CC BY-NC
116
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУКЦИЯ СУДОВ
Б01: 10.24937/2542-2324-2020-1-391-95-108 УДК 629.5.02:681.5.015.23
Г.Б. Крыжевич, А.Р. Филатов
ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия
КОМПЛЕКСНЫЙ ПОДХОД К ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ И ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Объект и цель научной работы. Объектом научной работы являются судовые конструкции. Цель работы состоит в разработке рекомендаций по алгоритмизации и использованию средств ЛЫБУБ для топологической и параметрической оптимизации судовых конструкций.
Материалы и методы. Используются современные методы топологической и параметрической оптимизации конструкций.
Основные результаты. Разработан алгоритм оптимального проектирования судовых конструкций. На основе комплексного использования методов топологической и параметрической оптимизации и современных программных продуктов проиллюстрировано его практическое применение на примерах оптимального проектирования перекрытия в составе крышки люка сухогрузного судна и узла стыкового соединения алюминиевых панелей в составе корпуса высокоскоростного судна.
Заключение. Разработанный алгоритм предназначен для поиска оптимальных конструктивных решений при проектировании морской техники. Он позволяет существенно снизить массу проектируемой конструкции и повысить ее ресурс по сравнению с ближайшими аналогами. Алгоритм является обобщением опыта топологической оптимизации, которая отыскивает наиболее рациональную конструктивно-силовую схему при действии заданных нагрузок. Использование оптимизации формы на заключительном этапе разработанного алгоритма приводит к увеличению на порядок ресурса проектируемой конструкции.
Ключевые слова: конструкции судовые, топологическая оптимизация, параметрическая оптимизация, оптимизация формы, метод конечных элементов, потенциальная энергия деформации, оптимальное проектирование. Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.
SHIP DESIGN AND STRUCTURE
DOI: 10.24937/2542-2324-2020-1-391-95-108 UDC 629.5.02:681.5.015.23
G. Kryzhevich, A. Filatov
Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia
COMPREHENSIVE APPROACH TO TOPOLOGICAL
AND PARAMETRIC OPTIMIZATION OF SHIP STRUCTURES
Object and purpose of research. The paper studies ship structures. The purpose of this work is to develop recommendations for algorithmization and use of ANSYS tools for topological and parametric optimization of ship structures. Materials and methods. Modern methods of topological and parametric optimization of structures were used. Main results. An algorithm for optimal design of ship structures has been developed. Based on the comprehensive use of topological and parametric optimization methods and modern software products, its practical application is illustrated by exam-
Для цитирования: Крыжевич Г.Б., Филатов А.Р. Комплексный подход к топологической и параметрической оптимизации судовых конструкций. Труды Крыловского государственного научного центра. 2020; 1(391): 95-108. For citations: Kryzhevich G., Filatov A. Comprehensive approach to topological and parametric optimization of ship structures. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2020; 1(391): 95-108 (in Russian).
ples of optimal grillage design as part of the hatch cover in dry cargo vessel and the joint of aluminum panels as part of the hull of high-speed vessel.
Conclusion. The developed algorithm was designed to find optimal design solutions in designing marine equipment. It allows to significantly reduce the weight of the designed structure and increase its resource compared to the closest analogues. The algorithm is a generalization of the experience of topological optimization, which finds the most rational structural and power scheme under the action of specified loads. The use of shape optimization at the final stage of the developed algorithm leads to an increase in the resource of the designed structure.
Keywords: ship structures, topological optimization, parametric optimization, shape optimization, finite element method,
potential strain energy, optimal design.
Authors declare lack of the possible conflicts of interests.
Введение
Introduction
Вопросы рационального проектирования судовых конструкций и снижения их материалоемкости на основе эффективного распределения материала никогда не теряли своей актуальности. В современных условиях оптимальное проектирование представляет собой большую область теоретической и практической деятельности ученых и инженеров и означает не одну только минимизацию материалоемкости конструкций при сохранении условий прочности, жесткости и эксплуатационной надежности. Поиск оптимальных решений по судовым конструкциям влечет за собой и отыскание способов сокращения финансовых затрат, связанных как со строительством судна, так и с его последующей эксплуатацией. Поэтому получаемые в процессе оптимизации решения по конструкциям должны быть одновременно технологичными и функциональными (отвечающими потребностям судна как удобного, надежного и эффективного транспортного средства).
В дальнейшем под оптимизацией конструкции будем понимать не абстрактный поиск ее самого совершенного вида, а отыскание с помощью мате-магических методов некоторого решения (геометрической формы и размеров конструкции), удовлетворяющего определенному критерию качества (показателю оптимальности) и заданным ограничительным условиям. На практике всякая попытка использовать более совершенный критерий качества, пригодный для оптимизации конструкций, и усовершенствованные ограничительные условия ведет к необходимости введения в рассмотрение все большего числа факторов, влияющих на окончательное решение, причем некоторые из них становятся трудно контролируемыми. Критериями качества могут выступать жесткость конструкции, равномерность распределения напряжений, масса конструкции, экономические критерии (наибольшая прибыль от эксплуатации изделия, приведен-
ные затраты). При использовании последней группы показателей качества возникает необходимость использования множества факторов, не поддающихся строгой оценке. Среди них находится, например, стоимость экологических последствий и стоимость человеческих жизней при катастрофических разрушениях конструкций.
Помимо отмеченных обстоятельств при оптимизации полезно учитывать также практический положительный опыт конструкторов, полученный при создании принципиально новых конструкций. Этот опыт говорит о том, что конструирование представляет собой многостадийный процесс, начинающийся с выбора конструктивно-силовой схемы, включающий выбор основных толщин и параметров силовых элементов (обшивки, балок набора и т.д.), и завершающийся конструктивно-технологическим оформлением узлов, позволяющим снизить концентрацию напряжений и обеспечить разумный уровень стоимости конструкции. Таким образом, на различных стадиях конструирования принимаются важные технические решения по конструкции с учетом технологических соображений и обусловленных ими стоимостных аспектов.
Ниже будет показано, что на каждой стадии конструирования с использованием современных программных продуктов можно использовать свои методы оптимизации. На стадии выбора конструктивно-силовой схемы целесообразно применять приемы топологической оптимизации, на стадии выбора толщин и параметров силовых элементов - параметрической оптимизации, а на стадии конструктивно-технологического оформления узлов - оптимизации формы. Реализация такого многостадийного процесса ведет к созданию практичного и эффективного алгоритма рационализации (оптимизации) конструкций, выгодно отличающегося от абстрактно-научного подхода к проектированию, основанного на одном акте оптимизации с использованием единственного критерия качества.
В последнее десятилетие активно развивались различные методы топологической оптимизации и соответствующие программные комплексы (ПК), являющиеся высокоэффективными инструментами формального оптимального проектирования. Топологическая оптимизация связана с выбором под имеющиеся условия эксплуатации не столько параметров (размеров) конструкции, сколько ее топологии. При этом существующие программные комплексы дают небывалые возможности, по некоторым признакам демонстрирующие проявление искусственного интеллекта. Оптимизация возможна по различным критериям, самым распространенным из которых является минимизация податливости (максимизация жесткости). Конструкции, получаемые в результате топологической оптимизации, зачастую имеют весьма причудливые формы, в ряде случаев похожие на биологические структуры. Воспроизведению таких структур в конструкциях судов в наибольшей мере способствуют лишь аддитивных технологий, которые являются довольно дорогостоящими и на данный момент нашли очень ограниченное распространение в судостроении. Однако это не делает топологическую оптимизацию как современную интеллектуальную технологию бесполезной для нужд судостроения, а вынуждает адаптировать получаемые конструкции под имеющиеся в судостроении промышленные технологии. Поэтому целью настоящей работы является создание алгоритма комплексного решения задач проектирования рациональных судовых конструкций на основе современных методов топологической, параметрической оптимизаций и оптимизации формы, решение ключевых вопросов выбора методов и программных модулей топологической оптимизации, формулировка рекомендаций по критериям оптимальности и ограничительным условиям при ее проведении, а также разработка рекомендаций по адаптации получающихся в результате топологической оптимизации конструктивных решений к современным технологиям, применяемым в судостроении. При этом широкое использование лазерной резки материала и лазерной сварки конструкций способствуют созданию более рациональных технических решений.
Для достижения этой цели решаются следующие задачи:
■ анализ основных особенностей методов топологической оптимизации;
■ формулировка рекомендаций по критериям оптимальности и ограничительным условиям при ее проведении;
■ формулировка основных блоков алгоритма комплексного решения задач проектирования рациональных судовых конструкций;
■ апробация предложенного алгоритма и методов оптимизации на примерах поиска рациональных решений по конструированию судовых перекрытий и узлов корпуса.
Особенности методов топологической оптимизации
Features of topological optimization methods
Задача топологической оптимизации
Предположим, что у нас имеются некоторая компактная область ß в евклидовом двумерном или трехмерном пространстве и определенное количество «строительного» материала (его объем V0 или масса m0). Пусть нам также заданы внешние силы (поверхностные или объемные), действующие на указанную область ß. Задача топологической оптимизации состоит в следующем: из имеющегося «строительного» материала требуется «слепить» конструкцию внутри области ß так, чтобы при действии заданных внешних сил она имела наилучшие характеристики. В классической задаче топологической оптимизации под «наилучшими характеристиками» понимают минимизацию потенциальной энергии деформации U (работы внутренних сил).
Здесь удобно ввести в рассмотрение конфигурационное пространство системы материальных частиц. Пусть Q - множество всех допустимых конфигураций частиц материала внутри области ß, а q с ß - некоторая допустимая конфигурация. Тогда задачу топологической оптимизации можно сформулировать следующим образом:
найти min 4^qU (q) (1)
при ограничении на массу материала
mmin
pdV < mmax, (2)
где p - плотность материала (вообще говоря, внутри области ß она может быть непостоянной); V - объем, занимаемый конфигурацией q; mmax, mmin - соответственно наибольшая и наименьшая допускаемые массы материала (при mmax = = mmin = m0 ограничение (2) становится ограничением-равенством). Заметим, что при p = 1 ограничение (2) превращается в ограничение на объем материала.
С точки зрения прочности весьма актуальным является вопрос ограничения наибольших напряжений и перемещений. Поэтому к задаче (1)-(2) часто добавляют следующие ограничения:
maxгеа о(г) < о„
maxî и(г) < ип
(3)
(4)
1 T
U (q) = 2fU(q)}T[K (q)]{u(q)},
(5)
где [К - матрица жесткости конечных элементов, симметричная для линейной статической задачи:
[K]T = [K];
(6)
перемещений, воспользовавшись симметричностью матрицы жесткости (6):
{и} = [ К]-1{^} ^ {и}т = ^}т[ К ]-Т = ^}Т[К]-1. (8) После подстановки (8) в (5) получаем
1T
U (q) = ^{F (q)}T{u(q)}.
(9)
где г - материальная точка (частица материала), принадлежащая конфигурации д; с - напряжение в материальной точке г (чаще всего применяется напряжение по Мизесу, однако это может быть и некоторая конкретная компонента тензора напряжений или их комбинация); и - перемещение материальной точки г (это может быть как полное перемещение, так и перемещение вдоль заданного направления).
Зачастую при решении задач топологической оптимизации помимо перечисленных ограничений активно используют ограничения на возникающие силы реакций, собственные частоты получающейся конструкции и ее максимальную температуру (если имеются тепловые нагрузки).
Задачу топологической оптимизации удобно рассматривать в случае, когда сопутствующая прочностная задача является статической и линейной. В этом случае работа и внутренних сил не зависит от пути нагружения и при использовании метода конечных элементов (МКЭ) может быть записана в виде1
{и} - вектор узловых перемещений, который связан с вектором {I7} узловых сил уравнением статического равновесия:
[К]{и} = = {П + {Г}; (7)
- вектор приложенных внешних нагрузок (узловых, объемных, поверхностных и тепловых); {^г} - вектор сил реакций.
Уравнение (7) содержит в себе граничные условия. Выразим из этого уравнения вектор узловых
При решении задач топологической оптимизации часть конструкции, на которую наложены граничные условия, обыкновенно является неизменяемой (неоптимизируемой), ровно как и часть конструкции, к которой приложены поверхностные или точечные силы. Поэтому в отсутствии объемных и тепловых нагрузок вектор слабо меняется при переходе от одной конфигурации к другой. Отсюда минимизация потенциальной энергии деформации и с учетом выражения (9) почти равносильна минимизации вектора {и} узловых перемещений. По этой причине в задачах топологической оптимизации целевую функцию потенциальной энергии деформации часто называют податливостью конструкции.
Классификация методов топологической оптимизации
Все существующие методы топологической оптимизации основаны на том или ином способе описания допускаемой конфигурации д частиц материала, и их можно разделить на две группы:
■ методы, использующие для описания допускаемой конфигурации ее характеристическую функцию х;
■ методы, описывающие допускаемую конфигурацию через через ее границу дд. Применяемую в методах первой группы характеристическую функцию х в задачах топологической оптимизации принято называть псевдоплотностью материала:
Xq (Г):
1 r î q, 0 r î Cnq.
(10)
При использовании МКЭ материальной точке г будет соответствовать конечный элемент с некоторым номером е = 1, ..., Ы, где N - общее число конечных элементов, а условие (10) запишется в виде
1 При решении задачи минимизации потенциальной энергии деформации константу 1/2, естественно, можно не учитывать.
1 сплошной материал, 0 пустота.
(11)
%
e
Все Хе образуют вектор {х} переменных проектирования, принимающих дискретные значения 1 или 0. Последнее обстоятельство затрудняет решение оптимизационной задачи, поскольку на текущий момент времени существующие алгоритмы решения дискретных оптимизационных задач, во-первых, имеют крайне низкую скорость сходимости (которая, к тому же, очень сильно зависит от размера задачи), и, во-вторых, в дискретных задачах отсутствуют четкие критерии оптимума.
Указанные выше недостатки наталкивают исследователей на ослабление условия (11) путем применения непрерывной псевдоплотности материала:
Xq: П ® [0; 1], (12)
где значения 0 < х < 1 соответствуют «серой» области перехода от сплошного материала к пустоте. С одной стороны, непрерывность псевдоплотности позволяет использовать градиентные методы решения оптимизационных задач, которые имеют как четкие критерии оптимума, так и высокую скорость сходимости, слабо зависящую от размера задачи. Но, с другой стороны, непрерывность псевдоплотности придает границе дд меру, отличную от нуля (ненулевой объем), что делает границу получающейся конструкции размытой. В существующей практике принято считать, что поверхность уровня Х = 0,5 соответствует границе полученной оптимальной конструкции.
Поскольку методы первой группы обладают явными недостатками, исследователями были разработаны методы второй группы, в которых конфигурация д описывается через свою границу дд, являющуюся поверхностью нулевого уровня некоторой непрерывной функции фд:
(r )
> 0 r î q / dq, = 0 r î dq, < 0 r î Cnq.
(13)
Xq (r) =
Отсюда легко выразить псевдоплотность: 1 Фq (r ) > 0,
0 Фq (r) < 0.
(14)
Непрерывность функции фд позволяет использовать градиентные методы, при этом граница конструкции имеет четкий контур, поскольку по определению описывается поверхностью уровня фд = 0. Однако здесь возникает проблема за-
рождения новых дыр в процессе эволюции границы, которая решается различными трудоемкими способами.
Методы с дискретной псевдоплотностью
Одним из первых методов топологической оптимизации с дискретной псевдоплотностью является метод ESO (evolutionary structural optimization, эволюционная оптимизация конструкции), разработанный Се и Стивеном в начале 1990-х гг. [1-3]. Он основан на идее постепенного удаления неэффективного материала из конструкции в соответствии со значениями потенциальной энергии деформации в конечных элементах. Предполагается, что благодаря такому процессу полученная конструкция будет эволюционировать в направлении оптимальной формы и топологии. К достоинствам метода ESO можно отнести простоту его реализации и возможность самостоятельного внедрения в коммерческие программные пакеты для расчетов с использованием МКЭ, а получаемая в результате оптимизации конструкция имеет четкие границы без серой переходной области. Метод ESO не требует перестроения конечноэлементной (КЭ) сетки, а по мере удаления конечных элементов число решаемых уравнений сокращается, что потенциально приводит к сокращению времени вычислений. К недостаткам метода ESO следует отнести зависимость от КЭ сетки, а также отсутствие гарантий оптимальности получаемого решения, поскольку материал, удаленный на ранних итерациях алгоритма, может потребоваться на поздних итерациях для построения оптимальной конструкции, т.е. возможно преждевременное или ошибочное удаление материала [4].
Естественным развитием метода ESO стал метод BESO (bi-directional evolutionary structural optimization, двунаправленная эволюционная оптимизация конструкции), который позволяет не только удалять, но и добавлять материал. Первые работы по методу BESO были выполнены Се, Стивеном и Керином в конце 1990-х гг. [5, 6]. С тех пор этот метод претерпевал много изменений, нацеленных на борьбу с эффектом шахматной доски (угловым касанием сплошного материала) и на достижение устойчивой сходимости. Одна из успешных модификаций метода BESO представлена в работе Хуана и Се [7], в которой показано, что введение фильтра, сглаживающего числа чувствительности конечных элементов по объему, позволяет добиться
независимости получаемых решений от КЭ сетки, а усреднение чисел чувствительности по итерациям - устойчивой сходимости метода на тестовых примерах [4]. Однако вопросы сходимости и нахождения глобального оптимума для общего случая остаются открытыми [8].
Рассмотренные выше так называемые «жесткие» методы ESO/BESO являются методами с принудительным удалением конечных элементов. Помимо них также были разработаны «мягкие» методы ESO/BESO [9, 10], в которых вместо явного удаления конечных элементов им присваивается очень низкий модуль Юнга, имитирующий сверхподатливый материал. Подобный подход позволяет вычислять чувствительность к добавлению непосредственно в «пустых» конечных элементах, имеющих ненулевую потенциальную энергию деформации, а не экстраполировать чувствительность из соседних «сплошных» элементов [11]. Однако в ряде работ [4, 12] отмечается, что «мягкий» метод BESO по своей реализации и результатам очень близок к методу SIMP, рассматриваемому ниже.
Методы с непрерывной псевдоплотностью
Одним из первых подходов с непрерывной псевдоплотностью материала стал метод SIMP (solid isotropic material with penalization, твердый изотропный материал со штрафом), сформировавшийся в работах Бендшо [13], Розвани и Жу [14] и др. (детальная историческая справка имеется в работе Розвани [15]). В этом методе жесткость «серого» материала связана с его псевдоплотностью посредством степенного закона [16]:
[Ke (Xe)] = Xp [Ke0], (15)
где [Ke] - текущая матрица жесткости конечного элемента; [Ke0] - матрица жесткости конечного элемента со сплошным материалом; х - псевдоплотность конечного элемента ; p - параметр штрафа. Использование штрафного параметра p > 1 в задаче минимизации податливости делает невыгодным появление конечных элементов с промежуточными псевдоплотностями, что по сути является
2 Для того, чтобы в задаче не возникали вырожденные матрицы жесткости конечных элементов, у псевдоплотности х имеется положительная нижняя граница Хш!п (т.е. 0 < Хйп - X -1), что позволяет избежать перестроения КЭ сетки при появлении пустот.
своеобразным фильтром «серой» области материала [16]. В [17] показано, что условия Хашина -Штрикмана3 [18] для «серого» материала накладывают ограничения на параметр штрафа: в двухмерных задачах
Г 2 4 1
p > max i-;-У,
J1 - Vo 1 + Vo J
(16)
в трехмерных задачах
> Ji« 1 - vo 3 1 - Vo 1
p > max i 15-—;--— У,
' [ 7 - 5vo 21 - 2vo J
где vo - коэффициент Пуассона сплошного материала. Из условия (16) для стали при vo = o,3 получается ограничение p > 3,o8 в двумерном случае и p > 2,63 в трехмерном случае, а для алюминия при vo = 1/3 - p > 3 в обоих случаях. Недостатками метода SIMP являются отсутствие выпуклости целевой функции и вероятное наличие большого числа локальных минимумов при p > 1, а также зависимость от КЭ сетки и штрафного параметра [19], причем слишком большое значение p приводит к быстрой сходимости к локальным минимумам [12]. Еще одними недостатками метода SIMP является проблема шахматной доски, а также необходимость постобработки полученной геометрии. К сильным сторонам метода SIMP относят простоту реализации, низкую вычислительную сложность и высокую скорость сходимости. Данный метод встроен в ПК ANSYS Workbench.
Зигмундом [2o] был предложен модифицированный метод SIMP, в котором минимальный модуль упругости Emm «пустого» конечного элемента задается явно и не зависит от штрафного параметра p:
Ee (Xe) = Emin + Xe (Eeo - Emin) = Emin + Xp^Ee, (17)
где Ee - текущий модуль Юнга конечного элемента; Eeo - модуль Юнга конечного элемента со сплошным материалом. Хотя в этом случае псевдоплот-
3 Условия Хашина-Штрикмана, накладывающие ограничения на модуль сдвига и объемный модуль упругости для смеси нескольких различных однородных изотропных материалов, показывают, при каких значениях штрафного параметра механические свойства «серого» материала становятся физичными, т. е. его можно рассматривать как смесь сплошного материала и пустоты (вспененный материал).
ность х, может принимать нулевое значение, данный метод не имеет принципиальных отличий от исходного метода SIMP (основные отличия заключаются в возможности решения задач с двумя фазами материала и удобстве применения различных фильтров [20]).
Еще одним подходом с непрерывной псевдоплотностью материала является метод RAMP (rational approximation of material properties, дробная аппроксимация свойств материала), разработанный Столпом и Сванбергом [21]. В этом методе модуль Юнга Ee конечного элемента связывается с его псевдоплотностью х, посредством рациональной функции
Хв
которая должна быть подчинена уравнению Га-мильтона-Якоби:
Ee (Xe ) Em
1 + q(1 - Xe )
-AEe
(18)
dt
+ V-Уф = 0,
(19)
где q - параметр штрафа. Как и в методе SIMP, значение q > 0 сужает «серую» область материала [16]. Основное отличие метода RAMP от метода SIMP заключается в том, что податливость является вогнутой функцией псевдоплотности при q > cq = AEe/Emin, а это, в свою очередь, гарантирует существование глобального минимума [21]. При этом в методе SIMP податливость не становится вогнутой функцией х вне зависимости от того, насколько большим выбран параметр p [22]. Прямое сопоставление методов показало, что SIMP с ростом p порождает волокнистые отростки материала, затрагивающие все большую часть области проектирования, в то время как RAMP выдает практически черно-белые результаты с отростками, слабо растущими при увеличении q [23]. Сохраняя все сильные стороны метода SIMP, метод RAMP обладает схожими недостатками в виде зависимости от КЭ сетки и от штрафного параметра.
Методы эволюции границы
В 1988 году Ошером и Сетьяном [24] был предложен метод LS (level set, установка уровня или набор уровней) в качестве неявного представления границы раздела в эйлеровой системе координат, который нашел свое применения для решения задач топологической оптимизации лишь в начале 2000-х гг. в работах Сетьяна [25, 26], Ошера [27, 28] и Ванга с соавторами [29]. Основная идея состоит в том, что топологическая оптимизация представляется эволюцией в псевдовремени t границы конструкции, являющейся поверхностью нулевого уровня некоторой непрерывной функции ф (13),
где V - скорость движения границы (как видно, играет роль лишь нормальная компонента скорости в направлении градиента). Решение уравнения (19) описывает границу оптимальной конструкции, при этом псевдоплотность записывается аналогично (14) через функцию Хевисайда H:
Xe = H(ф, ). (20)
Недостатками метода LS являются зависимость результата от начальной топологии конструкции [30] (например от числа дыр в начальной топологии), высокая вычислительная сложность и низкая скорость сходимости по сравнению с методами первой группы, а также отсутствие в (19) механизма зарождения новых дыр в процессе эволюции границы, хотя слияние существующих дыр возможно [11]. Проблема зарождения новых дыр была решена рядом авторов [31-33] путем привлечения топологической производной, разработанной Соколовским и Зоховским [34], которая отражает изменение целевой функции при появлении бесконечно малой дыры и позволяет новым дырам зарождаться в любом месте области проектирования Основными преимуществами метода LS являются четкая граница получаемой конструкции и слабая зависимость от КЭ сетки. Этот метод встроен в ПК ANSYS Workbench.
Еще одним методом эволюции границы является метод PF (phase field, фазовое поле), который к задачам топологической оптимизации был впервые применен Бурденом и Шамболем [35, 36], а также Ван-гом и Жу [37]. В данном методе сплошной материал и пустота рассматриваются как две фазы одного материала, между которыми существует диффузионная граница раздела ненулевой толщины. Для описания фазового распределения материала на всей области проектирования Q задается фазовая функция ф, которая в пустой фазе принимает значение 0, в сплошной фазе - значение 1, а в диффузионной границе раздела фаз - промежуточные значения 0 < ф < 1. Свободная энергия полученной системы записывается в форме функционала Гинзбурга-Ландау
f (ф) ч,
||уф|2 +1w (ф) 2 £
dv,
(21)
где е - коэффициент толщины диффузионной границы; W - двухъямный потенциал (W(0) =
= W(1) = 0). Данная свободная энергия с некоторым весовым коэффициентом добавляется к потенциальной энергии деформации U (5), после чего ставится задача минимизации полученной суммы. Как видно, оба подынтегральных слагаемых в (21) обращаются в ноль в сплошной и пустой фазах материала и являются ненулевыми только в пределах диффузионной границы раздела фаз, причем первое слагаемое штрафует появление излишних границ раздела, а второе слагаемое заставляет ф принимать одно из двух значений 0 или 1. Эволюция границы описывается уравнением четвертого порядка Кана-Хилларда
Эф „ Г „ 5FP (ф) —L = V-I MV— dt è 5ф
(22)
где M - диффузионный коэффициент. Достоинствами метода РБ являются слабая зависимость от КЭ сетки и возможность явного контроля толщины «серой» области материала, что придает получаемому решению четкие границы. В методе РБ, в отличие от метода Ь8, имеется возможность зарождения новых дыр, т.е. отсутствует зависимость результата от начальной топологии конструкции. Недостатками этого метода являются высокая вы-
числительная сложность и низкая скорость сходимости по сравнению с методами первой группы.
Сопоставление методов топологической оптимизации
Основные достоинства и недостатки рассмотренных выше методов топологической оптимизации представлены в таблице.
Алгоритм оптимального проектирования
Optimal design algorithm
В соответствии с вышесказанным одной из основных задач работы является создание алгоритма комплексного решения задач проектирования рациональных судовых конструкций и его апробация на примерах конструирования судовых перекрытий и узлов корпуса. Предварительные расчетные исследования позволили предложить алгоритм на базе комбинации методов топологической, параметрической оптимизаций и оптимизации формы, нашедших применение в известных компьютерных технологиях и отраженных в ПК ANSYS Work-
Основные достоинства и недостатки методов топологической оптимизации The main advantages and disadvantages of topological optimization methods
Метод Достоинства Недостатки
ESO ■ Четкие границы конструкции ■ Простота реализации ■ Отсутствие четких критериев оптимума (эвристические методы) ■ Возможно преждевременное удаление КЭ ■ Эффекты шахматной доски ■ Зависимость от КЭ сетки
BESO ■ Отсутствие эффекта шахматной доски ■ Независимость от КЭ сетки ■ Низкая скорость сходимости
SIMP ■ Четкие критерии оптимума ■ Высокая скорость ■ Простота реализации ■ Зависимость от КЭ сетки ■ Зависимость от штраф- ■ Наличие локальных минимумов приp > 1 ■ Эффекты шахматной доски
RAMP сходимости ■ Низкая вычислительная сложность ■ Существование глобального минимума ного параметра ■ Размытые границы конструкции
LS ■ Четкие критерии оптимума ■ Четкие границы конструкции ■ Зависимость от КЭ сетки ■ Низкая скорость ■ Не поддерживает ограничения ни по перемещениям, ни по напряжениям
PF сходимости ■ Высокая вычислительная сложность ■ Зависимость от коэффициента 8 толщины границы
bench. На основе данного алгоритма были получены новые конструктивные решения для уже используемого на конкретном судне-сухогрузе перекрытия в виде крышки люкового закрытия, а также для используемых в практике проектирования узлов корпусов высокоскоростных судов.
Укрупненная блок-схема предлагаемого алгоритма состоит из нескольких этапов (рис. 1). На начальном этапе (блок 0) создается область проектирования, в которую должна быть вписана разрабатываемая конструкция, задаются нагрузки и граничные условия.
Следующим этапом (блок 1) является решение задачи топологической оптимизации. Эта задача может быть сформулирована как в классической постановке минимизации податливости конструкции с сопутствующим ограничением ее массы или объема, так и в двойственной постановке минимизации массы конструкции с сопутствующим ограничением ее податливости. В ходе решения задачи топологической оптимизации выполняется поиск оптимальной структуры и эффективного распределения материала, что позволяет выявить рациональную конструктивно-силовую схему.
На этапе, следующем за топологической оптимизацией, выполняется адаптация полученного решения под имеющиеся технологии (блок 2). Полученная конструкция перед передачей в производство в подавляющем большинстве случаев нуждается в постобработке даже при применении аддитивных технологий. Например, при использовании метода SIMP требуется избавиться от «серого» материала и четко определить контур конструкции, зачастую необходимо сгладить ее поверхности, а также устранить эффект шахматной доски при его наличии. В случае применения традиционных для судостроения технологий ситуация существенно сложнее. Здесь требуется на основе полученной структуры, зачастую очень комплексной, сформировать относительно простую конструктивно-силовую схему конструкции, определяемую типом силовых элементов, их числом, расположением в пространстве и способами соединения между собой. В результате этого процесса, сопровождаемого использованием эвристических приемов, опыта и инженерной интуиции проектанта, появляется облик конструктивного решения (совокупность оболочечных элементов, пластин, диафрагм, подкрепляющих полос, ребер жесткости, рамных балок, бракет, книц и т.д.), соответствующий современным технологиям изготовления конструкций. В частности, при проектировании перекрытия по графическому изображению распределения материа-
Блок 0
• Создание области проектирования
• Задание ограничений
Блок 2
Адаптация полученного решения
Традиционные технологии
/ N.
Аддитивные
технологии
к J
Блок 3
Параметрическая оптимизация
Блок 4
Проверочный расчет прочности
Блок 5
Оптимизация формы
Рис. 1. Укрупненная блок-схема предлагаемого алгоритма оптимального проектирования судовых конструкций
Fig. 1. Macroflowchart of the proposed algorithm for ship structures optimal design
ла в полученном на компьютере монолите (распределению псевдоплотности), к которым приводит один из вариантов топологической оптимизации, можно определить места размещения обшивки (возможно, и нескольких обшивок, как у двойного дна или двойного борта судна), подкрепляющих элементов - ребер жесткости и перекрестных связей, т.е. на данном этапе создается вполне определенная топологическая и конструктивно-силовая схема структуры перекрытия, приемлемая для его изготовления по одной из существующих технологий.
Следующим этапом в создании рациональной конструкции является либо выполнение параметрической оптимизации в случае ориентации на традиционные технологии изготовления конструкций (блок 3), либо выполнение проверочного расчета прочности в случае применения аддитивных технологий (блок 4). Параметрическая оптимизация требует задания исходных параметров конструктивного проектирования (назначение размеров основных элементов проектируемой конструкции на основе имеющихся нормативных документов, прототипов и аналогичных изделий и инженерной интуиции).
В некоторых случаях для получения окончательных значений параметров (толщин элементов, их кривизны, поперечных сечений балок, взаимного расположения элементов и т.д.) необходимы проверочные КЭ расчеты на основе критериев качества проектирования в виде минимальной массы (объема) конструкции, минимума напряжений, минимальных приведенных затрат, максимальной прибыли или других критериев качества проектирования либо на базе некоторых важных ограничений по переменным состояния.
Завершающим этапом проектирования является снижение концентрации напряжений в конструкции путем выполнения оптимизации формы (блок 4). Она позволяет выполнить плавный переход от одной связи к другой, что снижает градиент напряжений, а это, в свою очередь, способствует увеличению ресурса конструкции. Необходимость оптимизации вытекает из того факта, что при использовании МКЭ мы вынуждены рассматривать конструкцию как систему с конечным числом степеней свободы. При этом с требуемым качеством выполняется оптимизация лишь наиболее энергоемких форм перемещений (точнее, максимизация соответствующих им обобщенных жесткостей либо минимизация обобщенных податливостей). Напряженно-деформированное состояние в зонах концентрации напряжений определяется не только энергоемкими формами перемещений конструкции, но и малоемкими формами (в линейном приближении соответствующими высшим формам собственных колебаний). Для обеспечения максимизации соответствующих им обобщенных жесткостей возможен (в принципе) подход, основанный на более детальном разбиении КЭ сетки в процессе оптимизации. На практике он зачастую не дает хороших результатов в связи с возможными проявлениями неустойчивости этого процесса. Более рационально производить снижение концентрации напряжений на отдельном этапе совершенствования конструкции (на стадии оптимизации формы), позволяющем, как правило, существенно повысить предельную и особенно усталостную прочность.
Примеры оптимизации судовых конструкций
Examples of ship structures optimization
Перекрытие в виде крышки люкового закрытия сухогрузного судна
При оптимизации крышки учитывалось, что она должна иметь, по возможности, минимальную
массу. В качестве прототипа была взята крышка люкового закрытия сухогрузного судна проекта RSD59, показанная на рис. 2 (см. вклейку). Ограничениями выступают габаритные размеры крышки, а также величина максимального прогиба при действии нормативной нагрузки (согласно Правилам РМРС). Сама крышка опирается по трем сторонам (одна из длинных сторон является петлевой кромкой, и две короткие стороны опираются на комингсы люка), а ее четвертая сторона является свободной.
Для решения этой задачи были использованы методы SIMP и LS топологической оптимизации. Область проектирования показана на рис. 3б (см. вклейку). Она представляет собой параллелепипед, вписанный в габаритные размеры проектируемой крышки. На наружную обшивку приложено расчетное давление (рис. 3а, см. вклейку). Оптимизации подвергался весь объем параллелепипеда, за исключением верхней грани, являющейся наружной обшивкой, воспринимающей нагрузку, и четырех боковых граней, являющихся сторонами крышки. Целевой функцией являлась податливость конструкции, выполнялась ее минимизация. Ограничением выступала масса конструкции (одинаковая для обоих методов). При использовании метода SIMP было установлено также и ограничение на максимальный прогиб конструкции. При оптимизации крышки методом LS это оказалось невозможным, поскольку он не поддерживает ограничений ни по прогибу, ни по напряжениям.
Результат топологической оптимизации, выполненной методом SIMP, показан на рис. 4 (см. вклейку). Как видно, со стороны петлевой кромки образовались ферменные конструкции, тянущиеся в сторону свободной кромки. Также между петлевой кромкой и короткими сторонами «выросли» диагональные фермы, которые вместе с соединяемыми сторонами образуют треугольные контуры, увеличивающие жесткость крышки. Все образовавшиеся фермы являются неплоскими и имеют раздваивающиеся раскосы. Со стороны свободной кромки образовался мощный поясок, к которому примыкают фермы от петлевой кромки. Этот поясок в углах крышки связывается с наружной обшивкой и свободной стороной практически сплошными стенками, имеющими небольшие вырезы и идущими под углом к свободной стороне.
На рис. 5 (см. вклейку) показан результат топологической оптимизации, выполненной методом LS. Поскольку этот метод не поддерживает огра-
ничения по прогибам и напряжениям, конструкция получилась более грубой. От всего перекрытия осталась только одна мощная связь около свободной кромки. Данное обстоятельство подтверждает результаты оптимизации методом SIMP и прямым образом указывает на то, что подкрепление в первую очередь должно быть установлено именно в этом месте.
Адаптация полученного решения под технологии, имеющиеся в судостроении, выполнялась путем модификации традиционной конструкции крышки, показанной на рис. 2. Традиционная конструкция имеет основной (продольный) и вспомогательный (поперечный) набор, а также ребра жесткости на наружной обшивке, предотвращающие потерю устойчивости. Эта конструкция была переработана в соответствии с результатами топологической оптимизации, и был получен адаптированный вариант, показанный на рис. 6а (см. вклейку). В нем вместо поперечных ферм использован поперечный набор, часть из которого выполнена в виде интеркостельных связей, а мощный поясок с его опорами преобразован в сдвоенные продольные связи у свободной кромки и диагональные связи, их соединяющие. Также диагональные связи использованы для соединения коротких кромок с петлевой, что увеличивает жесткость опорного контура. Хотя адаптированный вариант пригоден для технологий судостроения, он был переработан в упрощенный вариант, показанный на рис. 66 (см. вклейку). Этот вариант уже не имеет диагональных связей (что заметено снижает трудоемкость изготовления), они заменены дополнительными продольными связями, а половина поперечных связей заканчивается на ближайшей продольной. Хотя адаптированная конструкция по сравнению с упрощенной имеет на 5 % меньшую массу и на 2 % меньший прогиб при действии нормативной нагрузки, ее недостатком, помимо большей трудоемкости изготовления, является наличие жесткой точки в месте пересечения диагональных связей с продольной. Массы обеих разработанных конструкций крышки на 28 % меньше массы исходной.
Узел корпуса высокоскоростного суда
В ходе разработки новой редакции Правил классификации и постройки высокоскоростных судов были пересмотрены существующие корпусные узлы. Одним из первых оптимизации подвергся узел стыкового соединения алюминиевых панелей, показан-
Накладка-полособульб
\ ' Алюминиевая панель
Стык панелей
Рис. 7. Узел стыкового соединения алюминиевых панелей
Fig. 7. The aluminum panels joint
ный на рис. 7. Накладка, привариваемая сверху на ребро жесткости в районе стыка, призвана снизить уровень напряжений в стыке панелей, поскольку прочностные свойства алюминиевых сплавов падают в зоне термического влияния (ЗТВ). Традиционно данная накладка выполняется из профиля симметричного полособульба.
Так же, как и в случае крышки люкового закрытия, проектирование новых узлов выполнялось с использованием методов SIMP и LS топологической оптимизации. Область проектирования показана на рис. 86 (см. вклейку). На наружную обшивку было приложено расчетное давление, а концы ребра жесткости были жестко заделаны (рис. 8а, см. вклейку). Целевой функцией являлась податливость конструкции, выполнялась ее минимизация. В качестве ограничения выступало снижение массы накладки на 50% (одинаковое для обоих методов).
Результаты оптимизации показаны на рис. 9 (см. вклейку). Как видно, в обоих случаях накладка получила арочную структуру. Основное различие состоит в том, что метод SIMP «выел» отверстия в стенке полособульба, при этом сохранив большую часть пояска, а метод LS почти полностью удалил поясок, не тронув стенку. Стоит отметить, что при использовании решения методом SIMP напряжения в стыке панелей оказываются в 1,4 раза выше, чем при использовании решения методом LS.
Под судостроительные технологии выполнялась адаптация решения, полученного методом LS. Для этого были удалены остатки пояска, после чего была произведена оптимизация формы, сгладившая переход от пояска к накладке (рис. 10, см. вклейку). Накладка полученной формы имеет на 30 % меньшую массу по сравнению с исходной, при этом напряжения в месте стыка накладки с пояском упали почти в три раза, что приводит к увеличению ресурса конструкции в 5 раз. Напряжения же в стыке панелей выросли не более чем на 10 % по сравнению с исходным узлом.
Заключение
Conclusion
Разработан алгоритм оптимального проектирования судовых конструкций, включающий в себя методы топологической и параметрической оптимизаций, а также оптимизации формы. Алгоритм является обобщением опыта различных подходов к оптимизации. Отличительной чертой алгоритма является выполнение оптимизации формы на заключительном этапе проектирования.
Проанализированы методы топологической оптимизации, выполнено их сопоставление. Для каждого из рассмотренных методов указаны достоинства и недостатки.
С использованием методов SIMP и LS выполнена разработка двух типов судовых конструкций: перекрытия в составе крышки люка сухогрузного судна и узла стыкового соединения алюминиевых панелей в составе корпуса высокоскоростного судна. Целевой функцией во всех задачах являлась податливость конструкции, выполнялась ее минимизация (и, тем самым, максимизация жесткости), а ограничение накладывалось на массу используемого материала. Подобная постановка задачи позволяет выявить конфигурацию структуры, наилучшим образом воспринимающую действие внешних сил. Ужесточение ограничения на массу материала приводит к тому, что в результирующей структуре остаются только самые основные силовые связи и происходит их утончение. Для максимально полного понимания возможной силовой структуры целесообразно выполнять серию оптимизационных расчетов с постепенным изменением ограничения на массу используемого материала.
После проведения топологической оптимизации требуется выполнение проверочного расчета прочности. Этот расчет позволяет выявить области концентрации напряжений. Накопление усталостных повреждений и зарождение трещин происходит именно в таких областях. Для увеличения ресурса конструкции требуется сгладить пики напряжений, сделать поле напряжений более равномерным. Именно с этой целью на заключительном этапе разработанного алгоритма оптимального проектирования предусмотрено проведение оптимизации формы, которая снижает градиент напряжений за счет сглаживания переходных зон в местах пересечения связей.
Конструкции, получаемые в результате использования предложенного алгоритма оптимального проектирования, при малом весе имеют как высо-
кую жесткость и прочность, так и высокий ресурс, что самым благоприятным образом отражается на экономической эффективности содержащего их объекта морской техники.
Библиографический список
References
1. Y.M. Xie, G.P. Steven. Shape and layout optimization via an evolutionary procedure // Proceedings of International Conference on Computational Engineering Science. Hong Kong, 1992.
2. Y.M. Xie, G.P. SteVen. A simple evolutionary procedure for structural optimization // Computers & Structures, 1993. Vol. 49. No. 5. P. 885-896.
3. Y.M. Xie, G.P. SteVen. Evolutionary structural optimization. London: Springer, 1997.
4. X. Huang, Y.M. Xie. Evolutionary topology optimization of continuum structures. Methods and Applications. UK: Wiley, 2o1o.
5. O.M. Querin, G.P. Steven, Y.M. Xie. Evolutionary structural optimization (ESO) using a bidirectional algorithm // Engineering Computations. 1998. Vol. 15. No. 8. P. Ю31-Ю48.
6. X.Y. Yang, Y.M. Xie, G.P. Steven, O.M. Querin. Bidirectional evolutionary method for stiffness optimization // AIAA Journal. 1999. Vol. 37. No. 11. P. 1483-1488.
7. X. Huang, Y.M. Xie. Convergent and mesh-independent solutions for bi-directional evolutionary structural optimization method // Finite Elements in Analysis and Design. 2oo7. Vol. 43. No. 14. P. Ю39-Ю49.
8. D.J. Munk, G.A. Vio, G.P. Steven. Topology and shape optimization methods using evolutionary algorithms: a review // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2o15. Vol. 52. No. 3. P. 613-631.
9. G.I.N. Rozvany, O.M. Querin. Combining ESO with rigorous optimality criteria // International Journal of Vehicle Design. 2oo2. Vol. 28. No. 4. P. 294-299.
10. X. Huang, Y.M. Xie. Bi-directional evolutionary topology optimization of continuum structures with one or multiple materials // Computational Mechanics. 2oo9. Vol. 43. No. 3. P. 393-4o1.
11. J.D. Deaton, R.V. Grandhi. A survey of structural and multidisciplinary continuum topology optimization: post 2ooo // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2o14. Vol. 49. No. 1. P. 1-38.
12. O. Sigmund, K. Maute. Topology optimization approaches. A comparative review // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2o13. Vol. 48. No. 6. P. Ю31-Ю55.
Рис. 2. Традиционная конструкция крышки люкового закрытия, судно проекта RSD59 (вид снизу). Конструктивные элементы раскрашены согласно толщине
Fig. 2. The traditional design of the hatch cover, ship project RSD59 (bottom view). Structural elements are painted according to the thickness
Рис. 3. Область проектирования в задаче топологической оптимизации перекрытия:
а) давление на наружную обшивку и закрепление трех кромок (вид сверху);
б) область оптимизации (выделена синим цветом), являющаяся внутренностью параллелепипеда (вид снизу)
Fig. 3. The design area in the problem of topological optimization of the grillage:
a) the pressure on the hull skin and the fastening of three edges (top view);
b) the optimization area (highlighted in blue), which is the interior of the parallelepiped (bottom view)
Петлевая кромка
Свободная кромка
Свободная кромка
Петлевая кромка
Петлевая кромка
Свободная кромка
Рис. 4. Результат топологической оптимизации методом SIMP (наружная обшивка не показана):
а) вид сверху; б) вид снизу. Темно-серым цветом показаны поверхности, принадлежащие исходной границе области
проектирования, бежевым цветом - поверхности, образовавшиеся в результате оптимизации
Fig. 4. The result of topological optimization using the SIMP method (the hull skin is not shown):
a) top view; b) bottom view. The dark gray color shows the surfaces that belong to the initial boundary of the design area, and the beige color shows the surfaces that were formed as a result of optimization
Свободная
6) Петлевая кромка
Свободная кромка
Петлевая кромка
Рис. 5. Результат топологической оптимизации методом LS (наружная обшивка не показана): а) вид сверху; б) вид снизу Fig. 5. The result of topological optimization using the LS method (the hull skin is not shown): a) top view; b) bottom view
Свободная кромка
кромка
Петлевая кромка
Свободная
Рис. 6. Варианты разработанных конструкций (вид снизу):
а) адаптированная конструкция по результатам топологической оптимизации; 6) упрощенная конструкция Fig. 6. Variants of the developed structures (bottom view):
a) adapted design based on the results of topological optimization; b) simplified design
Рис. 8. Область проектирования в задаче топологической оптимизации узла стыкового соединения:
а) давление на наружную обшивку и закрепление кромок;
б) область оптимизации (выделена синим цветом)
Fig. 8. Design area in the problem of topological optimization of the joint:
a) the pressure on the hull skin and fastening of edges;
b) optimization area (highlighted in blue)
Рис. 9. Результаты топологической оптимизации накладки: а) метод SIMP; 6) метод LS
Fig. 9. Results of topological optimization of the plate: a) SIMP method; b) LS method
Рис. 10. Оптимизированный узел стыкового соединения алюминиевых панелей
Fig. 10. Optimized joint of the aluminum panels
Стык панелей
Разработанная накладка
=□
13. M.P. Bendsoe. Optimal shape design as a material distribution problem // Structural Optimization. 1989. Vol. 1. No. 4. P. 193-202.
14. M. Zhou, G.I.N. Rozvany. The COC algorithm, Part II: topological, geometrical and generalized shape optimization // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1991. Vol. 89. No. 1-3. P. 309-336.
15. G.I.N. Rozvany. Aims, scope, methods, history and unified terminology of computer-aided topology optimization in structural mechanics // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2001. Vol. 21. No. 2. P. 90-108.
16. M.P. Bendsoe, O. Sigmund. Topology optimization: theory, methods and applications. Berlin: Springer, 2003.
17. M.P. Bendsoe, O. Sigmund. Material interpolation schemes in topology optimization // Archive of Applied Mechanics. 1999. Vol. 69. No. 9-10. P. 635-654.
18. Z. Hashin, S. Shtrikman. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1963. Vol. 11. No. 2. P. 127-140.
19. E. Tyflopoulos, D.T. Flem, M. Steinert, A. Olsen. State of the art of generative design and topology optimization and potential research needs // Proceedings of NordDesign. 2018. P. 1-15.
20. O. Sigmund. Morphology-based black and white filters for topology optimization // Structural and Multi-disciplinary Optimization. 2007. Vol. 33. No. 4-5. P. 401-424.
21. M. Stolpe, K. Svanberg. An alternative interpolation scheme for minimum compliance topology optimization // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2001. Vol. 22. No. 2. P. 116-124.
22. M. Stolpe, K. Svanberg. On the trajectories of penalization methods for topology optimization // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2001. Vol. 21. No. 2. P. 128-139.
23. H. Xu, L. Guan, X. Chen, L. Wang. Guide-weight method for topology optimization of continuum structures including body forces // Finite Elements in Analysis and Design. 2013. Vol. 75. P. 38-49.
24. S.J. Osher, J.A. Sethian. Fronts propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations // Journal of Computational Physics. 1988. Vol. 79. No. 1. P. 12-49.
25. J.A. Sethian. Level set methods and fast marching methods: evolving interfaces in computational geometry. Fluid mechanics, computer vision and materials science. UK: Cambridge University Press, 1999.
26. J.A. Sethian, A. Wiegmann. Structural boundary design via level set and immersed interface methods // Journal
of Computational Physics. 2000. Vol. 163. No. 2. P. 489-528.
27. S.J. Osher, F. Santosa. Level set methods for optimization problems involving geometry and constraints: I. Frequencies of a two-density inhomogeneous drum // Journal of Computational Physics. 2001. Vol. 171. No. 1. P. 272-288.
28. S.J. Osher, R. Fedkiw. Level set methods and dynamic implicit surfaces. New York: Springer, 2003.
29. M.Y. Wang, X. Wang, D. Guo. A level set method for structural topology optimization // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2003. Vol. 192. No. 1-2. P. 227-246.
30. G. Allaire, F. Jouve, A.-M. Toader. Structural optimization using sensitivity analysis and a level-set method // Journal of Computational Physics. 2004. Vol. 194. No. 1. P. 363-393.
31. M. Burger, B. Hackl, W. Ring. Incorporating topo-logical derivatives into level set methods // Journal of Computational Physics. 2004. Vol. 194. No. 1. P. 344-362.
32. X. Wang, Y. Mei, M.Y. Wang. Incorporating Topo-logical Derivatives into Level Set Methods for Structural Topology Optimization // 10th AIAA/ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization Conference. 2004.
33. G. Allaire, F. de Gournay, F. Jouve, A.-M. Toader. Structural optimization using topological and shape sensitivity via a level set method // Control and cybernetics. 2005. Vol. 34. No. 1. P. 59-80.
34. J. Sokolowski, A. Zochowski. On the topological derivative in shape optimization // SIAM Journal on Control and Optimization. 1999. Vol. 37. No. 4. P. 1251-1272.
35. B. Bourdin, A. Chambolle. Design-dependent loads in topology optimization // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. 2003. Vol. 9. P. 19-48.
36. B. Bourdin, A. Chambolle. The phase-field method in optimal design // IUTAM Symposium on Topological Design Optimization of Structures. Machines and Materials. 2006. P. 207-215.
37. M.Y. Wang, S. Zhou. Phase field: a variational method for structural topology optimization // Computer Modeling in Engineering and Sciences. 2004. Vol. 6. No. 6. P. 547-566.
38. G. Rozvany, T. Lewinski. Topology optimization in structural and continuum mechanics. Vienna: Springer, 2014.
39. M. Wallin, M. Ristinmaa. Boundary effects in a phase-field approach to topology optimization // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2014. Vol. 278. P. 145-159.
Сведения об авторах
Крыжевич Геннадий Брониславович, д.т.н., профессор, начальник сектора ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: +7 (812) 415-46-74. E-mail: g_kryzhevich@ksrc.ru.
Филатов Антон Романович,аспирант, научный сотрудник ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: +7 (812) 415-48-21. E-mail: st024540@student.spbu.ru.
About the authors
Gennady B. Kryzhevich, Dr. Sci. (Eng.), Prof., Head of Sector, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoe sh., St. Petersburg, post code: 196158, Russia. Tel.: +7 (812) 415-46-74. E-mail: g_kryzhevich@ksrc.ru.
Anton R. Filatov, Post-Graduate, Researcher, the Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoe sh., St. Petersburg, post code: 196158, Russia. Tel.: +7 (812) 415-48-21. E-mail: st024540@student.spbu.ru.
Поступила / Received: 14.01.20 Принята в печать / Accepted: 00.00.20 © Крыжевич Г.Б., Филатов А.Р., 2020
