CC BY
1Краткие сообщения
УДК 517.938.5
ЛОКАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БИЛЬЯРДАМИ СЛОЕНИЙ ЛИУВИЛЛЯ: РЕАЛИЗАЦИЯ РЕБЕРНЫХ ИНВАРИАНТОВ
В. В. Ведюшкина1
В работе изложена локальная гипотеза А.Т. Фоменко о возможности моделирования слоений Лиувилля интегрируемыми бильярдами. Доказан расширенный вариант ее положения о числовых инвариантах на ребре инварианта Фоменко—Цишанга слоения Лиувилля. Показана реализация подходящим классом интегрируемых бильярдов слоения Лиувилля для некоторых комбинаций значений числовых меток на фиксированном ребре.
Ключевые слова: интегрируемые гамильтоновы системы, бильярд, слоение Лиувилля, бифуркационная диаграмма, инвариант Фоменко-Цишанга, топологические инварианты.
The local case of A. Fomenko conjecture on the possibility of modeling Liouville foliations by integrable billiards is discussed. An extended version of its statements on numerical invariants on the edge of the Fomenko-Zieschang invariant of the Liouville foliation is proved. We show the realization of the Liouville foliation with some combinations of numerical marks values on a fixed edge by an appropriate class of integrable billiards.
Key words: integrable Hamiltonian systems, billiard, Liouville foliation, bifurcation diagram, Fomenko-Zieschang invariant, topological invariants.
В работе fl] А. Т. Фоменко выдвинул фундаментальную гипотезу о моделировании (реализации) бильярдами интегрируемых систем с двумя степенями свободы. В настоящей работе мы анализируем раздел C этой гипотезы.
Гипотеза С (реализация меченых молекул). Существует широкий класс инвариантов Фоменко-Цишанга (т.е. меченых молекул [2], задающих с точностью до лиувиллевой эквивалентности множество всех интегрируемых систем), которые моделируются интегрируемыми бильярдами. Тем самым для многих невырожденных интегрируемых систем их слоения Лиувилля на инвариантных трехмерных поверхностях (возможно, все такие слоения) послойно гомеоморфны слоениям интегрируемых бильярдных систем из подходящего класса.
В данный момент эта гипотеза доказана для большого числа интегрируемых гамильтоновых систем, известных в математической физике, механике и геометрии, в частности для многих классических случаев интегрируемости в динамике твердого тела (например, для многих зон энергии случаев Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, Клебша, Соколова, Стеклова, Ковалевской-
C
дезических потоков на ориентированных замкнутых двумерных поверхностях (на торе и на сфере), интегрируемых при помощи линейных и квадратичных интегралов (см. [5]).
В работе [1] В. В. Ведюшкиной и А. Т. Фоменко было описано восемь классов I—VIII интегри-
C
топологические бильярды, бильярдные книжки, бильярды на плоскости Минковского, геодезические бильярды на квадриках в трехмерном евклидовом пространстве, бильярды с потенциалом, бильярды в магнитном поле, а также класс, их все объединяющий. В работе, например, было установлено, что в классе бильярдных книжек имеются топологические препятствия к реализуемости "скрученного волчка Лагранжа" для одной из зон энергии. Тем не менее оказалось, что эта система все-таки реализуется, но в другом классе — классе магнитных бильярдов. В качестве естественного класса плоских интегрируемых бильярдов рассматриваются бильярды, ограниченные дугами софокусных квадрик. Такие бильярды в работах В. В. Ведюшкиной называются элементарными. Их интегрируемость эквивалентна малой теореме Понселе: любая траектория такого бильярда лежит
1 Ведюшкина Виктория Викторовна — канд. физ.-мат. наук, асснст. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: arinirQyandex.ru.
Vedyushkina Viktoria Viktoroma — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Application.
на прямых, касательных к некоторой квадрике — эллипсу или гиперболе, софокуеных с квадриками, образующими границу бильярда (см. книгу [6]). Топологические бильярды и бильярдные книжки получаются склейками таких бильярдов вдоль сегментов их границ. Если вдоль граничного сегмента склеено больше двух элементарных бильярдов-листов (случай бильярдной книжки), то этому ребру склейки необходимо приписать перестановку, которая определяет порядок перехода бильярдной частицы с одного бильярда на другой при ударе об это ребро склейки. Очевидно, что бильярдные книжки, как и элементарные бильярды, интегрируемы с той же парой интегралов.
Таким образом, вопрос о справедливости гипотезы Фоменко C в полном объеме пока неясен. В связи с этим А. Т. Фоменко сформулировал "локальный" вариант гипотезы C, являющийся "мак-
C
сифицирующие невырожденные интегрируемые системы на трехмерных инвариантных многообразиях, — это одномерные графы с вершинами-атомами и некоторыми числовыми метками. Атомы кодируют бифуркации торов Лиувилля вблизи особых слоев слоений Лиувилля.
Числовые метки r, е, n устроены так. Метка r < |1| — рациональное число, характеризующее "тип скрученности" торов Лиувилля внутри однопараметрического семейства торов, отвечающих данному ребру молекулы. Метки е, равные ±1, стоят на каждом ребре молекулы и связаны с взаимной ориентацией критических окружностей дополнительного интеграла системы и ориентацией
n
r
кула превращается в несвязное объединение подграфов, на всех ребрах которых стоят метки r = то. Семьями называются те из этих подграфов, все вершины которых являются седловыми атомами (т.е. подграфы, не имеющие минимаксных атомов A). Другими словами, трехмерное подмногообразие, соответствующее семье в инвариантном 3-многообразии Q, является многообразием Зейферта. В том случае, когда атомы, входящие в состав данной семьи, не имеют звездочек (иначе говоря,
n
руется как характеристический класс Эйлера указанного расслоения Зейферта. Более подробно с
r, е, n
Локальная гипотеза А. Т. Фоменко С (реализация числовых инвариантов интегрируемых систем) [10]. 1. Пусть y — произвольное ребро с метками r, е некоторой меченой молекулы W *. Тогда существует бильярд из указанных выше классов I—VIII, реализующий такую комбинацию r, е
Отметим, что имеются следующие четыре варианта: метка r = p/q конечна и е = ±1; метка r = то и е = ±1.
2 (усиление п. 1). В условиях п. 1 существует подходящий бильярд, реализующий произвольную пару меток r и е на ребре между любыми, наперед заданными атомами.
3. Пусть S — семья с целочисленной меткой n в некоторой меченой молекуле W * интегрируемой системы. Тогда существует бильярд из указанных выше классов I—VIII, реализующий некоторую
n
4 (усиление п. 3). В условиях п. 2 существует подходящий бильярд, реализующий не только n
Sn в некоторой меченой молекуле, причем внешние ребра Yi семьи оснащены произвольными метками ri, е^. Тогда существует подходящий бильярд, реализующий такой меченый подграф в своей меченой молекуле.
6 (реализация меченой окрестности ребра). Пусть Si и S2 — две семьи с целочисленными метками щи П2 в некоторой меченой молекуле, причем их выбранные граничные торы соединены ребром, оснащенным произвольной парой меток (r, е). Тогда существует подходящий бильярд, реализующий такой меченый подграф в своей меченой молекуле.
В настоящей работе доказаны п. 1 данной гипотезы и (частично) его усиление — п. 2. Отметим, что п. 3 доказан В. В. Ведюшкиной и В. А. Кибкало в работе [11].
Реализация бильярдами реберных инвариантов r^.
Теорема 1. Пункт 1 локальной гипотезы А. Т. Фоменко верен для любой пары, числовых инва-r, е W*
билъярд, меченая молекула которого содержит ребро с этой же парой меток.
Замечание 1. При изменении ориентации изоэнергетической поверхности Q3 меняются допустимые системы координат. В результате метки, стоящие на ребрах, изменятся по описанным ниже правилам (см. [7]).
1) Ребро соединяет атомы одного типа, т.е. либо А с А, либо седло с седлом. Здесь в случае конечного ребра, т.е. когда в = 0, метки г и е меняют знаки. В случае же бесконечного ребра, т.е. когда в = 0, метки г и е не меняются.
А
г е г
е
Теорема 2. Пункт 2 локальной гипотезы А. Т. Фоменко верен для случаев, указанных в таб-
г, е
ме.ток для ребер, на концах которых находятся любые наперед заданные атомы. В четырех оставшихся случаях реализуются, любые комбинации .меток для, ребер, соединяющих лишь конкретные атомы из серий Вп и Сп (см. [5]).
Комбинации меток г и е на ребрах меченых молекул бильярдов
Мотки А - А А - V -У2
г = р/(/, е = 1 - V = В VI = Си, У2 = Сп
г = р/(/, е = — 1 - - = Ск, У2 = Сп
Г = 00, £ = 1 + Алгоритм Ведюшкиной Харчевой Алгоритм Ведюшкиной Харчевой для грубых молекул
Г = ОО, £ = — 1 - - VI = У2 = Вп
г = р/я
Доказательство. Случай Р\-Р-2, где метки стоят на ребре, соединяющем атомы одного
е = ±1 А,
листы которой ограничены дугами эллипсов и гипербол и не пересекаются с фокальной прямой (см. рисунок, а). На выпуклом гиперболическом ребре при этом стоит перестановка а = (1 2 ... я), а на выпуклом эллиптическом — перестановка ар. В случае двух седловых атомов такая метка была реализована бильярдной книжкой, моделирующей слоение Лиувилля интегрируемого геодезического потока на торе с квадратичным интегралом, не сводящимся к линейному (см. работу В. В. Ведюш-киной, А. Т. Фоменко [5]). В этом случае атомы Р\ т Р2 — это атомы серии Сп. Отметим, что так
г, е
при данной метке г необходимо реализовать метку Г = 1 — г, а затем изменить ориентацию .
а
А Г=Р/" А £ = 1
в
Случаи реализации комбинаций моток А ^
Фоменко Цишанга интегрируемых бильярдов
г ^ р/Я г А(а), А-гВ(б) и V-в молекулах
е = ±1
г = р/я
Случай А-V. Для его реализации рассмотрим бильярдную книжку, одинаковые листы кое = +1
торой ограничены дугами эллипсов и гипербол и содержат часть отрезка фокальной прямой между
фокусами (см. рисунок, б). Здесь, как и выше, гиперболическому выпуклому ребру необходимо сопоставить перестановку а и эллиптическому — перестановку ар (см. [12]). В этом случае ребро будет соединять атомы А и В. Остается открытым вопрос: может ли вместо атома В быть другой седловой атом? В случае положительного ответа интересно было бы описать класс всех таких атомов, г = то
Случай А-А реализуется элементарным бильярдом, ограниченным двумя концентриче-
£ = +1
г = то
скими окружностями. Случай А-А реализуется этим же бильярдом в присутствии магнитного
^ = — 1
поля. Любая траектория такого бильярда состоит из дуг окружностей, центры которых лежат на другой фиксированной окружности. При этом радиус окружностей, дуги которых составляют траекторию, играет роль энергии системы, а радиус окружности центров — дополнительного интеграла. При этом центры окружности центров и окружностей, образующих границу бильярда, совпадают. Согласно результату В. В. Ведюшкиной и С. С. Пустовойтова (см. [13]), если окружность центров целиком лежит в области, ограниченной меньшей граничной окружностью бильярда, то поверхность
г = то
уровня дополнительного интеграла классифицируется слоением Лиувилля с молекулой А-А.
£ = —1
г=то
Случаи А-V могут быть реализованы для любого атома V. Рассмотрим бильярдную книж-
£ = ±1
ку, слоение Лиувилля которой реализует атом V и которая построена по алгоритму В. В. Ведюшкиной и И. С. Харчёвой [14, 15]. Эта бильярдная книжка склеена из бильярдов, ограниченных двумя дугами гипербол (одна из которых выпукла), дугой эллипса и отрезком фокальной прямой (см. рисунок, в). На всех нестрого выпуклых границах при этом стоят некоторые перестановки р, определяемые по атому V однозначно. Торы, соответствующие траекториям, лежащим на прямых, касательных к гиперболам, в молекуле Фоменко-Цишанга, классифицирующей слоение Лиувилля этого бильярда, расположены между атомом V и атомами А. При этом на таких ребрах метка г = то, £
значения (на всех бесконечных ребрах при этом один и тот же знак). г=то
Случай У\-реализуется для любых седловых атомов. Возьмем интегрируемую бильярд-
£=1
ную книжку, сопоставленную инварианту Фоменко (грубой молекуле) по алгоритму В. В. Ведюшкиной и И.С. Харчёвой для грубых молекул (об этом см. [1]). Тогда все седловые атомы образуют
£=1
г=то
Случай У\-V} реализуется для двух одинаковых седловых атомов, принадлежащих серии
£ = —1
Вп, например в молекуле, описывающей топологию слоения Лиувилля интегрируемого геодезического потока на двумерной сфере с линейным интегралом. Такая система лиувиллево эквивалентна подходящему бильярду, склеенному из областей, ограниченных концентрическими окружностями (см. [5]). Следовательно, этот бильярд позволяет реализовать случай ребра с такими метками. Теорема доказана.
Замечание 2. Отметим, что пока неясен вопрос о возможности реализации случаев V-V
£ = —1
г = р/д г = р/д
и А-V для любых седловых атомов. При этом случай А-V до сих пор не встречался в
£ =1 £ = —1 интегрируемых бильярдах, хотя он наблюдался в динамике твердого тела (например, случай Жуковского о движении гиростата в поле силы тяжести, см. [7]). Дело в том, что для него характерно противоположное направление критических траекторий на седловом атоме V и минимаксном атоме А, что в классах 1-УШ пока не встречалось.
Работа выполнена при поддержке РНФ (грант № 20-71-00155) в МГУ им. М.В. Ломоносова.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ведюшкипа В.В., Фоменко А. Т. Бильярды и интегрируемость в геометрии и физике. Новый взгляд и новые возможности // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2019. № 3. 15-25.
2. Фоменко А.Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых га-мильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 54, № 3. 5464575.
3. Ведюшкина В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые топологические биллиарды и эквивалентные динамические системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. 81, № 4. 20-67.
4. Фокичева В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые биллиарды моделируют важные интегрируемые случаи динамики твердого тела // Докл. РАН. 2015. 465, № 2. 150-153.
5. Ведюшкина В.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые геодезические потоки на ориентируемых двумерных поверхностях и топологические биллиарды // Изв. РАН. Сер. матем. 2019. 83, № 5. 3-43.
6. Козлов В.В., Трещев Д.В. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991.
7. Болсинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1, 2. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 1999.
8. Фоменко А. Т., Цишанг X. О типичных топологических свойствах интегрируемых гамильтоновых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. 52, № 2. 378-407.
9. Фоменко А. Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи матем. наук. 1989. 44 (265), № 5. 145-173.
10. Ведюшкина В.В., Кибкало В.А., Фоменко А.Т. Топологическое моделирование интегрируемых систем биллиардами: реализация числовых инвариантов // Докл. РАН. 2020. 493, № 1. 9-12.
11. Ведюшкина В.В., Кибкало В.А. Реализация бильярдами числового инварианта расслоения Зейферта интегрируемых систем // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2020. № 4. 22-28.
12. Ведюшкина В.В. Интегрируемые биллиарды реализуют торические слоения на линзовых пространствах и 3-торе // Матем. сб. 2020. 211, № 1. 46-73.
13. Fomenko А. Т., Vedyushkina V. V. Implementation of integrable systems by topological, geodesic billiards with potential and magnetic field // Russ. J. Math. Phys. 2019. 26, N 3. 320-333.
14. Ведюшкина В.В., Харчёва И.С. Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2018. 209, № 12. 17-56.
15. Ведюшкина В.В., Фоменко А.Т., Харчёва И.С. Моделирование невырожденных бифуркаций замыканий решений интегрируемых систем с двумя степенями свободы интегрируемыми топологическими биллиардами // Докл. РАН. 2018. 479, № 6. 607-610.
Поступила в редакцию 26.09.2019
УДК 517.518.126
О ВЛИЯНИИ ВЫБОРА КЛАССА МАСШТАБНЫХ ФУНКЦИЙ НА СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ
С. Н. Копылов1
Рассматриваются свойства интеграла Хенстока-Курцвейля при наложении ограничений на масштабную функцию. Представлено доказательство утверждения о связи классов интегрируемых функций и классов масштабных функций в ряде частных случаев.
Ключевые слова: теория функций, теория интегрирования, интеграл Хенстока-Курцвейля.
Properties of the Henstock-Kurzweil integral are considered with a gauge under imposed restrictions. A proof of the assertion on interrelations between classes of integrable functions and classes of gauges is presented for several particular cases.
Key words: real analysis, theory of integration, gauge integral.
Одним из обобщений интеграла Лебега на отрезке является интеграл Хенстока-Курцвейля. Его конструкция схожа с конструкцией интеграла Римана, однако в определении используются понятия масштабной функции и ¿-разбиения (см. [1, ч. 1, гл. 2, § 1]). Необходимое и достаточное условие интегрируемости в смысле Хенстока-Курцвейля (см. [1, ч. 2, гл. 8, § 2]) определяет класс интегрируемых функций.
1 Копылов Сергей Николаевич — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ksergeil6Qyandex.ru.
Kopylov Sergei Nikolaevieh — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Analysis.
