CC BY
33. Бураго Д.К)., Бураго Ю.Д., Иванов C.B. Курс метрической геометрии. М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2004.
4. Edwards D.A. The structure of superspace. Studies in topology. San Francisco et al.: Academic Press, 1975.
5. Ivanov A., Nikolaeva N., Tuzhilin A. The Gromov-Hausdorff metric on the space of compact metric spaces is strictly intrinsic // arXiv: 1504.03830 (2015).
6. Ivanov A.O., Iliadis S., Tuzhilin A. A. Realizations of Gromov-Hausdorff distance // ArXiv preprints, arXiv:1603. 08850 (2016).
Поступила в редакцию 27.06.2020
УДК 517.938.5
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО БИЛЬЯРДА В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
С.Е. Пустовойтов1
Рассматривается плоский бильярд в эллиптической области, при этом на материальную точку действует полиномиальный потенциал четвертой степени. Такая динамическая система всегда допускает первый интеграл — гамильтониан системы. При наложении условий на потенциал, при которых система допускает еще один первый интеграл, не зависящий от гамильтониана, система становится вполне интегрируемой по Лиувиллю. В работе проведен топологический анализ слоения Лиувилля данной системы, а именно построены бифуркационные диаграммы и вычислены инварианты Фоменко—Цишанга.
Ключевые слова: гамильтонова система, вполне интегрируемость по Лиувиллю, слоение Лиувилля, инварианты Фоменко—Цишанга, буфуркационная диаграмма.
A planar billiard is considered in an elliptic domain in the case a polynomial potential of fourth degree acts to a material point. This dynamical system always has the first integral called the total energy which is also a Hamiltonian of this system. Assuming some additional conditions on the potential to guaranty the existence of another first integral which is independent on the Hamiltonian, the system turns out to be a Liouville integrable. The paper presents topological analysis of the corresponding Liouville foliation of this system. Namely, bifurcation diagrams are constructed and Fomenko-Zieschang invariants are calculated.
Key words: Hamiltonian system, integrability, Liouville foliation, Fomenko-Zieschang invariants, bifurcation diagram.
1. Необходимые сведения. Прежде чем перейти к рассмотрению основной задачи настоящей работы, напомним необходимые определения и теоремы, связанные с теорией гамильтоновых интегрируемых систем (более подробно см. [1]).
Определение 1. Если у гамильтоновой системы v на M4 есть две функции f i , /2, которые являются первыми интегралами, и
1) {fi, /2} = 0; fi f2
3) векторные поля sgrad(f¿) полны, то такая система называется вполне интегрируемой по Лиувиллю.
Определение 2. Отображением момента называется отображение F : M4 — R2, где F(x) = (fi(x), f2(x)). Бифуркационной диаграммой £(F) называется образ критических точек отображения момента на R2. При этом точка называется критической, если в ней падает ранг дифференциала
отображения момента. Иначе точка называется регулярной.
M4
с гамильтонианом H и T является регулярной, компактной, связной компонентой поверхности уровня интегралов f1 = H и f2 (прообраз регулярного значения, F). Тогда,
1 Пустовойтов Сергей Евгеньевич — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ,
e-mail: pustovoitovselQmail.ru.
Pustovoitov Sergei Evgen'evich — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics,
Chair of Differential Geometry and Applications.
1) Т диффеоморфна тору Т2. Этот тор называется тором Лиувилля;
2) слоение Лиувилля в некоторой окрестмост,и тора Лиувилля диффеоморфно прямому произведению тора, на диск О2.
Введем обозначение: О3 = {х € М4 : Н(х) = сопв^ — изоэнергетическое многообразие.
Определение 3. Системы У\ и У2 на О3 и 02 соответственно называются лиувиллево-экви-валентными, если существует послойный диффеоморфизм из О на 02, сохраняющий ориентацию как самих многообразий, так и критических окружностей.
Теорема 2 (Фоменко-Цишанг). Системы и у2 на О3 и 02 лиувиллево-эквивалентны тогда и только тогда, когда их меченые молекулы совпадают.
Помимо приведенных определений и теорем мы будем использовать идеи, изложенные в работах [2-5].
2. Постановка задачи. Интегрируемость. Рассмотрим бильярд в плоской области, ограниченной эллипсом, который принадлежит семейству софокусных квадрик. Уравнение семейства имеет вид
х2 +г^т = 1, (1)
Ш
а + Л Ь + Л
где а > Ь > 0 — параметры софокусного семейства, Л — параметр квадрики. Пусть параметр граничного эллипса равен нулю. Отражение от границы области происходит согласно стандартному закону отражения. Также потребуем, чтобы на материальную точку действовал потенциал О. Отметим, что, в отличие от рассмотренных В. В. Ведюшкиной в [6] классических бильярдов без потенциала, для которых траектория материальной точки является ломаной линией, для бильярдов с потенциалом гладкие дуги траектории подчиняются системе уравнений
(2)
Обозначим бильярдный стол через О. Рассмотрим бильярд как динамическую систему на четырехмерном фазовом многообразии М4 = {(х,у,Х,у) : (х,у) € О, (Х,у) € ТО} со стандартной симплектической структурой ш, имеющей следующий вид:
/0 0 1 0\
0 0 0 1 -10 0 0 V 0 -10 0/
Такая динамическая система есть гамильтонова с гамильтонианом Н = х ^ — полной энергией, являющимся первым интегралом системы. Для того чтобы система стала интегрируемой, т.е. для существования дополнительного первого интеграла, независимого с гамильтонианом, воспользуемся утверждением, предложенным В. В. Козловым в [7].
Утверждение 1 (В. В. Козлов). Бильярд в эллипсе с потенциалом О допускает, два, независимых первых интеграла тогда и только тогда, когда потенциал О удовлетворяет следующему уравнению:
(а - Ь)0Ху + 3(у0х - хОу) + 0Ху(у2 - х2) + ху(0хх - Оуу) = 0. (3)
Общее решение уравнения (3) не изучено. Однако решение в виде многочлена Лорана было дано В. И. Драговичем в [8]. Мы пользуемся следствием этой работы для случая полиномиального потенциала.
Замечание 1. Уравнение (3) в случае решения в виде многочлена сводится к решению системы линейных уравнений относительно коэффициентов этого многочлена. А именно после подстановки выражения
О(х,у)= ^ хгу3
г=0,] =0
в уравнение (3) приравняем все полученные коэффициенты при хгу3 к нулю. Новая система линейных уравнений всегда будет переопределена. При этом все коэффициенты хотя бы с одним нечетным индексом оказываются нулевыми. Так, решение уравнения (3) в виде квадратичного многочлена
имеет вид Q = k(x2 + y2). Это гуковский потенциал, и топологический анализ бильярда с таким потенциалом был проведен И.Ф. Кобцевым в [9].
Решение в виде многочлена четвертого порядка имеет следующий вид:
Q = l3x2 + ay2 + ^%2у2 + я4 + у4), (4)
c c
где c = a — b > 0 м в — действительнозначные параметры потенциала. Именно такой вид потенциала мы рассматриваем в нашей задаче. Отметим, что при а = в потенциал Q является гуковским потенциалом. Поэтому в дальнейшем предполагаем, что а = в-
3. Геометрическое разделение переменных. Области возможного движения. Перейдем к эллиптической системе координат, функции перехода между эллиптическими и декартовыми координатами имеют вид
' 2 _ (a+Ai)(a+A2) ■L ~ a-b '
„2 _ (b+Ai)(b+A2) .У — b-a
Отметим, что координатными линиями являются гиперболы и эллипсы, принадлежащие софокус-ному семейству (1), а бильярдная область Q имеет вид Л2 € [—b, 0]. Гамильтониан в эллиптических координатах запишется следующим образом:
„ 2(a + Лх)(Ь + Л1) 2 , 2(a + Л2)(b + Л2) о .(a + Л:)(а + Л2) я = ——^ + —Л^м—1X2 + р-с--
(b + Л1)(b + Л2) а — в, , . . л2 -а--^-- + —^—(а + Ь + Х1 + Л2)2, (5)
где и ц,2 — обобщенные импульсы.
Согласно утверждению 1 помимо гамильтониана (5) бильярдная система допускает еще один первый интеграл. Используя алгоритм, предложенный В. В. Козловым в [7], несложно вычислить его в следующем виде:
F = -НХг + 2(a + Ai)(b + Ai+ 2(а + /3)А? - ^(а + Ai)3 + ^(Ъ + Ai)3. (6)
Утверждение 2. Функция F является первым интегралом данной системы. Доказательство. Сначала докажем, что функция F сохраняется вдоль траекторий между
F
F = 2Л i(b + Л1)^2 + 2 Л i(a + + 4(a + Л1)(Ь + Л^рц! 1+ +4(a + /?)AiA'i - ^(a + AI)2A'I + ^(b + AI)2A'I - ЯА\.
Подставим в полученное выражение значения Л 1 и р 1 из уравнений Гамильтона
\ _ дН
Лг ~ dfa '
й- -
— ЭХ
F=
траекторий между отражениями.
F
жении значение интеграла H и координаты Л1 не меняются. Поэтому достаточно проверить лишь неизменность величины Ц. Отметим, что закон отражения от софокусной квадрики в эллиптических координатах следующий: если точка отражается от гиперболы, то вектор скорости изменяется по правилу (Л 1, Л2) ^ (—Л 1, Л 2), а если точка отражается от эллипса, то вектор скорости изменяется по правилу (Л 1, Л 2) ^ (Л 1, —Л 2). Из уравнений Гамильтона вытекает формула
• 4(a + Ai)(6 + Ai) =-Ai - А2-
Следовательно, вектор импульса (^1,^2) будет меняться при отражении аналогично вектору скорости. Следовательно, значение не меняется. Утверждение доказано.
Зафиксируем значения интегралов Н = Н и ^ = /. Их выбор влияет на динамику нашей системы, а именно справедливо следующее утверждение.
Лемма 1 (формула геометрического разделения переменных). Для бильярда в эллипсе с потенциалом (3) имеет место следующая формула, связывающая вектор скорости материальной точки и ее координаты:
78
= (8)
где V(z) = (C\Z3 + CqZ2 + hz + /)(а + z)(b + z) многочлен пятого порядка, Со = 3a/3~3ba — 2(а + ¡3) и а = ^^ — линейная перепараметризация семейства потенциалов (3).
Доказательство. Выразим импульсы и ^2 из формулы (6) и подставим их в следствие из уравнений Гамильтона (7). Лемма доказана.
Определение 4. Областью возможного (допустимого) движения называется замкнутая область на бильярде, в которой материальная точка может находиться при фиксированных значениях интегралов h и f.
Формула (8) позволяет вычислить область возможного движения. Оказывается, границы любой области возможного движения являются дугами координатных линий эллиптической системы координат. Именно в этом состоит геометрическое разделение переменных. Более точно, верна следующая
Лемма 2. Точка, на, бильярде с координатам,и (Ai, А2) лежит в области возможного движения тогда и только тогда, когда для этой точки справедливы, неравенства V(Ai) ^ 0 i € {1, 2}.
Доказательство. Необходимость следует из того, что компоненты вектора скорости материальной точки обязаны быть действительными. Докажем достаточность. Зафиксируем точку с координатами (Ai, А2), для которых выполняются указанные неравенства. В качестве начальных условий системы дифференциальных уравнений (2) выберем упомянутую точку и вектор скорости (Avi, А2), компоненты которого вычислены с помощью формулы (8). Следовательно, решением определенной таким образом задачи является траектория, полностью лежащая в области возможного движения. В свою очередь выбранная точка является началом этой траектории. Лемма доказана.
Обозначим через W(x) = ciz3 + coz2 + hz + f многочлен третьей степени. Отметим, что условие
V(Ai) > 0 эквивалентно системе неравенств ^w^) > о' ^кажем некоторые важные свойства этого многочлена.
Лемма 3. 1) Если c0 — 3cih ^ 0 то многочлен W(z) не имеет локальных экстремумов и является монотонной функцией.
2) Если c0 — 3cih > 0 то многочлен W(z) имеет два локальных экстремума в точках ei;2 =
Wg1 3cih, где ei < в2- Значения многочлена в этих точках таковы:
2c¿] — Ясрсф =f 2(cq — ?jC\h)i
= / +-щ-•
Многочлен W может иметь до трех корней на отрезке [—а, 0] или не иметь их вообще. Согласно лемме 2 область возможного движения зависит от количества корней, их расположения относительно значений —а — b и 0, a также от знака коэффициента ci. Путем перебора всех возможных вариантов несложно убедиться в том, что область возможного движения, соответствующая любым
hf
Следующая лемма устанавливает связь между регулярными областями возможного движения и слоением Лиувилля фазового многообразия M4 интегралами
Лемма 4. Прообразом каждой односвязной подобласти в области возможного движения в M4 является один тор Лиувилля. Прообразом каждой неодносвязной подобласти являются два тора Лиувилля, соответствующие движению по часовой стрелке и против нее.
Доказательство. Сначала докажем, что прообраз любой односвязной области гомеоморфен тору. Рассмотрим пример области, изображенной на рис. 2, а,. Разобьем бильярдную область на эллипсы, софокусные стенкам бильярда. Эти эллипсы делятся на дуги областью возможного движения. Напомним, что с помощью формулы (8) каждой точке области возможного движения можно
сопоставить .либо четыре вектора скорости, .либо два вектора скорости, .либо один нулевой вектор. Оснастим таким образом каждую точку полученных дуг софокусных эллипсов векторами скорости. Для внутренних точек области это четыре вектора, для границ либо два, касательные к границе, либо два, полученные из четырех векторов отождествлением согласно закону отражения. В углах области возможного движения (все они прямые) возникает единственный нулевой вектор. Прообразом в М4 каждой полученной дуги оснащенного софокусного эллипса, который не является граничным, служат две окружности. Умножим эти окружности на отрезок и склеим полученные цилиндры но граничным окружностям в соответствии с тем, что на софокусных эллипсах, лежащих на границе области, векторы скоростей отождествляются но закону отражения. Заметим, что если задать ориентацию на граничных окружностях, согласованную с ориентацией цилиндров, то при склейке пар окружностей их ориентации в паре либо одновременно одинаковые, либо одновременно противоположные. Следовательно, мы получили двумерный тор (а не бутылку Клейна).
Теперь докажем, что прообраз любой неод-носвязной (кольцевой) области гомеоморфен двум торам. Рассмотрим пример области, изображенной на рис. 2, б. Как и выше, разобьем область возможного движения на софокусные эллипсы, оснащенные векторами скорости в соот-
М4
дого такого не храни чного эллипса гомеоморфен четырем окружностям. Умножим их на отрезок и склеим цилиндры но границам согласно склейке векторов скорости на граничных эллипсах. Как и выше, задав ориентацию на границах цилиндров, получим два тора. Эти торы отвечают за движение точки на бильярде по часовой стрелке и против нее соответственно. Лемма доказана.
Критическим значениям интегралов Н и / соответствует область возможного движения, являющаяся перестройкой одной регулярной области в другую при непрерывном изменении значений интегралов. Такая перестройка осуществляется, например, склеиванием связных подобластей по границе или перестройкой границы области через фокус. Следующая лемма устанавливает связь между критическими областями возможного движения и слоением Лиувилля изоэнергетического многообразия ф3 интегралом Е.
Лемма 5. Всего существует семь видов перестроек регулярных областей возможного движения:
1) перестройка двух односвязных подобластей возможного движения, в одну односвязную подобласть. Такой перестройке соответствует атом, В в ф3;
2) перестройка, трех односвязных подобластей возможного движения, в одну односвязную подобласть. Такой перестройке соответствует атом,
а
в
г
и 5: стрелками изображены векторы скорости, соответствующие точке на бильярде: пунктиром обозначены точки с двумя векторами скорости
3) перестройка двух односвязных подобластей возможного движения в одну неодносвязную подобласти. Такой перестройке соответствует атом C2;
4) перестройка двух неодносвязных подобластей возможного движения в одну неодносвязную подобласти. Такой перестройке соответствуют два, атома B;
5) перестройка четырех односвязных подобластей возможного движения в одну неодносвязную подобласт,ь. Такой перестройке соответствует атом E4;
6) перестройка одной односвязной подобласти возможного движения в одну односвязную подобласть через фокус эллипса. Такой перестройке соответствует атом A*;
7) перестройка одной неодносвязной подобласти возможного движения в одну односвязную
B
Доказательство. Приведем доказательства пи. 1 и 6. Остальные пункты доказываются аналогично им, а также лемме 4.
Рассмотрим пример перестройки двух односвязных подобластей возможного движения в одну односвязную подобласть на примере, изображенном на рис. 2, в. Как и при доказательстве леммы 4, разобьем критическую область возможного движения на дуги софокусных эллипсов, оснащенных векторами скорости согласно формуле (8). Отметим, что во внутренности каждой такой дуги существует лишь одна точка, которой соответствуют два вектора скорости. Нетрудно заметить, что прообраз каждой такой дуги в Q3 гомеоморфен двум "восьмеркам", т.е. двум критическим слоям B
B
Критическая область возможного движения, соответствующая перестройке одной односвязной области возможного движения в одну односвязную область через фокус эллипса, изображена на рис. 2, г. Разобьем эту область на дуги софокусных гипербол, оснащенных векторами скорости согласно формуле (8). Отметим, что точкам, лежащим на горизонтальной прямой, соответствуют два вектора скорости, а фокусу соответствует целая окружность векторов. Такая структура критической области возможного движения, содержащей фокус, аналогична перестройке на критическом уровне бильярдов A2, описанной В. В. Ведюшкиной в [6]. В соответствии с этой работой получаем 3-атом A*. Лемма доказана.
4. Бифуркационные диаграммы и грубые молекулы. Теперь, используя леммы 2-5, построим бифуркационные диаграммы и грубые инварианты Фоменко, соответствующие нашей бильярдной системе. Отметим, что бифуркационная диаграмма зависит от выбора параметров со и ci потенциала, поэтому, строго говоря, речь идет о семействе бифуркационных диаграмм. Однако все диаграммы из этого семейства можно разбить на конечное число классов, в каждом из которых бифуркационные диаграммы качественно неотличимы. Это вытекает из следующего утверждения.
Утверждение 3. Для любых значений параметров с0 и с1 бифуркационная диаграмм,а, может состоять только из дуг следующих кривых:
1) f = ah — c0a2 + c1a3;
2) f = bh — cob2 + cib3;
3) f = 0/
, w _ -2c3 + 9с0сф ± 2(cq - 3cih)i
4) f Щ •
Доказательство. Согласно лемме 2 область возможного движения определяется знаком числа ci, количеством корней многочлена W и их расположением относительно значений —a, — b и 0. Это означает, что бифуркация областей возможного движения (а значит, и торов Лиувилля) может
hf
корней W, либо их расположение. Первый случай соответствует одному из условий W(ei) = 0 или W(e2) = 0 второй случай соответствует одному из условий W(—a) = 0 W(—b) = 0 или W(0) = 0. Лемма доказана.
Следовательно, качественный вид бифуркационной диаграммы зависит от взаимного расположения указанных кривых и их точек пересечения, которых существует конечное число. Также отметим, что принадлежность диаграммы к тому или иному классу определяется не только зна-
c0 ci a b
верна следующая теорема.
Теорема 3. Всего существует двадцать три, класса, бифуркационных диаграмм,, в каждом, из которых диаграммы качественно неотличимы. Принадлежность бифуркационной диаграммы к какому-либо классу определяется знаком числа, c1; отношением парам,етров a : Ъ, а, также от,ношением, параметров Cq : С\. Более того, с рост,ом, ^ от, — оо до +оо при фиксированных параметрах
С\, а и Ь бифуркационная диаграмма претерпевает, изменения и переходит, от, одного класса, к другому согласно ориентируемым графам,, 'изображенным, на, рис. 3, а,б. Первый граф соответствует, случаю sgn(cl) = 1, кривым,и стрелками на этом графе обозначен ход эволюции бифуркационной диаграммы при заданном отношении параметров а : Ь. Второй граф соответствует случаю sgn(c1) = —1.
Рис. 3. Эволюционные графы бифуркационных диаграмм (а, б): примеры бифуркационных диаграмм (в д). Дугам диаграмм приписаны соответствующие им 3-атомы
Приведенные графы устанавливают связь между классами бифуркационных диаграмм. Доказательство этой теоремы опирается на утверждение 3 и лемму 2. Для каждого из случаев sgn(cl) = ±1 и а < 7}Ь, 7}Ь < а < 26, 2Ь < а < 36 и а > 36 строим бифуркационную диаграмму для Со = 0 и затем следим за ее преобразованием при непрерывном изменении параметра Со к —то и Полное доказательство слишком громоздко, поэтому приведем несколько примеров подсчета бифуркационных диаграмм при некоторых значениях параметров Со, С1, а, Ь.
с2
Пример 1. Положим с\ > 0 и со < 0. Согласно лемме 3 при h > многочлен W монотонно возрастает на отрезке (—а, 0). По лемме 2 для существования области возможного движения необхо-
z0 W —а
что значение интеграла F лежит в промежутке f € (0, ah — coa2 + cia3) (см. рис. 4, a). Бифуркация областей происходит при W(—b) = 0, что соответствует f = bh — cob2 + cib3. Согласно лемме 5 этой бифуркации соответствует атом B. Грубая молекула, соответствующая уровню H = h, изображена на рис. 4, а.
Рис. 4. Иллюстрации к доказательству теоремы 3. Затемненные области на графиках многочлена Ш соответствуют неравенствам, отвечающим области возможного движения
с2
При 0 < /г < у многочлена \¥ существуют два экстремума. Однако значения е\ и е-2, в которых достигаются эти экстремумы, больше нуля. Следовательно, на отрезке (-а, 0) может существовать только один корень много члена, причем сам многочлен на этом отрезке возрастает. Иными словами, этот случай эквивалентен предыдущему.
При 2cob — 3c1 b2 < h < 0 значение в1 лежит та интервале (—b, 0) а значение в2 больше нуля. Бифуркация областей возможного движения примет вид, изображенный на рис. 4, б . "Появление"
торов Лпувплля происходит при W(ei) = 0, что соответствует значению / = 2co+9coci^J(co 3ah)? ^
Бифуркация происходит при W(—b) торов — при W(—a) = 0. Грубая молекула
для этого случая имеет такой же вид, как и в предыдущих случаях.
Наконец, при 2c0(a + b) — 3c1 (a2 + ab + b2) < h < 2c0b — 3c1 b2 значение e1 лежит на интервале (—a, — b), а значение e2 больше пуля. Бифуркация областей возможного движения представлена па рис. 4, в. Грубая молекула для этого случая имеет вид A-A.
При меньших значениях h многочлен W будет монотонно убывать на всем отрезке (—a, 0), чему не соответствует ни одна область возможного движения согласно лемме 2. Таким образом, для любого значения интеграла h были вычислены критическое значение интеграла f и соответствующий ему атом в Q3. Иными словами, была вычислена бифуркационная диаграмма, которая имеет вид, изображенный на рис. 3, в.
Пример 2. Разберем случай c1 > 0 и 0 < co < bc1. Как и в предыдущем примере, проведем
h
c2
h > g^j- многочлен W монотонно возрастает. Перестройки областей возможного движения и грубая
молекула аналогичны случаю co < 0 для тех же значений интеграла h и изображены на рис. 4, б.
c2
При 0 < h < g^- многочлен W имеет два локальных экстремума. При этом значения е\ и e2, в которых достигаются экстремумы, лежат в интервале (—b, 0). Соответствующая перестройка областей возможного движения изображена на рис. 4, г. Согласно леммам 3 и 5 такой перестройке областей возможного движения отвечает грубая молекула, изображенная на рис. 4, г. Отметим, что бифуркации областей возможного движения происходят при W(0) = 0 W(e1) = 0 W(e2) = 0, W(—b) = 0 и W(—a) = 0. Следовательно, бифуркационной диаграмме принадлежат отрезки всех кривых, приведенных в утверждении 3.
При 2c0b — 3c1b2 < h < 0 и 2c0(a + b) — 3c1(a2 + ab + b2) < h < 2c0b — 3c1 b2 расположения
co < 0
ластей возможного движения и грубые молекулы останутся такими же. В итоге бифуркационная диаграмма будет иметь вид, представленный на рис. 3, г.
Отметим, что полученная бифуркационная диаграмма отличается от бифуркационной диаграммы, соответствующей c0 < 0, появлением структуры, называемой "ласточкин хвост" и образованной
3
j, -2c?+9c0ci/i±2(c?-3ci/i)2
дугами кривых / =---27е^ u-— и / = 0.
Пример 3. Разберем теперь случай c1 < 0 и c0 > 0. Согласно лемме 3 при h > 2c0a — 3c1 a2 W
e1 < —a e2 > 0 (—a, 0) W
f
происходит при условии W(—b) = 0, чему отвечает значение f = bh — c0b2 + c1b3. Согласно лемме 5
h
При c0(a + b) — c1(a2 + ab + b2) < h < 2c0a — 3c1a2 значение e1 лежит та интервале (—a, —b), а e2
на рис. 4, д. Бифуркация областей происходит при W(0) = 0 W(—b) = 0 W(—a) = 0 и W(e1) = 0. Соответствующая грубая молекула изображена на рис. 4, д.
При 2c0b — 3c1 b2 < h < c0 (a + b) — c1(a2 + ab + b2) значения e1 и e2 лежат в тех же интервалах,
однако перестройка областей будет другой (см. рис. 4, е). Бифуркации происходят при таких же f
на рис. 4, е.
При c0a — c1a2 < h < 2c0b — 3c1b2 значение e1 лежит та интервале (—b, 0), а значение e2 больше нуля. Соответствующие бифуркации областей возможного движения приведены на рис. 4, ж. Бифуркация областей происходит при W(0) = 0 W(—a) = 0 W(—b) = 0, что отвечает f = 0, f = ah — c0a2 + c1a3 и f = bh — c0b2 + c1b3. Соответствующая грубая молекула изображена на рис. 4, ж.
Наконец, при c0b — c1b2 < h < c0a — c1a2 бифуркация областей возможного движения имет вид,
AA
c1 < 0 c0 > 0
ный на рис. 3, д.
Заметим, что вычисления как бифуркационных диаграмм, так и грубых молекул базируют-
ся только на изучении поведения многочлена Ж и являются независимыми. Иными словами, для вычислений грубых молекул необязательно знать бифуркационные диаграммы. Однако сами диаграммы являются важным объектом для изучения интегрируемой системы и дают много наглядной информации о ней. Также отметим, что как в случае в\ > 0 так и в случае в\ < 0 при достаточно малых значениях параметра Со бифуркационная диаграмма совпадает с диаграммой, получаемой для эллиптического бильярда с притягивающим гуковским потенциалом, а при достаточно боль-
Со
потенциала. Следовательно, согласно графам на рис. 3, а, б потенциал четвертой степени позволяет построить четыре непрерывные эволюции динамических систем, соединяющих притягивающий гуковский потенциал с отталкивающим.
5. Полные инварианты Фоменко-Цишанга. Лиувиллево-эквивалентные системы.
Последним шагом топологического анализа нашего бильярда является вычисление полных инвариантов Фоменко Цишанга (меченых молекул). Основной результат нашей работы следующая теорема.
Теорема 4. Всего существует восемнадцать полных инвариантов Фоменко Цишанга. описывающих слоение Лиувилля всевозможных изоэнергетических многообразий для эллиптического бильярда с потенциалом типа (4). Все они приведены на рис. 5.
1
г= 0 8 = 1
8 = 1
г= О 8 = 1
С В У п=-1
и=0(2*; г=° а
п=0
г=О г=0 8-1 ,* 8 = 1
о
п=0
8 = 1
г=0
8 = 1
■А*-
г=0 8 = 1
г= О Г=0
8=1 8=1
{вГ^в
" 8—1 г=0 п=0 п=-1 г=0
е=1 8=1
11
Л г=0
г=0\£ = 1 г=оо
12
8 = 1
-О.^А
&=0 8 = 1
г=0
13
г=0 п=0 п=-1 \ 8 = 1
8 = 1 '
А -2=0. .,*■ г-0 .,
А 7; Г'-1.!: 1 4
г, п = 0
г= 0 г=<х>
16
п = 0
а г 0 > г=0 ,
_ 8 I 8 = 1
17
Рис. 5. Таблица полных инвариантов Фоменко Цишанга
Доказательство. Все грубые инварианты одновременно с бифуркационными диаграммами были вычислены в предыдущем пункте. Следовательно, осталось вычислить метки для каждой грубой молекулы. Для этого изобразим прообразы базисных циклов торов Лиувилля, лежащих в окрестностях атомов, на бильярдном столе и с их помощью вычислим матрицы склейки (более подробно о методе вычисления матриц см. [1, 6]). Приведем подсчет матриц для двух молекул, матрицы для остальных молекул вычисляются аналогично.
Рассмотрим перестройку областей возможного движения и проекции базисных циклов на бильярд для молекулы 14 на рис. 5 (см. рис. 6, а). Цикл Л изображен сплошной линией, цикл ^ — пунктиром. Из рисунка следует, что матрицы склейки на левых ребрах молекулы, соединяющих
/2 1\
атомы А и В, имеют вид ( 1 ^ \. Матрицы склейки на левых ребрах, соединяющих атомы А и имеют вид ^ 1 0 |. Матрица склейки на ребре, соединяющем атомы В и имеет вид ^ ^ V а
матрица склейки на ребре, соединяющем атомы A и Di, — вид
1 0 0-1
Рассмотрим теперь перестройку областей возможного движения и проекции базисных циклов для молекулы 9 на рис. 5 (см. рис. 6, б). Цикл Л лзображен сплошной линией, цикл 1 — пунктиром.
21
10
01 1—2
. Теорема доказана.
а
В-
А +
б
А+ А*- А*+ А-
Рис. 6. Иллюстрации к доказательству теоремы 4
В заключение приведем примеры интегрируемых систем с двумя степенями свободы, лиувил-лево-эквивалентные нашей системе. Как отмечалось ранее, при определенных значениях параметров со и ci бифуркационные диаграммы совпадают с диаграммами, соответствующими притягивающему и отталкивающему гуковским потенциалам, что влечет лиувиллеву эквивалентность данных систем. Также, используя теорему 2, можно установить эквивалентность нашей системы системам динамики твердого тела. Более точно верна следующая теорема.
Теорема 5. Бильярд в эллипсе с потенциалом типа (4) лиувиллево-эквивалентен случаям, динамики твердого тела,, представленным, в таблице. Также в таблице представлены, молекулы, изображенные на, рис. 5. возникающие в соответствующих случаях динамики твердого тела, на, некоторых уровнях энергии.
Доказательство. Согласно теореме 2 необходимо сопоставить полученные нами меченые молекулы с молекулами, возникающими в динамике твердого тела. Для этого воспользуемся таблицами молекул, приведенными в [1|. Номера уровней энергии случаев динамики твердого тела, указан-
ные в таблице настоящей работы, совпадают с соответствующими номерами в таблицах работы [1]. Теорема доказана.
Эквивалентные системы динамики твердого тела
Номер Случаи интегрируемости для
молекулы динамики твердого тела
1 Лагранж (1), Эйлер (1), Ковалевская (1)
2 Жуковский (4)
3 Эйлер (2), Клебш (5)
4 Жуковский (8)
9 Горячев-Чаплыгин-Сретенский (2)
11 Ковалевская (3)
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 17-11-01303).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болсинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. I, II. Ижевск: РХД, 1999.
2. Фоменко А. Т. Спмплектпческая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи матем. наук. 1989. 44, вып.1 (265). 145-173.
3. Ведюшкипа В.В. (Фокичева), Фоменко А. Т. Интегрируемые топологические биллиарды и эквивалентные динамические системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. 81, № 4. 20-67.
4. Ведюшкина В.В., Фоменко А. Т. Понижение степени интегралов гамильтоновых систем с помощью биллиардов // Докл. РАН. 2019. 486, № 2. 151-155.
5. Ведюшкина В.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые геодезические потоки на ориентируемых двумерных поверхностях и топологические биллиарды // Изв. РАН. Сер. матем. 2019. 83, № 6. 63-103.
6. Фокичева В.В. Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матем. сб. 2015. 206, № 10. 127-176.
7. Козлов В.В. Некоторые интегрируемые обобщения задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде // Прикл. матем. и механ. 1995. 59, вып. 1. 3-9.
8. Dragovich V.I. Integrable perturbations of a Birkhoff billiards inside an ellipse // J. Appl. Math. and Mech. 1998. 62, N 1. 159-162.
9. Кобцев И. Ф. Эллиптический биллиард в поле потенциальных сил: классификация движений, топологический анализ // Матем. сб. 2020. 211, № 7. 3-30.
Поступила в редакцию 06.07.2020
УДК 517.5
ВЗАИМОСВЯЗЬ ЧАСТНЫХ МОДУЛЕЙ ГЛАДКОСТИ В РАЗЛИЧНЫХ СМЕШАННЫХ МЕТРИКАХ
М. К. Потапов , Б. В. Симонов
2
В работе доказаны неравенства типа Ульянова между частными модулями гладкости положительных порядков в разных смешанных метриках.
Ключевые слова: неравенство, метрика, частный модуль гладкости положительного порядка.
Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального
анализа мех.-мат. ф-та МГУ.
2 Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград, гос. техн. ун-та, e-mail: simonov-b2002Qyandex.ru.
Potapov Mikhail Konstantinovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Functions and Functional Analysis.
Simonov Boris Vital'evich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Volgograd State Technical University.
