CC BY
7Нелинейная динамика. 2011. Т. 7. № 1. С. 25-51. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru
УДК: 514.853; 517.938.5; 531.38 М8С 2010: 70Е17, 70G40
Топологический анализ и булевы функции: II. Приложения к новым алгебраическим решениям
М. П. Харламов
Работа является продолжением статьи автора (НД, 2010, т. 6, №4, с. 769-805) и содержит приложения метода булевых функций к исследованию допустимых областей и фазовой топологии трех алгебраически разрешимых систем в задаче о движении волчка Ковалевской в двойном поле сил.
Ключевые слова: алгебраическое разделение переменных, интегральные многообразия. булевы функции, топологический анализ
Содержание
1. Введение .......................................................... 25
2. Уравнения движения и критические подсистемы........................ 29
3. Особые периодические решения и топология первой критической
подсистемы......................................................... 30
4. Вторая критическая система......................................... 34
5. Третья критическая система......................................... 39
1. Введение
Статья является продолжением работы автора [1], в которой предложены конструктивные методы грубого топологического анализа систем, имеющих аналитическое решение
Получено 6 августа 2011 года После доработки 20 марта 2011 года
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 10-01-00043).
Харламов Михаил Павлович mharlamov@vags.ru
Волгоградская академия государственной службы 400131, Россия, г. Волгоград, ул. Гагарина, д. 8
в форме алгебраических зависимостей исходных фазовых переменных от некоторых вспомогательных, которые в случае системы с числом степеней свободы больше одной предполагаются разделенными. Кратко изложим необходимые сведения и результаты из [1].
Пусть система обыкновенных дифференциальных уравнений на подмногообразии V вещественного арифметического пространства
х = Х(х), х еР, (1.1)
имеет векторный первый интеграл Т. Обозначая через £ вектор произвольных постоянных,
предположим, что на каждом интегральном многообразии Т; = {х еР: Т(х) = £} найдены зависимости
х = а +^2 Ьз, (1.2)
где а, Ь — однозначные вектор-функции от параметров £ и вектора 8 некоторых вспомогательных переменных (ё1ш{8} + ё1ш{£} = ё1ш V), а 2 — произведения радикалов вида
Щу = ^ ± {вг — е7), е7 € С, (1-3)
называемых базисными. Константы ву также могут зависеть от £. Пусть вдобавок система (1.1) в переменных 8 принимает вид
ф^и)ёг = \JViisi\f), г = 1,... ,сИт{8}, (1.4)
где все У — многочлены от одной переменной в, имеющие корни из совокупности {ву},
фi(s) — однозначные функции, не обращающиеся в нуль для почти всех £. В этом случае будем говорить, что система (1.1) алгебраически разрешима, а уравнения (1.2), (1.4) представляют собой ее алгебраическое решение. Многочлен У, имеющий своими корнями все числа из совокупности {ву}, называем максимальным. Обычно У — наименьшее общее кратное многочленов У г.
Для каждого допустимого £ (набора констант первых интегралов, для которого Т; = 0) достижимой областью Асс(£) называется множество в пространстве переменных 8, на котором выражения (1.2) приводят к вещественным значениям. Любая связная компонента П множества Асс(£) имеет форму прямого произведения сегментов (отрезков, замкнутых полупрямых или прямых). Предположим пока, что все величины ву вещественны1, фиксируем П и выберем знаки под корнем в (1.3) так, чтобы все алгебраические радикалы Ягу также были вещественны. Объединим все Ягу в один вектор (П\ ,...,Пм) и запишем
N
2 =П иСг3, СИ еВ = {0,1}. (1.5)
г=1
Булевым знаком назовем функцию bsgn: К\{0} ^ В, такую, что
Г 0, 9> 0
bsgn(9) = < , bsgn(9192) = bsgn(91) ® bsgn(6,2)
[1, 9 < 0
(® — сумма по модулю 2). Значение в нуле несущественно.
хЕсли ву и в$ комплексно сопряжены, то просто заменим каждую пару соответствующих радикалов на их произведение Я^у Ящ. Подробно этот случай разбирается в [1]. Примеры рассмотрим ниже.
Определим булевы переменные
= bsgn ^, щ = bsgn Ці, (1.6)
тогда соотношения (1.5) примут вид линейной булевой вектор-функции
z = С и, и єВт, z Є Вк (1.7)
с двоичной матрицей С (множество В рассматривается как поле Z2).
Для фиксированного множества П булевы аргументы щ разбиваются на две группы. К первой группе относим булевы знаки радикалов, не обращающихся в нуль на траекториях, лежащих в П. Эти аргументы объединяем в вектор V Є Вт. Во вторую группу включим булевы знаки радикалов, периодически обращающихся в нуль на траекториях из П. Вектор таких аргументов обозначим через w єВа. Возможность такого разбиения следует из вида уравнений (1.4). Тогда функция (1.7) есть В-линейное отображение
С: Вт хВп ~^Вк. (1.8)
Введем на Вт отношение эквивалентности относительно С, полагая элементы Vі, V Є Вт эквивалентными, если существуют wl, wll Є Ва, такие, что С(Vі, wl) = С(Vі1, wll).
Теорема 1 ([!])• Количество связных компонент многообразия , накрывающих множество П, равно количеству классов эквивалентности в множестве Вт по отношению эквивалентности относительно функции С.
Линейные преобразования матрицы С, которые могут, в принципе, изменять размерности сомножителей в пространстве-прообразе (не «перемешивая» этих сомножителей) и размерность пространства-образа, называем эквивалентными, если они не изменяют количество классов эквивалентности в первом сомножителе.
Теорема 2 ([!])• Следующие преобразования являются эквивалентными:
(i) перестановка строк;
(ii) перестановка столбцов в пределах одной группы;
(iii) прибавление (по модулю 2) к некоторой строке другой строки;
(іь) прибавление (по модулю 2) к некоторому столбцу другого столбца той же группы;
(у) отбрасывание нулевого столбца;
(ьі) отбрасывание нулевой строки;
(ьіі) отбрасывание набора строк и набора столбцов второй группы, в которых отличные от нуля элементы лежат только в их пересечении;
(уііі) отбрасывание строки с номером і и столбца второй группы с номером і, если этот столбец единичный с единицей в строке і.
Доказательство представлено в [1] в виде последовательности лемм, удобных для практического использования. В целом оно отражает следующий факт.
Теорема 3. Выбирая подходящие базисы в Вт, Вп, Вк и отбрасывая нулевые строки и столбцы, матрицу С можно привести к виду
0
Ер 0
С = Ед
0 0 Ее
где первые Р столбцов относятся к первой группе, остальные — ко второй. Количество классов эквивалентности в Вт относительно С равно 2Р-®.
При таком приведении используются лишь преобразования (г)—(ш). После этого уже очевидно, что множество классов эквивалентности в Вр изоморфно фактор-пространству Вр/В®. Действительно, преобразование (угг) позволяет отбросить строки и столбцы с блоком Ее, а последовательность преобразований (уггг) удаляет блок Е®. Оставшаяся матрица Ер-® есть изоморфизм пространства аргументов только первой группы — все классы эквивалентности состоят из одного элемента, а их количество равно 2р-®. Это и есть количество связных компонент интегрального многообразия Т;, накрывающих выбранный «прямоугольник» П в составе Асс(£).
Решение задачи можно существенно упростить, если удается указать некоторые мономы от базисных радикалов, через которые полностью выражаются все 2]. Тогда сами эти мономы можно принять за базисные радикалы, что сразу же понижает размерность пространств.
Теорема 4 ([1]). Пусть X: Вт Вт1, У: Вт хВп -^Вп1, В: Вт1 хВП1 ~^Вк — ли-
нейные булевы вектор-функции, а функция С представима в виде С = В о (X, У). Предположим, что отображение X сюръективно и для любого V е Вт сюръективно индуцированное отображение У(V, •): Вп ^ Вп1. Тогда количество классов эквивалентности в Вт относительно С равно количеству классов эквивалентности в Вт1 относительно В.
Напомним также, что отображение (1.8) может быть применено и к нахождению самих допустимых областей. Если зависимости (1.2) записаны так, что все коэффициенты вещественны, то условие вещественности х имеет вид ^ 0^]. Поэтому, полагая вместо (1.6)
X] = bsgn ^2, иг = bsgn и2,
будем иметь для той же матрицы С, что и в (1.7),
С и = z0, (1.9)
где в этом случае Zo — булев вектор, состоящий из нулей. Если же в общем виде приводить все коэффициенты к вещественной форме неудобно, то получится другое, но вполне определенное значение zo. Решения этой линейной системы дают явные ограничения на знаки подкоренных выражений в радикалах иг. Из этих ограничений и определяется область Асс(£). Если вдобавок имеются известные условия на расположение корней ву или на выбор переменных разделения, гарантирующие неравенство и2 ^ и2, то, очевидно, (щ1 ^ щ2) = 1 (стрелкой обозначена импликация). Добавив к отображению С компоненты-импликации, получим расширенное отображение С: ВтхВп ^ Вк с к' > к. Условие Си = ^о, 1) сужает количество систем неравенств, подлежащих решению, делая это решение зачастую очевидным.
Продемонстрируем приведенную выше технику на трех допускающих алгебраические решения подсистемах в задаче о движении волчка Ковалевской в двойном поле, полная интегрируемость которой доказана в [2, 3], но явные решения получены лишь на некоторых подмногообразиях в шестимерном фазовом пространстве.
2. Уравнения движения и критические подсистемы
Уравнения движения волчка Ковалевской-Реймана-Семенова-Тян-Шанского приводятся к виду
1ш = 1ш х ш + в1 х а + е2 х в, а = а х и, /3 = в х ш,
где I = diag{2, 2,1}, е1 = (1, 0, 0), е2 = (0,1, 0), напряженности а, в силовых полей постоянны в инерциальном пространстве и взаимно ортогональны
а2 = а2, в2 = Ь2, а ■ в = 0 (а > Ь > 0).
На шестимерном фазовом пространстве V С М9(а, в, ш) определено интегральное отображение
Н хК хС :Г -»■ М3.
где
н — + Сс>2 + 2^3 — (а1 + /?2) 5
К — (ш± — + ^1 — ^2) + (2с^1^2 + ^2 + @1) ,
О = {а\Ш1 + а2Сс>2 + -Оз^з)2 + (/З1СО1 + /3-2^2 + -/ЗзСс>з)2 +
+ ш3(71ш1 + 72^2 + ^7з^з) - оцЬ2 - /32а2.
Здесь — компоненты вектора а х в.
В общем случае явное интегрирование полученной системы с тремя степенями свободы не выполнено. Алгебраические решения получены в следующих трех случаях:
1) подсистема с одной степенью свободы, состоящая из трех семейств критических
траекторий в первой критической подсистеме с двумя степенями свободы — случае Богоявленского (сама система открыта в [4, 5], существование семейств доказано в [6, 7], где
получены и уравнения формируемого ими многообразия, интегрирование выполнено в [8]);
2) вторая критическая подсистема с двумя степенями свободы (найдена в [9], разделение переменных указано в [10]);
3) третья критическая подсистема с двумя степенями свободы (найдена в [11], разделение переменных указано в [12], алгебраическое решение построено в [13]).
Приведем уравнения, необходимые для дальнейшего.
Замена переменных (^ = —1)
(2.1)
Х1 = («1 — ^2) + Ка2 + в1), Х2 = (а1 — в2) — Ка2 + А),
У1 = (а1 + $>) + Ка2 — А), У2 = (а1 + в>) — Ка2 — А.),
Х1 = аз + iвз, Х2 = аз — вз, w1 = и1 + iu2, w2 = и1 — iu2, w3 = и3
позволяет компактно описать точки зависимости интегралов. Ограничения на а, в примут вид
X2 + Х1У2 = V2, ^2 + Х2У1 = т2, Х1Х2 + У1У2 + 2X1X2 = 2р2. (2.2)
Здесь и далее р2 = а2 + Ь2, т2 = а2 — Ь2 (р > т > 0).
Первая критическая подсистема М СР задана соотношениями
Ш + х1 = 0, ^2 = Ш + х2 = 0. (2.3)
Независимыми интегралами на М выбирают Н и интеграл Богоявленского
Е = ш1ш2ш3 + х2 ш1 + ^1Ш2. (2.4)
Вторая критическая подсистема N СР определена уравнениями
----- х2г1т1+х1 г2и)2 х2 х1
л/х,1Х2и1з-------------------= о, —--------------^2 = 0. (2.5)
у/Х\Х2 Х\ х2
В качестве независимых интегралов можно взять
М = —*^( —2" 1 + —2"2), Ь= 2—=.[ь)1Ы2 + х\х2 + г\г2М]. (2.6)
2 Гг Х\ Х2 \fX\X2
Третья критическая подсистема О СР описывается уравнениями
Ш2Х1 + Шу + Шз21 Ш1Х2 + Ш2У1 + Шз^2
0,
ш1 ш2
2 2
. . 2 ГШ2^2 ^1^0 , х 2 2 /
(«ад + и11г2)и13 +-----------------1---------Ь и11иь2(у1 + у2) + Х\т2 + х^и^ №з+ (2.7)
I Ш1 Ш2
ш‘°х1г1 ш‘^х2х2 , .. .
Н-------------1-----1-------Ь х,\г2иь2 + ж2-г1№1 + («>122 - ^2^1)(2/1 - Ы = 0.
ш1 ш2
Здесь в качестве независимых интегралов выступают
^ _ _1 / У2Ш1 + Ж1~ш2 + 21 «3 ж2ц>1 + у1Ш2 + -г2№3 \
4 \ №1 «>2 /
Т = ^[го1(ж2№1 + у\ш2 + г2гоз) + иь2{у2т \ + Ж1«>2 + г^гоз)] + х\х2 +
(2.8)
Соотношения (2.3), (2.5), (2.7) записаны в такой форме, чтобы производная по времени каждой функции в левой части была пропорциональна другой функции в этой паре.
3. Особые периодические решения и топология первой критической подсистемы
Как отмечалось, топологический анализ первой критической подсистемы выполнен в работе [6], положившей начало качественным исследованиям волчка в двойном поле. Более подробно результаты этой работы изложены в [7]. Покажем, как применить здесь алгебраические решения и булевы функции.
Бифуркационная диаграмма интегралов Н и Е есть множество решений уравнения [7]
{27/4 + 4г[9(/2Н - тА)+2г2]}2 - 64 [3(/2Н - г4) +х2]3 = 0,
где 2 = Н2 — 2р2. Известна параметризация решений этого уравнения в виде кривых [8]:
h = 2 s-\J (а2 — s2)(b2 — s2)
/ = \j--s\/{d2 - s2)(b2 - s2)(Va2 -s2 + Vb2 - s2), sG[-6>°);
^ r = (\Ja,2 — s2 + \/b2 — s2)2,
h = 2s + - \/ (a2 — s2)(b2 — s2),
S2: <
/ = \ - V(a2 - s2)(b2 - s2)(Va2 -s2- л/b2 - s2), s G
a2 — s2)(b2 — s2)( V a2 — s2
2^72- Vb2-s2)2,
1 s
т = (V a2 — s2 — V b2 — s
h = 2s — - V (s2 — a2)(s2 — b2)
S3: <
/ = \-V(s2 - a2)(s2 - b2)(Vs2 -b2- Vs2 - a2), s e К+°°)
^ т = —(v s2 — b2 — у s2 — a2)2,
(3.1)
Константы s,т отвечают значениям функций (2.8) на пересечении М П О. Считаем s независимым интегральным параметром. Точки функциональной зависимости интегралов Н и Е на М, образующие подсистему с одной степенью свободы, соответственно (3.1) организованы в три подсистемы, которые также обозначим через 5г. Их алгебраическое решение построено в [8] и имеет общий вид
xi
- УпЫС) ]2,
1
Vi = Ys [ v/?Wi(£) - л/пЫО ]2 - 2s,
Xi =
ri + Г2
r
[Vn<Pl(0 - },х
wi = ^1+Z^1 W^iiO - \/пЫО},
rv 2s
2riГ2 .
W3 = \l-------------
X2
^l2r2g') ^r2<fi1^ + Vn^2(C) ]2,
1
У2 = Ys [Vr2<Pl(0 + л/пЫО ]2 - 2s,
X2 =
ri + r2
r
Wri<p i(0 + \/г2Ы0}, (3.2)
W2 = ^1 +^1 [Vr2(pi(0 + VwK) ],
r 2s
где
r2 = a2 — s2,
r2 = b2 — s2,
^00 = n(1 — C2) — 2sC (* = 12)
а £(t) определяется уравнением
wiw2 ri + r2 :
С = \/^ 1 (0^2(0-
Чтобы удовлетворить (3.1), необходимо выбрать параметры Т\, т2 следующим образом (считаем для определенности / > 0 в силу очевидной симметрии):
8 е [—6, 0) => Г\ = Vа2 — в2 > 0, г2 = л/Ь2 — 52 ^ 0,
,в е (0, Ъ\ => г\ = Vа2 — в2 > 0, г2 = — \/Ь2 — в2 ^ 0,
8 е [а,, +оо) => гг = 1 , г2 = —1 г|; 0 ^ г\ = \/в2 - а2 < г2 = V'в2 - Ь2.
В представленных алгебраических выражениях переменная £ может быть как веще-
ственной, так и чисто мнимой. Чтобы этого избежать, возьмем в качестве вспомогательной переменной
П = = «1^2 = (Т1 + т2)£ ^ 0.
Она фигурирует и в работе [6], но последующие зависимости выписаны там в тригонометрических функциях. Из (3.2), (2.1) и (2.5) найдем следующие алгебраические выражения,
определяющие исходные вещественные фазовые переменные:
г\г2{ф 1+ ф2) . г\г2^"ф1"ф2 ,Г1^Г
а1 — ~8 ~ 0 2 (-----1-------------а2 — — 1^Г“?-;-V’ (Хъ ~ 1------’
2т2в(т1 + Т2) т2в(т 1 + Т2) Т
д _ . Г1Г22Л/фгф2 _ Г1Г22(ф1+ ф2) _ г2фф2
Р1 — — 1^Г“1----1---Р2 — —5 + 2 ,- -Г-, Рз —-, {З-З)
т2в(т 1 + т2) 2т2в(т1 + т2) т
■ /\/01 /л/$2 2/г?
^1 = 17----;----Ш2 = --,-----------------;-----Шз
Здесь
(т1 + т2)т (т1 + т2)т (т1 + т2)2'
^■(»7) = V2 - 28{П +г12)1] - (П + г2)2 О' = 1,2).
Тогда
Вводя обозначения для корней максимального многочлена V(п) = ф1(п)ф2 (п) фг = (г] - е'+)(г] - е/_), 4 = П Г2 (8 ± а),
т1
02 = (»7 - е")(г? - е" ), е± = 71^72 (в ± Ь),
(3.4)
определим базисные радикалы
#1 = л/п - е+ , Д2 = л/'Г) - е/_, Е3 = л/'Г] - е+, Е4 = л/'Г] - е" и булевы аргументы
«7 = bsgn Е7 (7 = 1,..., 4).
Булева вектор-функция С: В4 ^В2, описывающая надстройку, имеет компоненты
21 = «1 ® «2, 22 = «3 ® «4, (3.5)
так как отображение (3.3) содержит только \/ф\, л/ф?,.
Из определения параметров видим, что
е'+е'_ = в'{ е_ = -(Г1 + Г2 )2 отрицательно на 51, 52 и положительно на 5з. Сумма корней для системы 5з
е'+ + е'_ = 2/1+Г2 < 0, е" + е" = 2/\+Г2 > 0.
Получаем, что на 51, 52 положительная переменная п осциллирует между корнем 01 и корнем 02. Выбирая подходящим образом соответствие знаков ± в определении (3.4), получим, что к первой группе надо отнести П1,Пз, а ко второй — 42,44. Группируя столбцы соответственно, получим матрицу отображения (3.5) в виде
У1 У2 w1 W2
1 1
1 1
В терминах теоремы 3 здесь Р = Q = 2. Следовательно, интегральное многообразие состоит из одной компоненты, т. е. каждой точке бифуркационных кривых 51, 52 в фазовом пространстве отвечает одно периодическое решение.
На кривой 5з переменная п изменяется между е+ и е'!_. Поэтому распределение аргументов по группам таково: первая группа состоит из П1,П2, а вторая — из 43,44. Матрица (3.5) принимает вид
у1 у2 w1 w2
1 1
1 1
Поэтому Р = 1^ = 0. Количество компонент 2Р_® = 2. Следовательно, точкам бифуркационной кривой 5з соответствует два периодических решения.
Несмотря на то, что общего аналитического решения для первой критической подсистемы (случая Богоявленского) пока не получено, теперь весьма просто установить всю фазовую топологию. Для этого достаточно заметить, что на многообразии М рассмотренные здесь периодические решения при заданном в образуют множество критических точек первого интеграла ^2 — 2тН, где т — константа, приведенная в (3.1). Характеристическое уравнение симплектического оператора, порожденного этим интегралом на М, записывается так [15]:
Ц2 - |(Г1 + г2)2[г2г2 + (7*1 + г2)282} = 0.
Оно, очевидно, имеет пару мнимых корней на 51 и на ветвях 5з, идущих от точек возврата в бесконечность, и пару вещественных корней (разного знака) на 52 и между точками возврата 5з. Соответственно, в первом случае решения состоят из критических точек ранга 1 типа центр, а во втором — из критических точек ранга 1 типа седло. В частности, в точках возврата /л2 = 0, так что критические точки вырожденны. Эти утверждения можно
считать технически доказанными в работах [6, 7] при исследовании боттовости интеграла ^, но характеристических уравнений и чисел там не приводится. На рис. 1 представлена бифуркационная диаграмма, состоящая из кривых (3.1), с указанием типов критических точек и количества критических окружностей. Зная количество периодических решений, сразу же выписываем последовательность бифуркаций вдоль пунктирной стрелки:
0 ^ 51 ^ Т2 ^ (51 V 51 )хв1 ^ 2Т2 ^ 2(51 V З^хЗ1 ^ 4Т2 ^ 2Т2 и 251 ^ 2Т2.
Рис. 1. Диаграмма первой критической подсистемы.
Полученные результаты совпадают с выводами работы [6], но здесь они доказаны очень просто и без привлечения плохо формализуемых рассуждений. Справедливости ради заметим, что для достижения этой простоты понадобилось 10 лет после выхода статьи [6].
4. Вторая критическая система
На многообразии N заданном уравнениями (2.2), (2.5) рассматриваем интегральное отображение
Т = Ь х М: N ^ И2, (4.1)
порожденное интегралами (2.6). Соответственно, набор параметров £ есть точка плоскости £ = (£,ш). Вводя вспомогательные переменные в\,82, обозначим
Ф(«ъ 8-2) = - '21(81 + «2) + Т^(£2 - 1), ф(«) = ф(«, 8).
Тогда алгебраическое решение имеет вид [10, 14]
1
«1 = —-----------Г^[(«1«2 - а2)Ф(«1,52) + 5152^1^2],
2(81 - ^2)2 1
«2 = —------- ---Г^-[(«1«2 - а‘2)(Р1(Р‘2 - Ф(«1, «2)5152],
2(в1 - 82)2
01 = -----------Го [(«1«2 - Ь2)1р 1<р2 - Ф(«1, 52)5152],
2(в1 - 82)2
/02 = —------ ---Го [(«1«2 - Ъ2) Ф(«1, 82) + 5152^1^2], ('4'2')
2(в1 - 82)2
Г г
скз =--------51, рз =---------------5г,
3 «1 - 82 «1 - 82
Г Г
Ш1 = —------------{£ - 2т«1)^2, ^2 = —---------{£ - 2т«2)^1,
2(81 - 82) 2(81 - 82)
= 81 1§2(52У1 - 5^2).
Здесь
51 = \Js\- а2, у?1 = у^-Ф(в1), 52 = \/ь2 - <р2 = \/ф(«г)- (4.3)
Зависимость 81,82 от времени задана уравнениями
«1 = |\/(а2 -«?)ф(«1), = 1\/(Ь2 -81)Ф(82). (4.4)
По теореме 4 в качестве базисных радикалов можно сразу принять выражения (4.3). Максимальный многочлен имеет вид V(8) = (82 - а2)(82 - Ь2)Ф(8). Его дискриминантное множество состоит из прямых
£ = -2та ± 1, £ = 2та ± 1, £ = -2тЬ ± 1, £ = 2тЬ ± 1 (4.5)
и образует разделяющее множество на плоскости параметров (£, т).
Для описания зависимости (4.2) вводим булевы аргументы
и1 = bsgn 51, и2 = bsgn р1, из = bsgn 52, и4 = bsgn ^2 (4.6)
и компоненты булевой вектор-функции С (в скобках указаны переменные, содержащие соответствующие мономы)
21 = и1 ® и2 ® из ® и4 (а1, в2);
22 = и1 ® из, 2з = и2 ® и4 (а2, 1в1);
24 = и1 (аз);
25 = и2 М;
26 = из (вз);
27 = и4 (^1);
28 = и2 ® из М;
29 = и1 ® и4 (Ш2).
(4.7)
Для определения допустимой области на плоскости (£, т) заменим радикалы в (4.6) на их квадраты, тогда в соответствии с (1.9) необходимое и достаточное условие вещественности решения примет вид С (и) = 000000000, что равносильно и = 0000, т. е.
5? ^ 0, 5? ^ 0, <£>? ^ 0, ^2 ^ 0.
Очевидно, это условие сильнее, чем условие вещественности решений (4.4). Полагая в силу симметрии £ ^ 0, найдем допустимую область
£ ^ max(2ma — 1, —2тЬ + 1), т > 0;
£ ^ —2тЬ + 1, т < 0;
£ = 1, т = 0.
Это — незаштрихованная часть на рис. 2а. Здесь же занумерованы области регулярности I-IX.
Рис. 2. Разделяющие кривые, кодировка областей и количество торов.
Для установления количества компонент интегральных многообразий заполним таблицу достижимых областей для переменных 8\,82- Обозначим корни Ф через
£ — sgnm £ + sgnm
Т1 = 2т < 72 = 2ш '
Полная информация представлена в табл. 1.
Замечание 1. Напомним договоренность [1]: для случая, когда некоторая переменная может пересекать бесконечность в конечные моменты времени, будем использовать следующее обозначение: запись х € [ А(±ж>)Б ] означает, что А > Б, а переменная (х — (А + Б)/2)-1 осциллирует на отрезке [ —((А — Б)/2)-1, ((А — Б)/2)-1 ].
Решая задачу определения количества связных компонент, в матрице функции (4.7) по теореме 2 можно отбросить все строки, кроме отвечающих Х4,...,Хт. Остается единичная матрица. Из нее можно вычеркивать столбцы, соответствующие второй группе, и те строки, где в этих столбцах стоит 1. В результате остается единичная матрица размерности Р, равной количеству аргументов первой группы. Если таковых нет, то Р = 0. Применяя теорему 3, получим следующее утверждение о количестве связных компонент (торов Лиувилля) в составе Ггт.
Таблица 1
Номер области Корни Область изменения Й1 Область изменения во Первая группа
I —Ъ<т\<Ъ<а<то [ а, то ] [Т1 ] -
II 6 < т\ < а < то [ а, то ] [-6,6] 4
III а <т\ < то [Т1,То] [-6,6] 14
IV т\ < —а < а < то [то (±оо) Ті ] [-6,6] 14
V —а < ті < — 6 < 6 < то < а [о (±оо) — о] [-6,6] 24
VI —а < — 6 < ті < то < 6 < а [о (±оо) — о] [Т1,То] 23
VII ті < —а < — 6 < 6 < то < а [о(±оо)ті] [-6,6] 4
VIII ті < —а < — 6 < то < 6 < а [о(±оо)ті] [-Ъ, то} -
IX —а < ті < — 6 < то < 6 < а [о (іоо) — о] [~Ь,то] 2
Теорема 5. В соответствии с нумерацией областей на рис. 2а регулярные интегральные многообразия второй критической подсистемы таковы: а) Т2 в областях I, VIII: б) 2Т2 в областях II, VII, IX; в) 4Т2 в областях III, IV, V, VI.
Число торов Лиувилля для наглядности показано на рис. 2Ь.
К критическим случаям — прямым (4.5) — применима та же функция, и в результате действий с ее матрицей получаем следующие общие закономерности:
1) если при переходе через отрезок бифуркационной прямой (4.5) число торов Лиувилля изменяется с п на 0 (п = 1, 2), то критическая поверхность имеет п компонент связности и, следовательно, диффеоморфна пБ1;
2) если при таком переходе число торов меняется с п на 2п (п = 1, 2), то критическая поверхность имеет п компонент связности и, следовательно, диффеоморфна п(Б1 V Б1) хБ1.
Отметим, что переход через ось О£ невозможен, так как при т = 0 обязательно £ = 1.
Приведенные выше утверждения не относятся к полупрямой
£ = 0, т ^ 0, (4.8)
так как здесь, строго говоря, критических точек отображения (4.1) не возникает, а возникают как особенность индуцированной симплектической структуры [14], так и нарушения гладкости фазового пространства N. Поэтому разберем этот случай особо, попутно применяя технику избавления от особенностей в радикалах, связанных с уходом переменных на бесконечность (в регулярном случае это не оговаривается, поскольку принципиально ничего не меняет). Имеем при условии (4.8)
«1 Є ( — <X), —«1 ] и ^ + 82 Є [—5^ 82] (4.9)
где
= тах{а, с}, ^ = тіп{6, с}, с = > 0.
Выражения под радикалами (4.3), а также максимальный многочлен становятся четными функциями от в\,82, что порождает дополнительную симметрию. Чтобы избавиться от лишнего ветвления, нужно ввести переменные
6 = 4 6 = 4
но тогда к базисным радикалам (4.3) добавятся и у7?!) л/^2- Теперь для того чтобы при «отражении» £1 от менялся знак только одного радикала, переопределим базисные радикалы
#4 = \/Ь2 - £2, #5 = С2 ~ #6 = \J~i2
и положим и7 = bsgn Щ (7 = 1,..., 6). Зависимости (4.2) представим в виде
а 1 = —^—т(я1в + Е1Е2Е4Е5), а2 = ^1т(>^1-Й2-Й5 — Е1Е46), СХ3 = -грЕг,
2к2 2к2 ^
А = г(х2-Й2-Й5 — Д1-Й4^), $2 = т(^2б1 + Е1Е2Е4Е5), Рз =
2к2 2к2 ^
= -^д5, с^2 = из = ^(Е2Щ - ЯМ,
где к = 1 — ЕзЕв, к1 = Ев — а2Е3, к2 = Ев — Ь2Ез, в = 4тЕв — т-1Ез. В полученных
выражениях фазовых переменных после приведения их к многочленам от базисных ра-
дикалов встречается 12 различных мономов, которые порождают булеву вектор-функцию С: Вб ^ В12 по формулам (в последнем столбце в скобках указаны переменные, содержащие такие комбинации):
21 = из ® ив, 22 = и1 ® и2 ® и4 ® и5 («1 ,^2);
Zз = и1 ® из ® и4, 24 = и1 ® и4 ® ив
(а2, в1);
25 = и2 ® из ® и5, 2б = и2 ® Щ ® ив
27 = и1 (аз);
28 = из ® и4 (вз);
29 = и5 (^1);
210 = и2 ® ив (^2);
211 = и2 ® и4, 212 = и1 ® и5 (шз).
Дальнейшие эквивалентные операции над матрицей таковы: с помощью 27, 29 обнуляем остальные элементы столбцов щ,щ. После этого отбрасываем зависимые компоненты 25 = = 22 ® 2з, 2в = 21 ® 22 ® 2з, 28 = 2з, 2ю = 2в, 2ц = 22, 212 = 0. Далее учтем, что аргументы из, ив всегда относятся ко второй группе. Преобразуем 2з ^ 2з ®21, исключим (21, из). После этого оказывается 24 = 2з, исключим 24. В столбце ив осталась одна единица в строке 2з, исключим (2з,ив). Осталась матрица 3x4, определяющая редуцированную функцию
22 = и2 ® и4, 27 = и, 29 = и5.
Рассматриваем три участка полупрямой (4.8), образованные пересечениями с прямыми (4.5):
(1°) 0 > т > — ^ => с > а, = с, $2 = Ь;
(2°) — тр- > т > — -і- Ъ < с < а , = а, в*2 = Ь]
у ' 2а 2Ь 1
(3°) —^ > т => с < Ь, ^ = а, 83 = с.
В случае (1°) к первой группе относятся щ,и^, в случае (2°) — и2,и^, а в случае (3°) — и2, Щ. В терминах теоремы 3 имеем: (1°) Р = 2,^ = 0; (2°) Р = 2,^ = 1; (3°) Р = 1,^ = 0. Получаем доказательство следующего утверждения, которое нельзя установить никаким локальным анализом невырожденных особенностей.
Теорема 6. Интегральные поверхности на участках прямой £ = 0, примыкающих к областям IV-VI, таковы: 4Т2 для области IV, 2Т2 для областей V, VI.
В рамках гладкой теории первая из таких бифуркаций (выход на границу из области IV с сохранением числа торов) была бы невозможна. Своим существованием эти бифуркации обязаны самопересечению фазового пространства.
5. Третья критическая система
На многообразии О, заданном уравнениями (2.2), (2.7), рассматриваем интегральное отображение
Т = 5 х Т: О ^ И2, (5.1)
порожденное интегралами (2.8). Соответственно, набор параметров £ есть точка плоскости £ = (в,г). Введем также обозначения
а = т2-2р2т + г\ х = ^^1±°, (5.2)
Если х, к вещественные, то считаем их положительными, если чисто мнимые, то считаем положительной мнимую часть.
Обозначим пару вспомогательных переменных через £1 ,£2. Введем обозначения алгебраических радикалов
К\ — Л І\ + К, К2 — Л І2 + К
Ь\ = д/^1 — К, І2 = \/*2 — К,
2
(5.3)
Мі = \ ^l + Т + Г2, М2 = \ І2 + Т + г
N1 = л І1 + Т — г2, N2 = \ І2 + Т — г
2
*2 — 4в2х2 >2 — 4в2х2
вТ ’ 2 V вТ
и пусть
и = К±ьъ и2 = К Ь2, К = КК + Ь1Ь2:
А = [(/1 + т + г2)(/2 + Т + г2) - 2(р2 + г2)г2]т.
В = [(/1 + т — г2)(/2 + т — г2) + 2(р2 — т2)т2 ]т.
Тогда на фиксированном интегральном многообразии
^ = {£ = 5, Т = т}сО, { = (в,т),
будем иметь [13]
гтт гг л2 (А — г2^)^2т + ида — (т + Г2)8тМ1М1У1Ы2М2У2
а 1 = (^1 - и2) -7^3--3-г-з-------------------,
4г2в т(/2 — г22)2
./тт тт ,2 (А —г2ии)втУ1— (4в2т + ^1^2)(т + Г2)М1^1М2Ж2
“2 =1(ГЛ - щ------------------------------------------------------------'
Н А /1 Л /2
2Г tl+t2,
2 (В + г2и1и2)зтУ1У2 — (4в2 т + ^1^2)(т — Г2)М1^1М2Ж2
А 1(^1 и2) »„2„^(+2 +2у2
4 Г25Т(/2-®2
4г2вт(/1 —
г, л2 (В + Г2^)^2т + ида — (т — Г2)5тМ1^1У1М2Ж2У2
(.^1 ^2) 2 / ,о 4-2\2 5 (. /
/Зз = 4#
2г /1 + /2:
^2
4гв л/2 /2 - /2 Ь1 ь2
К Г]М]\>\2 - А I \', / 2 А/2
4 г в л/2 /2 - /2 ’
г> 1 1 А /2 А 2 + Л /1 Л I \ 2
(5.5)
л/2 *? - 4
При этом переменные /1, /2 удовлетворяют дифференциальным уравнениям (*1 - ^2)^1 = \/- |'ч2\2;":/1 - сг)[(^1 + т)2 - г4] >
(«1 - *2^2 = У 2йТ^2 “ 1м~\~){12 - аШ'2 + т)2 - г4] .
Максимальный многочлен имеет вид
У{1) = ^{{2 - 1-ч-2\2)(/2 - <т)[(/ + т)2 - г4],
и его дискриминантное множество (разделяющее множество на плоскости параметров в,т) состоит из прямых
в = 0, в = ±а, в = ±Ъ, т = (а ± Ъ)2, т = 0
и кривой % = 0 или, в явном виде,
т2 + 2(2в2 — р2)т + г4 = 0. (5.6)
Эта кривая, очевидно, состоит из простой замкнутой кривой, вписанной в прямоугольник
—Ъ ^ в ^ Ъ, (а — Ъ)2 ^ т ^ (а + Ъ)2,
и двух бесконечных ветвей, лежащих симметрично относительно оси От в квадрантах т < 0, в ^ а и т < 0, в ^ —а.
Замечание 2. Отметим, что условие %2 > 0 выполнено на плоскости (в, т) в единственной связной области, лежащей между замкнутой кривой и бесконечными ветвями. Это упростит рассуждения ниже.
По теореме 4 в качестве базисных радикалов можно взять 10 радикалов (5.3). Для краткости некоторых формул будем обозначать их также через К^:
Кц = Кг, Кг2 = Ьг, К43 = Мг, Кг4 = N1, Щ5 = V (г = 1, 2).
Вводим булевы переменные
п1 = bsgn К27, П5+1 = bsgn я^1 (7 = 1,..., 5) (5.7)
для решения задачи определения достижимых областей и
п1 = bsgn К1т, п5+7 = bsgn К21 (7 = 1,..., 5)
для задачи исследования фазовой топологии.
Из (5.4) найдем полный набор мономов, определяющих алгебраическую структуру надстройки. Из уравнений для а, в получаем компоненты булевой вектор-функции
21 = П1 ® П2 ® Пб ® П7 (К1Ь1К2Ь2);
22 = Пз ® П4 ® П5 ® П8 ® Щ ® П10 (М1 ^У^^УО;
2з = П5 ® Пю (У1У2);
24 = П1 ® П2 ® П5 ® Пб ® П7 ® П10 (К1Ь1У1К2Ь2У2):
25 = Пз ® П4 ® П8 ® Щ (М1 NlM2 N2);
2б = П1 ® П2 ® Пз ® П4 ® Пб ® П7 ® П8 ® Щ (К1ЬМ1 NlK2Ь2M2N2);
27 = п1 ® п3 ® пб ® п8 (К1М1К2М2);
28 = П2 ® Пз ® П7 ® П8 (Ь1М1Ь2М2);
29 = П1 ® П4 ® Пб ® П9 (KlNlK2 N2);
210 = П2 ® П4 ® П7 ® П9 (Ь^^^);
211 = П1 ® П2 ® Пз ® П4 ® П5 ® Пб ® П7 ® П8 ® П9 ® П10 (К1Ь1М1 N1У1К2Ь2М2^У2)
Здесь в последнем столбце в скобках записаны соответствующие мономы от базисных радикалов (для первой задачи надо взять квадраты радикалов). Выражения для и добавляют
еще 12 компонент:
212 = «1 ® «3 ® «5 ® «7 ® Щ (К1И1У112^2)
213 = «2 ® «4 ® «6 ® «8 ® «10 (Ь1Ы1К2М2У2)
214 = «1 ® «4 ® «7 ® «8 ® «10 (К1^1І2М2У2)
215 = «2 ® «3 ® «5 ® «6 ® «9
216 = «1 ® «4 ® «5 ® «7 ® «8
217 = «2 ® «з ® «6 ® «9 ® «10 (^1М1К2^2У2)
218 = «1 ® «3 ® «7 ® «9 ® «10 (КМ^ЩУ^)
219 = «2 ® «4 ® «5 ® «6 ® «8
220 = «1 ® «2 ® «5 ® «8 ® «9
221 = «1 ® «2 ® «3 ® «4 ® «10 (К^М^У)
222 = «5 ® «6 ® «7 ® «8 ® «9 (У1К2Ь2М2^)
223 = «3 ® «4 ® «6 ® «7 ® «10 (М1^1К2^2У2)
(Ь^У^^)
(К1^1У1І2М2)
(І1^1У1К2М2)
(К^У^^)
Вначале рассмотрим случай а > 0, в котором все подкоренные выражения вещественны. Для вещественности значений (5.4) необходимо и достаточно, чтобы в пространстве В23 образом построенного отображения С: В10 В23 в трактовке аргументов (5.7) была точка
z0 = 00111100110111100001111.
Запишем расширенную матрицу С = \ \С^\\. Элементарные преобразования ее строк и исключение нулевых строк не влияют на результаты в обеих задачах. Поэтому поступим так. С помощью строки 21 сделаем единичным столбец «1, прибавляя эту строку (по модулю 2) ко всем строкам, кроме 21, где в столбце «1 стоит 1. Далее с помощью строки 210 сделаем единичным столбец «2, с помощью строки 22 сделаем единичным столбец «3. Столбец «4 не содержит единиц в неиспользованных строках. Поэтому с помощью строки 23 сделаем единичным столбец «5 (т. е. 1 стоит только в строке 23), а с помощью 212 преобразуем столбец «6. Остальные строки оказываются нулевыми. Переобозначая компоненты редуцированной функции
(21, 210, 22, 23, 212) ^ (21, 22,23, 24, 25),
получим матрицу С в виде
«1 «2 «3 «4 «5 «6 «7 «8 «9 «10 zo
21 1 1 1 1 1
22 1 1 1 1 1
23 1 1 1 1 1
24 1 1 1
25 1 1 1 1 1 0
(5.8)
Итак, редуцированная функция С: В10 ^ В5 такова:
21 = («1 ® щ) ® (и4 ® Пд),
22 = («2 ® «7) ® («4 ® «9),
23 = («3 ® Ив) ® («4 ® «9), (5.9)
24 = 45 ® «10,
25 = «6 ® «7 ® «В ® «9 ® «10.
Это выражение окончательно в том смысле, что гапк^С) = 5 и количество компонент функции уменьшить в общем случае нельзя. Условие вещественности переменных — система вида (1.9) — здесь запишется так:
Си = 11110. (5.10)
Равенство компонент 21,...,24 единице обеспечивает вещественность переменных а, в (исходные компоненты 21,..., 2ц). Компонента 25 — это все, что добавили выражения для ш (все 12 исходных компонент 212,..., 223). Интересно отметить, что условие 25 =0 выражает неотрицательность многочлена под радикалом второго уравнения (5.5) (фактически — это знак максимального многочлена от второй переменной разделения с учетом знака произведения вт). Неотрицательность подкоренного выражения в первом уравнении (5.5) гарантирует следствие системы (5.10)
21 ® 22 ® 2з ® 24 ® 25 = Щ ® «2 ® «3 ® «4 ® «5 = 0.
Система (5.10) имеет 210_5 = 32 решения, т. е. для нахождения достижимых областей в плоскости (^,£2) и, соответственно, для установления допустимой области на плоскости (в,т) необходимо анализировать 32 системы неравенств.
Пусть а < 0. Тогда (см. по этому поводу замечание 1 работы [1]) необходимо считать пары К1,Ь1 и К2,Ь2 комплексно-сопряженными. Это добавляет в функцию С еще две компоненты с условиями
«1 ® «2 = 0, «6 ® «7 = 0, (5.11)
что увеличивает ранг отображения на единицу и, соответственно, уменьшает размерность пространства решений. Получаем 16 систем неравенств. Это по-прежнему слишком много. Поэтому удобно воспользоваться некоторыми сведениями о расположении корней. В надежде, что повторное использование некоторых букв в локальном для данного раздела смысле не повлечет недоразумений, обозначим
т = —т — т2, п = —т + т2, V = 2|в|% (5.12)
и, соответственно, корни максимального многочлена
е1 = —к, е2 = к, е3 = т, е4 = п, е5 = —V, е6 = V.
Вначале заметим, что условие 24 = 1 означает У2У^ < 0. В частности, отсюда сразу следует, что %2 > 0. Напомним, что все неравенства для подрадикальных выражений пишем как строгие, рассматривая внутренние точки достижимых областей для регулярных значений пары интегралов (то есть вне дискриминантного множества). Условие %2 > 0
по замечанию 2 отсекает большое количество областей как недопустимые. В силу произвола в нумерации переменных разделения договоримся, что всегда будем считать во внутренней точке достижимой области £2 < V2,12 > V2. Это соответствует выбору
п5 = — bsgn(вт), п10 = bsgn(вт). (5.13)
Добавим условия-импликации, вытекающие из очевидных неравенств е1 < е2 и е^3 < е4:
(«1 —— «2) = 1, («6 —— «7) = 1, («3 —— «4) = 1, («в —— «9) = 1. (5.14)
Для набора и в результате остается 10 значений — по пять систем неравенств для каждого из знаков произведения вт. Теперь уже необходимо принять во внимание расположение корней в различных случаях. Для этого, учитывая, что величины а, к, т, п зависят только от т, запишем
т < 0 ^ —к < т < п < к;
0 < т < (а — Ъ)2
^ т < п < —к. т > (а + Ъ)2
В первом случае добавляем условия-импликации
(«1 —— «3) = 1, («4 —— «2) = 1, («6 —— «в) = 1, («9 —— «7) = 1
и получаем ровно одно решение для каждого знака вт:
и = 0100101010 (вт > 0),
т < 0 ^
и = 0101001001 (вт < 0).
Аналогично, во втором случае добавляем условия-импликации
(«4 —— «1) = 1, («9 —— «6) = 1
и снова получаем ровно одно решение для каждого знака вт:
и = 1101111000 (вт > 0),
т > 0, а > 0 ^
и = 1100011011 (вт < 0).
Из найденных решений сразу же выписываются промежутки для случая а > 0:
в < 0, т < 0 =>
в > 0, т < 0 =>
в < 0, т > 0, а > 0 =>
в > 0, т > 0, а > 0 =>
шах{—к, т, п} ^ £1 ^ к, |£11 ^ V,
тах{—к, т} ^ £2 ^ ш1п{к, п}, |£2| ^ V;
шах{—к,т} ^ £1 ^ ш1п{к,п}, |£1| ^ V,
шах{—к, т, п} ^ £2 ^ к, |£2| ^ V;
шах{т,п} ^ £1 ^ —к, |£1| ^ V,
т ^ £2 ^ ш1п{—к,п}, ^ ^ V;
т ^ £1 ^ ш1п{—к,п}, |£1| ^ V,
шах{т,п} ^ £2 ^ —к, ^ ^ V.
(5.15)
Рис. 3. Разделяющие кривые, кодировка областей и количество торов.
При а < 0 всегда т > 0. При этом к чисто мнимое, поэтому возникает условие (5.11). Следовательно, аргументы П\,П2,Щ, ит не влияют на результат. В импликациях (5.14) существенны лишь две последних. С учетом возможностей (5.13), для редуцированного вектора и = (и3, и4 ,и5 ,щ,щ, ию) получаем решения
вт < 0 ^ й Є {000011,110011}, зт> 0 ^ й Є {011000, 011110}.
{іі ^ шах{т,п}, \Ьі\ ^ V,
І2 Є [ш,п], \г2\ ^ V,
{Ьі ^ шіп{т,п}, \/і\ ^ V,
І2 Є [т,п], \і2 \ ^ V,
Отсюда для в < 0 имеем
или
(5.16)
(5.17)
Для в > 0 варианты таковы:
/і Є [т, п], \/і\ ^ V,
і2 ^ шах{т,п}, \і2\ ^ V,
/і Є [т,п], \/і\ ^ V,
і2 ^ шіп{т,п}, \і2\ ^ V.
В этом случае они не являются взаимоисключающими, так как при вт > 0 переменная Ь2 периодически «пересекает» бесконечно удаленную точку (под радикалом в правой части уравнений (5.5) — многочлены четной степени с положительным старшим коэффициентом, и лишь переменная £2, согласно договоренности, может быть неограниченной). Поэтому их
следует объединить в один
£1 е [т, п], ^ ^ V,
£2 е [—те, ш1п{т, п, —V}] и [шах{т, п, V}, +те].
(5.18)
Остается заметить, что при а < 0 имеются соотношения между т,п,и, определяемые только значением параметра в. В этом случае т > 0 и Щ < Из определений параметров (5.2). (5.12) получаем:
Вариант (5.17) несовместен ни с одним из последних. Перекрестное сопоставление (5.16), (5.18) с возможностями (5.19) дает лишь пять допустимых вариантов при а < 0 (по поводу обозначений см. замечание 1):
Подводя итоги, получим, что из 32 областей, на которые дискриминантное множество максимального многочлена делит плоскость (в,т), согласно (5.15), (5.20) непустые достижимые области для переменных (£1 ,£2) имеются лишь в тринадцати (см. рис. 3а). Вся информация приведена в табл. 2. О последнем столбце речь пойдет ниже.
Отметим, что при решении задачи определения достижимых и допустимых областей к формулам надстройки (5.4) мы обратились единственный раз при выписывании компонент линейной булевой вектор-функции. После этого, пользуясь лишь формальным аппаратом редукции двоичных матриц и свойствами параметров, мы доказали следующие утверждения.
Теорема 7. Обозначим
|в| > а < |m| < V ^ —V < т < п < V,
Ъ < |в| < а < V < |m| ^ т < —v<n<v,
|в| < Ъ =^|V| < п < |m| ^ т < —V < V < п.
(5.19)
а< 0, т > 0, —а<в< —Ъ ^ £1 е [п^ ], £2 е [ т, —V ],
а< 0, т > 0, —Ъ < в < 0 ^ £1 е [ —V, V ], £2 е [ т,п],
а< 0, т > 0, в > а ^ Ь1 е [ т,п], Ь2 е [ V (±те) — V ], (5.20)
а< 0, т > 0, Ъ < в < а ^ £1 е [ —v,n], £2 е [ V (±те) т],
а< 0, т > 0, 0 <в<Ъ ^ £1 е [ —V, V ], £2 е [ п (±те) т ].
Образ отображения (5.1) в плоскости (в,т) определяется неравенствами:
0 < в < в(т), 0 < в < +те,
— т2 ^ т < 0;
0 ^ т < (а — Ъ)2;
(—а ^ в ^ —Ъ) и (в(т) ^ в < +те), (а — Ъ)2 ^ т ^ т2;
(—а ^ в ^ —в(т)) и (Ъ ^ в < +те), т2 ^ т ^ (а + Ъ)2;
т > (а + Ъ)2.
Таблица 2
Номер области Корни Область изменения Область изменения /о Вторая группа
I т < —V < п < V [т, —г>] [??., г>] 3 5 9 10*
II т < п < —V < V [т, ??] 3 410*
III т < —V < п < —ж < ж < V [т, —г’] [п, -ж] 3569
IV т < п < —V < —ж < ж < V [т, гг.] [-г>,-ж\ 34 610
V т < —V < V < п '«’] [п (±оо) т] 5 8 9*
VI т < —V < п < V п] [г> (±оо) т] 4 5 8 10*
VII —V < т < п < V [т, ??] [г> (±оо) — г>] 3 410*
VIII т < —V < —ж < ж < V < п [х, г>] [п (±оо) т] 2589
IX т < —V < —ж < ж < п < V [х, ??] [г> (±оо) т] 24 810
X —V < т < —ж < ж < п < V [х, ??] [г> (±оо) — г;] 2 410
XI —ж< —V < т < п < V < ж [т, ??] [г>, ж\ 34 710
XII —ж< —V < т < г! < п < ж [т, г’] [п, ж] 3 5 79
XIII —ж< т < —г! < V < п < ж [-г>, г>] [п, ж] 5 79
Теорема 8. Бифуркационная диаграмма отображения (5.1) состоит из следующих множеств:
Т = = 0, 8 е + О-
Т = = (а - Ь)2, 8 е [—а, —Ь] и (0, +ж);
Т = = (а + Ь)2, 8 е [—а, 0] и (Ь, +ж);
8 = — —а, Т е [(а — Ь)2, +ж);
8 = = —Ь, Т е [(а — Ь)2, +ж);
8 = = —в(т),, Т е (т2, (а + Ь)2);
8 = =в(т), Т е (—г2, 0) и ((а — Ь)2.
8= Ь, Т е (—ж, (а + Ь)2];
8= = а, Т е (—ж, (а + Ь)2\.
Обратимся к задаче исследования топологии интегральных многообразий. Для того чтобы установить количество торов Лиувилля в составе , воспользуемся редуцированной функцией (5.9). В последнем столбце табл. 2 приведена информация о радикалах второй группы (в данной задаче они составляют меньшинство). Звездочка означает необходимость фильтрации наборов аргументов в соответствии с условием (5.11).
В областях V-X переменная пересекает бесконечность. Здесь удобно поступить по-
добно тому, как это делалось в [1] для классического случая Ковалевской. Разница в том,
Таблица 3
Номер области Выражения компонент (Р,(Э)
Г «1 Ф и2 Ф «6 Ф «7 (0,0) 1
Л* 1 «1 Ф «2 Ф «6 Ф «7 1 1*5 ф «8 Ф «9 Ф «11 (1,0) 2
III «1 Ф «4 Ф «7 Ф «8 Ф «10 Ф «11 (1,0) 2
IV «1 ф и2 Ф «5 ф «8 Ф «9 ф «11 (1,0) 2
V* 1 «1 ф «2 Ф «6 Ф «7 1 «з Ф «4 Ф «6 Ф «7 Ф «10 Ф «11 (1,0) 2
УГ «1 Ф И2 Ф «6 ф «7 (0,0) 1
VII* 1 «1 ф «2 Ф «6 Ф «7 1 «5 Ф «6 Ф «7 Ф «8 Ф «9 Ф «11 (1,0) 2
VIII «3 Ф «4 Ф «6 Ф «7 (1,0) 2
IX «1 Ф «3 Ф «5 Ф «7 Ф «9 Ф «11 (1,0) 2
X 1 «1 Ф «3 Ф «6 Ф «8 1 «5 Ф «6 Ф «7 Ф «8 Ф «9 Ф «11 (2,0) 4
XI «1 Ф И2 Ф «5 ф «8 ф «9 ф «11 (1,0) 2
XII И2 Ф «4 Ф «6 Ф «8 Ф «10 Ф «11 (1,0) 2
XIII 1 «1 Ф «3 Ф «6 Ф «8 1 «2 Ф «4 Ф «6 Ф «8 Ф «10 Ф «11 (2,0) 4
что среди радикалов Я,2а здесь нельзя указать такого, который всегда относился бы к первой группе. Кроме того, максимальный многочлен имеет четную степень, поэтому ж не является точкой ветвления для л/У. Поступим так. Поскольку всегда |/2| ^ V, то /2 ф 0. Положим
К*2а = К'2а/\Д2, «5+а = bsgn В*2а {(У, = 1, . . . , 5).
После перехода к новым радикалам особенность /2 = ж в выражениях (5.4) исчезает, а при пересечении этого значения теперь никакие подкоренные выражения в нуль не обращаются. Поэтому аргументы иа для а > 5 необходимо относить к соответствующей группе, рассматривая лишь конечные границы промежутка изменения /2.
Теперь в соответствии со списком аргументов второй группы выполняем эквивалентные преобразования с основной матрицей С в формуле (5.8), а именно: если аргумент иа относится ко второй группе, то с помощью строки, где он присутствует, обнуляем все остальные элементы этого столбца и по теореме 2 исключаем аргумент и единственную содержащую
его компоненту функции. Остающиеся компоненты показаны в табл. 3. Особенность матрицы такова, что во всех случаях 1-ХШ все аргументы второй группы позволяют исключить ровно одну компоненту. Таким образом, ранг оставшейся матрицы равен «пять минус количество аргументов второй группы», причем это всегда есть первое число в паре рангов (Р, О) (см. теорему 3), так как аргументов второй группы не остается. Соответственно, всегда в такой паре О = 0 (предпоследний столбец в табл. 3). В случаях со звездочкой одна из оставшихся компонент всегда имеет вид
и1 ® и2 ® иб ® и7,
то есть является константой в силу (5.11), поэтому ранг надо уменьшить на единицу. Через с(£) здесь и далее обозначим количество классов эквивалентности в пространстве аргументов первой группы для заданного значения £ = (в,т) постоянных первых интегралов. В общем случае с(£) зависит еще от выбора связной области осцилляции переменных, но в рассматриваемой задаче при любых допустимых £ такая область одна (см. табл. 2 с учетом прохождения значения /2 = ж в конечные моменты времени). Поэтому с(£) совпадает с количеством связных компонент интегральной поверхности . Окончательно, число торов Лиувилля равно 2Р и указано в последнем столбце табл. 3. Результат по количеству торов показан и на рис. 3б. Исследование регулярной фазовой топологии задачи завершено.
Рассмотрим критические случаи — отрезки бифуркационного множества между областями. Поскольку наша цель — продемонстрировать технику, то для краткости известные переходы рассматривать не будем, а применим результаты предыдущих разделов. Действительно, случаи % = 0 отвечают в точности особым периодическим решениям случая Богоявленского, причем константа интеграла ,в — это использованный в разделе 3 параметр в. Кривая (5.6) накрывается кривыми (3.1) дважды (±/), поэтому на ее участках имеем следующие критические поверхности: 251 при в е (—Ь, 0) и (0,Ь), 451 при в е (а, +ж). Полупрямая т = 0,в > 0 отвечает пересечению со второй критической системой, в которой этому множеству поверхностей соответствует подробно исследованный случай £ = 0,т < 0 и при этом связь параметров такова: т = —1/(2в). Поэтому в рассматриваемой системе интегральные поверхности для т = 0 таковы: 2Т2 при в е (0, Ь) и (Ь, а), 4Т2 при в е (а, +ж). Этот случай является «полурегулярным», так как реальных бифуркаций не происходит, возникает лишь особенность в выражениях надстройки, которую можно устранить другой заменой переменных.
Для примера рассмотрим более подробно переходы, возникающие при круговом обходе критической точки типа седло-седло.
При переходе 1^11 возникает кратный корень —V = п. Во вторую группу попадают радикалы 345910*. Переменная и5 позволяет исключить единственную нетривиальную компоненту области II* (см. табл. 3). Получаем пару (Р,О) = (0,0), поэтому с(£) = 1. Но перестройка здесь Т2 — 2Т2. Следовательно, Т3,т = (51 V 51) х 51.
При переходе I—>111 возникает кратный корень к = 0. Во вторую группу попадают радикалы 3 5 6 79. Переменная щ позволяет исключить единственную нетривиальную компоненту области III. Получаем (Р,О) = (0, 0), с(£) = 1. Перестройка Т2 — 2Т2, значит, = (51 V 51) х 51.
При переходе III—IV возникает кратный корень —V = п строго между т и —к. Во вторую группу попадают радикалы 3456810. По сравнению с регулярной областью III добавились аргументы и4, и$, любой из них позволяет исключить единственную компоненту функции. По сравнению с регулярной областью IV добавились аргументы и5,и%, и снова любой из них позволяет исключить единственную компоненту функции. В результате
Рис. 4. Связность критических поверхностей.
(P,Q) = (0, 0), c(f) = 1. Перестройка 2T2 ^ 2T2, значит, Fs,T = (S1V S1) x S1, где S1V S1 -
пара окружностей, пересекающихся по двум точкам.
При переходе II——IV возникает кратный корень к = 0 между —v и v. Во вторую группу попадают радикалы 3 46 710. По сравнению с регулярной областью II добавились аргументы U6,U7, которые входили в компоненту-константу, поэтому это не повлияло на результат. По сравнению с регулярной областью IV добавился аргумент U7, и он не входит в оставшуюся согласно табл. 3 компоненту функции. Поэтому результат такой же, как и в самих областях: (P,Q) = (1, 0), c(f) = 2. Однако здесь перестройка по количеству торов такая же, как в предыдущем случае, 2T2 — 2T2. Поэтому критическая поверхность из двух компонент есть Fs,T = 2(S1 V S1) * S1 (каждая компонента — нетривиальное расслоение над «восьмеркой» со слоем окружность).
Аналогично рассматриваются и все остальные случаи. На рис. 4 показано количество связных компонент критических поверхностей для всех участков бифуркационной диаграммы, из чего благодаря найденному ранее количеству торов Лиувилля в регулярных областях однозначно восстанавливается и топологический тип любой критической поверхности.
Список литературы
[1] Харламов М. П. Топологический анализ и булевы функции: I. Методы и приложения к классическим системам // Нелинейная динамика, 2010, т. 6, № 4, с. 769-805.
[2] Reyman A. G., Semenov-Tian-Shansky M.A. Lax representation with a spectral parameter for the Kowalewski top and its generalizations // Lett. Math. Phys., 1987, vol. 14, no. 1, pp. 55-61.
[3] Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский М. А. Лаксово представление со спектральным параметром для волчка Ковалевской и его обобщений // Функц. анализ и его прил., 1988, т. 22, №2,
[4] Богоявленский О. И. Два интегрируемых случая динамики твердого тела в силовом поле //
Докл. АН СССР, 1984, т. 275, №б, с. 1359-13б3.
[5] Богоявленский О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики jj Изв. АН СССР. Сер. Матем., 1984, т. 48, №5, с. 883-938.
[6] Zotev D. B. Fomenko-Zieschang invariant in the Bogoyavlenskyi case jj Regul. Chaotic Dyn., 2000, vol. 5, no. 4, pp. 437-458.
с. 87-88.
[7] Зотьев Д. Б. Фазовая топология 1-го класса Аппельрота волчка Ковалевской в магнитном поле // Фундамент. и прикл. матем., 2006, т. 12, №1, с. 95-128.
[8] Харламов М. П. Особые периодические решения обобщенного случая Делоне // МТТ, 2006, №36, с. 23-33.
[9] Харламов М. П. Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле // МТТ, 2002, № 32, с. 32-38.
[10] Харламов М. П., Савушкин А. Ю. Явное интегрирование одной задачи о движении обобщенного волчка Ковалевской // Докл. РАН, 2005, т. 401, №3, с. 321-323.
[11] Харламов М. П. Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка Ковалевской в двойном поле // МТТ, 2004, №34, с. 47-58.
[12] Харламов М. П. Обобщение 4-го класса Аппельрота: область существования движений и разделение переменных // Нелинейная динамика, 2006, т. 2, №4, с. 453-472.
[13] Kharlamov M. P. Separation of variables in the generalized 4th Appelrot class: II. Real solutions // Regul. Chaotic Dyn., 2009, vol. 14, no. 6, pp. 621-634.
[14] Харламов М. П., Савушкин А. Ю. Разделение переменных и интегральные многообразия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской // Укр. матем. вестн., 2004, т. 1, №4, с. 548-565.
[15] Рябов П. Е., Харламов М. П. Аналитическая классификация особенностей обобщенного случая Ковалевской // Вестн. УдГУ, 2010, №2, с. 19-28.
Topological analysis and Boolean functions: II. Application to new algebraic solutions
Mikhail P. Kharlamov
Volgograd Academy of Public Administration Gagarina Street 8, Volgograd, 400131 Russia mharlamov@vags.ru
This work continues the author’s article in Rus. J. Nonlinear Dynamics (2010, v. 6, N. 4) and contains applications of the Boolean functions method to investigation of the admissible regions and the phase topology of three algebraically solvable systems in the problem of motion of the Kowalevski top in the double force field.
MSC 2010: 70E17, 70G40
Keywords: algebraic separation of variables, integral manifolds, Boolean functions, topological analysis
Received August 6, 2011, accepted March 20, 2011
Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2011, vol. 7, no. 1, pp. 25-51 (Russian)
