CC BY
27Математика и математическое моделирование. 2019. MäTCMäTüKä МЯТСМЙТИЧССКОС
№ 06. С. 19 - 34.
DOI: 10.24108/mathm.0619.0000211 МОДСЛИрОВЙНИС
¿лен Сетевое научное издание
© С.П. Павлов, К.С. Бодягина http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911
УДК 539.32+519.63
Топологическая оптимизация конструкций, состоящих из нескольких материалов с использованием модифицированного метода SIMP
Павлов С.П.1, Бодягина К.С.1*
1 Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А., Саратов, Россия
bodkben@mailju
В данной работе предлагается использование модифицированного метода SIMP для решения задачи топологической оптимизации конструкций, содержащих компоненты из более, чем двух различных материалов, которые необходимо распределить наилучшим образом так, чтобы получить наилучшие структурные характеристики конструкции с использованием одной непрерывной переменной проектирования. Для демонстрации простоты и эффективности предлагаемого решения в работе приведены примеры решения задач многокомпонентной оптимизации для различных конструкций. С помощью данного решения могут быть получены надежные конструкции с улучшенными механическими характеристиками, которые могут быть использованы для решения реальных задач проектирования и изготовления сложных конструкций.
Ключевые слова: топологическая оптимизация, мультифазные материалы, аппроксимация свойств материалов, модифицированный метод SIMP
Представлена в редакцию: 04.11.2019, исправлена 18.11.2019
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №19-31-90064\19
Введение
Методы топологической оптимизации позволяют определить наиболее эффективное распределение материалов в области проектирования, чтобы получить оптимальные структурные характеристики. Метод топологической оптимизации, предложенный Bendsоe и ЮкисЫ [1], широко используется при решении задач оптимизации механических характеристик конструкций, а также других технических задач, например, задач термоупругости [2], гидродинамики [3,4], акустики [5], распространения волн [6], проектиро-
вания аэрокосмических объектов [7], проектирования многофункциональных материалов [8-10], мультифизических систем [11,12] и т. д. Также с помощью данного метода могут быть разработаны новые материалы и структуры, например, с использованием методов топологической оптимизации и гомогенизации в работе [13] были разработаны пьезоком-позиты. В последнее время топологическая оптимизация также используется в задачах медицины, например, для разработки индивидуализированных для пациента костных протезов [14] или имплантатов [15]. Однако в этих работах большинство задач включает только один материал и пустоту, хотя в некоторых случаях интересно взглянуть на топологию конструкции с несколькими фазами материала, имеющими разные характеристики. Как правило, такая многокомпонентная задача топологической оптимизации определяется поиском оптимального распределения фаз различных материалов с заданными объемными долями внутри области проектирования. Метод представляет топологию конструкции на основе физических свойств каждого из материалов.
В настоящее время наиболее широко используемыми подходами к решению задач топологической оптимизации структур являются методы явной параметризации, которые работают на фиксированной области конечных элементов; однако, вместо набора упругих свойств микроструктуры каждый конечный элемент содержит только одну проектную переменную. Эта переменная часто понимается как плотность р материала элемента. Одним из наиболее известных методов является метод SIMP (solid isotropic material with penalization), где для материала используется степенная интерполяция, и для простого случая конструкций, содержащих пустоту и одну фазу материала правило интерполяции имеет вид [16]:
Е (Р) = Р,Е, 0 <ртт <р < 1, (1)
где p — величина штрафа. Переменная проектирования р ограничена снизу небольшой положительной константой pmn, которая вводится для того, чтобы предотвратить вырожденность матрицы конечных элементов. Заметим, что при значениях pmn < р< 1 и положительных p ( p обычно принимается равным 3 или 5) модуль Ее (р) ограничен малым значением при плотности pe = pmm и величиной модуля Юнга фазы базового материала E0 , когда ре = 1 .
В работе [16] описан метод интерполяции для конструкций из двухфазных материалов:
Е(р) = ppEi +(1-pp)E2, 0 <р< 1, (2)
где Е и Е2 — значения модулей Юнга каждой из фаз. В данном случае пустота может быть реализована как Е2 = 0. Для материалов, содержащих две твердые фазы и пустоты, схема интерполяции может быть сформулирована в виде [16]:
Е(р, р) =pp (ppE1 + (1 -pp )E2). (3)
Заметим, что для описания трех фаз материалов требуется введение двух проектных переменных р и р2. Для решения задачи оптимизации материала, содержащего m фаз необходимо m -1 проектных переменных. Данная интерполяция становится громоздкой при решении задач оптимизации конструкций из более чем двух материалов. Большинство известных сегодня подходов для решения задач топологической оптимизации конструкций, содержащих множество материалов требуют введения дополнительных переменных проектирования, тем самым увеличивая вычислительные затраты.
В качестве альтернативного метода топологической оптимизации для конструкций из нескольких материалов в работе [17] при аппроксимации материалов была использована пиковая функция. Этот метод не приводит к увеличению числа проектных переменных, но наличие особых точек в этом методе является потенциальным источником трудностей при переходе из одной фазы материала в другую. В работе [18] был предложен алгоритм решения многофазной задачи топологической оптимизации с помощью разделения на несколько традиционных подзадач топологической оптимизации для двух материалов. Тем не менее, для т материалов требуется решить m(m -1) / 2 традиционных задач, что приводит к большим вычислительным затратам.
В статье для решения задачи многокомпонентной топологической оптимизации используется модифицированный метод SIMP с одной проектной переменной, который позволяет учесть свойства нескольких фаз материалов. В данном подходе плотность материала р рассматривается как независимая расчетная переменная и выбирается из непрерывного диапазона (включая нулевую плотность для пустоты), после чего разделяется дискретными значениями плотностей каждой из фаз материалов. Другие свойства рассматриваются как непрерывные функции от плотности.
Поскольку предлагаемый метод не требует введения дополнительных переменных интерполяции материалов, расчетные затраты не зависят от количества рассматриваемых материалов. Итерационная схема позволяет обеспечить стабильный переход из одной фазы материала в другую. Для демонстрации данного метода в работе рассмотрены численные примеры. Благодаря своей концептуальной простоте, предлагаемый модифицированный метод SIMP для интерполяции мультифазных материалов может быть легко применен для любых существующих задач топологической оптимизации.
1. Модифицированный метод SIMP для многокомпонентной
оптимизации
На рис. 1 приведен общий вид конструкции и граничные условия для задачи многокомпонентной топологической оптимизации. Конструкция содержит область оптимизации, которая включает в себя два и более материала, также конструкция может содержать технологические отверстия и включения. К границам приложены нагрузки интенсивности или применены условия жесткого закрепления, также граница может быть свободна от нагрузок, в зависимости от рассматриваемой задачи.
»ем ими (лруеиая осшарть
Рис. 1. Схематическое изображение конструкции и граничных условий для многокомпонентной
топологической оптимизации
В предлагаемом способе материалы сортируются по возрастанию нормированной
T
плотности материала P :
T
Pt =— (i = 1,2,3,..., m), (4)
P
' max
T
где P— максимальная плотность из всех оптимизируемых материалов; p — исходные плотности материалов; m — количество оптимизируемых материалов. Используя представление плотности (4), классическую степенную интерполяция (1) материала для случая многокомпонентной оптимизации можно записать в виде
К — ) = А— + Бв , (5)
где коэффициенты А и B для — e[p, — J выражаются как
А = E< - E<+1 в = К - A Pp, (6)
Pp -Ph
а К и E.+1 — модули Юнга для материалов в сортировке (4) с номерами i и i +1 соответственно. Вид частного случая функции (5) для трех материалов приведен на рис. 2.
F
Рис. 2. Упорядоченная многокомпонентная SIMP-интерполяция модуля упругости дл трех материалов
2. Постановка задачи топологической оптимизации для мультифазных
материалов
Как правило, для линейных упругих задач практика заключается в размещении более жесткого материала в местах с большими смещениями или напряжениями. Алгоритм в этой работе минимизирует энергию деформации W за счет увеличения плотности в областях с более высокой чувствительностью при соблюдении ограничений на количество каждого из материалов. Задача оптимизации заключается в сведении к минимуму полной энергии деформации W , т.е. получению конструкции с максимальной жесткостью
min — J W (x)d Q, (7)
W0 Q
где Q — область оптимизации, а--нормирующий множитель. При этом должно
Wo
быть выполнено следующее ограничение:
О<Jp(x)dQ<YiA , (8)
Q
где yi — допустимая доля каждого из материалов с плотностью pt; A — площадь области оптимизации Q .
Для исключения эффекта шахматной доски в оптимальной микроструктуре вводится штрафная функция в виде:
Kh
-J|Vp(x)\dQ, (9)
А и
где \ — заданный начальный размер элементов в разбиении; йшах — текущий размер элементов. Функция штрафа является безразмерной и для наихудшего возможного решения имеет значение порядка единицы. Безразмерная функция цели (7) и функция штрафа (9) должны быть согласованы, например, в виде линейной комбинации с заданным параметром q:
/ = 1 ж (+ ||уд х)|2 сI и. (8)
Жо и А и
3. Численные результаты
Для проверки предложенного подхода были решены задачи многокомпонентной топологической оптимизации для ряда конструкций. В дальнейшем все величины взяты в безразмерном виде. Во всех примерах действует внешняя сила ¥ = 10. Задачи решались методом конечных элементов. Все области проектирования были разбиты на треугольные конечные элементы с максимальным размером йтах = 0,03 по всей площади. При построении моделей использовались фиктивные материалы, их свойства указаны в каждом из примеров. На основании проведенных численных экспериментов штрафной коэффициент
р был выбран равным 5. При решении задач оптимизации использован метод скользящих асимптот (ММА).
Пример 1. Рассмотрим балку, граничные условия и размеры которой приведены на рис. 3. Длина рассматриваемой балки I = 6, высота И = 1. На верхней границе в центре действует нагрузка интенсивности ¥. Нижние углы балки зафиксированы в вертикальном направлении. В области оптимизации определены материалы с модулями Юнга
Е = 1-10 9, Е = 150, Е = 300 , а также заданы ограничения на долю каждого из материалов у, у2, у3 соответственно. Количество конечных элементов при расчете данной конструкции составило 17000, граничных элементов 540. Количество степеней свободы составило примерно 35000.
Рис. 3. Граничные условия для балки с двухсторонней фиксацией
На рис. 4, 5 показаны полученные для балки оптимальные микроструктуры. Жесткий материал с модулем Юнга Е = 300 обозначен красным цветом, более мягкий материал с Е = 150 — зеленым,наличие в данной области материала, близкого к пустоте с Е = 1-10 9 — синим. На рис. 4 приведены топологии для различных ограничений у при фиксированном у = 0,25, а на рис 5 — при различных у при фиксированном у = 0,5 .
в
Рис. 4. Оптимальные топологии балки при у3 = 0,25 для различных значений у :
а — у2 = 0,6; б — у2 = 0,5 ; в — у2 = 0,4
в
Рис. 5. Оптимальные топологии балки при у2 = 0,5 для различных значений у : а — у3 = 0,15 ; б — у3 = 0,25 ; в — у3 = 0,35
В табл. 1 приведены значения энергии деформации Ж для полученных оптимальных микроструктур балки при различных ограничениях на количество материалов. Значение у рассчитывается как у = 1 -у- у .
Таблица 1. Значения энергии деформации Ж для оптимальных конструкций
у = 0,4 Г2 = 0,5 у = 0,6
у = 0,15 - 27,329 23,682
у = 0,25 33,088 25,560 22,387
у = 0,35 30,805 24,358 -
Как видно из данной таблицы, значение энергии деформации Ж для оптимальных конструкций уменьшается при увеличении доли жесткого материала, то есть конструкция становится жестче и возрастает при увеличении доли более мягкого материала.
Пример 2. Рассмотрим еще одну конструкцию балки (рис. 6). Левая граница балки зафиксирована, на правой в центре приложена направленная вниз нагрузка Длина балки I = 3, высота к = 1. Расчеты для данной конструкции были проведены для разбиения на 8479 конечных и 269 граничных элемента. Количество степеней свободы составляет примерно 17500.
_1IF
1 = 3 ->
Рис. 6. Конструкция балки и граничные условия
На рис. 7 представлены оптимальные конструкции балки из двух материалов, полученной с помощью классической схемы интерполяции SIMP (1) (рис. 7, а) и конструкции,
состоящей из трех материалов, полученная при помощи модифицированной схемы интерполяции SIMP (5) (рис. 7, б).
Рис. 7. Конструкция балки и граничные условия для оптимальных микроструктур балки в случае двух- и
трехфазной оптимизации
В первом случае использованы параметры: Е = 1-10 9 (белый цвет), Е = 150 (красный цвет), ограничение на количество материала у = 0,65. Во втором случае использованы
параметры Е = 1-10 9 (белый цвет), Е = 150 (зеленый цвет), Е = 300 (красный цвет), ограничения на количество материалов у = 0,4, у = 0,25 . Сравнение результатов показывает, что конструкции принципиально схожи и оптимизация топологии с несколькими материалами дает близкие результаты.
На рис. 8 показаны напряжения Мизеса для двухфазной конструкции (см. рис. 7, б). Синий цвет означает минимальные напряжения, красный — максимальные. Как можно заметить, в ходе оптимизации более жесткими материалами заполняются области с наибольшими напряжениями.
Рис. 8. Напряжения Мизеса
Для этой же конструкции были получены оптимальные топологии для разных соотношений у и у с фиксированным суммарным количеством этих материалов:
у2+у = 0,75 (рис. 9).
Также были рассчитаны оптимальные микроструктуры для других типов приложения нагрузки: направленная вниз, приложенная внизу правой стороны (рис. 10); направленная вовне, приложенная по центру правой стороны (рис. 11). На рисунках приведены конструкции балок и граничные условия, а также оптимальные структуры для тех же соотношений у и у, что и в предыдущем случае.
Рис. 9. Оптимальные топологии балки для разных значений у и у Таблица 2. Значения энергии деформации Ж для оптимальных конструкций
б
а
в
У2 = 0,4; у3 = 0,35 У2 = 0,5; у3 = 0,25 у2 = 0,6; у3 = 0,15
Рис 6 129,72 116,35 101,46
Рис. 10а 135,84 119,65 108,54
Рис. 11а 7,48 6,20 5,35
в г
Рис. 10. Оптимальные структуры для балки с приложенной силой внизу: а — конструкция балки и граничные условия; б — структура при у2 = 0,6, у3 = 0,15 ;
в — структура при у2 = 0,5, у3 = 0,25 ; г — структура при у2 = 0,4 , у3 = 0,35
в г
Рис. 11. Оптимальные структуры для балки с силой направленной вовне: а — конструкция балки и граничные условия; б — структура при у2 = 0,6, у3 = 0,15 ; в — структура при у2 = 0,5 , у3 = 0,25 ;
г — структура при у2 = 0,4 , у3 = 0,35
Результаты показывают, что зависимости, полученные в примере 1, сохраняются и метод может быть применен для различных конструкций в разных условиях механического нагружения.
Пример 3. Рассмотрим мостовую конструкцию, изображенную на рис. 12.
Рис. 12. Мостовая конструкция
Расчеты для данной конструкции были проведены для разбиения на 11314 конечных и 607 граничных элемента. Количество степеней свободы составляет примерно 24000.
В области оптимизации определено 3 фазы материала с модулями Юнга Е = 1'10"9, Е = 100,150,200 (для трех разных случаев), Е = 300 , а также заданы ограничения на доли материалов у = 0,25 ; у = 0,4 .
В результате оптимизации были получены топологии при различных значениях модуля Юнга для материала Е2 (рис. 13).
б
а
в
Рис. 13. Оптимальные топологии для мостовой конструкции в зависимости от значения модуля Юнга Е2:
а — е = 100; б — е = 150; в — е = 200
На рисунке красным цветом обозначены области, заполненные материалом с модулем Юнга Е3, белым — материалом с модулем Е1; материал с модулем Е2 обозначен разным цветом в зависимости от значения этого модуля. Энергия деформации для различных значений модуля Юнга Е2 составила: 17,54 при Е2 = 100; 16,86 при Е2 = 150; 16,12 при
Е2 =200.
Чтобы продемонстрировать эволюцию решения задачи, в табл. 3 приведены топологии на выбранных итерациях для мостовой конструкции при Е2 = 150. В первом столбце обозначены номера выбранных итераций, во втором и третьем столбце приведены значения у2 у3 на выбранном шаге соответственно, а также значения энергии деформации Ж в четвертом столбце.
Данные таблицы показывает, что для получения оптимальной топологии в данном примере предлагаемым методом достаточно 45 шагов оптимизации. Для других рассмотренных примеров количество шагов отличалось незначительно. Такое небольшое количество итераций демонстрирует высокую сходимость и эффективность данного метода.
Таблица 3. Значения энергии деформации W для оптимальных конструкций
№ итерации
^2
Гз
W
Топология
19
0,118
0,225
65,14
27
0,26
0,227
29,272
35
0,4
0,23
17,59
45
0,4
0,25
17,54
Заключение
Рассмотренные примеры показали, что предлагаемый метод может эффективно решить задачи топологической оптимизации для нескольких материалов без значительного увеличения вычислительных затрат по сравнению с классическим методом SIMP для од-
ного материала. Этот метод быть легко встраивается в любой существующий алгоритм оптимизации, основанный на классическом методе SIMP и позволяет решить более сложные задачи структурной оптимизации.
Применение многокомпонентной концепции в топологической оптимизации усложняет процесс поиска решения, но также открывает новые возможности для инженеров за счет появления новых потенциальных альтернатив конструирования, которые тяжело предсказать интуитивно.
Функция, рассматриваемая в этом исследовании, может быть легко модифицирована для решения многоцелевых задач. Например, алгоритм может быть использован для создания реализуемых топологий из нескольких материалов для интеллектуальных структур при механических, термических и / или гидростатических нагрузках. Еще одна перспективная область, в которой можно воспользоваться этой процедурой — это технология имплантации [15]. Инновационные имплантаты могут быть сконструированы с использованием мультиматериалов и изготовлены из композитных материалов на 3D принтерах.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №19-31-90064\19
Список литературы
1. Bendsoe M.P., Kikuchi N. Generating optimal topologies in structural design using a homog-enization method // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1988. Vol. 71. No. 2. Pp. 197-224. DOI: 10.1016/0045-7825(88)90086-2
2. Pedersen P., Pedersen N.L. Interpolation/penalization applied for strength design of 3D thermoelastic structures // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2012. Vol. 45. No. 6. Pp. 773-786. DOI: 10.1007/s00158-011-0755-3
3. Pereira A., Talischi C., Paulino G.H., Menezes I.F.M., Carvalho M.S. Fluid flow topology optimization in PolyTop : stability and computational implementation // Structural and Multi-disciplinary Optimization. 2016. Vol. 54. No. 5. Pp.1345-1364. DOI: 10.1007/s00158-014-1182-z
4. Yongbo Deng, Yihui Wu, Zhenyu Liu. Topology optimization theory for laminar flow. Singapore: Springer, [2018]. 249 p.
5. Ning Chen, Dejie Yu, Baizhan Xia, Jian Liu, Zhengdong Ma. Microstructural topology optimization of structural-acoustic coupled systems for minimizing sound pressure level // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2017. Vol. 56. No. 6. Pp. 1259-1270.
DOI: 10.1007/s00158-017-1718-0
6. Rozvany G.I.N., Lewinski T. Topology optimization in structural and continuum mechanics. [Wien]: Springer, 2013. 471 p.
7. Stanford B., Beran P. Conceptual design of compliant mechanisms for flapping wings with topology optimization // AIAA J. 2011. Vol. 49. No. 4. Pp. 855-867.
DOI: 10.2514/1.J050940
8. Yuhang Chen, Shiwei Zhou, Qing Li. Multiobjective topology optimization for finite periodic structures // Computers & Structures. 2010. Vol. 88. No. 11-12. Pp. 806-811.
DOI: 10.1016/j .compstruc.2009.10.003
9. Yuhang Chen, Shiwei Zhou, Qing Li. Computational design for multifunctional microstructural composites // Intern. J. of Modern Physics B. 2009. Vol. 23. No. 7. Pp. 1345-1351. DOI: 10.1142/S0217979209060920
10. Takezawa A., Gil Ho Yoon, Seung Hyun Jeong, Makoto Kobashi, Mitsuru Kitamura. Structural topology optimization with strength and heat conduction constraints // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2014. Vol. 276. Pp. 341-361.
DOI: 10.1016/j.cma.2014.04.003
11. Gil Ho Yoon. Topological layout design of electro-fluid-thermal-compliant actuator // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2012. Vol. 209-212. Pp. 28-44. DOI: 10.1016/j.cma.2011.11.005
12. Xiaoping Qian, Sigmund O. Topological design of electromechanical actuators with robustness toward over- and under-etching // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2013. Vol. 253. Pp. 237-251. DOI: 10.1016/j.cma.2012.08.020
13. Vatanabe S.L., Paulino G.H., Silva E.C.N. Design of functionally graded piezocomposites using topology optimization and homogenization - Toward effective energy harvesting materials // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2013. Vol. 266.
Pp. 205-218. DOI: 10.1016/j.cma.2013.07.003
14. Sutradhar A., Paulino G.H., Miller M.J., Nguyen T.H. Topological optimization for designing patient-specific large craniofacial segmental bone replacements // Proc. of the Nat. Acad. of Sciences of the USA. 2010. Vol. 107. No. 30. Pp. 13222-13227.
DOI: 10.1073/pnas.1001208107
15. Heesuk Kang, Long J.P., Urbiel Goldner G.D., Goldstein S.A., Hollister S.J. A paradigm for the development and evaluation of novel implant topologies for bone fixation: Implant design and fabrication // J. of Biomechanics. 2012. Vol. 45. No. 13. Pp. 2241-2247.
DOI: 10.1016/j.jbiomech.2012.06.011
16. Bendsoe M.P., Sigmund O. Topology optimization: theory, methods and applications. 2nd ed. B.: Springer, 2004. 370 p.
17. Yin L., Ananthasuresh G.K. Topology optimization of compliant mechanisms with multiple materials using a peak function material interpolation scheme // Structural and Multidiscipli-nary Optimization. 2001. Vol. 23. No. 1. Pp. 49-62. DOI: 10.1007/s00158-001-0165-z
18. Tavakoli R., Mohseni S.M. Alternating active-phase algorithm for multimaterial topology optimization problems: a 115-line MATLAB implementation // Structural and Multidiscipli-nary Optimization. 2014. Vol. 49. No. 4. Pp. 621-642. DOI: 10.1007/s00158-013-0999-1
2019 Mathematics & Mathematical
DOI: 10.24108/mathm.0619.0000211
Modelling
Electronic journal
© S.P. Pavlov, K.S. Bodyagina http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911
Modified SIMP Method-Based Topological Optimization of Structures Consisting of Several Materials
S.P. Pavlov1, K.S. Bodyagina1*
1Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Saratov, Russia b o dksen@mail ju
Keywords: topological optimization, multiphase materials, approximation of material properties, modified SIMP method
Received: 04.11.2019, Revised: 18.11.2019
In this paper, we propose to use a modified SIMP method to solve the problem of topological optimization of structures from multiphase materials, i.e., structures containing components from more than two different materials, which must be distributed in the best way to obtain the best structural characteristics using only one design variable.
Most problems of topological optimization are concerned with only one material and void, although in some cases, it is of interest to have a look at the topology of structure with several phases of materials that is at the problems of topological optimization of the structure from multiphase materials. Nevertheless, most of presently known approaches to solve the problems of topological optimization of structures based on the multiphase materials involve introduction of additional design variables, thereby increasing computational costs.
The paper, when solving the problem of topological optimization of structures from multiphase materials, uses a modified SIMP method to approximate the properties of materials. In this approach a material density is considered as an independent calculated variable and selected from a continuous range, then separated by discrete values of densities of each material phase. Other properties are considered as continuous functions of density. The proposed method does not involve introduction of additional variables for materials approximation and ensures a stable transition from one phase of material to another and non-dependence of estimated costs on the amount of materials under consideration.
To demonstrate the simplicity and efficiency of the proposed solution, the paper gives the examples of solving topological optimization problems for various designs from multiphase materials. Due to its conceptual simplicity, the proposed method can be easily applied to any existing topological optimization problems. The examples described in the paper show that using this
solution allows us to obtain reliable structures with improved mechanical characteristics, which can be used to solve real problems in designing and manufacturing of complex structures.
References
1. Bendsoe M.P., Kikuchi N. Generating optimal topologies in structural design using a homog-enization method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1988, vol. 71, no. 2, pp. 197-224. DOI: 10.1016/0045-7825(88)90086-2
2. Pedersen P., Pedersen N.L. Interpolation/penalization applied for strength design of 3D thermoelastic structures. Structural andMultidisciplinary Optimization, 2012, vol. 45, no. 6, pp. 773-786. DOI: 10.1007/s00158-011-0755-3
3. Pereira A., Talischi C., Paulino G.H., Menezes I.F.M., Carvalho M.S. Fluid flow topology optimization in PolyTop : stability and computational implementation. Structural and Multi-disciplinary Optimization, 2016, vol. 54, no. 5, pp.1345-1364. DOI: 10.1007/s00158-014-1182-z
4. Yongbo Deng, Yihui Wu, Zhenyu Liu. Topology optimization theory for laminar flow. Singapore: Springer, [2018]. 249 p.
5. Ning Chen, Dejie Yu, Baizhan Xia, Jian Liu, Zhengdong Ma. Microstructural topology optimization of structural-acoustic coupled systems for minimizing sound pressure level. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2017, vol. 56, no. 6, pp. 1259-1270.
DOI: 10.1007/s00158-017-1718-0
6. Rozvany G.I.N., Lewinski T. Topology optimization in structural and continuum mechanics. [Wien]: Springer, 2013. 471 p.
7. Stanford B., Beran P. Conceptual design of compliant mechanisms for flapping wings with topology optimization. AIAA J.., 2011, vol. 49, no. 4, pp. 855-867. DOI: 10.2514/1.J050940
8. Yuhang Chen, Shiwei Zhou, Qing Li. Multiobjective topology optimization for finite periodic structures. Computers & Structures, 2010, vol. 88, no. 11-12, pp. 806-811.
DOI: 10.1016/j.compstruc.2009.10.003
9. Yuhang Chen, Shiwei Zhou, Qing Li. Computational design for multifunctional microstructural composites. Intern. J. of Modern. PhysicsB, 2009, vol. 23, no. 7, pp. 1345-1351. DOI: 10.1142/S0217979209060920
10. Takezawa A., Gil Ho Yoon, Seung Hyun Jeong, Makoto Kobashi, Mitsuru Kitamura. Structural topology optimization with strength and heat conduction constraints. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2014, vol. 276, pp. 341-361.
DOI: 10.1016/j.cma.2014.04.003
11. Gil Ho Yoon. Topological layout design of electro-fluid-thermal-compliant actuator. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2012, vol. 209-212, pp. 28-44. DOI: 10.1016/j.cma.2011.11.005
12. Xiaoping Qian, Sigmund O. Topological design of electromechanical actuators with robustness toward over- and under-etching. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2013, vol. 253, pp. 237-251. DOI: 10.1016/j.cma.2012.08.020
13. Vatanabe S.L., Paulino G.H., Silva E.C.N. Design of functionally graded piezocomposites using topology optimization and homogenization - Toward effective energy harvesting materials. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2013, vol. 266,
pp. 205-218. DOI: 10.1016/j.cma.2013.07.003
14. Sutradhar A., Paulino G.H., Miller M.J., Nguyen T.H. Topological optimization for designing patient-specific large craniofacial segmental bone replacements. Proc. of the Nat. Acad. of Sciences of the USA, 2010, vol. 107, no. 30, pp. 13222-13227.
DOI: 10.1073/pnas.1001208107
15. Heesuk Kang, Long J.P., Urbiel Goldner G.D., Goldstein S.A., Hollister S.J. A paradigm for the development and evaluation of novel implant topologies for bone fixation: Implant design and fabrication. J. of Biomechanics, 2012, vol. 45, no. 13, pp. 2241-2247.
DOI: 10.1016/j.jbiomech.2012.06.011
16. Bendsoe M.P., Sigmund O. Topology optimization: theory, methods and applications. 2nd ed. B.: Springer, 2004. 370 p.
17. Yin L., Ananthasuresh G.K. Topology optimization of compliant mechanisms with multiple materials using a peak function material interpolation scheme. Structural and Multidiscipli-nary Optimization, 2001, vol. 23, no. 1, pp. 49-62. DOI: 10.1007/s00158-001-0165-z
18. Tavakoli R., Mohseni S.M. Alternating active-phase algorithm for multimaterial topology optimization problems: a 115-line MATLAB implementation. Structural and Multidiscipli-nary Optimization, 2014, vol. 49, no. 4, pp. 621-642. DOI: 10.1007/s00158-013-0999-1
