CC BY
1УДК 517.938.5
ТОПОЛОГИЯ ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ 5-ПОВЕРХНОСТЕЙ ТРЕХМЕРНОГО БИЛЬЯРДА ВНУТРИ ТРЕХОСНОГО ЭЛЛИПСОИДА
С ПОТЕНЦИАЛОМ ГУКА
Г. В. Белозеров1
Рассматривается бильярд внутри трехосного эллипсоида с потенциалом Гука (как притягивающим, так и отталкивающим). Для каждой зоны небифуркационных значений энергии определен класс гомеоморфности соответствующей нзоэнергетнческой 5-поверх-ности в фазовом пространстве без использования интегрируемости бильярда. По методу В. В. Козлова приведен явный вид n находящихся в инволюции первых интегралов для многомерного обобщения рассмотренной задачи — бильярда с потенциалом Гука внутри nn
Ключевые слова: интегрируемая система, гамильтонова система, бильярд, интегрируемый бильярд, геодезический поток, софокусные квадрики, топологические инварианты, слоение Лиувилля, изоэнергетическая поверхность.
A billiard inside a triaxial ellipsoid in a Hooke potential field (both attractive and repulsive) is considered. For each zone of non-bifurcational values of the energy, the homeomorphism
5
obtained without using the integrability of the system. Following the method of V. V. Kozlov, we
n
n
n
Key words: integrable system, Hamiltonian system, billiard, integrable billiard, geodesic flow, confocal quadrics, topological invariants, Liouville foliation, isoenergy surface.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-2022-6-21-31
1. Введение. Применение теории Морса к изучению гамильтоновых систем было во многом мотивировано программной работой С. Смейла [1]. Фазовое пространство многих таких систем является двойственным пространством к некоторой алгебре Ли, например e(3), и естественным образом расслаивается на изоэнергетические поверхности. Так называют совместные поверхности уровня энергии H и функций Казимира алгебры Ли (во многих задачах из динамики твердого тела это геометрический интеграл и интеграл площадей). В рассматриваемом нами случае под ними понимаем множество уровня энергии H = h в фазовом пространстве.
Наличие критических точек dH |x = 0 зачастую влечет различие классов гомеоморфности Qh гамильтоновой системы v = sgrad H для значений h, лежащих по разные стороны от ho = H(x).
В случае интегрируемости системы оказалось возможным провести более тонкий анализ системы. Аналог теории Морса для интегрируемых гамильтоновых систем был построен в работах А. Т. Фоменко [2, 3]. На его основе совместно с соавторами и учениками им была построена теория топологической классификации таких систем (см. [4], более подробная информация приведена в [5]). Данная теория была применена к различным интегрируемым системам из механики и математической физики, что позволило обнаружить ряд взаимосвязей между ними с точки зрения топологии замыканий их решений (см., например, [6, 7]).
В последние годы данную теорию успешно использовали для изучения интегрируемых бильярдов, ограниченных софокусными квадриками. В программной работе А. Т. Фоменко, В. В. Ведюшки-ной [8] сформулирован ряд актуальных задач по топологии интегрируемых бильярдов и перечислены полученные результаты в этих направлениях (см. также последующие работы [9-11]). При этом А. Т. Фоменко и В. В. Ведюшкиной были введены и рассмотрены новые классы интегрируемых бильярдов: топологические бильярды [12, 13], бильярдные книжки [14], бильярды с проскальзыванием [15], эволюционные силовые бильярды [16, 17]. Отметим, что в большинстве этих работ изучаются свойства слоений на изоэнергетических 3-поверхностях для кусочно-плоских бильярдов.
1 Белозеров Глеб Владимирович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: gleb0511belozQyandex.ru.
Belozerov Gleb Vladimirovich — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications.
Тем не менее многие поставленные в [8] задачи связаны с объектами, имеющими размерность более 3 или нетривиальную метрику. Таковы, например, геодезические потоки на квадриках в М3, изученные автором в [18], или промоделированные бильярдами интегрируемые геодезические потоки на сфере и торе (см. [19]). Бильярды в трехмерных областях исследовались В. Драговичем и М. Раднович в [20] и автором в [21]. Другой интересной темой является моделирование бильярдами особенностей ранга 0 (окрестностей слоев с положениями равновесия, классифицированных в [22]) отображения момента в системах с двумя степенями свободы (см. [23]).
Еще один важный класс бильядов получается добавлением потенциала или магнитного поля. В бильярдах с потенциалом слоение на может существенно зависеть от Н (см. [24-26]). Весьма близка к этим публикациям и работа [27]: бильярд в эллипсе — это результат предельного перехода от системы геодезического потока на эллипсоиде при стремлении малой полуоси к нулю.
2. Постановка задачи и основные результаты. Рассмотрим движение частицы в поле потенциала Гука внутри эллипсоида Е С М3, заданного уравнением
х2 у2 х2
--V — Л--= 1, где 0 < с < Ъ < а.
а о с
Указанную область в М3 назовем бильярдным столом и обозначим Б.
Бильярдом, назовем следующую динамическую систему. Пусть материальная точка единичной массы движется внутри эллипсоида Е под действием упругой силы с коэффициентом к, центр которой совпадает с центром эллипсоида. Указанную силу и соответствующий гуковский потенциал назовем отталкивающим, или притягивающим в случае к < 0 или к > 0 соответственно.
Фазовое пространство системы М6 = Т* Б/ ~ задается склейкой границ, соответствующей закону отражения частицы от Е:
(Х1, VI) ~ (х2,^2) : Х1 = Х2 = х, |VI| = |1, (^1 - ^2) ± Т*£ С Т,**£>.
Иными словами, склеиваются пары "точка-вектор" (х, ^1), (х, ^2), у которых вектор VI получен из V2 упругим отражением относительно касательной плоскости ТхЕ с равенством углов падения и отражения. Фазовое пространство, заметим, является лишь кусочно-гладким многообразием: имеются склейки "далеких" точек.
Полная механическая энергия материальной точки имеет следующий вид:
Я = х2 + у2 + г2) + ^(х2 + у2 + г2).
Эта функция является первым интегралом бильярда. Действительно, полная механическая энер-
Е
то Я — первый интеграл системы. Рассматриваемый нами бильярд является кусочно-гладкой интегрируемой гамильтоновой системой. В п. 3 мы изучим бильярд внутри п-осного эллипсоида в п-мерном пространстве и приведем вид набора первых интегралов, удобный для наших дальнейших исследований.
Непустое множество = |(х^) € М6|Я(х^) = Н} назовем изоэнергетической поверхностью, а соответствующее ему значение Н — допустимым значением энергии. Заметим, что при к > 0 множество допустимых значений энергии — это промежуток [0;+гс>), а при к < 0 — промежуток [ка/2;
Рассмотрим проекцию п : М6 ^ Б из фазового пространства на конфигурационное. Она опре-
х1 = х2
возможного движения, соответствующей значению Н, назовем образ ПОД действием п, т.е. проекцию изоэнергетической поверхности на бильярдный стол.
При к > 0 область возможного движения есть шар радиуса л/2 к/к, пересеченный с бильярдным к<0
пересеченного с бильярдным столом (при Н ^ 0), либо весь бильярдный стол (при Н > 0). При 1гк > 0 сферу радиуса \j2hjk будем называть граничной сферой. Действительно, эта сфера входит в состав границы области возможного движения, при этом векторы из в точках граничной сферы нулевые.
Н
Н = 0 Е
зовем небифуркационным.
Заметим, что граничная сфера касается эллипсоида Е в том и только в том случае, когда одна из его полуосей совпадает с радиусом граничного шара. Таким образом, особыми уровнями энергии являются Н = 0 Н = ка/2, Н = кЬ/2 и Н = кс/2.
Замечание. Если мы рассматриваем задачу без отражения, то ^И|(х ¿)=(х0 х0) = 0 тогда и только тогда, когда Хо = 0 и Хо = 0. Следовательно, в задаче без отражения только Н = 0 является особым уровнем энергии. В задаче с отражением помимо Н = 0 мы объявили бифуркационными (особыми) уровни Н = ка/2,кЬ/2, кс/2, поскольку вид области возможного движения различается для значений энергии из левой и правой окрестностей таких значений.
Н
гетическая поверхность гомеоморфна либо несвязному объединению сфер Б5, либо Б1 х Б4, либо Б2 х Б3. Докажем следующую теорему.
Теорема. Пусть Н — небифуркационное значение энергии И, тогда
1) есл,и к > 0 то изоэнергетическая поверхность Qh гомеоморфна, сфере Б5;
2) если к < 0 то изоэнергетическая поверхность Qh гомеоморфна
несвязному объединению двух пятимерных сфер Б5 при Ъ € ~2~)>
прямому произведению окружности и четырехмерной сферы Б1 х Б4 при ¡1 € ^
прямому произведению двумерной и трехмерной сфер Б2 х ¿>3 при ¡1 € (трО пятимерной сфере Б5 при Н € (0, +гс>).
Следовательно, если а = Ь = с, то в случае к > 0 изоэнергетическая поверхность Qh неособого
уровня энергии гомеоморфна сфере Б5, пр и к < 0 и Н € ^ка/2, 0^ — прямому произведению сфер
Б2 х Б3 к < 0 Н > 0 Б5
В доказательстве теоремы, приведенном в п. 4, не используется явно интегрируемость бильярда. Класс гомеоморфности Q5 полностью определяется классом гомеоморфности области возможного движения, т.е. проекции изоэнергетической поверхности Qh на стол — на конфигурационное пространство системы. Такой эффект уже встречался ранее:
если стол плоского компактного бильярда гомеоморфен диску, то поверхность Qfl бильярда Б3
для трехмерных бильярдов без потенциала (в случае к = 0 и Н > 0) класс гомеоморфности Qh определялся только классом гомеоморфности стола (совпадающего с областью возможного движе-
Н>0
Вообще, вопрос о классе гомеоморфности Qh в бильярдах нетривиален. Например, для систем на бильядных книжках — кусочно-плоских клеточных комплексах с перестановками [14] — факт того, что Qh является многообразием, показан в [29].
Из теоремы и несложной проверки следует, что бильярд с притягивающим потенциалом Гу-ка внутри эллипсоида имеет некритические значения И = Н^, являющиеся бифуркационными. По разные стороны от них классы гомеоморфности Q5 различаются. Заметим, что при этих значениях меняется класс гомеоморфности области возможного движения, т.е. проекции изоэнергетической поверхности Qh на стол (конфигурационное пространство).
Напомним, что схожая ситуация имеет место в более простой системе. Класс гомеоморфности
х2 у2 к
0з системы бильярда внутри эллипса--1—— = 1 с потенциалом Гука — (х2 + у2) не зависит от
' " а Ь "2
Н > 0 к > 0 к < 0
ка/2 < кЬ/2 < 0
Данный факт имеет следующее объяснение. При предельном переходе (путем устремления малой полуоси к нулю) от геодезического потока на эллипсоиде к бильярду мы "теряем" половину фазового пространства, которая соответствовала верхней или нижней половине эллипсоида. До перехода к пределу класс гомеоморфности области возможного движения для системы потока на эллипсоиде
х2 у2 к
--Ь ——I--= 1, где 0 < с < Ь < а, в поле притягивающего потенциала Гука —(х2 + у2 + г2) меня-
а Ь с кь "2
ется при достижении к = —. При этом две компоненты связности, лежащие на верхней и нижней
половинах эллипсоида, пересекаются по двум точкам — концам средней полуоси. После предельного перехода ситуация меняется: указанная область для плоского бильярда гомеоморфна диску при каждом Н > 0. Бильярд с отталкивающим потенциалом отличается: в нем при Н = кЬ/2 и Н = ка/2 тип этой области меняется.
Иными словами, двумерный и трехмерный бильярды ведут себя схожим образом: в случае к > 0 тип не зависит от Н > 0 а в случае к < 0 класс гомеоморфности области возможного движения меняется. Бифуркационными значениями трехмерного бильярда оказываются Н = 0, ка/2, кЬ/2, кс/2. Отметим также, что данным значениям энергии потока на эллипсоиде соответствуют положения равновесия — точки, где = 0.
3. Интегрируемость бильярда внутри п-осного эллипсоида. К. Якоби в работе [30] указал п—1 первый интеград геодезического потока на поверхности (п — 1)-мерного эллипсоида. А именно он доказал, что касательные, проведенные к каждой точке геодезической на эллипсоиде, касаются (п — 2)
рик и энергия частицы. Они функционально независимы [31] и находятся в инволюции относительно стандартной скобки Пуассона, что несложно проверить. Иными словами, данная система является
(п — 1)
определению из [5].
В той же работе [30] Якоби проинтегрировал и более общую задачу, когда движение по эллипсоиду происходит под действием центральной упругой силы, центр которой совпадает с центром эллипсоида.
Рассмотрим эту задачу для п-мерного эллипсоида в (п + 1)-мерном пространстве и выполним
(п — 1)
п
вой системы следует из результата Якоби [30].
Следуя методу В. В. Козлова, укажем явный вид ее интегралов. Сначала мы приведем первые интегралы Д задачи без потенциала, т.е. при к = 0, а затем вычислим первые интегралы ^ нашей задачи, считая, что ^ = Д + Д, где функции Д зависят только от пространственных переменных. Рассмотрим бильярд с потенциалом Гука внутри эллипсоида, заданного уравнением
Хп+1 Х-1
+ ... + — = 1, (11> а2> ... > ап+1 > 0.
ага+1
к = 0 п — 1
рых одновременно касаются все прямые, содержащие звенья произвольной выбранной траектории бильярдного шара. Приведем неявное выражение параметров этих квадрик через координаты точек
и направляющих векторов. Будем считать, что параметр А у эллипсоида — + ... Н--- = 1 равен
ап а1
нулю. Рассмотрим прямую, проходящую через точку Р = (х1, Х2,..., Хп) в направлении вектора V = (ж 1, ж2,..., хп). Эта прямая касается софокусной с эллипсоидом квадрики параметра А в том и только в том случае, когда дискриминант квадратного относительно т уравнения
{хп + тхп)2 | (жга_1 +тхп-1)2 | | {хп + тхх)2 _ 1 ап — А ап- 1 — А я>1 — А
равен нулю. Это равносильно тому, что
п .2 ( • • )2
\ 1 Х1 \ > \XiXj Х^Х^) ^
^ сН-Х ^ (а- Хг)(а-Х^ ~
1=1 г<]
Пусть Ку
— СС 1СС ц СС ц сс 1» Перепишем последнее уравнение, домножив его на (а1 — А)... (ап — А):
п
Е*2П(а — А) — ЕК2 [] (ад — А) = 0. (1)
1=1 3 =1 1<3 к=1,3
Заметим, что все корни этого уравнения вещественные и являются первыми интегралами. Также заметим, что коэффициент при старшей степени этого уравнения пропорционален энергии, т.е. является первым интегралом. Следовательно, по теореме Виета коэффициенты при всех степе-
(1)
Абеля уравнение степени 5 и выше, вообще говоря, неразрешимо в радикалах, то вместо параметров квадрик и энергии рассмотрим в качестве первых интегралов коэффициенты при всех степенях этого многочлена.
Обозначим через о^7 элементарный симметрический многочлен степени к от переменных ах,..., 0_1, а+1, • • •, О -1, 07+1, • • •, ап, а чеРез Рк элементарный симметрический многоч лен степени к от переменных аь • • •, а_1, 0+1, м = р07 = 1, а о__1 = 0. Выпишем коэффициенты
многочлена (1) с точностью до константы:
1 п 1 ••
1к = 2 ^ ~ 2 ^ где /с = 0,..., п - 1.
г=1 г<}
Заметим, что /о = Н.
Несложно убедиться, что эти первые интегралы функционально независимы и попарно коммутируют относительно стандартной скобки Пуассона.
Теперь приведем дополнительные первые интегралы г = 1, • • • — 1, при к = 0. Мы будем искать их в виде ^ = + /¿(ж,^,^), где / — неизвестная гладкая функция, зависящая только от пространственных переменных. Пусть мы нашли функцию /¿, такую, что ^ — первый интеграл задачи без отражения. Поскольку / зависит только от пространственных переменных, — первые интегралы задачи с отражением, а при отражении меняется только направление вектора скорости, то ^ будет первым интегралом задачи с отражением. Следовательно, / можно искать, рассматривая в качестве первого интерала задачи без отражения. Заметим, что К} — первые интегралы задачи без отражения. Поэтому
п п п
0 = = ^(¿гЖгР} + <9^/7Жг) = кЖгЖ^р} + /7Жг) = ^ Жг( — кЖгр} + /7)•
г=1 г=1 г=1
В этом уравнении все переменные разделяются, и мы легко получаем частное решение /} =
кп
— р)х2. Обозначив энергию через -Ро, мы приходим к системе функционально независимых первых 2 ¿=1 7 интегралов
1 п 1 к п
Рг = 2^ ~ 2 ^ + 2 ^ ВДе 1 = ''''П ~ г=1 г<} г=1
Можно показать, что найденные первые интегралы ¿0, • • •, ¿П_1 попарно коммутируют относительно стандартной скобки Пуассона.
4. Доказательство теоремы. Докажем несколько лемм, из которых будет следовать утверждение теоремы.
Лемма 1. Пусть к > 0 и Н — небифуркационный уровень энергии, тогда изоэнергетическая поверхность Qh гомеоморфна сфере Б5.
Н
жения есть пересечение бильярдного стола и шара, ограниченного граничной сферой. Рассмотрим сферу радиуса Е < тш{1, у/с, л/2 ¡г/к}. Она разбивает область возможного движения на две компоненты, одна из которых гомеоморфна замкнутому диску а другая — прямому произведению сферы Б2 и отрезка. Изоэнергетическая поверхность Qh в этом случае также разбивается на две компоненты Qh,ь Qh,2• Будем считать, что Qh)l соответствует компоненте области возможного движения, гомеоморфной шару. Мы определим отображение ^ : Qh ^ Б5 отдельно на каждой из компонент Qh,l, Qh,2) а далее покажем, что оно согласовано в точках склейки Qh,l и Qh,2 и является гомеомофизмом. Будем предполагать, что сфера Б5 стандартно вложена в М6.
Пусть е € М3(ж,у,г) — единичный вектор. Тогда для любого фиксированного а € [0, Л] пары (ае, V) € Qh,l образуют сферу Б2, при этом квадраты дайн всех таких векторов V равны 2Н ка2
Положим 1р(ае,у) = (ае, ^ 2 г') • этом 11^(ске, г;) 11 = 1. Таким образом, мы определили
отображение ^ на Qh,l• Отметим, что построенное отображение непрерывно на Qh,l и инъективно.
Теперь продолжим ^ на Qh,2• Для произвольного единичного вектора е определим число д(е) > 0, такое, что луч Ое пересекает эллипсоид Е в точке д(е)е. Для этого рассмотрим линейный оператор А(х,у,г) = (ж/а,у/Ь,г/с) и соответствующую ему векторную норму ||е|Ц = л/{Ае, е). Луч Ое пересекает эллипсоид Е в точке д(е)е тогда и только тогда, когда 1 = (Ад(е)е, д(е)е) = д2(е)||е||А> т.е. д(е) = 1/||е|Ц-
Возможны два случая: луч Ое пересекает границу области возможного движения либо в точке эллипсоида Е, т.е. 2Н — к/||е||А ^ 0 либо в точке граничной сферы, т.е. 2Н — к/||е||А ^ 0. Для
обоих случаев построим вспомогательный гомеоморфизм /е, который сопоставляет каждой точке ограничения множества Qh,2 на ЛУ4 Ое точку трехмерного диска
Пусть сначала 21г — й/ЦеЦ^ ^ 0. В таком случае параметр а изменяется на отрезке [Л, л/2/г/к].
Сопоставим точке (ае,и) € СЦь, 2 точку = -у € И3. Заметим, что это отображение
\j2h-kR2
. 2/г , , /2Н-ка2
при фиксированном а Ф —— переводит сферу направлений в точке ае в сферу радиуса \/ —;-;—т
к V 2я — кл2
в М3. При этом отображение /е биективно и, очевидно, непрерывно в обе стороны. Следовательно, /е — гомеоморфизм.
Пусть теперь 2Л, — к/||е||А > 0 т.е. луч Ое пересекает границу области возможного движения в точке эллипсоида Е. Следовательно, параметр а изменяется на отрезке [Л, 1/|е|а]• Отметим, что при а € [Л, 1/||еЩ) в точке ае возникает сфера направлений радиуса \/2к — ка'2, а при а = 1/||еЩ
полусфера направлений радиуса \J2i1 — /г/||е||^. Для построения отображения /е нам понадобятся вырожденные эллиптические координаты. Рассмотрим семейство квадрик, заданное уравнением
ж2 у2 з2
+ +- = 1,
р — / р — / д — /
где р > д > 0. Добавим к этому семейству все плоскости, проходящие через ось Оз. Полученное множество назовем вырожденным семейством, софокусных квадрик. Можно показать, что через каждую точку, лежащую внутри координатного октанта, проходят ровно три квадрики этого семейства, причем одна из них эллипсоид, другая однополоетный гипероболоид, а третья плоскость. Это семейство квадрик порождает вырожденные эллиптические координаты /2,ф), где /1 — параметр эллипсоида данного семейства, проходящего через данную точку; /2 — параметр однополостного гиперболоида; ф — угол между плоскостью, проходящей через данную точку и ось Оз, и осью Ож. На рис. 1 проиллюстрированы квадрики из вырожденного семейства софокусных, а также сетка соответствующих вырожденных эллиптических координат. Отметим также, что если параметр ¡л устремить к д слева, то эллипсоиды с параметром ¡л сожмутся в круг радиуса \/р — д,
лежащий в плоскости Оху.
I ~ _ - ---— - - -- - — — 1 - - | '
Вернемся к построению отображения /е. Положим р(е) = 2Л, — кЛ2, д(е) = —кЛ2 + к/||еЦА-
_^ Рассмотрим новую декартову систему координат
| О'ж'у'з', такую, что О' = т.е. О' — точ-
ка пересечения оси Ое и эллипсоида Е, а ось ■ О'з' сонаправлена с е. В этой системе координат
рассмотрим вырожденное семейство софокусных квадрик, заданных уравнением
Рис. 1. Три квадрики вырожденного семейства софокусных квадрик: черным выделены координатные линии вырожденных эллиптических координат ординатах (ж). Как уже отмечалось ранее,
Растянем сначала это семейство квадрик по оси О'г' так, чтобы эллипсоид с параметром ¡л = 0 стал сферой, т.е. растянем в \/д(е)/р(е) раз. А затем сожмем это семейство в л/21% — к К2 раз по всем осям. Считаем, что при этих трансформациях вырожденные эллиптические координаты были "вморожены" в данное семейство квадрик. Теперь построим отображение /е. Пусть а € [Л, 1/||е|Ц] и (ае, V) € Qh)2. Перепишем V в ко-11V|2 = 2Л, — ка2. Нормируем этот вектор. Пусть
(0, /2, ф) — вырожденные эллиптические координаты конца полученного вектора. Рассмотрим сдвиг этой точки вдоль координатной линии первой координаты в точку с вырожденными эллиптическими координатами (—кЛ2 + ка2,/2, ф) Считаем, что сдвиг происходит с увеличением первой эллиптической координаты. Координаты полученной точки в системе координат О'жуз обозначим через /е(а, V). Заметим, что сфера направлений в точке ае при а € [Л, 1/||еЩ) гомеоморфно отображается на эллипсоид с параметром / = —кЛ2 + ка2, а полусфера направлений в точке е/||еЩ — в
ж
2
2
2
+
+
р(е) — / р(е) — / д(е) — /
= 1.
круг с параметром ^ = д(е). Таким образом, отображение /е биективно отображает множество Qh,2, ограниченное на луч Ое, на замкнутый диск при этом оно является непрерывным в обе стороны, т.е. /е — гомеоморфизм.
Теперь доопределим отображение р на Qh,2• Рассмотрим стереографическую проекцию п сферы Б3, стандартно вложенной в М4(ж,у, я, ш), из точки с координатами (0;0;0; —1) на гиперплоскость (ж, у, я). Пусть (ае, V) € Q2)h, возьмем точку /е(а, V) € М3(ж,у,я). Сожмем все координаты этой
точки в л /—раз и рассмотрим прообраз Р стереографической проекции этой точки на сфере V 1 — Я
Б3 С М4(ж,у, я,ш). Тогда положим р(ае, V) = (ш(Р)е,ж(Р),у(Р),я(Р)).
Заметим, что построенное нами отображение р корректно определено в точках склейки Qh,l
V
и <3/12- Действительно, по определению /е(Я, г>) = -. Следовательно, по определению р
_л/2Н — кВ2
/ I I — В2 \
на множестве <5/1,2 имеем р(Яе, у) = ^Яе, у ——' чт0 совпаДает со значением р(Яе, у) по
определению р на множестве Qh,l• Заметим также, что по построению отображение р инъективно. Проверим, что оно сюръективно. Действительно, пусть (vl,v2) € Б5, где Vl,V2 € М3. Если 11V!|| ^ Я,
¡2 ¡1 — ¡¡а2
то рассмотрим а = 111II, е = 1 /11^ 1II и V = \ -¡5—^2- Тогда (ае,ь) € \ и по построению
1 — а2
р(ае, V) = ^1^2). Если же 11Vl| > Я, то сюръективность следует из сюръективности стереографической проекции и сюръективности отображений /е.
Осталось доказать, что отображение р непрерывно. По построению непрерывность может нарушаться только в точках вида ае, где е — единичный вектор, такой, что Ое пересекает границу области возможного движения в точке пересечения эллипсоида Е и граничной сферы, а о; € [Я, у/2,к/к\. Убедимся, что в этих точках отображение р непрерывно. Рассмотрим последовательность единичных векторов {еп }^=1, такую, что л учи Оеп пересекают границу области возможного движения строго по эллипсоиду Е, т.е. 2Н — к/||еп||А > 0. Пусть существует предел этой последова-
е Ое
ния в точке пересечения эллипсоида Е и граничной сферы, т.е. 2Н — 1/||е||А = 0. Заметим, что Иш р(еп) — д(еп) = Нш 2Н — к/||еп||А = 2Н — 1/||е||А = 0, а р(еп) = р(е) = 2Н — кЯ2 для любого п.
п^-те п^-те
Значит, при п ^ то эллипсоиды вырожденного семейства софокусных квадрик трансформируются в сферы, однополостные гиперболоиды — в конусы, а вырожденные эллиптические координаты — в сферические координаты. При этом эллипсоид с параметром /л станет шаром радиуса л/р(е) — /л. Поскольку отображение /еп переводит сферу направлений в точке аеп в эллипсоид с параметром /л = —кВ? + ка2, то при п —> то эти эллипсоиды перейдут в шары радиуса у/2Н — ко?. Однако с учетом того, что мы растягивали наши квадрики в раз по оси 0'пеп и сжимали в
л/2Н — кВ? раз по всем направлениям, предел эллипсоидов /еп(а,у) при фиксированном а равен
сфере радиуса ^^ ^д2' котоРая полУчается 110 определению ¡е(ае,у) при фиксированном а. Заметим также, что при п ^ то круги параметра ^ = д(е) сжимаются в точку, поскольку их радиус у/'р{еп) — д(еп) стремится к нулю. Таким образом, отображение р непрерывное.
Поскольку р : Qh ^ Б5 — непрерывная биекция, а Qh — компактное подмножество, то р является гомеоморфизмом. □
Таким образом, случай к > 0 н ш полностью разобран .Перейдем к случаю к < 0.
Лемма 2. Пусть к < 0 и ¡1 € тог(^а соответствующая изоэнергетическая, поверх-
ность гомеоморфпа прямому произведению сфер Б1 х Б4.
Доказательство. В данном случае область возможного движения гомеоморфна полноторию и заключена между эллипсоидом Е и граничной сферой, радиус которой больше у/с, но меньше у/Ь. Рассмотрим в М3 цилиндрические координаты (г, ф, я). Доказательство этой леммы разобьем на две части. Сначала мы покажем, что прообраз полуплоскости ф = сопв^ ^^^ ^оекции п : Q5 ^ построенной в п. 2, гомеоморфен сфере Б4, задав гомеоморфизм р^(ж) : Qh)^ ^ Б4. А затем установим, что отображение Ф(ж^) : Qh ^ Б1 х Б4, которое сопоставляет каждой паре (ж^) пару (ф, р^ (ж^)), где ф — угловая цилиндрическая координата точки ж, взятая то модулю 2п, является гомеоморфизмом.
Рассмотрим эллипс .Р вида ж2/а1 + у2/а2 = 1,я = 0, лежащий строго внутри области возмож-14 ВМУ, математика, механика, № 6
ного движения. Выберем положительное е < 1, такое, что замыкание е-окрестности этого эллипса лежит строго внутри области возможного движения. В каждой полуплоскости ф = const рассмотрим окружность радиуса е с центром в точке O, лежащей на эллипсе F. Такие окружности образуют гладкую поверхность, гомеоморфную тору. Обозначим через K' область возможного движения шара без полнотория, охраниченного этой поверхностью.
Теперь рассмотрим тор вращения в R3(x,y,z), заданный уравнениями
x = (R + р cos х) cos 0, y = (R + р cos х) sin 0, = р sin х,
где R > р > 0 — константы; х, 0 € [0, 2п]. Пусть K — замкнутая область, ограниченная торами с R = 2 и р = 1, р = е. Рассмотрим гомеоморфизм в : K ^ K такой, что
1) для любого угла фо € [0, 2п] отображение в гомеоморфно переводит KП{ф = фо} на K'П{ф =
Фо};
R = 2 р = 1
3) для любого угла фо € [0, 2п] и для любой т очки P на торе с R = 2и р = е, лежащей в полуплоскости ф = фо, выполнено OP = O'в(Р) гДе O' — точка пересечения эллипса F и полуплоскости ф = фо a O — точка пересечения тора с R = 2 р = 0 (это окружность) и полуплоскости ф = фо. Это отображение показано на рис. 2.
б
Рис. 2. Иллюстрация отображения в в — область К с выделенным темно-серым участком на границе, образ которого лежит на граничной сфере, и пересечение полнотория К с полуплоскостью ф = ф0; ^ — множество К' с выделенным темно-серым участком, лежащим на граничной сфере, и пересечение
множества К' с полуплоскостью ф = ф0
Теперь зафиксируем полуплоскость ф = фо. Обозначим прообраз полуп лоскости ф = фо при отображении п : Q5 ^ Б через Qh,ф0 > а пересечение с тола Б и этой полуплоскости через Бф0. Пусть О' — точка пересечения рассматриваемой полуплоскости и эллипса Рассмотрим в полуплоскости ф = фо окружность радиуса е. Она разбивает Бф0 на две компоненты Бф0д и Оф02- Будем считать, что Бф0,1 — часть Бф0, лежащая внутри окружности. В таком случае Qh,ф0 также разбивается на два куска Qh,ф0,1 и Qh,ф0,2• Будем считать, что кусок Qh,ф0,1 соответствует компоненте Бф0д.
Сначала построим гомеоморфизм ^>(фо, ж) компоненты Qh,'ф0 и сферы £4. Как и в лемме 1, мы определим это отображение на каждом из кусков Qh,ф0,г, проверим корректность, биективность и непрерывность. Перейдем в систему координат О'гз. Пусть е — произвольный единичный радиус-вектор в этой системе координат. Тогда для произвольного числа а € [0, е] и вектора V, такого, что
а
2
(ae,v) € Qh,ip0,i, положим <p(ae,v) = yae,—ц—р—vj, где координаты v записаны в ортонормированием базисе er, e^, e^. Таким образом, мы определили р на Qh,^0)i- Заметим, что на множестве Qh,^0,i отображение р непрерывно и инъективно.
Теперь определим р на множестве Qh,^0,2- Для любого единичного радиуса-вектора e необходимо построить вспомогательное отображение /е, которое гомеоморфно переводит прообраз кривой ß(ae), а € [в; 1], при проекции п на замкнутый единичный диск D3. Построение таких отображений происходит так же, как в лемме 1, но с нескоторыми различиями. Рассмотрим отрезок [ee; e] и применим к нему гомеоморфизм ß. Далее мы рассмотрим два случая: ß(e) лежит на граничной сфере, ß(e) не лежит на граничной сфере. Для краткости рассмотрим первый случай. Положим
/ 1 -а2
/е(а, v) = i --0. --г-——V, где а € \е~, 11. Во втором случае нам опять понадобится система
у (1 — e2)(2h — kß2(ae)) вырожденных эллиптических координат.
Теперь рассмотрим стереографическую проекцию п сферы S3, стандартно вложенной в R4(x,y,z,w), из южного полюса на гиперплоскость R3(x,y,z). Пусть а € [в; 1], возьмем точку fe(a,v) € R3(x,y,z). Сожмем все координаты этой точки в у/(1 + е)/(1 — е) раз и рассмотрим прообраз P стереографической проекции этой точки на сфере S3 С R4(x,y,z,w). Тогда положим p(ß(ae),v) = (w(P )e,x(P),y(P ),z(P)).
Корректность, биективность и непрерывность доказываются так же, как в лемме 1. Поскольку Qh,^0 — компактное подмножество, то отображение р является гомеоморфизмом. Теперь рассмотрим отображение Ф(ж,-и) = (ф(ж),р^(x,v)), где ф(ж) — угловая цилиндрическая координата точки ж, взятая по модулю 2п. Это отображение, очевидно, биективно. Заметим, что отображение р непрерывно относительно ф, взятого по модулю 2п. Действительно, отображения /е, которые мы используем для построения р, непрерывно зависят от цилиндрических координат, функция
/ у/\ — Q;2 \
р(ае, v) = \ае, —-—-—vj также непрерывно зависит от цилиндрических координат. Следовательно, отображение Ф — непрерывная биекция, а поскольку множество Qh является компактным, то Ф — гомеоморфизм Qh и S1 х Si □
Лемма 3. Пусть к < 0 и h € тог(^а соответствующая изоэнергетическая поверх-
ность гомеоморфна прямому произведению сфер S2 х S3.
Доказательство. Заметим, что область возможного движения ограничена эллипсоидом £ и граничной сферой, радиус которой меньше у/с. Следовательно, граничная сфера лежит внутри эллипсоида. Пусть y/2h/k < R < у/с. Рассмотрим сферу радиуса IL Она разбивает область возможного движения на две компоненты. Изоэнергетическая поверхность тоже разбивается на два куска Qh, i и Qh,2- Будем считать, что Qh,i соответствует компоненте области возможного движения, ограниченной граничной сферой и сферой радиуса R. Как и в лемме 1, мы построим гомеоморфизм р : Qh — S2 х S3 отдельно на каждой из компонент Qh,i и Qh,2, а далее покажем, что он согласован в точках склейки Qh,i и Qh,2 и является гомеомофизмом. Мы будем предполагать, что S2 и S3
R3 R4
Сначала определим р на Qh,i- Пусть е — единичный вектор и а: € [л/2h/k, R]. Рассмотрим
. . а / k(a2_.R2) \ \
вектор V € TaeR3, такой, что (ae,v) € Q\. Положим ip(ae,v) = ^е, —у ~2/¡—kR2 //' ^
первая координата соответствует сфере S2, стандартно вложенной в R3(x,y,z), а оставшаяся пара координат — сфере S3, стандартно вложенной в R4(x,y,z,w), причем первая координата пары — тройка (ж, y, z), а вторая — w. Отметим, что построенное отображение непрерывно и инъективно на Qh,i •
р Qh,2
отображениями /е(а), построенными в лемме 1. Рассмотрим стереографическую проекцию п сферы S3, стандартно вложенной в R4(x, y, z, w), из точки с координатами (0; 0; 0; 1) на гиперплоскость R3(x, y, z). Пусть точка P — прообраз точки /е(а) при отображении п. Тогда положим p^e, v) = ( e, P) Q h, 2
р Qh,i Qh,2 р на множестве Qh,2 имеем p(Re, v) = (e,P(v)). Однако /e(R) € S3, поэтому P(v) = (/e(R),0) =
(—j======,0). Следовательно, ip(Re,v) = ^-ñe, что совпадает с определением р
на множестве Qh,i- Таким образом, р — непрерывное и корректно определенное отображение. 15 ВМУ, математика, механика, № 6
рр
рывным биективным отображением компактного пространства, то р — гомеоморфизм. □ Лемма 4. Пусть к < 0. Тогда если
1) Л. € "2")' то изоэнергетическая поверхность <5/1 гомеоморфна несвязному объединению
Б5
2) Н > 0, то изоэнергетическая поверхность Qh гомеоморфна сфере Б5. Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 1. Автор приносит благодарность А. Т. Фоменко за внимание к работе.
Исследования выполнены при поддержке гранта РИФ № 20-71-00155 в МГУ имени М. В. Ломоносова.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Smale S. Topology and mechanics. I // Invent. math. 1970. 10, N 4. 305-331.
2. Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287, № 5. 1071-1075.
3. Фоменко А. Т. Топология поверхностей постоянной энергии некоторых интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307.
4. Фоменко А. Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 54, № 3. 546-575.
5. Болсинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация. Т. 1, 2 (Монография). Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.
6. Oshemkov A.A. Fomenko invariante for the main integrable cases of rigid body motion equations // Adv. Sov. Math. Vol. 6. Amer. Math. Soc. Providence, RI, 1991. 67-146.
7. Болсинов А.В., Рихтер П., Фоменко А.Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской // Матем. сб. 2000. 191, № 2. 3-42.
8. Фоменко А.Т., Ведюшкина В.В. Бильярды и интегрируемость в геометрии и физике. Новый взгляд и новые возможности // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2019. № 3. 15-25.
9. Ведюшкина В.В., Фоменко А.Т., Харчева И.С. Моделирование невырожденных бифуркаций замыканий решений интегрируемых систем с двумя степенями свободы интегрируемыми топологическими биллиардами // Докл. РАН. 2018. 479, № 6. 607-610.
10. Ведюшкина В.В., Кибкало В.А. Реализация бильярдами числового инварианта расслоения Зейферта интегрируемых систем // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2020. № 4. 22-28.
11. Кибкало В.А., Фоменко А.Т., Харчева И.С. Реализация интегрируемых гамильтоновых систем бильярдными книжками // Тр. Моск. матем. о-ва. 2021. 82, № 1. 49-78.
12. Фокичева В.В. Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матем. сб. 2015. 206, № 10. 127-176.
13. Ведюшкина В.В. Инварианты Фоменко-Цишанга невыпуклых топологических биллиардов // Матем. сб. 2019. 210, № 3. 17-74.
14. Ведюшкина В.В., Харчева И.С. Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2018. 209, № 12. 17-56.
15. Fomenko А.Т., Vedyushkina V.V., Zav'yalov V.N. riouville foliations of topological billiards with slipping // Russ. J. Math. Phys. 2021. 28, N 1. 37-55.
16. Vedyushkina V. V, Fomenko A. T. Forcé evolutionary billiards and billiard equivalence of the Euler and Fagrange cases // Dokl. Math. 2021. 103, N 1. 1-4.
17. Fomenko А. Т., Vedyushkina V V Billiards with changing geometry and their connection with the implementation of the Zhukovsky and Kovalevskaya cases // Russ. J. Math. Phys. 2021. 28, N 3. 317-332.
18. Белозеров Г.В. Топологическая классификация интегрируемых геодезических биллиардов на квадриках в трехмерном евклидовом пространстве // Матем. сб. 2020. 211, № 11. 3-40.
19. Ведюшкина (Фокичева) В.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые геодезические потоки на ориентируемых двумерных поверхностях и топологические биллиарды // Изв. РАН. Сер. матем. 2019. 83, № 6. 63-103.
20. Драгович В., Раднович М. Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные поризмы Понселе // НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". М.; Ижевск, 2010.
21. Белозеров Г.В. Топологическая классификация биллиардов в трехмерном евклидовом пространстве, ограниченных софокусными квадриками // Матем. сб. 2022. 213, № 2. 3-36.
22. Zung N. Т. Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems. I: Arnold-Liouville with singularities // Compos. Math. 1996. 101, N 2. 179-215.
