibration exciter // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2017. Vol. 231. P. 012018.
13. Nizhegorodov A I [et al.]. Hydrostatic Vibratory Drive of the Test Stand for Excitation of the Amplitude-Modulated Vibrations // J. Phys.: Conf. Ser. 2016. № 671. P. 012037.
14. Tarasov V. N., Boyarkin G. N. Development of theory of vibratory exciters // Omsk Scientific Bulletin. 2017. № 2(152). P.16-20.
15. Biderman V. L. The applied theory of mechanical oscillations. Miscow: High School, 1972. 416 p.
16. Igumnov L. A. [et al.]. On the theory of multi-pulse vibro-impact mechanisms // J. Phys.: Conf. Ser. 2017. Vol. 919. P. 012005.
17. Babitsky V. I. Theory of Vibro-Impact Systems. New York: Springer, 1998. 426 p.
18. Babitskiy V. I., Krupenin V. L. Oscillations in Strongly Nonlinear Systems. Moscow Izdatel Nauka, 1985.
19. Feygin M. I. Forced oscillations of systems with discontinuous nonlinearities. Moscow: Science, 1994.
20. Danilov Ju. A. Lecture Notes on Nonlinear Dynamics: Basic Introduction. Moscow: KomKniga, 2006. 208 p.
УДК 622.6+625.5
ТОРМОЖЕНИЕ ТЕЛЕЖКИ КАНАТНОГО СПУСКА НАТЯЖЕНИЕМ КАНАТА BRAKING OF CART OF ROPE DESCENT BY CHANGE ROPE TENTION
Ю. С. Поляков, Ю. В. Ванаг, А. В. Барис
Новосибирский государственный технический университет, г. Новосибирск, Россия
Yu. S. Polyakov, Yu. V. Vanag, A. V. Baris
Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russia
Аннотация. В горных районах для перемещения грузов широко используются канатные транспортные системы. Для перемещения груза сверху вниз наиболее перспективным является канатный спуск, в котором движение от верхней точки крепления каната до приемной площадки происходит под действием силы тяжести тележки с грузом. Простое конструктивное исполнение тележки и достаточно эффективные скоростные режимы делают такой способ транспортирования экономически выгодным. Для упрощения математического описания траектории движения тележки уравнение цепной линии заменено параболой. Получены необходимые математические зависимости для описания скоростных режимов движения тележки с грузами различной массы по длине трассы спуска. Установлено, что вес груза существенно влияет на изменение формы траектории его движения. Следовательно, для получения возможности управления скоростными режимами движения тележки необходимо менять силу натяжения каната. Построены графики стрелы провеса и силы натяжения в зависимости от веса груза и его положения на трассе. Для принятых грузов построены зависимости изменения коэффициентов запаса прочности канатов грузолюдского назначения от размеров их сечений.
Ключевые слова: канатный спуск, стрела провеса, натяжение, пролет.
DOI: 10.25206/2310-9793-7-1-128-136
I. Введение
Канатные дороги, подъемники, кабельные краны широко используются в качестве транспортных систем в различных отраслях человеческой деятельности [1-3]. Их применение особенно эффективно в условиях пересеченной или труднодоступной горной местности со значительными перепадами высот, когда прокладка дорог связана с большими затратами или просто невозможна [1, 2].
Троллей, или Zip-Line [3] - это скоростной спуск по натянутому под углом канату или веревке. Первоначально троллеи использовались для транспортировки грузов и людей через реки, каньоны и различные непроходимые горные участки. Сегодня zip-line станции являются широкодоступным развлечением, чему способствовали их надежность, безопасность и относительная простота конструкции.
В zip-line используется альпинистское снаряжение и канаты с большим запасом прочности, что гарантирует развлечению высокую надежность. Конечные точки троллея должны находиться на возвышенностях, на пути не должно быть растительности. Кроме того, места старта и финиша должны быть оборудованы площадками около 2^2 м, для комфортного нахождения там как минимум двух человек. Перепад высоты стоит рассчитывать как 7-9 м высоты на 100 м длины. Страховочные комплекты, применяемые для спуска, позволяют спускаться как в горизонтальном положении головой вперед, так и сидя. Для перемещения по канату используется
каретка с роликами или каретка, уже совмещенная с карабином. Торможение каретки может осуществляться следующими методами:
1) накладкой на каретке. При этом скорость спуска контролирует сам пассажир;
2) пружина в конце, которая гасит энергию спуска. Из-за маленького тормозного пути получается крайне жесткое торможение;
3) сетка, улавливающая спускающегося;
4) тормозной блок. Каретка упирается в тормозной блок, который гасит энергию спуска.
Для большей безопасности все системы торможения должны дублироваться. В связи с этим поиск рационального способа торможения является актуальной задачей.
II. Постановка задачи
Цель работы заключается в исследовании возможности остановки тележки с грузом в конце канатного спуска без применения тормозных устройств.
Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:
1) обосновать рациональную траекторию движения груза по канатному спуску, обеспечивающую его остановку в конце трассы;
2) исследовать кинематические параметры движения груза для реализации его остановки в конце трассы;
3) исследовать изменения траектории движения груза под влиянием его собственного веса;
4) обосновать выбор диаметра каната из оптимального коэффициенты запаса прочности.
III. Теория
В качестве модели каната примем гибкую нить [4-7], принимающую при провисании между точками закрепления форму цепной линии [4, 5]. Получим выражение для описания формы цепной линии при размещении начала координат в ее вершине:
(
a
У = ~2
ea + e
\
\
- a
(1)
x
где а - параметр цепной линии, (м), равный длине ее отрезка, вес которого равен горизонтальной составляющей Н натяжения нити: а = И/ч, Ч - погонный вес нити, Н/м.
Для упрощения вычислений для решения частной задачи аппроксимируем цепную линию параболой:
У = к ■х 2 , (2)
где к - коэффициент параболы.
Для описания формы траектории движения груза по канату рассмотрим равновесие участка гибкой нити, находящейся под действием собственного веса (рис. 1).
к
Рис. 1. Кривая провисания каната
Примем допущение, что вес нити распределен не по ее длине, а по горизонтали. Такое допущение правомерно при малой стреле провеса [7]. Запишем уравнение равновесия моментов сил относительно т. С для этого случая:
lmC = 0; H • y - q(l - x)2 = 0
.(3)
откуда:
H =
q • (l - x)2
. При x = 0 и длине полуветви параболы: y = h + y1, получим: H =
ql2
у ' " " h + у!
Силы натяжения в точках закрепления гибкой нити: верхней ТВ - т. А и нижней ТН - т. В (рис. 1) определим по выражениям:
^ = \/h 2 + v2 и тН =7h 2 + vH
ф
(4)
где = ч ■ l и УН = ч ■{} - 10 ) - вес полуветви параболы соответственно в верхней и нижней точках закрепления.
Углы наклона касательных к кривой провисания составят соответственно: аВ = аги
H
VH
aH = arctg.
Стрелу провеса/в т. С (рис. 1) определим по выражению:
f = -1 - x) + k(lo -1) - k(l - xf.
l
(5)
Чтобы найти расстояние хтах от верхней точки (т. А) до точки максимальной стрелы провеса Хах, возьмем производную выражения (5) по х от/, приравняв ее нулю:
h
2kl---2kxmax = 0 ,
lo
(6)
откуДа xmax
X = l--
2kL
Составим уравнение движения, полагая, что вес груза при качении по натянутому канату не изменяет кривую его провисания:
(
d2s 1
mÜF +2' Схр4лоб
^ ds Y 2
- I +W
Л
- mg sina + ¡m
g cosa +
2
R
= 0.
(7)
где т - масса тележки с грузом, кг; 5 - путь, пройденный по канату, м; Сх - коэффициент аэродинамического сопротивления; р- плотность воздуха, кг/м3; Алоб - площадь проекции груза на плоскость, нормальную направлению движения, м2; - скорость ветра, м/с; у - угол его отклонения от встречного направления, град; g -ускорение свободного падения, м/с2; а - угол наклона касательной к траектории в точке, град; ц - приведенный коэффициент сопротивления качению тележки в функции ее суммарного веса; Я - радиус кривизны каната в данной точке, м.
Угол наклона касательной в произвольной точке параболы определяется из выражения:
tga = — = 2k(l - x) . dx
(8)
В рамках рассматриваемой задачи ввиду малости углов а,, когда h ~ 0,1l0, примем следующие допущения: cosa,- ~ 1; путь, пройденный по канату, измеряется горизонталью s ~ x; скорость ветра vv и его направление
h
у все время движения постоянные; радиус кривизны параболы Я = —\ (1 + 4к2(/ - х)2 Г , имеет наименьшее зна-
2к
чение в ее вершине: при x = l.
ск
При скоростях движения —< 10 м/с последним слагаемым в скобках уравнения движения (7) можно
А
пренебречь ввиду его малости.
С учетом принятых допущений уравнение (7) примет вид:
d 2x 1
т—- + - ОРЛоб dt 2
^ / dx 2 ^
d J + ^У
v * у
- 2кш^(1 - х) + fлng = 0 , 9)
Приведем выражение (9) к виду неоднородного нелинейного дифференциального уравнения второго по-
рядка:
d2x (dx
ч2
dt2
■ + n
— I + ax + b = 0 dt I
(10)
где n = x ло6 ; a = 2kg; b = /g + nu>y cos у — al - коэффициенты дифференциального уравнения. 2m
Решая уравнение (10) методом замены переменных относительно первой производной - скорости качения тележки по канату и, получим:
dx dt
■ = v =
I (£—b](i—e~2nx)—£ x n ( 2 n JV / ? •
(11)
Из выражения (10) получим интегральное уравнение для определения времени движения тележки по канату до нижней точки закрепления (рис. 1):
t =
\
rdx
1 (a—ь J(i—e-2»x)— ax
nV2n JV ' 2
(12)
Полученное уравнение решается численными методами.
Для исследования закона изменения скорости груза (11) на трассе спуска необходимо задать траекторию его движения, определяемую уравнением с началом координат в верхней точке крепления каната:
У
k(l — x)2 •
(13)
Поскольку расстояние между точками крепления каната постоянное, а значит l0 = const и h = const, то форму траектории можно задавать коэффициентом w, определяющим положение вершины параболы каната относительно точек его закрепления:
w =
lo — l
(14)
Тогда, при l = l0 (l — w) и x = 0, выражение (13) примет вид:
k =
lo2 (1 — w)2 •
(15)
0
1
0
l
0
h
Расстояние от вершины параболы до нижней точки крепления составит: /и = /0м, при этом провес вер-
шины параболы относительно нижней точки крепления составит: у1 = к/м .
Управлять формой траектории движения можно путем изменения силы натяжения в нижней точке:
72
Н =
д/А
2(к + к/02м2 ) '
(16)
Полные силы натяжения в верхней (т. А) и нижней (т. В) точках крепления каната (рис. 1) соответственно составят:
Тв =
у/н2 + д2/(2 (1-м)2 и Тн =^Н
+ д /,
212,, 2
д 1о м
(17)
Как видно из проведенного анализа, выбранная траектория не обеспечивает гарантированного прибытия груза малой массы в нижнюю точку канатного спуска. При увеличении массы груза с одновременным снижением сопротивления движению скорость подхода к нижней точке слишком велика. Чтобы оптимизировать скорость подхода к нижней точке, необходимо изменить траекторию движения груза путем регулирования силы натяжения Н, что повлечет изменение положения вершины параболы, а следовательно, и закона изменения скорости груза на траектории движения. Для исключения необходимости регулировки скорости при подходе груза к нижней точке канатного спуска примем, что его скорость в этой точке должна стать равной нулю. Для этого приравняем уравнение (11) к нулю и решим его относительно коэффициента w:
м =
( 2 ео8 у ^ и + пои- 1 ё У /0 — 2Ыо пс + 2 ёЫ0
2пс/0 ( 2 ео8 у и + пои- ё У 1о — Ь
(18)
где с =
ё (1 - е'2и/0)
Полученные результаты справедливы для жесткой траектории движения материальной точки. В реальных условиях масса груза искажает теоретическую кривую провисания каната и должна учитываться в расчетах.
Составим расчетную схему движения груза по канату. На рисунке 2 показана механическая система, состоящая из упругой нити, натянутой горизонтально между опорными точками А и В, расположенными на расстоянии 5 друг от друга, и груза G, подвешенного на нити в точке С на расстоянии хг от левой опоры. Вследствие упругой деформации нити точка подвеса груза сместится в точку С, расположенную по горизонтали на расстоянии х от опоры А, а нить отклонится от горизонта у вершины А на угол у. Стрела провеса в точке С составит /С, а расстояние между точками С и С обозначим /. Первоначальная сила натяжения нити Т, при подвеске груза изменится на величину ДТ. Угол у вершины С в треугольнике САС1 обозначим Примем модуль упругости материала нити равным Е, Н/м2 и площадь ее поперечного сечения А, м2.
Рис. 2. Расчетная схема упругой нити с грузом
п
Исследование равновесия механической системы позволило получить зависимости стрелы провеса / и силы натяжения Т от положения груза:
(Т + ДТ ^
1 —
х2 (ЕА + ДТ )2
хЕА + sДT +
sAT ЕА
= О(я - х)
(19)
2
/с = ЕА
1 -
хЕА + sДT +
sДT ~ЕА
(ЕА + ДТ )2
-х
(20)
2
Высокая степень переменных в полученных зависимостях исключает аналитическое решение, поэтому проводилось численное решение. При малых углах поворота исходной расчетной схемы (рис. 2) в вертикальной плоскости полученные решения могут быть применены к оценке влияния веса тележки канатного спуска на изменение формы траектории ее движения по канату.
Выбор диаметра ё каната выполним по величине коэффициента запаса прочности п, который в свою очередь определим из отношения разрывной силы к полученному значению силы натяжения в верхней точке: п = ^р/ ТУ .
IV. Результаты численных исследований
Приводим результаты численного исследования для следующих параметров канатного спуска [8]:
- расстояние между точками подвеса каната по горизонтали: 10 = 1480 м;
- перепад высот между точками подвеса: к = 160 м.
Проведена аппроксимация цепной линии 1 параболой 2 (рис. 3). При анализе выражений (1) и (2) приняты следующие значения: у = 160 м, х = 1480 м, к = 7.3-103 (1/м), а = 6945 м.
.у-103, м
Рис. 3. Формы траектории движения груза Сходимость графиков цепной линии 1 и параболы 2 (рис. 3) позволяет принять параболу в качестве расчетной функции.
Исследование кинематических параметров движения груза проводилось для каната двойной свивки ГОСТ 14954-80 диаметром ё = 16,5 • 10-3 м с погонным весом д = 11,15 Н/м при следующих начальных условиях: п = 120 м; у = 1,241 м; /тах = 47,29 м; Н = 64621 Н; ТВ = 66378 Н; ТН = 64635 Н. Алоб = 0,7 м2; ц = 0,03; = 0; V = 0,081 и двух масс грузов: ш\ = 50 кг и т2 = 200 кг. Для принятых значений величин по формуле (11) вычислены скорости движения. Результаты расчета показаны на рисунке 4а, где кривые 1 и 2 скорости движения грузов т1 и т2 соответственно.
Рис. 4. График изменения скорости и движения груза по длине каната
Графики скорости движения грузов разной массы (рис. 4а) имеют одинаковый характер, и во всех случаях остановка грузов происходит раньше запланированной точки.
На рисунке 4б показаны графики изменения скорости движения грузов ш1 и ш2 при измененной траектории движения дополнительным натяжением каната Н.
По выражению (18) для ш1 коэффициент V = - 0,144 (знак «-» означает, что вершина параболы будет находиться за нижней точкой крепления каната), для ш2 - V = 0.00693. При такой траектории массы ш1 сила натяжения Н = 99320 Н, больше первоначального значения на 34 700 Н, а максимальная стрела провеса составит /тах = 30,8 м. Для ш2 сила натяжения составила Н = 76 040 Н. Из рисунка 4б видно, что максимальная скорость груза снизилась за счет уменьшения начального угла движения, а время движения возросло и груз гарантировано доезжает до заданной точки, где его скорость становится равной нулю без дополнительного торможения только за счет изменения формы траектории.
Полученные результаты справедливы для жесткой траектории, по которой движется материальная точка. В реальных условиях масса груза искажает теоретическую кривую провисания каната и должна быть учтена в расчетах.
Для того чтобы тележка различной массы при фиксированном сопротивлении движению доезжала до нижней точки крепления каната с нулевой скоростью, требуется траектория оптимальной формы. Рассмотрим движение груза массы ш2 по канату, натянутому в нижней точке с силой ТН = 6,91^104 Н. По выражениям (19) и (20) построены графики траектории движения груза ш2 с шагом х = 200 м. На рисунке 5 верхняя шкала определяет значение приращения силы натяжения каната ДТ, Н, средняя шкала/ш - значения стрелы провеса каната под собственным весом в метрах, нижняя шкала /С - изменения стрелы провеса от действия веса тележки. В правой нижней части рисунка указаны координаты вершин соответствующих кривых. Линиями показаны; сплошная синяя - кривая провисания каната под собственным весом (без учета веса груза); пунктирная синяя -траектория движения груза с учетом его веса; черная (прямая АВ) - ветвь натянутого каната и красная линия -траектория движения груза по канату.
.тт=200
Рис. 5. Изменение траектории движения груза ш2 при учете его веса
Изменение траектории движения под влиянием веса груза приводит к тому, что он остановится, не доехав 106 м до т. В. Для получения оптимальной траектории, соответствующей исходной кривой провисания каната, необходимо увеличить силу натяжения в нижней точке закрепления с 69 кН до 85,6 кН. При этом стрела провеса свободно висящего каната уменьшится, как уменьшится и искажение траектории весом груза за счет увеличения силы натяжения. В результате траектория движения груза по канату с увеличенной силой натяжения (85,6 кН) совпадет с кривой свободного провисания каната с первоначальным натяжением (69 кН).
Рассмотрим возможность использования канатов различного диаметра й, (м) при этом нагружении. Результаты расчета коэффициентов запаса прочности п канатов различного диаметра й показаны на рисунке 6. Сплошная линия соответствует массе груза т2, пунктирная - ш\.
5.8 11 14 16.5 20.5 £/т10:3М
Рис. 6. Изменение коэффициентов запаса прочности с увеличением диаметра каната
Поскольку для обеспечения оптимальной траектории движения тележки большой массы требуется меньшее натяжение каната, при больших их диаметрах коэффициенты запаса заметно возрастают. Для малых диаметров канатов большой вес тележки вызывает обратный эффект - запас прочности резко снижается. Канат диаметром 7,7 мм при транспортировке груза массой ш2 практически будет разрушен.
V. Обсуждение результатов
В работе рассмотрена модель канатного спуска в виде упругой нити с движущейся по ней точечной массой, где точечная масса задается суммарной массой тележки и груза. Для упрощения расчетов канатного спуска при длине пролета 1480 м и перепаде высот 160 м исследована возможность замены цепной линии параболой. Погрешность аппроксимации составила 0,4% перепада высот (при увеличении пролета свыше 2500 м возрастает до 5%) (рис. 3).
Анализ кинематики груза канатного спуска показал, что наиболее простым и эффективным способом управления его движением является подбор необходимой формы траектории, обеспечивающий докатку груза в конечную точку с нулевой скоростью (рис. 46). Это управление реализуется необходимой силой натяжения каната в верхней или нижней точках закрепления (рис. 1). Контроль силы натяжения можно осуществлять динамометрическими методами. Выявлено, что изменением предварительного натяжения каната можно устранять влияние собственного веса груза и сохранять требуемую траекторию его движения (рис. 5).
Для принятых условий закрепления рассмотрена возможность использования в конструкции спуска канатов диаметром от 7,7 мм до 23 мм по ГОСТ 14954-80. Установлено, что для обеспечения оптимальной траектории движения тележки с грузом большей массы (ш = 200 кг) требуется меньшее натяжение каната. При сопоставлении графиков коэффициентов запаса прочности канатов (рис. 6) для разных масс грузов установлена точка пересечения графиков, указывающая на оптимальный выбор диаметра.
VI. Выводы и заключение
Доказана возможность аппроксимации цепной линии параболой при математическом описании канатного спуска при длине пролета 1480 м и перепаде высот 160 м. Выявлено влияние веса тележки с грузом на изменение траектории их движения. Предложен способ обеспечения оптимальной траектории, при котором гарантируется докатывание тележки с остановкой в конечной точке трассы путем изменения силы натяжения каната. Сопоставление коэффициентов запаса прочности канатов разного диаметра для различных масс тележки с грузом позволило определить оптимальный диаметр каната. Полученные в работе результаты могут быть использованы для проектирования канатных спусков с малой долей механизации.
Список литературы
1. Дукельский А. И. Подвесные канатные дороги и кабельные краны. Л-М.: Машиностроение, 1966. 485 с.
2. Бовский Г.Н., Жегульский И. В. Пассажирские канатные дороги. М.: [б. и.], 2016. 79 с.
3. Троллей (Zip Line) - аттракцион для всех. URL: https://zextrem.com/vozdux/dzhamping/spusk-na-trollee-zip-line.html.
4. Металлические конструкции. В 3 т. Т. 2. Конструкции зданий / под ред. В. В. Горева. М.: Высшая школа, 2004. 528 с.
5. Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука, 1980. 242 с.
6. Светлицкий В. А. Механика гибких стержней и нитей. М.: Машиностроение, 1978. 372 с.
7. Щербаков В. П. Прикладная механика нити. М.: Изд-во МГТУ, 2007. 301 с.
8. Поляков Ю. С., Гилета В. П., Чусовитин Н. А., Бредихина А. Н., Парц К. А. К выбору параметров канатного спуска // Актуальные проблемы в машиностроении. 2015. № 2. С. 325-329.
УДК 539.3
ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ В УПРУГО-ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЯХ LONGITUDINAL STRESS WAVES IN VISCOELASTIC PLASTIC RODS
Н. Е. Проскуряков, И. В. Лопа
Тульский государственный университет, г. Тула, Россия
N. E. Proskuriakov, I. V. Lopa
Tula State University, Tula, Russia
Аннотация. Рассматривается динамическое нагружение стержневой конструкции из упруго-вязкопластического материала. Для решения задачи о распространении волны напряжений сжатия в стержне предлагаются взаимосвязанные гипотезы, которые позволили получить аналитическое решение. Предложено удобное аналитическое представление распределения напряжений по длине стержня для волны напряжений сжатия, распространяющейся в упруго-вязкопластическом материале стержня при ударе по его торцу жесткой массой. Показано удовлетворительное согласование с результатами численных расчетов и данными предыдущих исследователей, что делает использование этого метода практически осуществимым для решения прикладных задач.
Ключевые слова: удар, стержень, упруго-вязкопластический материал, волна, распределение напряжений.
DOI: 10.25206/2310-9793-7-1-136-141
I. Введение
Стержневые конструкции широко применяются в машиностроении, авиа- и судостроении, строительстве и других областях промышленности. Расчет таких конструкций существенно усложняется, если нагружение носит динамический характер, а в некоторых случаях и ударный. Например, в приводах затворов трубопроводов при гидравлическом ударе динамическому нагружению подвергается шпиндель [1], который представляет собой стержень, имеющий винтовую резьбу, что дополнительно ослабляет эту деталь [2, 3]. Ударное нагруже-ние может привести к потере продольной устойчивости стержнем, его изгибу и, как следствие, к отказу выполнения механизмом своих функций [4-6]. При ударе в материале стержня распространяются продольные волны нормальных напряжений сжатия. Причем распределение напряжений в волне крайне неравномерно по длине стержня и быстро меняется во времени. Для упругих волн существует известное аналитическое решение. В начальный момент удара, как правило, напряжения достигают больших значений, существенно превышающих предел упругости. В этом случае происходит вязкопластическое затухание амплитуды напряжений и определение реального распределения напряжения по длине стержня для прикладных инженерных задач становится актуальным.
II. Постановка задачи
Решение задачи о распространении продольных волн нормальных напряжений сжатия строится в рамках гипотезы плоских сечений, и напряженно-деформированное состояние материала стержня полностью описывается компонентами тензоров напряжений а (в дальнейшем ст) и деформаций е (в дальнейшем е). Систе-
