Обобщение 4-го класса Аппельрота: область существования движений и разделение переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.38

Обобщение 4-го класса Аппельрота: область существования движений и разделение переменных

М.П. Харламов

Волгоградская академия государственной службы 400131, Россия, Волгоград, ул. Гагарина, 8 E-mail: mharlamov@vags.ru

Получено 10 декабря 2006 г.

Для движения волчка Ковалевской в двойном силовом поле рассматривается аналог 4-го класса Аппельрота классического случая Ковалевской. Траектории этого семейства заполняют в шестимерном фазовом пространстве поверхность, четырехмерную в окрестности своих точек общего положения. Указаны два независимых почти всюду частных интеграла, постоянные которых дают регулярную параметризацию соответствующего листа бифуркационной диаграммы полной задачи. Исследованы проекции торов Лиувилля на плоскость вспомогательных переменных, найдена бифуркационная диаграмма первых интегралов и область значений соответствующих постоянных. Выполнено явное разделение переменных для дифференциальных уравнений, описывающих динамику данной системы.

Ключевые слова: волчок Ковалевской, двойное поле, классы Аппельрота, разделение переменных

M. P. Kharlamov

Generalized 4th Appelrot class: region of existence of motions and separation of

variables

We consider the analogue of the 4th Appelrot class of the Kowalevskaya top for the case of double force field. The trajectories of this family fill the 4-dimensional surface in the 6-dimensional phase space. We point out two almost everywhere independent partial integrals that give the regular parametrization of the corresponding sheet of the bifurcation diagram in the complete problem. Projections of the Liouville tori onto the plane of auxiliary variables are investigated. The bifurcation diagram of the partial integrals is found. The region of existence of motions in terms of the integral constants is established. We introduce the change of variables that separate the system of differential equations for this case.

Keywords: Kowalevskaya top, double field, Appelrot classes, separation of variables

Mathematical Subject Classifications: 70E17, 70G40

1. Введение

Рассмотрим твердое тело, закрепленное в неподвижной точке О. Пусть главные моменты инерции в О удовлетворяют отношению 2:2:1. Предположим, что момент внешних сил относительно точки О имеет вид

в1 х а + е2 х в,

где векторы е1, е2 фиксированы в теле и параллельны экваториальной плоскости эллипсоида инерции, а векторы а, в неизменны в инерциальном пространстве.

Как показано в работе [5], без ограничения общности можно считать, что е 1, е2 образуют

ортонормированную пару (в частности, являются главными ортами инерции), а а, в взаимно ор-

тогональны (более подробно процедура "ортогонализации" двойного поля для произвольного волчка изложена в [10]). Положим ез = е1 х е2 и выберем Ое1е2ез в качестве подвижного триэдра. Вектор мгновенной угловой скорости обозначим через ш. В безразмерных переменных вращение тела описывается уравнениями Эйлера — Пуассона

2ш1 = Ш2 Шз + вз, 2ш2 = —Ш1 Шз — аз, шз = а2 — Д,

а1 = а2 Шз — аз Ш2, в1 = в2 Шз — вз Ш2, (11)

а2 = аз Ш1 — а1 Шз, в2 = вз Ш1 — в1 Шз,

аз = а1 Ш2 — а2 Ш1, вз = в1 Ш2 — в2 Ш1.

Фазовое пространство Р6 системы (1.1) определено в К9(ш, а, в) геометрическими интегралами

а2 + а2 + а2 = а2, в2 + в! + вз = Ь2, а1 в1 + а2 в2 + азвз = 0. (1.2)

Полагаем

а > Ь > 0. (1.3)

Тогда система (1.1), (1.2) не обладает циклическим интегралом и не сводится обычной процедурой к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. Однако она вполне интегрируема, что обеспечивают первые интегралы в инволюции

Н = — (сх 1 + /?2),

2

К = (ш2 — ш2 + а1 — в2 )2 + (2Ш1Ш2 + а2 + в1 )2,

С = + а2ш2 + ^азсиз)2 + + /32а;2 + ^/Зз^з)2+

+ и)3(71Ш1 + 72ш2 + ^730)3) - агЬ2 - (32а2

(1.4)

(через 7г обозначены компоненты в подвижных осях постоянного вектора а х в).

Интеграл К впервые указан О. И. Богоявленским [2], а интеграл О (в более общей форме для задачи о движении гиростата) — А. Г. Рейманом и М. А. Семеновым-Тян-Шанским [4].

В работах [5], [10] найдено множество критических точек интегрального отображения

Н х К х О : Р6 ^ Кз. (1.5)

Показано, что оно представимо в виде объединения трех множеств М, N О, каждое из которых является почти всюду гладким четырехмерным подмногообразием в Р6 и в окрестности точек гладкости определяется системой двух инвариантных соотношений.

Критическое множество Ш впервые указано в работе [2]. Оно совпадает с нулевым уровнем интеграла К и обобщает 1-й класс Аппельрота (класс Делоне) классической задачи Ковалевской [1]. Фазовая топология индуцированной на Ш динамической системы исследована Д. Б. Зо-тьевым [11]. Движения на критическом множестве N найденном в работе [6], исследованы в [7],

[8], [9]. Показано, что это семейство движений является обобщением семейства так называемых особо замечательных движений 2-го и 3-го классов Аппельрота. Найдена бифуркационная диаграмма двух почти всюду независимых на N первых интегралов [9], уравнения движения на N разделены [7], [8], изучены бифуркации двумерных торов Лиувилля [7].

Данная работа посвящена исследованию ограничения системы (1.1) на инвариантное подмножество О, заданное в Р6 системой инвариантных соотношений [5]

Яі =0, Й2 = 0, (1.6)

где

Я = (аз ^2 — вз ш)шз — 2^1 ш + 2(а — в2 )ш ш + 2а2 ш2,

Д2 = (аз ^1 + вз Ш2)ш2 + [а3 + вз + 2а1 ш2 + 2(а2 + в1 )^1^2 + 2в2 ^2 ]шз+

+ 2аз [(а1 — в2 )ш1 + (а2 + в1 )ш2] + 2вз [(а2 + в1 )ш — (а1 — в2 )ш2].

Система (1.6) получена в работе [5] не прямым путем, а из исследования критических точек интегрального отображения. Покажем непосредственно, что множество (1.6) инвариантно относительно фазового потока. Исключим из рассмотрения точки

Ш1 = Ш2 = 0, аз = вз = 0, (1.7)

лежащие в О и, очевидно, составляющие инвариантное подмножество системы (1.1). В остальных точках введем функции

Р* 1 Р Р* Р , ЧРзШ1-а3и2)

— 9 9 -Л4, Н2 — 112 + 9 9 -П4 •

Их производные в силу системы (1.1) имеют вид

= К2Щ, —2=«1Й*, (1.8)

(И (И где

_ [(ш2 + ^2)^3 + 2(а3Ш1 + /Зз^г)]2 , Г(, 2 2^ « ^ , о ( «мо

^1 — --------------- —5----------------------------------------^7-4(^1 — С^2)(а 1 — Р2) + 2ШіШ2(а2 +

2(ш2 + ^)

1

К2

2(^2 + ^2)

Уравнения (1.8) доказывают инвариантность множества (1.6). Из этих же уравнений вытекает, что скобка Пуассона

Я = 2,Я2 } (1.9)

будет являться первым интегралом индуцированной динамической системы на О, а подмножество в О, заданное уравнением Я = 0, будет множеством точек вырождения индуцированной на О симплектической структуры. Легко убедиться, что функция Я, являющаяся отношением двух многочленов, не равна тождественно нулю на О. Из этого следует, что динамическая система, порожденная на О системой (1.1), почти всюду гамильтонова с двумя степенями свободы. В частности, почти все ее интегральные многообразия состоят из двумерных торов Лиувилля.

2. Частные интегралы

Отметим, что в точках (1.7) уравнения (1.6) зависимы на O. Если предположить, что равенства (1.7) выполнены на некотором интервале времени (а тогда и тождественно по t вдоль всей

траектории), придем к семейству маятниковых движений вида

а = a(ei cos в — e2 sin в), в = ±b(ei sin в + e2 cos в), а х в = ±abe3,

ш = в‘e3, в" = — (a ± b) sin в, ( )

отмеченному в работе [5]. Постоянные интегралов (1.4) на таких траекториях удовлетворяют одному из двух условий

g = abh, k = (а — b)2, h ^ —(а + b) (2.2)

или

g = —abh, k = (a + b)2, h ^ —(a — b). (2.3)

Совокупность точек, принадлежащих траекториям (2.1), обозначим через ^. Пусть O * =

= o\a

Напомним, что в классической задаче Ковалевской (в = 0) имеет место интеграл площадей, в качестве которого традиционно от работ Ковалевской выбирают функцию

L = |la»-a. (2.4)

При этом интеграл G становится равным L2.

Пусть i — постоянная интеграла (2.4). В классификации Г.Г. Аппельрота 4-й класс особо замечательных движений определяется следующими условиями:

1) второй многочлен Ковалевской имеет кратный корень, одна из переменных Ковалевской постоянна и равна кратному корню s соответствующей резольвенты Эйлера p(s) = s(s — h)2 + + (a2 — k)s — 2i2:

p(s) = 0, p' (s) = 0; (2.5)

2) две экваториальные компоненты угловой скорости постоянны, причем ш 1 = —i/s, а ш2 = 0, что можно с учетом предположения в = 0 записать в виде

= -S, Iuj-(3 = 0, Ь»-е2 = 0. (2.6)

Гш^

Следующее утверждение устанавливает аналогию условий (2.6) для обобщенного волчка. Теорема 1. На любой траектории, принадлежащей множеству O *, отношения

I и>-а

Гш-e^ Iш•e2

равны между собой и постоянны.

Доказательство.

Обозначим

M = 1ш, Mj = M-ej (j = 1,2,3) (2.7)

и

Ma = 1ш-а = 2а1 ш1 + 2а2ш2 + а3ш3, M^ = 1ш-в = 2в1ш1 + 2в2 ш2 + в3ш3.

В предположениях теоремы первое уравнение (1.6) запишем в виде

Ма Мв

Мі м2 °' ^2'8^

Введем функцию

+ Мв ^^2

м2 + м22

2

и вычислим ее производную в силу уравнений (1.1):

^Б 1

[(М^ + М<2 )шз + 4азМі + 4вз М2 ](Мв Мі — МаМ2).

Тогда в силу (2.8) выражение в правой части есть тождественный ноль. Следовательно, функция Б является частным интегралом на О*. Обозначим постоянную этого интеграла через в:

МаМ\ + М іМ>

м2 + м2 = _5' ( ‘ }

Из (2.8), (2.9) получаем Ма = — вМ1, Мв = —вМ2 с постоянной величиной в. Теорема доказана.

Замечание 1. б силу условия (2.8) функцию Б можно также записать в виде

» = + <2-10> Замечание 2. Отметим интересное геометрическое свойство изменения вектора кинетического момента на рассматриваемых движениях. Введем в плоскости Оа@ неподвижный ортонормированный базис

а /3

иі = ~а 7 и2 = ~ь-

и пусть т1 = М-^ 1; т2 = М-^2. Тогда Ма = ат1, Мв = Ьт2, и условие (2.8) можно

записать в виде

М2 _ Ь т2 ^ “ а ті >

или

tg# = | tg1?o,

где $, #0 — полярные углы проекций вектора М соответственно на экваториальную плоскость тела и на неподвижную плоскость направляющих векторов силовых полей.

Теорема 2. На множестве О система (1.1) имеет частный интеграл

Т = (аз ші + вз Ш2 )шз + 2аі ш2 + 2(а2 + ві )ші Ш2 + 2^2 ш2 —

— 2(аі в2 — «2ві) + а2 + 62.

Действительно, производная функции (2.11) в силу системы (1.1) равна шзЯі /2 и обращается в нуль тождественно на О. Постоянную интеграла Т обозначим через т.

2

Замечание 3. В работе [5] уравнения (1.6) получены из условия наличия критической точки у функции

2С + (т - а2 - Ь2)Н + вК

с неопределенными множителями Лагранжа в, т. Сопоставляя (2.10), (2.11) с выражениями для в, т, имеющимися в [5], убеждаемся, что эти множители являются постоянными приведенных здесь интегралов 5, Т.

С учетом (1.3) введем положительные параметры р, г, полагая

р2 = а2 + 62, г2 = а2 - 62. (2.12)

Пусть Л, А:,д — постоянные общих интегралов (1.4). Тогда, согласно замечанию 3, из результатов работы [5] получим, что на множестве О* имеет место связь

Л = ^ + ., * = + 9 = ^ + ^-г).. 12..3,

Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения листа бифуркационной диаграммы отображения (1.5). Исключение т приводит к уравнениям

^(в) = 0, ^;(в) = 0, (2.14)

где

4 4

__г

^(«) = в2(в — /г)2 + (р2 — /ф2 — Н-1—.

При условии в = 0 (р2 = г2 = а2) имеем ^(в) = в р(в). Таким образом, соотношения (2.14)

аналогичны условиям (2.5). Следовательно, совокупность траекторий на множестве О является обобщением семейства особо замечательных движений 4-го класса Аппельрота.

3. Параметрические уравнения интегрального многообразия

В силу соотношений (2.13) функции 5, Т образуют полную систему первых интегралов на О* .В частности, система уравнений интегрального многообразия

(С € Р6: н(С) = (с) = *,С(С) = д}

заменяется инвариантными соотношениями (1.6) и уравнениями

5 = в, Т = т. (3.1)

Введем комплексную замену переменных [6], обобщающую замену, предложенную С.В. Ковалевской для волчка в поле силы тяжести [3]:

Ж1 = (а - в2) + ¿(«2 + в1), Х2 = («1 - в2) - ¿(«2 + в1),

У1 = (а + в2)+ ¿(«2 - в1), У2 = («1 + в2) - ¿(«2 - в1), - (3 2)

¿1 = аз + ¿вз, ¿2 = аз - ¿вз, ( . )

ад1 = ш1 + ¿ш2, ад2 = ш1 - ¿ш2, ад3 = ш3

Переходя к переменным (3.2), преобразуем систему (1.6), (3.1) к виду

(3.3)

(У2 + 2в)'Ю1 + Ж1 ^2 + ¿1^3 = 0,

Ж2^1 + (У1 + 2в)^2 + ¿2 ^3 = 0,

ж2^1 т + ж1 ¿2т2 + (т - ж1ж2)т3 = 0, 2в'Ю1 т2 - (ж1 ж2 + ¿1 ¿2) + т = 0.

К этим уравнениям необходимо добавить геометрические интегралы (1.2), которые в переменных (3.2) примут вид

+ ж1У2 = г2, ¿2 + ж2 У1 = г2, ж1 ж2 + У1У2 + 2^1 ¿2 = 2р2. (3.4)

Пространство переменных (3.2) девятимерно с учетом комплексной сопряженности пар переменных ж2 = жГ, у2 = уГ, -г2 = гГ, го2 = г«Г и вещественности г«з. Семь соотношений (3.3), (3.4) определяют в нем интегральное многообразие, которое, в случае отсутствия на нем точек зависимости интегралов 5, Т, будет состоять из двумерных торов с условно-периодическими траекториями.

Введем переменные ж, ¿, полагая

ж2 = ж1ж2, г2 = ¿1 ¿2. (3.5)

Из последнего уравнения (3.4) выразим

У1У2 = 2р2 - ж2 - 2^2, (3.6)

а первые два представим в виде

(¿1 + ¿2)2 = 2г2 - (ж1У2 + ж2У1) + 2^2, (¿1 - ¿2)2 = 2г2 - (ж1У2 + ж2У1) - 2^2.

(3.7)

Запишем условие совместности (3.4) по ¿1, ¿2:

(г2 - ж1 У2)(г2 - ж2У1) = ¿4.

Отсюда с учетом (3.6) найдем

г2(ж1 У2 + ж2У1) = г4 + 2р2ж2 - (ж2 + £2)2. (3.8)

Обозначим

Ф±(ж, ¿) = (ж2 + я2 ± г2)2 - 2(р2 ± г2)ж2.

Из (3.7), (3.8) имеем следующие выражения:

г2(¿1 + ¿2)2 =ф + (ж,2:), г2(¿1 - ¿2)2 =Ф-(ж,^). (3.9)

Заметим, что положения равновесия системы (1.1) включены в семейство траекторий ^, на остальных же движениях определитель трех первых уравнений (3.3) по т^ (^ = 1,2,3) тождественно равен нулю. Исключая из этого условия ^,¿2 и произведение у1 у2 с помощью (3.4),

(3.6), получим

2в[(г2ж1 - ту1) + (г2ж2 - ту2)] = -г2(ж1 У2 + ж2У1)+ (3 10)

+2[2в2(т - ж2)+ р2(т + ж2) - т(ж2 + ¿2)]. ( . )

С другой стороны, непосредственное вычисление с учетом (3.5), (3.6) дает

(г2ж1 - ту1 )(г2ж2 - ту2) = г4ж2 + т(2р2 - ж2 - 2^2) - г2т(ж1 У2 + ж2У1). (3.11)

Обозначим

а = т2 — 2р2т + г4, х = '/к ^ 0. (3.12)

Из второго соотношения (2.13) следует тождество

4в2х2 = а + 4в2 т. (3.13)

Введем комплексно сопряженные переменные

^1 = г2ж1 - ту1, ^2 = г2ж2 - ту2. (3.14)

Исключая из (3.10), (3.11) выражение ж1 у2 + ж2у1 с помощью (3.8), получим систему

2в(^і + ^2) = (ж2 + г2 — т )2 — 4з2 ж2 — а + 4з2 т, ^1 № = т (ж2 + г2 — т )2 + аж2 — та.

(3.15)

Пусть

//* = д/і — 4в2г, /х2 = л/28Ц2 — 4 52г (3.16)

выбраны комплексно сопряженными. Тогда система (3.15) запишется в виде

(^ + ^2)2 = Ф+(ж, г), (^ — ^2 )2 = Ф- (ж, г), (3.17)

где

Ф±(ж, г) = (ж2 + г2 — т)2 — 4з2(ж ± х)2.

По сображениями размерности на интегральном многообразии все исходные фазовые переменные должны выражаться через две вспомогательные почти всюду независимые переменные. Выберем в качестве последних

ж, £ = ж2 + г2 — т.

Многочлены Ф± и Ф± будем рассматривать как квадратичные функции от ж,£. Соответственно обозначим

Фі(ж,£) = Ф+(ж,г), Ф2(ж,£) = Ф-(ж,г), Фі(ж,£) = Ф+(ж,г), Ф2(ж,£) = Ф-(ж,г).

Из (3.15)—(3.17) имеем

№ =2зт+^(Уф7+Уф2)2, № = 2вт + ¿(УФІ- УФ^)2- (3.18)

Далее последовательность вычислений такова. Из (3.9) находим г 1, г2. Домножая уравнения (3.14) соответственно на ж2, ж1; с учетом (3.4) получим систему

2 2 2 2

ж2^1 = г2ж2 — тж2у1 = г2(ж2 — т) + тг|,

г?,

ж1^2 = г2ж2 — тж1у2 = г2 (ж2 — т) + тг2

из которой находятся жі, ж2. Подставляя эти значения в (3.14), найдем у1; у2 -В результате после определенных упрощающих преобразований имеем следующие выражения для конфигурационных переменных:

23 4г4(ж2 - т) + т(л/Ф7 + л/Ф^)2

Жі =

ж2

г2 Ш2т + (л/фГ- л/Ф^)2 25

4г4(ж2 - г) + г(л/ф7 - л/ф^)2

(3.19)

Уі = 25 У2 = 25

Т' 1б52Т + (^Фі “Ь \/Ф^)2 4[2г£ - т(ж2 - т) + сг] - (л/ф7 - л/ф^")2

1б52т + (^Ф1 — д/Фг)2 4[2г£ - т(ж2 - т) + а] - (л/ф7 + л/Щ)2 1б52Т + (^Фі “Ь л/ф^)2

(3.20)

^2 = 2^(Уф7-Уф^)- (3.21)

Заметим, что все радикалы алгебраические. Выбор знаков перед ними определяется первоначальным выбором знаков в выражениях для ^1, ^2, ¿1, ¿2. Поскольку многочлены Ф1;2, Ф1;2 очевидным образом разлагаются в сомножители, линейные по ж, £, проекция интегрального многообразия на плоскость (ж, £) состоит из четырехугольников. Фиксируем внутреннюю точку (ж,£) такой проекции. Тогда выражения (3.19)—(3.21) задают восемь точек конфигурационного пространства, определяемых фактическими знаками радикалов л/Фь \/^2> л/Ф1Ф2.

Для нахождения т3 воспользуемся интегралом энергии, который с учетом (2.13) запишем

так

25 + 45 т т2 — 25 (у1 + у2) = 452 + 2р2 — 2т.

Подставляя 25 т т2 из последнего уравнения (3.3) и заменяя 2р2 соответствующим выражением из (3.4), получим

25^2 = В, (3.22)

где

В = (У1 +25)(У2 + 25) — Ж1Ж2 (3.23)

есть определитель первых двух уравнений (3.3) по переменным т 1, т2. В частности, он обращается в нуль одновременно с т3. Также в силу этого факта переменные т1, т2 можно получить и как линейные зависимости от т3, и как обратную пропорциональность т3:

Ж1^2 — (У1 +25)^1 Ж1 ¿2 — (У1 +25)^1

(У1 +25)(У2 + 25) — ж2 25 тз (324)

Ж221 — (У2 + 25)^2 Ж2 ¿1 — (^2 + 25^2 .

1^2 = ---------------------ъ’Шз = ------------------.

(У1 +25)(У2 + 25) — Ж2 25 т3

С учетом двух вариантов выбора знака т3 в уравнении (3.22) получаем, что накрытие области в плоскости (ж, £) интегральным многообразием {5 = 5, Т = т} П О является шестнадцатикратным в точках общего положения.

Упростим выражение для переменной т3, избавивишись от внешнего корня. Из (3.20) запишем:

0 0 4[2т£ — т(ж2 — т) + 4з2х2] — (\/ФЇ — л/^")2 + (л/ФЇ~ — л/Фг)2

Уі +2з = 2з---------------------------------------—=--------—=--------------------------.

16,в2т + (д/фТ - д/Фг)2

4[2т£ — т(ж2 — г) + 4в2%2] — (\/Ф]~ + \/<&2)2 + (\/фі~ + л/Фг)2

У2 + 25 = 25

(3.25)

1б52т + (^Ф1 + д/Фг)2 Отметим, что

[16з2т + (\/Ф1 - л/ф^")2][16в2т + (\/Ф1 + УФ2)2] = 6452(г£2 + <тж2 - та). (3.26) В силу второго уравнения (3.15) естественно обозначить

т£2 + аж2 — та = ^2. (3.27)

Тогда

В = “тт (\/Ф1Ф2Ф1Ф2 - Р),

2^2

где

Р (ж,£) = £4 + 2т£3 + 2[(т — р2 — 252 )ж2 + т (р2 — 252) — г4]£ 2—

—852[(т — 2%2 )ж2 + т%2 ]£ — 452 (ж2 — х2 )[2(т — р2 )ж2 — (т2 — г4)].

Обозначим

ф(ж, £) = (£ + т — р2 + 252)2 — 452 ж2 — (р2 — 252 )2 + г4,

Р1 (ж, О = Р (ж,£) + 2жд(ж,£)^, Р2 (ж,£) = Р (ж,£) — 2жд(ж,£)^.

Имеет место тождество Р1Р2 = Ф1Ф2Ф1Ф2. С другой стороны, Р1 + Р2 = 2Р. Поэтому

откуда согласно (3.22) находим

■шз = —(3.28)

^25 ^

Для вычислений ниже понадобится еще одно представление переменных т 1, т2, не связанное с т3 .Из первых двух уравнений (3.3) запишем:

Ж2 т2 = —¿2т1тз — (У2 + 25)т1 т2, Ж1 т| = — тз — (у1 + 25)т1 т2.

Выполним подстановку т1 т3,т2т3 из второго представления (3.24), а т1 т2 исключим с помощью последнего уравнения (3.3). Получим

25 ж2 т2 = —(^1 — 25т) — 25Ж2, 25 ж1 т| = —(^2 — 25т) — 25Ж2.

Отсюда в подстановке (3.18) находим

= = (3'29>

где

©1 (х, О = (£ - 2^ж)2 - 452х2, ©2(ж, £) = (£ + 2^ж)2 - 452х2.

Отметим, что произведения 0102 и Ф1Ф2 совпадают между собой. Выбор знаков в представлении (3.29) продиктован условием (у/ж2г«1)(Л/жГг«2) = ж£/2«, вытекающим из последнего уравнения (3.3). Выбор знака у одной из комплексно сопряженных величин у7~х{, у/ж2 должен осуществляться так, чтобы значения (3.29), (3.28) удовлетворяли одному из первых трех уравнений (3.3) (тогда остальные будут выполнены автоматически).

Таким образом, все фазовые переменные алгебраически выражены через две вспомогательные переменные ж, £, область изменения которых зависит от постоянных выбранных первых интегралов.

4. Особенности индуцированной симплектической структуры

Напомним некоторые известные факты. Гамильтонова структура системы (1.1) обеспечивается скобками Пуассона [2] на пространстве К9(^, а, в) (невырожденными на Р6). В обозначениях (2.7) скобки координатных функций таковы

[М,,Ик} = М, [М,, а&} = е,ыаг, [М,,вк} = £,ывг, (4 ,)

[а,, ак } = [а,, вк } = [в,, вк } = 0. (.)

В ограничении на Р6 они соответствуют симплектической форме Кириллова Л е Л2(Р6). Пусть N с Р6 — подмногообразие, заданное двумя независимыми уравнениями

/1 =0, /2 =0,

и пусть Х1, Х2 — гамильтоновы векторные поля с гамильтонианами /1, /2. Тогда линейная оболочка Х1 и Х2 в каждой точке £ е N косоортогональна касательному пространству Т^N. Поэтому 2-форма, полученная как ограничение Л на N, невырождена в точке £ тогда и только тогда, когда

{/1,/2 Ж ) = Л(Х1, *2 )(С ) = 0.

Вычислим теперь скобку Пуассона (1.9) функций, определяющих О *. Замена переменных

(3.2) линейна с постоянными коэффициентами, поэтому правила (4.1) легко преобразуются к новым координатам. Опуская технические детали, представим К в виде

Д= Л 2Ы^3Р2 + Рз)2-Р4], (4.4)

юз ад2ад|

где

^1 = ¿1 ¿2 юз + Ж2 21Ю1 + Ж1 ¿2 Ю2,

^2 = Ю1Ю2 Юз + ¿2 Ю1 + ¿1Ю2,

Р3 = 2ю2 Ю2 + Ж2Ю2 + Ж1Ю2,

= 4ю2 ю2 [(ю2 Ю2 + Ж2 Ю2 + ж1ю2 )ю3 + Ж2 ¿1Ю1 + Ж1^2 Ю2].

В приведенных выражениях переменные у1, у2 исключены с помощью системы (1.6), записанной в переменных (3.2):

Ю1 юз (Ж2Ю1 + ¿2Юз) + ^1 Ю2Юз (Ж1Ю2 + ¿1 Юз) +

У1 пи тоШо > У2

Ю1Ю2 Юз ’ у2 Ю1Ю2 Юз

Зафиксируем значения Л, к, д, 5, т интегралов (1.4), (2.10), (2.11). Получим

юзР2 + Рз = 2ю1ю2Л — 2(ж1ж2 + 2122 — т), Р4 = 4ю2 юз (т — к). Поэтому из (1.4), (2.13), (3.3) будем иметь

Окончательно, выражение (4.4) принимает вид

Очевидно, что К — первый интеграл динамической системы, индуцированной на О *, а в силу сказанного выше уравнение

определяет константы интегралов 5, т, для которых на соответствующих интегральных многообразиях вырождается 2-форма, индуцированная на О* симплектической структурой Л. Поскольку функции (2.10), (2.11) алгебраические, множество (4.10) имеет коразмерность единица в О *. В частности, форма Л|£>* невырождена почти всюду. Поэтому и индуцированная динамическая система на открытом всюду плотном подмножестве в О * является полноценной гамильтоновой системой с двумя степенями свободы.

Определим положение точек вида (4.10) на поверхности (2.13) в Кз(Л, к,д). Рассмотрим сечения этой поверхности плоскостями постоянных значений Л. Из первого уравнения (2.13) выразим т и подставим в (4.10). Получим

Одновременно из (2.14) найдем параметрические уравнения для к, д в выбранном сечении:

Таким образом, уравнение (4.11) определяет точки возврата в сечениях поверхности (2.13).

5. Бифуркационная диаграмма

Введем интегральное отображение J индуцированной динамической системы на замыкании множества О*, полагая

(4.10)

44

гг\^- _ /у»

354 - 2/153 + ^---------- = 0.

(4.11)

4 4 4 4

р ____ г ^ ТО ____ Г

к (в) = Зз2 — Акв + к2 + р2-----------—, д{в) = —в3 + кз2 Н--------------------------------------- ------.

4 ' 452 45

Тогда

J(С) = (£(С), Т(С)) е К2, с е С1(О*).

Ввиду очевидной компактности прообразов точек К2, бифуркационная диаграмма £ отображения J совпадает с множеством его критических значений.

Теорема 3. Бифуркацонная диаграмма отображения

3 = 5 х Т : 01(0*) ^ Я2

(5.1)

состоит из следующих подмножеств плоскости (в, т):

1°) т = (а + 6)2, в £ [-а, 0) и [6, +го);

2°) т = (а — 6)2, в £ [-а, —6] и (0, +го);

3°) в = —а, т ^ (а — 6)2;

4°) в = —6, т ^ (а — 6)2;

5°) в = 6, т ^ (а + 6)2;

6°) в = а, т ^ (а + 6)2;

7°) г = 0, 5 £ (0, +оо);

8°) т = а2 + Ь2 — ‘¿в2 + 2д/(а2 — в2)(62 — в2), в £ [—6,0);

9°) г = а2 + Ъ2 - 2в2 - 2д/(а2 — в2)(Ь2 - в2), в £ (О, 6];

10°) т = а2 + Ь2 — ‘¿в2 + 2д/(в2 — а2)(в2 — 62), в £ [а, +оо).

Доказательство.

Отметим, что точки зависимости уравнений системы (1.6) по определению считаются критическими для отображения (5.1). Поэтому в бифуркационную диаграмму необходимо включить значения, отвечающие тем из траекторий (2.1), которые принадлежат замыканию множества О *, то есть значения (в, т), при которых равенства (2.13) дают значения вида (2.2), (2.3).

Легко проверить, что луч (2.3) целиком содержится в поверхности (2.13). Ему соответствует множество точек случая 1°. В то же время поверхности (2.13) принадлежат лишь точки луча (2.2), удовлетворяющие неравенству Д2 ^ 4а6. Им соответствует множество точек случая 2°.

Сегмент луча (2.2) в пределах —2у/аЬ < к < 2у/аЬ представляет собой одномерную часть бифуркационной диаграммы отображения (1.5). Для соответствующих траекторий (2.1) значение в не определено. Это означает, что такие траектории не имеют сколь угодно близких траекторий из множества О*. Наличие явления, порождающего изолированную точку в бифуркационных диаграммах приведенных систем или систем на изоэнергетических уровнях, наблюдалось ранее в случаях Клебша и Лагранжа.

Для движений из О* заметим, что для существования решения системы (3.9) необходимо и достаточно выполнения неравенств

Совокупность неравенств (5.2), (5.3) задает на плоскости (ж, г) область возможности движения (ОВД) — проекцию интегрального многообразия. Бифуркационной диаграмме отвечают случаи перестройки ОВД при изменении 5, т как параметров.

Введем на плоскости (ж, г) криволинейные координаты 51,52, полагая

Ф+(ж, г) ^ 0, Ф-(ж,г) ^ 0.

(5.2)

Аналогично, условиями разрешимости системы (3.17) является система неравенств

Ф+(ж, г) ^ 0, Ф_(ж, г) ^ 0.

(5.3)

51

ж2 + г2 + г2 2ж

52

(5.4)

Неравенства (5.2) мгновенно разрешаются

(5.5)

Эти неравенства не связаны с конкретным видом динамической системы, а отражают лишь структуру конфигурационного пространства 50(3). Соответствующая область на плоскости (ж, г) — образ многообразия (1.2) — показана на рис. 1 для первого квадранта. Указана также и координатная сеть ($1, 52).

Рис. 1. Допустимая область на плоскости (х, г).

Пусть П1 — прямоугольник на плоскости ($1, 52) с вершинами $1 = ±а, 52 = ±6. Для решения системы (5.3) выразим

ж2 + г2 -г = [51 + 52 - ^-(в! - 52)]ж,

г2 (5.6)

Ф+ (ж, я) = ж2 Л+Л-, Ф-(ж,^)= ж2 М+М-,

где

т иЪ 25Х

Л±($1, 52) = + 52-----------(«1 — в2) ± 25,

г2

т ^ 25Х

М±(^1, 52) = 51 + 82--------5---(^1 — 52) =Ь 25.

г2

Из (5.3), (5.6) имеем

Л+ ($1,52)Л- (51,52) ^ 0, М+ (51,52)М-($1 ,$2) ^ 0. (5.7)

Рассмотрим параллелограмм П2, образованный прямыми Л± = 0, М± = 0. Решения системы неравенств (5.7) заполняют две полуполосы, примыкающих к паре противолежащих сторон П2 (выбор этих сторон продиктован конкретными значениями 5,т). На рис. 2 приведен пример области возможности движения в плоскости (51,52) — решения системы неравенств (5.5), (5.7).

Дальнейшее исследование является чисто техническим. Бифуркации ОВД происходят в одном из следующих случаев: попадание вершины одного из параллелограммов П1, П2 на границу другого, соответственная параллельность сторон параллелограммов П1, П2 (уход вершин ОВД на бесконечность), вырождение полуполос в луч. Перечислив все такие случаи, придем к уравнениям, фигурирующим в теореме. Пусть А — определяемое этими уравнениями множество в плоскости К2(5,т). Перебирая связные компоненты множества К2(5,т)\А, отбросим те из них, для которых область возможности движения пуста. Оставшиеся компоненты (область существования движений в пространстве констант интегралов) затенены на рис. 3 (прерывистой линией показаны решения уравнения (4.10) — значения интегралов, отвечающие вырождению индуцированной симплектической структуры).

А++Ч *2 / /ш+ Ь \

а

Рис. 2. Пример области возможности движения (а = 1, Ь = 0.4, т = 1.2, в = -0.6).

В бифуркационную диаграмму включаются те участки А, которые являются граничными для оставшихся компонент, за исключением отрезков координатной оси в = 0, так как нулевое значение в недопустимо в силу (2.13). Отсюда получаем необходимые неравенства. Теорема доказана.

Теорема 4. Область существования решений системы (1.1) при условиях (1.6) в плоскости констант первых интегралов (3.1) определяется следующими неравенствами:

1°) — а ^ в ^ —Ь, т ^ (а — Ь)2;

2°) -Ъ ^ 5 < 0, т ^ (у/а2 — в2 + у/Ь2 — в2)2;

3°) 0 < 5 < 6, т < (у/а2 — в2 - л/62 -,в2)2;

4°) Ь ^ в ^ а, т ^ (а + Ь)2;

5°) з ^ а, — (у/з2 — Ъ2 — у/в2 — а?)2 ^ т ^ (а + Ъ)2.

Это утверждение вытекает непосредственно из доказательства теоремы 3 (см. рис. 3).

6. Разделение переменных

Исключим из дальнейшего рассмотрения случаи т = 0 и а = 0. Первый в силу уравнений

зие N уравнения движения на котором проинтегрированы [8]. Во втором из (2.13) получаем одно из соотношений (2.2), (2.3), что соответствует существованию периодических решений вида (2.1).

Рассмотрим в пространстве К3 (ж,£,^) поверхность М второго порядка, определенную уравнением (3.27). В силу второго уравнения (3.15) любая траектория естественным образом изображается кривой на этой поверхности.

Из (2.12), (3.12) следует, что постоянные т, а не могут быть одновременно отрицательными. Поэтому поверхность М является однополостным гиперболоидом и имеет два семейства прямолинейных образующих. Область на плоскости (ж, £), в которую проектируется эта поверхность, обозначим через 0. Если кривая

является эллипсом, то 0 — дополнение к его внутренней части, если же эта кривая — гипербола, то 0 — объединение гиперболы с областью, заключенной между ее ветвями.

Отметим два тождества, которым удовлетворяют введенные константы

Легко видеть, что в силу (3.13), (6.2) любое из уравнений Ф j• = 0, =0 и 0j• = 0 (і =

= 1,2) определяет на плоскости (ж,£) четверку прямых, каждая из которых касается кривой (6.1) и является проекцией двух образующих поверхности М. В частности, проекция интегрального многообразия на плоскость (ж, £) ограничена касательными к кривой (6.1), а ее прообраз на М ограничен прямолинейными образующими этой поверхности. Отсюда вытекают два способа превратить ОВД в прямоугольник (именно такая форма области возможности движений характерна для систем с разделенными переменными). Первый состоит в следующем: параметризуем кривую (6.1) (тригонометрическими функциями для эллипса или гиперболическими — для гиперболы), из каждой точки (ж,£) Є 0 проведем две касательные к кривой (6.1) и параметры точек касания примем за новые координаты. Второй способ — алгебраический: рассмотрим два семейства прямолинейных образующих М в качестве координатной сетки и за новые координаты точки (ж, £) примем координаты ее прообраза на поверхности М. В силу алгебраического характера всех выражений, полученных ранее, остановимся на втором способе.

Не уточняя вопросы вещественности переменных, положим формально

(2.13) приводит к соотношению (2# — р2Д)2 = г4к, характеризующему критическое многообра

т£2 + аж2 — та = 0

(6.1)

а + 2т(р2 ± г2) = (т ± г2)2.

(6.2)

(6.3)

После несложных преобразований получим

Фі = (и) (V), Ф2 = кр>2(и) ^2(V),

Фі = К^1 (и) ^2 (V), Ф 2 = К^2 (и) ^1 (V),

01 = К02 (и) 01 (V), 02 = К 01 (и) 02 (V),

где К = 1/(и + V)2 и

(рі(ю) = у/о{1 + т2) + 2(т + г2)т, = л/^г(1 + ад2) + 2(т — г2)т,

ірі(т) = 28[(х + у/т)и)2 - (х-у/т)}, М™) = Ы(х ~ у/т)™2 - (% + у/т)], 9\ (у)) = у/а(1 — ги2) + Аву/гги, 0г(ю) = у/а(1 — ги2) — Аву/гги.

С учетом записанных выражений из (3.19)—(3.21) находим выражения для конфигурационных переменных

2

Ж1 =

2 8Т л/ЫйУМ^ + УвїМ

Г

2

Ж2 =

. \/0і{и)9і(ь) - л/92(и)92(у) 2зт У^Рі(и)ср2(у) - л/ср2(и)срі(у) Г2 _ \/9і(и)9і(у) + у/92{и)92{у)

Уі = 25-

У2 = 25-

¿1 ¿2

л/</?і(и)</?2(г>) + л/</?2(и)</?і(г>) — 4сг (пг> — 1)

у/9і(и)9і(ь) - л/92(и)92(у)

у/<рі(и)<р2(у) - у/<р2(и)<рі(у) — 4сг(пг> — 1)

1

2г(и + V) 1

2г(и + V)

л/9і(и)9і(у) + у/92(и)92(у) у/ірі(и)ірі(у) + л/</?2(п)</?2(г>) л/</?і(п)</?і(г)) - л/</?2(п)</?2(г>)

Отсюда

л/25г л/</?і(п)</?2(г>) + л/р2(и)</?і(у) г у/9і(и)9і(у) - д/92(и)92(у) ’

л/2вг л/</?і(п)р2(г)) - л/р2(п)</?і(у)

Г у/9і(и)9і(у) + д/92(и)92(у)

Здесь произвол в выборе знака обеспечивает алгебраическое значение у/2зт.

Из (3.29) имеем

у/х~2У)\ = у/х[т2 =

4з(и + V)

(л/ 6>г(гі)6>і (г>) + \/9г(и)92(у)), -(л/92(и)9і(у) - \/9і(и)92(у)).

(6.4)

(6.5)

(6.6)

4^(п + V)

Подставляя значения (6.5), получим выражения для вычисления экваториальных компонент уг-

ловои скорости

Ю1

Ю2

\/92(и)9і(у) + л/б^и)^!» л/ 6»і (гл)6»і (г>) + у/92(и)92(у)

АвуДвт (и + у) у/<рі(и)<р2(у) - у/<р2(и)<рі(у)

л/92(и)9\(у) - д/91(и)92(у)] \л/ЩгЩТу) ~ у/92{и)92{у)

4вл/2 зт

{и + у) У(рі(и)(р2(у) + У(р2(и)(рі(у)

а из (3.28) найдем осевую компоненту

1

Юз

у/9і(и)92(и)(рі (у)ір2(у) - л/уі{ь)у2{ь)9і{у)92{у)

2\/2 вта(и + у)(иу — 1)

Таким образом, все фазовые переменные выражены через и, V алгебраически.

2

2

2

2

Для вывода дифференциальных уравнений воспользуемся переменными (5.4) как промежуточными. Дифференцируя их по времени в силу системы (1.1), получим

+ -г2)(ж1Ю2 - =г-^(х\ - х2)(х^2 + х^\). (6.9)

«г 4ж3 «г 4ж3

С другой стороны из (5.4), (6.3) имеем

у/а(ш + 1) + (г + г2)(п + у) у/а(ш + 1) + (г — г2)(п + у)

«1 = ----------;-------------------> «2 =

откуда

2 у/т (и — V) 2 у/т(и — у)

дв1 рчН д51 ^1 (и)

и, следовательно,

<Эи 2у/т(и — у)2 ’ дь 2у/т(и-у)2’

дв2 _ У2(у) дз2 _ <Р2(и)

ди 2у/т(и — у)2 ’ 2у/т(и — у)2 ’

Ли = 2 у/т (и - г>)2 ^ _ лл^2і

йі іргіиїМу) ~ МФі(у) ¿і ^1{ > (ІЇ1,

(6.10)

¿і р1(п)р2 (V) — р>2 (п)р1 (V) ¿і ¿і

Подставим значения (6.4), (6.5), (6.6) в (6.9) и внесем найденные выражения в (6.10). Получим

/(и,г>) % =-------7= \/VIЫ¥>2 (и) 01 (и) 02(и),

2иу/2в та

/(и, г») ^ =-------^= л/</?і (г>)<р2 (г») 01 (г>) 02(г>).

2уу/2в та

Здесь /(и, V) = (и — v)(1 — то)/то. Заметим, что /(и, V) = 2(У — и), где

(6.11)

С/ = і(и+і), у = і(г, + і). (6.12)

где

Замена (6.12) в уравнениях (6.11) дает

= (£/-Ю^ = Уо(п (6.13)

1 До2-*/2 _

<3(<«) = ¿(<«2 - Щ»2 - 4гЧК^"’ + Г)1 - >■-]

— многочлен уже лишь шестой степени. Уравнения (6.13) можно переписать и в стандартном для гиперэллиптических квадратур виде

<Ш (IV 0 ЦйЦ _ УдУ = м

л/Ш) л/Ш) л/Ш) л/Ш)

Укажем связь полученного результата с бифуркационной диаграммой. Рассмотрим многочлен

(т) р>2 (т) 01 (т) 02 (т), (6.16)

стоящий под радикалом в правых частях уравнений (6.11) и установим все случаи наличия у него кратного корня. Результант многочлена (6.16) и его производной по т с точностью до ненулевого постоянного множителя равен

в4т 12 (т2 — 2р2 т + г4)14 [2«2 — (р2 — г2)]4 [2«2 — (р2 + г2 )]4 [т2 — 2(р2 — 2в2 )т + г4 ]2. (6.17)

Как отмечалось, в силу соотношений (2.13), на рассматриваемом классе движений в = 0. Остальные случаи обращения в нуль выражения (6.17) приводят к уравнениям, перечисленным в теореме 3. Поэтому найденная бифуркационная диаграмма содержится в дискриминантном множестве многочлена (6.16). Такое явление типично для систем с разделяющимися переменными.

Заметим также, что все корни многочлена (6.16) с учетом обозначений (2.12) и тождеств

(3.13), (6.2) вычисляются явно:

-^-[(^±а)2 -Ъ2}, -У

У а Vа

!~т ±Ь)2 — а2], ±

\

Х + у/т

±„

X — Vт

\

Х-Ут

Х+у/т

Поэтому области изменения и, V легко определяются из соответствующих условий вещественности для любых значений 5, т. Полученные уравнения вместе с явными алгебраическими зависимостями исходных фазовых переменных от и, V дают возможность установить количество связных компонент в составе интегральных многообразий и характер происходящих бифуркаций, а также аналитически вычислять инварианты Фоменко—Цишанга для возникающего слоения Ли-увилля.

Список литературы

[1] Аппельрот ГГ. Не вполне симметричные тяжелые гироскопы // Движение твердого тела вокруг неподвижной точки, М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1940, с. 61 — 156.

[2] Богоявленский О.И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1984, т. 48, № 5, с. 883—938.

[3] Ковалевская С.В. Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки // Научн. работы, М.: Изд-во АН СССР, 1948, с. 153—220.

[4] Рейман А.Г, Семенов-Тян-Шанский М.А. Лаксово представление со спектральным параметром для волчка Ковалевской и его обобщений // Функц. анализ и его приложения, 1988, т. 22, № 2, с. 87-88.

[5] Харламов М.П. Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка Ковалевской в двойном поле // Механика твердого тела, 2004, вып. 34, с. 47-58.

[6] Харламов М.П. Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле // Механика твердого тела, 2002, вып. 32, с. 32-38.

[7] Харламов М.П., Савушкин А.Ю. Разделение переменных и интегральные многообразия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской // Укр. математ. вестник, 2004, т. 1, № 4, с. 548-565.

[8] Харламов М.П., Савушкин А.Ю. Явное интегрирование одной задачи о движении обобщенного волчка Ковалевской // ДАН, 2005, т. 401, № 3, с. 321—323.

[9] Харламов М.П., Савушкин А.Ю, Шведов Е.Г Бифуркационное множество в одной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской // Механика твердого тела, 2003, вып. 33, с. 10—19.

[10] Kharlamov M.P. Bifurcation diagrams of the Kowalevski top in two constant fields // Reg. & Chaot. Dyn., 2005, V. 10, № 4, p. 381-398.

[11] Zotev D.B. Fomenko-Zieschang invariant in the Bogoyavlenskyi case // Reg. & Chaot. Dyn., 2000, V. 5, № 4, p. 437-458.