ТОПОЛОГИЯ ИНТЕГРИРУЕМОГО БИЛЬЯРДА В ЭЛЛИПСЕ НА ПЛОСКОСТИ МИНКОВСКОГО С ГУКОВСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лидбеттер М., Линдгрен Г., Pomcen X. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир, 1989.

2. Embrechts Р., Klüppelberg С., Mikosh Т. Modelling extremal events for insurance and finance. Berln: Springer, 2003.

3. de Haan L., Ferreira A. Extreme value theory. An introduction. N.Y.: Springer, 2006.

4. Novak S. Yu. Extreme value methods with applications to finance // Monographs on Statistics and Applied Probability. Vol. 122. Boca Raton, FL: CRC Press, 2012.

5. Лебедев А.В. Экстремальные индексы в схеме серий и их приложения // Информ. и ее примен. 2015. 9, № 3. 39-54.

6. Лебедев А.В. Неклассические задачи стохастической теории экстремумов: Докт. дис. М.: МГУ, 2016.

7. Goldaeva A. A., Lebedev A.V. On extremal indices greater than one for a scheme of series / / Lithuan. Math. J. 2018. 58, N 4. 384-398.

8. Markovich N.M., Rodionov I.V. Maxima and sums of non-stationary random length sequences // Extremes. 2020. 23, N 3. 451-464.

9. Markovich N.M. Extremes of sums and maxima with application to random networks // arXiv: 2110.04120.

10. Nelsen R. An introduction to copulas. N.Y.: Springer, 2006.

11. McNeil A. J., Frey R., Embrechts P. Quantitative risk management. Princeton: Princeton University Press, 2005.

12. Благовещенский Ю.Н. Основные элементы теории копул // Прикл. эконометрика. 2012. 26, № 2. 113-130.

Поступила в редакцию 21.02.2020 После доработки 26.11.2021

УДК 517.938.5

ТОПОЛОГИЯ ИНТЕГРИРУЕМОГО БИЛЬЯРДА В ЭЛЛИПСЕ НА ПЛОСКОСТИ МИНКОВСКОГО С ГУКОВСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

В. В. Ведюшкина1, А. И. Скворцов2

Обнаружена интегрируемость бильярдов, ограниченных дугами софокусных квадрик на плоскости Минковского, в поле с гуковским потенциалом. Подробно изучается случай бильярда данного типа в эллипсе. Также проводится исследование топологии возникающих в рассматриваемой задаче слоений Лиувилля и построение инвариантов Фоменко.

Ключевые слова: интегрируемая система, бильярд, плоскость Минковского, лиувил-лева эквивалентность, инвариант Фоменко.

The integrability of billiards bounded by arcs of confocal quadrics in the Minkowski plane in a field with the Hooke potential is obtained. The case of this type of a billiard in an ellipse is studied in detail. The topology of Liouville foliations arising in this problem is also studied and Fomenko invariants are also constructed.

Key words: integrable system, billiard, Minkowski plane, Liouville equivalence, Fomenko invariant.

С помощью математического бильярда описывается движение материальной точки на плоскости в области, ограниченной кусочно-гладкой кривой. Элементарным бильярдом, назовем связную

1 Ведюшкина Виктория Викторовна — канд. физ.-мат. наук, асснст. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: arinirQyandex.ru.

2 Скворцов Антон Игоревич — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: anton.skvortsov.1996Qyandex.ru.

Vedyushkina Viktoria Viktorovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications.

Skvortsov Anton Iyorevich — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications.

компактную часть плоскости, граница которой образована из дуг софокусных квадрик и не содержит углов, равных Щ-. При этом софокусные квадрики всегда пересекаются под прямыми углами. Многочисленные результаты в области исследования теории бильярдов получены в работах В. В. Ве-дюшкиной и А. Т. Фоменко [1-3], а также в работах В. Драговича и М. Раднович [4-6].

В работе [6] исследуется топология интегрируемых бильярдов в эллипсе на плоскости Минков-ского; описываются траектории системы и приводится меченая молекула — инвариант Фоменко-Цишанга слоения Лиувилля. Полная топологическая классификация элементарных бильярдов на плоскости Минковского получена Е. Е. Каргиновой в работе [7]. Ею же вычислены инварианты Фоменко-Цишанга для каждого элементарного бильярда.

Теория бордизмов и топологические инварианты интегрируемых систем подробно описываются в работах А. Т. Фоменко [8-10], где получены важные топологические результаты. Также отметим результаты Д. А. Федосеева и А. Т. Фоменко [11], касающиеся исследований некомпактных особенностей интегрируемых динамических систем.

В настоящей работе рассматриваются бильярды, ограниченные дугами софокусных квадрик на плоскости Минковского, в поле с центральным гуковским потенциалом. В частности, в ходе исследований была обнаружена интегрируемость по Лиувиллю систем такого рода. Для случая, когда граница указанного бильярда образована эллипсом, проводится исследование топологии возникающих в задаче слоений Лиувилля и построение инвариантов Фоменко [12].

Напомним, что плоскостью Минковского называется вещественная двумерная плоскость М2, на которой скалярное произведение задано соотношением (х,у) = Х\у\ — Х2У2- Расстояние между двумя точками на плоскости Минковского определяется по следующей формуле: ё18^х,у) = л/{х — у, х — у). Скалярное произведение на плоскости Минковского может принимать отрицательные значения. Отсюда следует, что все векторы на плоскости Минковского можно разделить на три типа в зависимости от принимаемого значения скалярного произведения: пространственно-подобные, световые (изотропные) и времени-подобные. В первом случае скалярное произведение положительное (длина вектора вещественная), во втором — нулевое (длина вектора нулевая), а в третьем — отрицательное (длина вектора чисто мнимая). Также отметим здесь и то, что два вектора на плоскости Минковского будут являться ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю (световые векторы будут ортогональны сами себе).

Рассмотрим эллипс на плоскости Минковского. В нашем случае семейство софокусных квадрик задается следующим уравнением:

-^- + -^- = 1 (1)

а — X Ь + X [)

где Л — параметр квадрики. Отметим, что при — Ь < X < а квадрика является эллипсом, при Л < —Ь — гиперболой с действительной осью Ох, а при Л > а — гиперболой с действительной осью Оу. При значениях параметра Л, равных — Ь, а или квадрика вырождается и становится либо осью Ох Оу

квадрики из этого семейства имеют четыре общие касательные, которые задаются следующими уравнениями: х ± у = ±у/а + Ь. Также у данного семейства есть четыре фокуса: Р\ = {—л/а + Ь, 0), = (УоТб,0), сг = (0, -Уатъ) и с2 = (0, у/а + ь).

Опишем, как устроено отражение в бильярде на плоскости Минковского. Пусть V — вектор, а I — некоторая прямая. Тогда вектор V можно представить в таком виде: V = vra + где vra — нормальная составляющая вектора скорости, а VI принадлежит I. Бильярдным отражением вектора V от прямой I на плоскости Минковского будем называть вектор V1 = —vra + VI. Отметим, что в случае, когда VI световой, отражение, очевидно, не определено.

Добавим в систему гуковский потенциал с коэффициентом к, действующий на материальную точку. То есть внутри области бильярда траектории удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:

В том случае, когда к > 0, у нас имеется притягивающий потенциал, а в случае, когда к < 0, потенциал соответственно отталкивающий.

Следует отметить, что в данном случае закон отражения будет отличаться от классического случая плоскости Минковского, который рассматривался в работах [6, 7]. Дело в том, что в последнем

случае при отражении сохраняется евклидова длина вектора скорости, в то время как в настоящей работе при отражении у вектора скорости сохраняется длина Минковского, а не евклидова. Ранее в бильярдах, ограниченных дугами софокусных квадрик, предполагалось, что при отражении длина Минковского будет меняться. Однако в случае, рассматриваемом в настоящей работе, этого не происходит. Данный факт является важным и оказывает влияние на результат и интегрируемость системы.

Перейдем теперь непосредственно к решению исследуемой задачи.

Назовем систему бильярда кусочно-гладко интегрируемой по Лиувиллю, если в точках, соответствующих внутренности бильярда, можно определить две функции, которые будут в инволюции относительно некоторой скобки Пуассона, а на границе сохраняться при отражении. Скажем, что выполнена кусочно-гладкая теорема Лиувилля, если компактная регулярная поверхность уровня является тором, а окрестность нерегулярной послойно гомеоморфна некоторому трехмерному атому.

Рассмотрим фазовое пространство М4 = {х, у, X, у}, где (х, у) — декартовы координаты материальной точки в бильярде, (X, у) — соответствующие координаты вектора скорости. При отражении точки от границы бильярда векторы скорости до и после соответствующего отражения отождествляются по стандартному закону. Далее введем на многообразии М4 симплектическую структуру ш, заданную следующей матрицей О = (ш^-):

(шгз) =

/0 0 —1 0\ 0 0 0 1 10 0 0 У0 —1 0 0/

(2)

Также определим стандартную скобку Пуассона.

Оказывается, что справедлива следующая теорема.

Теорема 1 (В.В. Ведюшкина, А.И. Скворцов). Бильярд, ограниченный дугам,и софокусных квадрик на плоскости Минковского, в поле с гуковским потенциалом является интегрируемым по Лиувиллю. Интегралами являются следующие функции:

Н

к(х2 — у2) X2 — у2 ^ I ^ ;

х2 у2 (ху — ху)2 х у

а Ь

аЬ

22

— к{ 1 — ---,

аЬ

При этом си,м,плект,и,ческая, структура задается вышеуказанной матрицей (2). Доказательство. Для начала необходимо убедиться, что интегралы ^^ постоянны вдоль траекторий бильярда. Для этого продифференцируем их по Ь:

к1 Н = ~(2хх - 2уу) + -(2хх - 2уу),

■ 2ХХ 2уу

р = — +

аЬ

2 {ху — ху){ху — ху) Л 2хх 2 уу аЪ \ а Ъ

Теперь подставим в полученные выражения значения X и у из исходной системы, описывающей

0

следует, что предъявленные интегралы постоянны вдоль траекторий бильярда.

Докажем тот факт, что два интеграла находятся в инволюции. Найдем частные произ-

водные

Ш. — Ьгр

дх —

% = -ку,

дН дх дН К ду

х,

у;

д£ дх д£ ду д£_ дх д£_ ду

2кх _ а

2ку ,

Ъ "Т"

2х , а

Ш _

Ь

2у(ху-ху)

аЬ ' 2х(ху—ху) аЬ ' 2у(ху-ху)

аЪ ' 2х(ху—ху) аЬ

(4)

Далее считаем скобку Пуассона от этих интегралов (напомним, что симплектическая структура задана матрицей (2)):

{Я, Е} = —2кх (* + ^Му] _2 ку(\- ^МЛ + 2х(^- ^МЛ + а аЬ Ь аЬ а аЬ

+ 2 ' ( ^ + ^Х^ ~ ^^ Л 2Ажё 2кху(ху — ху) 2куу ^ 2кху(ху — ху) ^ \Ъ аЪ ) а аЪ Ь аЪ

2 кхх 2 ху{ху — ху) 2куу 2 ху{ху — ху) а аЬ Ь аЬ

Так как скобка Пуассона равна нулю, то интегралы ^^ находятся в инволюции.

Докажем теперь, что эти два интеграла являются функционально независимыми.

Для этого выпишем дифференциалы dH и йЕ, воспользовавшись полученными в формулах (3) и (4) результатами:

йН = (кх, —ку, Х, —у),

Нетрудно заметить, что йН и с!Е являются линейно независимыми. Следовательно, интегралы Н и Е являются функционально независимыми.

Осталось показать, что эти два интеграла сохраняются при отражении.

Убедимся, что интеграл Е сохраняется при отражении от стенок бильярда. Любая стенка бильярда, рассматриваемого в нашей задаче, является дугой софокусных квадрик из указанного выше семейства.

Заметим, что в формуле интеграла Е последнее слагаемое при отражении не меняется. Для удобства перепишем формулу интеграла Е в следующем виде:

Р + к\1~ — = — + ^ _(ХУ~ ау)2

а Ь а Ь аЬ

х2

у2 у2 х2

х2 у2

раскрытой скобки, после чего проделаем некоторые алгебраические преобразования. В итоге будем иметь

^ х2 у2\ 1 / 22 Ь + X 22 а — Л\ Л(Х2 + у2) Е + А: 1---М=- А2-- + 2хуху + уу\—г +

а Ь ) аЬ\ а — Л Ь + Л) аЬ

Можно заметить, что первое слагаемое в правой части является полным квадратом. Поэтому получаем

Р1Д.Л У2)_ (а-А)(Ь + Л)Л X | у у | Х(х2+У2)_

\ а Ъ ) аЪ \ а — А Ъ + \ ) аЪ

Первое слагаемое в правой части является квадратом скалярного произведения вектора скорости на нормаль к софокусной квадрике. Отсюда следует, что значение интеграла Е после отражения не изменится.

Н

Н

наты материальной точки в бильярде, а другое — соответствующие координаты вектора скорости.

Н

Нетрудно заметить, что координатное слагаемое при отражении не изменится. Слагаемое со скоростью при отражении также не изменится согласно правилу отражения (в нашем случае при отражении сохраняется длина Минковского, а следовательно, сохраняется и ее квадрат).

Н

Итак, настоящая система действительно является кусочно-гладко интегрируемой по Лиувиллю. Теорема доказана.

Мы хотим переписать уравнения движения данной динамической системы в эллиптических координатах по аналогии с тем, как это было сделано в евклидовом случае (см. книгу В. В. Козлова, Д. В. Трещева [13]).

Для дальнейшего анализа нам необходимо перейти к эллиптическим координатам. В нашем случае уравнения перехода от декартовых координат к эллиптическим будут выглядеть следующим образом:

( ™2 _ (о-Л1)(о-Л2)

) — а+Ь ' 1 „2 _ (Ь+А1)(Ь+А2) (У а+Ъ

В таких координатах интегралы Н и Р запишутся как

к , ^ , 2(а — Х\)(Ь + А1) 2 , 2(а-А2)(Ь + А2).2 н = (Л1 + л2) н--г-г-/¿1 н--г-г-/¿2>

2 Л\ — Л2 Л2 — Л\

Р = -^Х\ + 2(а-Х1)(Ъ + Х1)ц21-НХъ (5)

где ц,2 — сопряженные импульсы. Докажем важную лемму.

Лемма 1. Интеграл Р также можно переписать в таком виде:

^ = -^ + 2(а-А2)(& + А2)^-ЯА2. (6)

Доказательство. Вычтем правую часть равенства (6) из правой части равенства (5), в результате получим следующее:

—§(АХ - А2)(А1 + А2) + 2(а - А1Х6 + Хг)^ - 2(а - А2)(Ь + А2)^ - Н(Х1 - А2).

Затем вынесем за скобки множитель (А1 — А2):

(А, - Д2)(-|(Л1 + А2) + + '(-мь*^ _ н

Н

(А1 — А2 )(Н — Н) = 0.

Таким образом, интеграл Р действительно можно переписать в виде, указанном в формуле (6). Лемма доказана.

Далее нам необходимо воспользоваться следующей формулой:

• дН

— я—>

которая известна нам из механики. В результате получаем такую систему:

( дН _ 4(а-А1)(Ь+А1) ) дщ ~ А1-А2 ^Ь 1 дН_ _ 4(а-А2)(Ь+А2) Удц2 ~ А2-А1

Зафиксируем уровни интегралов Ни F H = h и F = f. Выразим сопряженные импульсы и из формул для интеграла F и подставим получившиеся выражения в данную систему. В результате получим следующие уравнения движения:

Ai - Л2

где V{\i) = V(z) = (а - z)(b + z)(^z2 + hz + f ).

Данные уравнения позволяют определить проекции слоев F в Q3 на бильярд для того, чтобы восстановить слои.

Из уравнений для Ai можно получить условия на сами координаты Ai, а именно: V(Ai) ^ 0 и V(A2) ^ 0. Используя эти условия, а также условия, накладываемые самой бильярдной областью, приходим к следующей системе неравенств:

'f(a-Ài)(b + Ài)(Ài-i7)(Ài-0 >0,

I (а - А 2)(Ь + Л2)(Л2 - г?)(Л2 -0^0, (7)

.(Ai, A2) € S,

где г] = Н ^ и £ = к — корни многочлена а Е — бильярдная область.

Зафиксируем конкретные значения п и £ (или значения Н и / соответственно), чтобы разрешить данную систему относительно Лi. В итоге мы получим решение этой системы, которое и задает область возможного движения в бильярде. Отметим также, что если решения нет, то движения на (Н, /)

Рассмотрим бильярд, ограниченный эллипсом из семейства (1) с параметром Л = 0. Тогда в качестве криволинейных координат можно выбрать две квадрики из нашего семейства таким образом: первой координатой будет параметр Л1 квадрики, принимающей значения в промежутке (—Ь; 0], а второй — пара метр Л2 квадрики, принимающей значения в промежутке [0; а) (напомним,

Л —Ь а

становится либо осью Ох, либо осью Оу). В таком случае через каждую точку нашего бильярдного стола с ненулевыми координатами будут проходить ровно две квадрики имеющегося семейства (обе будут эллипсами).

Теперь перейдем к более детальному исследованию нашего случая. Напомним, что в случае к > 0 у нас имеется притягивающий потенциал, а в случае к < 0 потенциал отталкивающий.

Для начала рассмотрим случай к > 0. Построим таблицу, состоящую из решений системы (7) (см. табл. 1).

Таблица 1

Случай эллипса, к > 0

№ Значения г], £ Решение системы

1 Ai € [—6; 0], A2 € [0; a]

2 Ai € [£;0],A2 € [0;a]

3 0 ^ £ ^ а _

4 _

5 Al € [—6; rj\ U [£; 0], \2 € [0; a]

6 Ai € [—6; 77], A2 € [£;a]

7 _

8 Ai € [—6; 0], A2 € [0; rj\ U [£; a]

9 Ai € [—6;0], A2 € [0; rj\

10 Ai € [—6; 0], A2 € [0; a]

(Н, /)

М2(Н,/), для которых область будет непустой.

В нашем случае для построения бифуркационной диаграммы имеет смысл воспользоваться предложенным М. П. Харламовым в [14] методом, согласно которому если для каждой точки окрест-(Н, /)

значения, то это значение будет являться рсхулярным (в противном случае критическим). Данный метод позже получил название метода геометрического разделения переменных.

На рис. 1 изображены две бифуркационные диаграммы (для случаев к > 0 и к < 0), где серым цветом указаны соответствующие камеры. В случае притягивающего потенциала имеем семь камер (камеры 1 7 на рис. 1, а), а в случае отталкивающих) четыре (камеры 1 4 на рис. 1,6).

к>0

на рис. 1, а, где присутствуют две прямые, заданные уравнениями / = Ыг — Щ- и / = —а 1г — па;ра,бола, заданная, уравнением / = ^¡-,1г2, а, также, камеры, 1 7. Бифуркационная, д'аа,гра,мма, для, к<0

заданные уравнениями / = Ыг — Щ- и / = —а!г — а, также камеры, 1 4.

а б

Рис. 1. Бифуркационные диаграммы для случая эллипса

Доказательство. Для того чтобы определить камеры для каждого из решений системы, необходимо взять соответствующие неравенства, для которых у системы существует решение, и подставить указанные выше выражения для п и поскольку каждое из них содержит в себе как Н, так и /. После этого следует проделать некоторые алгебраические преобразования с полученными неравенствами, в результате чего получим соответствующие ограничения на Н и /, которые и определяют области камер на бифуркационной диаграмме.

Мы не будем приводить полное доказательство (оно получается прямым подсчетом), ограничимся лишь конкретным примером. Охраничение сверху параболой для нескольких камер на бифуркационной диаграмме возникает в тех случаях, когда в цепочке неравенств для значений п и £ имеет место неравенство п ^ Чтобы в этом убедиться, подставим в это неравенство выражения для п и

-/?, - \//г2 - 2к/ -к + ^/г2 - 2к/ к ^ к '

Домножив данное неравенство на к, прибавив ко всем его частям 1г и перенеся корень в правую часть, получим 0 У 2\/1г2 — 2к/. В конечном итоге мы придем к ограничению, связанному с параболой: / ^ ¿Л2-

Остальные ограничения получаются аналогичным образом. Лемма доказана. Приведем области возможного движения для каждой из камер. Отметим, что области возможного движения являются проекциями торов Лиувилля на бильярдный стол.

к>0

ими на, рис. 2, а. Это области возлюжного движения, для, камер 1 7 бифуркационной диаграммы, соответствующей случаю с притягивающим потенциалом. Области возлюжного движения, для, к<0

для, камер 1 4 бифуркационной диаграммы, соответствующей случаю с отталкивающим потенциалам.

Доказательство. Воспользуемся бифуркационной диаграммой. Посмотрим, к примеру, на би-

к>0

фуркационной диаграммы соответствует своя область возможного движения материальной точки в бильярдном столе (кроме камер 1 и 7, для которых области возможного движения совпадают и

заполняют всю внутренность эллипса). При этом для каждой из камер в прообразе имеется определенное количество торов. Над каждой связной областью возможного движения висит один тор (сама область является его проекцией на бильярдный стол). Каустики в нашем случае образованы дугами эллипсов. Им соответствуют квадрики семейства (1) с параметрами £ и п-

Таким образом, для случая эллипса при k > 0 получаем области возможного движения, изображенные на рис. 2, а (слева направо, сверху вниз): область для камер 1 и 7, область для камеры 2, область для камеры 6, область для камеры 3, область для камеры 5 и область для камеры 4. Случаю эллипса при k < 0 будут соответствовать области возможного движения, изображенные на рис. 2, б (слева направо, сверху вниз): область для камеры 2, область для камеры 4, область для камеры 1 и область для камеры 3. Лемма доказана.

Выпишем теперь все грубые молекулы, получившиеся в результате анализа данной бифуркационной диаграммы.

Теорема 2. Грубые молекулы для случая, с притягивающим потенциалом имеют вид. указанный на, рис. 3, а,.

Доказательство. Зафиксировав уровень энергии H = h = const, получим изоэнергетическую поверхность Qh

Проведем пунктиром на бифуркационной диаграмме прямые, соответствующие уравнениям H = hi, где hi — это те точки H, в которых происходит качественная перестройка изоэнергетической поверхности. Тем

H

дой из которых соответствует определенная изоэнерге-

а

б

Рис. 2. Области возможного движения для случая эллипса

а

А"

d;

в

/1\

/\

в

■ = 0 / \ r=i

г-l/ \е=

г=0 1

г = 0 8 =

А А

Рис. 3. Молекулы для случая эллипса при

k > 0: T2

критичоскии тор, бый слой атома D 1

D

осо-

тическая поверхность Q'h■

Зафиксируем уровень энергии Н = Н. Ему соответствует прямая, заданная уравнением Н = Н. Данная прямая пересекает образ отображения момента по конечному отрезку. При этом саму бифуркационную диаграмму эта прямая пересекает в нескольких точках на данном отрезке.

Таким образом, мы имеем все изоэнергетические поверхности Qh, по которым дальше строятся

Н

молекул.

Молекуле 1 соответствуют значения /г > кЬ и /г < —ка, молекуле 2 значения Щ- < /г < кЬ и

-ка < h < -!f,

молекуле 3 значения — Щ- < h < за исключением h = 0, молекуле 4 значение

kb 2

h=0

Итак, в случае с притягивающим потенциалом мы получаем семь зон уровней энергии и четыре молекулы.

Любая регулярная область в бильярде либо одноевязна, либо является объединением одно-связных иод областей. Разобьем область возможного движения на софокусныс стенкам бильярда эллипсы и оснастим каждую точку этих эллипсов векторами скорости, воспользовавшись уравнениями движения. В результате каждой внутренней точке будут соответствовать четыре вектора скорости, а каждой точке границы (за исключением углов) два вектора скорости (либо касательные к границе в случае каустики, либо полученные из четырех отождествлением согласно закону отражения). В углах получим нулевой вектор. При этом прообразом каждой дуги неграничного оснащенного эллипса очевидным образом будут две окружности. Умножив эти окружности на отрезок и склеив получившиеся цилиндры по граничным окружностям, будем иметь двумерный тор. Таким образом, прообраз любой регулярной области возможного движения в фазовом пространстве М4 гомеоморфен объединению торов.

Мы не будем приводить здесь полное вычисление всех атомов. Ограничимся лишь схемой доказательства и рассмотрением некоторых примеров.

Для того чтобы вычислить атомы, необходимо понять, как перестраиваются регулярные области возможного движения при переходе из одной камеры бифуркационной диаграммы в другую. Здесь стоит отметить, что в бильярдах во всех случаях перестройки областей возможного движения при переходе через особую точку на бифуркационной диаграмме сводятся к нескольким случаям.

К примеру, в случае выхода границы области на границу бильярда с топологической точки зрения перестройка области не происходит, а следовательно, бифуркация здесь не возникает.

Если рассмотреть пример, когда склейка односвязных подобластей происходит по одному отрезку фокальной прямой, то критическим движением будет отрезок фокальной прямой, по которому соответственно идет склейка. Далее разобьем критическую область возможного движения на оснащенные эллипсы. При этом во внутренних точках отрезка склейки получаем два вектора, направленные по фокальной прямой, а во всех оставшихся точках неграничного эллипса четыре вектора. В конечном итоге мы получаем критический слой атома В (при вычислении молекулы 1). Итак, бифуркация торов при данной перестройке происходит по атому В.

Здесь стоит отметить, что появление в молекулах особого слоя V- представляет особый интерес, поскольку это новый эффект, который ранее в топологии слоений Лиувилля исследуемых интегрируемых систем не возникал. Логичнее всего предположить, что на верхней границе некоторых камер, которая в данном случае представляет собой параболу, должен находиться атом А либо же критический тор Т2. Однако здесь это не так. Данный эффект связан с тем, что мы переопределили бильярдный закон иначе, чем в работах [6, 7].

Область возможного движения на параболе в случае с V- имеет вид, указанный на рис. 4, где пунктиром обозначена критическая область возможного движения. Теорема доказана.

Комментарий. Проблема заключается в том, что по полученным грубым молекулам не удастся построить инварианты Фоменко Цишанга, поскольку в верхней части молекул метки подсчитать нельзя. Тем не менее для некоторых молекул можно подсчитать метки частично только на тех ребрах, где это возможно. Таким образом, в данном случае представляется возможным построение инварианта Фоменко (имеется в виду построение грубой молекулы, оснащенной метками в тех частях графа, где это возможно).

Теорема 3. В случае молекулы 1 инвариант Фоменко имеет вид. 'изображенный на рис. 3, б.

Доказательство. В данном случае построение инварианта Фоменко возможно только для молекулы 1. Этот инвариант имеет вид, изображенный на рис. 3, б. На верхнем ребре метки подсчитать

Т2

нельзя построить инвариант Фоменко Цишанга. Тем не менее можно подсчитать метки частично только на двух оставшихся ребрах. Таким образом, мы получаем инвариант Фоменко для молекулы 1.

АЛ

возьмем отрезок координатной оси Ох, а в качестве цикла у — дугу интегрального эллипса. Выберем

В

Л

критического цикла. В качестве цикла у возьмем отрезок координатной оси Ох. В итоге получаем,

движения для камер 3 и 5 на параболе (случай к > 0)

что матрица склейки имеет вид (^юу • Отсюда находим метки: г = 0,е = 1. Следует отметить, что

при вычислении матрицы склейки ориентация на цикле ^ тора атома В и на цикле А тора атома А фиксировалась так, чтобы определитель матрицы был равен —1.

Для молекул 2-4 в данном случае построение инварианта Фоменко не представляется возможным (см. комментарий выше). Теорема доказана.

Теперь рассмотрим случай для к < 0. Таблица строится аналогично случаю с к > 0 (см. табл. 2).

Таблица 2

Случай эллипса, к < 0

№ Значения г], £ Решение системы

1 _

2 _

3 А1 € [-Ь;0],Л2 £ М

4 А1 € [—6; 0], Л2 € [0;а]

5 _

6 А! € [£;0],А2 € [0;г?]

7 А1 € [£;0],А2 € [0;а]

8 _

9 _

10 _

Как и в случае с притягивающим потенциалом, образ отображения момента представляет собой совокупность точек (Н, /) па М2(Н,/), для которых область будет непустой. Для построения бифуркационной диаграммы использовался тот же метод, предложенный М.П. Харламовым в [14].

Выше в лемме 2 уже была приведена бифуркационная диаграмма для данного случая (см. рис. 1, б). Камеры для каждого из решений системы определяются аналогично случаю с притягивающим потенциалом. Области возможного движения для каждой из камер были приведены в лемме 3 (см. рис. 2, б).

Как и в случае с притягивающим потенциалом, выпишем все грубые молекулы, получившиеся в результате анализа данной бифуркационной диаграммы.

Теорема 4. Грубые молекулы для случая с отталкивающим, потенциалом имеют вид, указанный на рис. 5, а.

Доказательство. Грубые молекулы получаем таким же образом, как и в случае с притягивающим потенциалом.

Вначале строим все изоэнергетические поверхности Qh, по которым дальше строятся грубые

Н

Молекуле 5 соответствуют значения /1 < у и /» > -у, молекуле 6 — значения Щ < Л, < — за исключением Л, = — |(а — Ь), молекуле 7 — значение Л, = — |(а — Ъ).

Итак, в случае с отталкивающим потенциалом мы получаем пять зон уровней энергии и три молекулы.

Атомы вычисляются таким же образом, как и для притягивающего потенциала.

Отметим, что в данном случае молекулы являются некомпактными, поскольку в верхней части молекул никаких атомов нет. Это связано с тем, что камеры на бифуркационной диаграмме сверху ничем не ограничены и продолжаются вверх сколь угодно долго. Теорема доказана.

Комментарий. Опять же по полученным грубым молекулам не удастся построить инварианты Фоменко-Цишанга, поскольку молекулы являются некомпактными. Тем не менее для данных молекул можно посчитать метки частично — только на тех ребрах, где это возможно. Таким образом, в данном случае представляется возможным построение инварианта Фоменко.

Теорема 5. В случае молекул 5-7 инварианты, Фоменко имеют вид, изображенный на рис. 5, б.

Доказательство. В данном случае построение инвариантов Фоменко возможно для всех молекул. Эти инварианты имеют вид, изображенный на рис. 5, б. На верхних ребрах метки посчитать нельзя, поскольку молекулы в данном случае являются некомпактными (см. комментарий перед формулировкой теоремы). Поэтому для молекул 5-7 нельзя построить инвариант Фоменко-Цишанга. Опять же в данном случае можно посчитать метки частично — только на оставшихся ребрах. Таким образом, мы получаем инварианты Фоменко для молекул 5-7.

а

в

/\

А А

в

в в

/\ /\

А А А А

А А А А

6

в

г=\/ \е=1 А А

г=0 В г=о 8=-1 / \ 8 = -1

Рис. 5. Молекулы для случая эллипса при к < 0

Выбор циклов здесь происходит аналогичным образом (следует только правильно согласовать ориентацию в каждом конкретном случае). Матрицы склейки также получаются аналогично случаю с притягивающим потенциалом. Метки п вычисляются следующим образом: для атома В метка п = —у — у + 77]" = 0, поскольку в данном случае у нас имеются два входящих ребра и одно выходящее. Теорема доказана.

Появление некомпактных слоев неудивительно. Некомпактные бифуркации ранее исследовались в работе С. С. Николаенко [15]. Кроме того, некомпактные бифуркации исследовались в работе Д. А. Федосеева и А. Т. Фоменко [16], где также приведены примеры задач и систем, в которых возникают такие бифуркакции.

Авторы приносят глубокую благодарность академику РАН А. Т. Фоменко за постановку задачи, конструктивные обсуждения и ценные замечания в процессе проведения данного исследования.

Работа выполнена в Московском государственном университете и поддержана грантом РНФ № 20 71 00155.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фокичева В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые биллиарды моделируют важные интегрируемые случаи динамики твердого тела /'/' Докл. РАН. Матом. 2015. 465. № 2. 150 153.

2. Ведюшкина (Фокичева) В.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые топологические биллиарды и эквивалентные динамические системы // Изв. РАН. Сер. матом. 2017. 81. № 4. 20 67.

3. Фокичева В.В. Топологическая классификация биллиардов в локально-плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матом, сб. 2015. 206. № 10. 127 176.

4. Драгович В., Раднович М. Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные поризмы Понесло. М.: Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2010.

5. Dragovic V., Radnovic М. Bifurcations of Lionville tori in elliptical billiards // Rcgnl. Chaotic Dyn. 2009. 14. N 4 5. 479 494.

6. Драгович В., Раднович M. Топологические инварианты эллиптических биллиардов и геодезических потоков на эллипсоиде // Фунд. и прикл. матем. 2015. 20. № 3. 51 64.

7. Каргинова Е.Е. Биллиарды, ограниченные дугами софокусных квадрик на плоскости Минковского // Матем. сб. 2020. 211, № 1. 3 31.

8. Фоменко А.Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых га-мильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 54, № 3. 546 575.

9. Фоменко А.Т. Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых систем // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1991. 55, № 4. 747-779.

10. Фоменко А. Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анализ и его прил. 1991. 25, № 4. 23-35.

11. Fedoseev D.A., Fomenko А. Т. Noncompact bifurcations of integrable dynamic systems // J. Math. Sci., Plenum Publishers, United States. 2020. 248. 810-827. URL: https://doi.org/10.1007/sl0958-020-04915-w.

12. Болеинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1, 2. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 1999.

13. Козлов В.В., Трещев Д.В. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991.

14. Харламов М.П. Топологический анализ и булевы функции. I. Методы и приближения к классическим системам // Нелинейная динамика. 2010. 6, № 4. 769-805.

15. Nikolaenko S.S. Topological classification of the Goryachev integrable systems in the rigid body dynamics: Non-compact case // Lobachevskii J. Math. 2017. 38, N 6. 1050-1060.

16. Федосеев Д.А., Фоменко А. Т. Некомпактные особенности интегрируемых динамических систем // Фунд. и прпкл. матем. 2016. 21, № 6. 217-243.

Поступила в редакцию 17.08.2020

УДК 519.21

МАКСИМИЗАЦИЯ РОБАСТНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ В ТЕРМИНАХ СУПЕРМАРТИНГАЛЬНЫХ МЕР

А. А. Фарвазова1

Рассматривается двойственное описание оптимального значения робастной полезности в абстрактной модели финансового рынка (П, F, P, A(ж)), где A(x) = xA, x > 0, — множество терминальных капиталов инвестора, отвечающих стратегиям с начальным ка-x

A

супермартингальных плотностей.

Ключевые слова: максимизация полезности, робастная полезность, супермартингаль-ная мера.

We consider a dual description of the optimal value of robust utility in the abstract model of the financial market (П, F, P, A(x)), where A(x) = xA, x > 0, is the set of the investor's

x

paper addresses the question of the transition in the definition of the dual problem from the

A

Key words: utility maximization, robust utility, supermartingale measure.

1. Введение. В настоящей работе под задачей максимизации робастной полезности со штрафной функцией мы понимаем задачу максимизации функционала

£ ^ QnQ(EqU(£)+ Y(Q)) , £ € A,

по некоторому выпуклому множеству A случайных величин, заданных на вероятностном пространстве (П, F, P).

Предположение 1 (о функции полезности): U : R ^ [—го, — монотонно неубывающая вогнутая функция, U(x) = —го при x < 0 и U(x) € R при x > 0.

1 Фарвазова Айсылу Азатовна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: aisy lu. far vazovaQy andex. ru.

Farvazova Aisylu Azatoma — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Probability Theory.