CC BY
10Математика и математическое моделирование. 2019. № 02. С. 001 - 028.
БО!: 10.24108/шаШш.0219.0000174
Математика й Математическое
моделирование
© К.С. Бодягина, С.П. Павлов
Сетевое научное издание http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911
УДК 519.63+539.32
Топологическая оптимизация микроструктуры адгезивов при действии тепловых и механических нагрузок
Бодягина К.С.1*, Павлов С.П.1
1 Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А., Саратов, Россия
Ь о <1к&еп@т.аИ Л1
В работе излагается математическая модель и методика решения широкого класса задач топологической оптимизации слоя адгезива для получения оптимальной микроструктуры и градиентных свойств с целью снижения уровня напряжений в нем. Алгоритм реализован на базе метода конечных элементов и метода подвижных асимптот. Рассмотрен ряд примеров с целью получения оптимальной для снижения пиковых значений напряжений сдвига и отслаивания микроструктуры припоя в трехслойном пакете. Во всех случаях после оптимизации наблюдалось значительное снижение напряжений в слое припоя. Показано, что можно добиться почти равномерных напряжений сдвига в припое, возникающих за счет разности КЛТР материалов. Полученные результаты раскрывают потенциал разработанного алгоритма и показывают, что он может применяться для практических случаев.
Ключевые слова: топологическая оптимизация, напряжения сдвига, адгезив с градиентными свойствами
Представлена в редакцию: 07.03.2019, исправлена 22.03.2019
* Работа выполнена при поддержке гранта РНФ 16-11-10138-П.
Производители в авиа-, судо-, ракето- и автостроении постоянно стремятся к высокопрочным конструкциям с малым весом. При проектировании структур правильный выбор технологии скрепления компонентов является решающим для определения надежности изготавливаемой конструкции. Механическое крепление, такое как заклепывание или завинчивание, представляется надежным решением для проектировщиков, однако технология адгезионного соединения, отдельно, или в сочетании с механическим креплением, может значительно улучшить механические характеристики с точки зрения жесткости,
Введение
прочности и усталостной прочности [1-3]. Склейка или спайка представляют собой один из лучших способов соединения разнородных материалов.
Адгезионные соединения имеют свои преимущества перед альтернативными методами соединения за счет распределения напряжений на более широкой площади по сравнению с болтовыми или заклепочными соединениями, минимальный тепловой эффект для адгезивов (в отличие от сварки), высокую жесткость и высокое соотношение прочности и веса. Кроме того, адгезивы обладают лучшей устойчивостью к коррозии и усталости, а также хорошими характеристиками демпфирования.
В отличие от неравномерного распределения нагрузок при соединении крепежными деталями, передача нагрузки между склеенными или спаянными компонентами непрерывна по всему клеевому шву. Это позволяет использовать более простые и легкие соединения. Другими словами, адгезионное соединение предоставляет возможность уменьшения массы конструкции при обеспечении механической прочности. Исходя из этого, адгезионные соединения все чаще используются при проектировании механических систем [4-6].
На выход из строя адгезивных соединений сильное влияние оказывает неравномерное распределение напряжений и деформаций, которые, как правило, развиваются по линиям связи при сдвиговых нагрузках, а на спаянные соединения еще и изменения температуры эксплуатации за счет разных температурных коэффициентов линейного расширения (КЛТР), входящих в соединение материалов. Возникающие при спайке температурные напряжения изменяются в широких пределах в зависимости от характера температурных полей, геометрической конфигурации и свойств материала. Значительные уровни напряжений могут приводить к появлению трещин, термопластических деформаций и других нежелательных явлений, которые уменьшают прочность сварного шва. Оптимизация топологии слоя припоя может решить проблему возникновения излишних напряжений в пределах заданных конструктивных и технологических ограничений. Для соединений, состоящих из разнородных материалов, на поля напряжений также влияет отсутствие симметрии конструкции. Это приводит к возникновению пиковых нагрузок на небольших участках клеевого или паяного шва, обычно расположенных вблизи концов шва (рис.1).
ь
Рис. 1. Распределение адгезионных напряжений клеевого шва при нагрузках сдвига [7]
Для увеличения прочности адгезивных соединений требуется снижение пиковых напряжений в соединяющем слое адгезива. Было проведено много исследований для повышения прочности и долговечности адгезионных соединений. Большинство исследований по увеличению прочности таких соединений использовали параметрическую оптимизацию, где переменные проектирования изменялись в выбранном диапазоне с использованием заданных интервалов [8-11]. Влияние выбранных переменных изучались либо экспериментально, либо численно. Правила и методы проектирования для улучшения прочности соединения обсуждались в [12], где были определены основные факторы, влияющие на прочность соединения. К ним относятся адгезионные свойства материала, толщина адгезионного слоя, длина и ширина контакта адгезивного слоя и остаточные напряжения. Методы, используемые для увеличения прочности адгезионного соединения, включают в себя добавление кромок и изменение геометрии адгезива путем скругления или сужения адгезивных кромок.
Всесторонний обзор целесообразных геометрических модификаций адгезионных соединений и их влияние на напряжения и эффективные силы соединения можно найти в [3], но такие подходы обычно значительно усложняют производство соединений. Было опубликовано несколько научно-исследовательских работ, посвященных уменьшению этих напряжений за счет изменения геометрии клеевого шва [13-15]. Многие из исследований параметрической оптимизации на сегодняшний день сосредоточены на изменение угла откоса и угла прикрепления внутренней фаски [11, 16-21]. Сообщалось, что комбинация этих двух характеристик создает соединения с наивысшей прочностью, однако оптимизированные значения этих двух параметров различаются в литературе. В работе [22] используется адгезионные вырезы для улучшения прочности однослойных клеевых соединений. В этой работе было проведено параметрическое исследование с использованием метода конечных элементов для поиска наилучшей геометрии и места размещения этих вырезов. Были исследованы три предварительно заданных размера надрезов, и была выбрана лучшая геометрия выреза на основе напряжения отслаивания.
В дополнение к параметрической оптимизации, рассмотренной выше, для оптимизации прочности адгезивного соединения также могут использоваться непараметрические методы оптимизации такие как топологическая оптимизация и оптимизация формы.
Алгоритмы непараметрической оптимизации направлены на оптимизацию структуры без учета предварительно выбранных переменных. Таким образом, основное преимущество непараметрической оптимизации заключается в ее способности определять наилучшую форму и / или топологию без предварительного знания или оценки окончательной конструкции. Однако применение непараметрических подходов к оптимизации геометрии адгезивного соединения не имеют широкого распространения до настоящего времени и в литературе можно найти лишь несколько работ на эту тему. Первая попытка оптимизировать форму адгезионного соединения, используя непрерывные переменные, по-видимому, была выполнена в [8]. Целью этого исследования было получение соединений с максимальной прочностью и минимальным весом в условиях статической нагрузки за счет измене-
ния профиля адгезивов. Было обнаружено, что оптимизация формы дает значительное снижение уровней напряжений в адгезивном слое. Эволюционный метод структурной оптимизации был использован для оптимизации формы адгезивного слоя в [10] с целью минимизировать максимальные напряжения в соединении. Было установлено, что этот метод эффективен для уменьшения максимального основного напряжения в адгезиве для всех изученных моделей. Снижение максимального основного напряжения составляло от 48 до 64%. Пиковые напряжения отслаивания уменьшались на 66%. В [23] разработана автоматизированная процедура оптимизации формы на основе чувствительности с целью снижения адгезионных напряжений в одно- и двухсторонних соединениях, в которых разрешается изменять как форму слоя адгезива, так и внешних слоев. Получены значительные улучшения по сравнению с обычными конструкциями, что обусловлено снижением пиковых нагрузок. Эти результаты показывают, что представленные процедуры численной оптимизации формы позволяют создавать проекты, которые обеспечивают существенные улучшения по сравнению со стандартными конструкциями. В [24] исследуется применимость алгоритмов непараметрической структурной оптимизации для оптимизации формы усиливающей заплаты на трещину в пластине. После оптимизации наблюдалось значительное снижение напряжений, что указывает на значительный потенциал этих методов.
Во всех предыдущих работах оптимизации подлежали или форма соединяемых элементов или форма и расположение адгезивного слоя. Альтернативной стратегией является введение вариации/градуировки свойств по толщине или вдоль адгезивного слоя. Подход заключается в модификации свойств материала или геометрии адгезива и/или адгезивного слоя, изменяющихся вдоль шва. Такие соединения называются «функционально градуированные адгезивные соединения». Для создания градиентности адгезива были предложены различные подходы: размягчение хрупких клеев с использованием частиц каучука; придание дополнительной жесткости гибких клеев с помощью стеклянных микросфер или наночастиц кремнезема [25,26]; и смешивание различных совместимых клеев или контроль степени полимеризации через индукционный нагрев [27,28,29]. Несколько спроектированных соединений были опубликованы в [30]. Одна из концепций предполагает использование более мягкого клея на концах границ и жесткого в центре соединения. Другая концепция представляет собой сужение адгезива на концах соединения, что позволяет сохранить нейтральные напряжения и уменьшить пиковые напряжения в адгезиве [31,32]. В последние годы на эту тему был опубликован ряд работ [33-35], в которых исследовалось влияние свойств адгезива на напряжения в нем. В том числе: исследования на основе аналитических формулировок [36,37], численного моделирования [38,39] или комбинации этих двух методов [40-42].
Многие из исследований, проведенных с учетом непрерывного изменения свойств, основаны на линейно-упругой модели материала. Среди них могут быть выделены работы [34,35].
Независимо от подхода, используемого для получения градиентности клеевого слоя, контроль процесса изготовления, с тем чтобы получить определенное распределе-
ние/изменение свойств с достаточной точностью является задачей самой по себе сложной и тем более при рассмотрении дальнейшего промышленного применения. Для решений на основе непрерывных изменений, сложность с точки зрения производства еще больше. Принимая это во внимание, многие исследователи пытались снизить напряжения / деформации используя би-клей с разной жесткостью слоев, который легче производить контролируемым образом. В связи с этим, стоит упомянуть работы [38,43]. Однако улучшения, о которых сообщалось в этих исследованиях невелики, отчасти потому, что обычно двух смешиваемых фаз недостаточно.
Несмотря на сложность изготовления градуированных адгезивных слоев, вид оптимальной для получения максимальной прочности соединения микроструктуры конкретной конструкции представляет собой огромный интерес, так как она определяет целевое решение, которое должно быть достигнуто.
При скреплении разнородных материалов, существует дополнительная сложность, связанная с отсутствием симметрии в соединении. Это создает поля напряжений и деформаций, которые также являются несимметричными.
На основании проведенного обзора можно сделать вывод о том, что даже при применении непараметрической оптимизации во всех предыдущих работах оптимизации подлежали или форма соединяемых элементов или форма и расположение адгезивного слоя. Применение методов топологической оптимизации для определения оптимального распределения/изменения свойств градиентности самого адгезивного слоя не использовалось ранее в известных авторам работах.
В работе излагается математическое построение и методика решения широкого класса задач топологической оптимизации слоя адгезива для получения оптимальной микроструктуры и градиентных свойств с целью снижения уровня напряжений в нем.
1. Постановка задачи
При изготовлении микроэлектронных пакетов, наличие тепловых напряжений, создаваемых разностью температур, является одной из наиболее серьезных проблем, которая может вызвать образование трещин и повлиять на их функциональные возможности. Из-за разности тепловых коэффициентов линейного расширения (КЛТР) между материалами пакет подвергается термической деформации. Особое внимание необходимо направить на паяные соединения в пакетах. Паяные соединения обеспечивают электрическое соединение внутри пакета. Они также являются единственными механическими соединениями электронных компонентов с печатной платой. Изменение температуры при эксплуатации пакета между максимальным и минимальным значением температуры приводит к большей части сбоев в микроэлектронных пакетах.
Для упрощения будем рассматривать в дальнейшем плоскую задачу термоупругости. Рассмотрим пакет в виде упругого неоднородного тела &, находящегося в плоском напряженном состоянии или в плоском деформируемом состоянии в зависимости от протяженности тела вдоль оси х3, и состоящего из трех областей, как схематически показано на
рис. 2, где области Ц соединены между собой, индекс / обозначает номер области в
диапазоне от 1 до 3. В соответствии с реальной упаковкой, верхний слой (слой 1) является подложкой, центральный слой (слой 3) - слой припоя, а нижний слой (слой 2) представляет собой плату. Область находится в температурном поле Т(х), х = , х2}. Обозначим в(х) = Т(х) — ^ - изменение температуры относительно начальной температуры Г0, где Т0 — температура в исходном состоянии. Через Е (х (х) обозначим модуль упругости Юнга и температурный коэффициент линейного расширения в областях Ц соответственно.
Двумерная упругая область Ц ограничена замкнутой поверхностью Г = Г ^ Г2 ^ Г3. Предполагается, что материал линейно упругий и изотропный.
Рис. 2. Расчетная модель
Граничные условия приведены на рис.2. На границе Г - область жесткого закрепления. На границе Г приложена нагрузка интенсивности Ь . Граница Г свободна от нагрузок.
Для поля смещений (щ, щ ) уравнение равновесия имеют вид
, = 0, (г,, = 1,2) в Ц, (1)
где ( — тензор напряжений. Связь линейных деформаций с перемещениями определяется соотношениями
е, =1 (щ,,+ и1.)] =1,2. (2)
Соотношения напряжение-деформация для плоского напряженного состояния записывается по закону Дюгамеля-Неймана [46]
а, = E(x)(Sij-а(х)Щ(хЦ) , (3)
где Ц символ Кронекера, E(х) - модули Юнга и а(х) - КЛТР материалов слоев. Для
плоского деформированного состояния необходимо заменить E(x) и а(х) в (3) на
E(x) = E(x)/(l — v2 ) и а(х) = а(х)(1 + v) соответственно. Поля смещений и температуры связаны через уравнение (3).
2. Формулировка задачи топологической оптимизации
Анализ напряжений в паяных соединениях показывает, что за счет малой толщины припоя в нем основными являются напряжения сдвига. Напряжения сдвига концентрируется вблизи концов припоя, и имеют наименьшие значения в середине. Поэтому целью задачи оптимизации является снижение пиковых значений напряжений аи в слое припоя. Оптимизация микроструктуры припоя заключается в поиске наилучшего распределения заданного количества припоя по области Q3 для достижения минимальных пиковых значений напряжений аи в ней.
Малое число ограничений в задаче оптимизации важно для сокращения вычислительных затрат и при первом рассмотрении привлекательным вариантом является введение для задачи оптимизации единственного ограничения на максимальное напряжение:
g(r) = max (an(r) > (4)
п3
где r (х) - переменная проектирования и а - заданное значение максимальных напряжений сдвига в припое.
Однако оператор максимума не является дифференцируемым, что делает невозможным вывод аналитической чувствительности при наличии ограничения (4). Для его сглаживания в литературе были предложены непрерывные агрегирующие функции [44-46] объединяющие локальные напряжения в одно глобальное ограничение. В частности, в [45] предлагается глобальная агрегирующая функция вида
( .. ,.СТ12(Г)—а Л
1 .. Mai2!rzа 8 (r ) = — ln II e а dQ
U JJ
(5)
где ц - параметр штрафа, принимающий достаточно большое значение. Тогда неравенство (4) может быть записано в виде
81 (' )" 8\тах ^ 0 > (6)
где 81тах = V)), что достигается при сг12 = а во всех точках области .
Второй агрегирующей функцией, наиболее часто используемой для локальных ограничений, является приближенная р норма
-,1/р
82 (r ) =
iil ^^ ] * d ^
(7)
которая стремится к норме (4) при p ^ ж. Численные эксперименты с использованием агрегирующих функций (5) и (7) показали, что применение функции (7) приводит к более быстрому сглаживанию напряжений сдвига. В дальнейшем в работе выбрана агрегирующая функция (7).
Для оптимизации топологии слоя припоя область Q разбивается на конечные элементы. Проектная переменная r (x) определена только на области Q 3 и связана с модулем Юнга E(x), с ^(x) = E(x)a(x) и с объемной плотностью материала p(x) каждого элемента из Q3 по следующим соотношениям (схема RAMP) [47]:
£ (x К, ^ (Х Iv • К x КЛ E r (^ • p( x) • x -«3, (8)
(1 + a • (1 - r (x)) (1 + b • (1 - r (x)) (1 + a • (1 - r (x))
где a, b - параметры штрафа, используемые для обеспечения компактного распределения материала, r(x)- поле проектных переменных 0 < r0 < r(x)< 1, r0 - малое число, которое гарантирует ненулевую жесткость конечных элементов. При r(x) = 1 вся область полностью заполнена базовым материалом припоя.
Проблема топологической оптимизации для задачи снижения пиковых значений напряжений аи в слое припоя может теперь быть сформулирована в виде
-,1/p
min
0(x)<1
(9)
при ограничении
ау, j = 0, (/, j = 1,2) в Q, (10)
и изопараметрическом ограничении на физическую плотность p(x)
Jp(x)dQ>y• mes (Q3) , (11)
Q3
где y - обозначает долю материала припоя и mes(Q3) - площадь области припоя.
Для проекции поля проектных переменных в пространство 0/1, когда важно четкое определение границ оптимальной микроструктуры, применим фильтр Хевисайда [48]. Фильтр Хевисайда представляет собой ступенчатую функцию Хевисайда, которая проектирует поле проектных переменных (теперь называемое промежуточной полем проектных переменных и обозначенным как ^(x) ) на реальное поле проектных переменных r (x). Чтобы облегчить вычисление градиентов для анализа чувствительности при решении задачи оптимизации в вычислениях используется сглаженная функция Хевисайда
r (х ) = 1 - e—x) +£(х )e-, (12)
которая является непрерывной функцией. Параметр k > 0 описывает кривизну проекции, которая линейна при k = 0, и приближается к единичной ступеньке Хевисайда, когда k ^да.
В дальнейшем для исключения эффекта «шахматной доски» в процессе оптимизации целевую функцию определим в виде линейной комбинации функции (9) и дополнительно введенной функции штрафа
ш1п
0 <К *)<
(1 - я)
1/р
ят£щ /Их) 2 "п
(13)
Второе слагаемое является функцией штрафа, й0 первоначальный размер сетки конечных элементов и ЛШЗХ - текущий размер сетки. Величина 0 < я < 1 - заданный коэффициент, позволяющий сбалансировать функцию цели и функцию штрафа друг с другом.
Решение задачи оптимизации производилось методом подвижных асимптот.
Для расчетов был использован МКЭ с линейными треугольными конечными элементами и неравномерной сеткой со сгущением в окрестности слоя адгезива. Примерное количество конечных элементов - 1400 с 1640 узлами. В этом случае число степеней свободы - 3280.
3. Численные результаты топологической оптимизации микроэлектронных пакетов при тепловом воздействии.
Пример 1.
Рассмотрим термоупругий трехслойный пакет, свободный от механических нагрузок, конструкция которого приведена на рисунке 3. Пакет нагрет до температуры в = 100°С по всей области. Область заполнена дюралюминием с модулем Юнга и КЛТР равными Е = 70,56-106Па и а = 14• 10-6К1, соответственно. Материал области 02- бронза с Е = 11,76^ 106Па и а2 = 10•Ю-6 К1. Область П3 - область припоя, в которой необходимо найти оптимальную микроструктуру распределения заданного количества серебряного припоя с Е = 7,84 -106 Па и а3 = 11 • 10 6 К1. Размеры пакета в миллиметрах показаны на рисунке 3.
Рис. 3. Конструкция симметричного трехслойного пакета
При решении задачи оптимизации в схеме аппроксимации материала (8) приняты коэффициенты а = 3 и Ь = 5. В функции цели (13) степень р была принята р = 7 , коэффициент q = 0,25.
Рис.4. Графики распределения напряжений сдвига на верхней (1,2) и нижней (3,4) границе области припоя
На рисунке 4 для примера приведены графики распределения напряжений сдвига по верхней и нижней границе области О3 для полностью заполненного у = 1 материалом слоя припоя (кривые 1 и 4) и для топологически оптимальной микроструктуры припоя при у = 0.6 (кривые 2 и 3). На графиках рис.4 и в дальнейшем по горизонтальной оси отложено значение х в миллиметрах, по вертикальной - <г12 Па .
Из графиков видно, что для данного случая в процессе оптимизации происходит снижение пиковых значений напряжений сдвига более чем в 3 раза на верхней границе припоя и примерно в 2,5 раза на нижней.
В таблице 1 приведены ссылки на рисунки, на которых изображены оптимальные микроструктуры распределения припоя по области О3 при различных значениях у - доли
серебряного припоя. Здесь и в дальнейшем в топологиях оптимальных микроструктур красным цветом обозначены области, заполненные припоем, а синим цветом - пустоты. Значению у = 1 соответствует исходная неоптимальная конструкция с полностью заполненной припоем областью О3. В третьем столбце приведено среднее значение напряжений сдвига по области припоя
В четвертом столбце приведен процент снижения пиковых значений напряжений сдвига в оптимальной микроструктуре по отношению к пиковым значениям напряжений
_неопт _опт
& — ^
сдвига в исходной неоптимальной конструкции А = —12-• 100% .
а"
а
б
г
Рис.5. Топология оптимальной микроструктуры припоя для симметричного трехслойного пакета
Таблица 1. Результаты топологической оптимизации для симметричного трехслойного пакета
У Топология оптимальной микроструктуры припоя $ А
1 1755,34 0,0
0,8 Рис. 5а 894,74 60,0
0,6 Рис. 5б 820,41 70,0
0,4 Рис. 5в 700,14 75,0
0,2 Рис. 5г 410,52 87,5
Как следует из таблицы 1, наименьшее значение средних касательных напряжений $ в слое припоя достигается при минимальном значении доли припоя у. Этот факт очевиден, так как с ее уменьшением снижается площадь контакта первого и второго слоев, а, следовательно, разность их КЛТР имеет все меньшее значение. Во всех случаях ярко выражена градиентность оптимальной микроструктуры припоя, то есть ее неоднородность как по толщине, так и по длине. Причем на верхней границе припоя больше, что можно объяснить большим значением КЛТР верхнего дюралюминиевого слоя пакета.
Пример 2.
Рассмотрим термоупругий трехслойный пакет, свободный от механических нагрузок, конструкция которого приведена на рисунке 6. В отличие от предыдущего примера, области и 02 имеют различные геометрические размеры, а также отличные от предыдущего случая размеры и форму области припоя О3. Остальные параметры и характеристики материалов те же, что и в примере 1.
Рис.6 Конструкция несимметричного пакета
Проведем исследование топологически оптимальной микроструктуры припоя в зависимости от длины I слоя П3, которая приведена в первом столбце таблицы 2. Во втором столбце приведены ссылки на рисунки, на которых изображены формы области ^ с оптимальными микроструктурами распределения припоя (рис.7). В третьем столбце приведены значения допустимой доли припоя у : значению у = 1 соответствует исходная неоптимальная конструкция с полностью заполненной припоем областью ^ , второе значение в строке у = 0,75 . В четвертом - среднее значение напряжений сдвига £ , рассчитанное по формуле (14). В пятом столбце приведен процент снижения пиковых значений Д напряжений сдвига в оптимальной микроструктуре по отношению к пиковым значениям напряжений сдвига в исходной неоптимальной конструкции (см. рис. 8).
в)
Рис.7 Топология оптимальной микроструктуры припоя для несимметричного пакета
1 Топология оптимальной микроструктуры припоя У £ А
4 1 603,95
Рис.7а 0,75 564,93 60%
3 1 804,41
Рис.7б 0,75 748,16 60%
2,5 1 953,92
Рис.7в 0,75 876,61 61%
Как видно из таблицы 2, введение дополнительных областей припоя за счет удлинения его слоя не приводит к дополнительному снижению пиковых значений напряжений сдвига. Основная микроструктура припоя во всех случаях находится между верхним и нижним слоями пакета, остальные зоны припоя не влияют на уровень касательных напряжений и могут быть отброшены. Таким образом, наилучшей оптимальной микроструктурой можно считать микроструктуру при длине слоя припоя равной длине верхнего слоя пакета I = 2,5 мм .
На рисунке 8 приведены графики распределения напряжений сдвига для неоптимальной (кривые 1,4) и оптимальной (кривые 2,3) микроструктуры припоя на верхней и нижней границе слоя Оэ для I = 2,5 мм . Как видно из рис.8 в результате оптимизации было получено снижение пиковых напряжений сдвига по верхней и нижней границе припоя больше, чем в 2 раза.
Рис. 8 Графики распределения напряжений сдвига по верхней (1,2) и нижней (3,4) границе области припоя
Кроме припоя в виде прямого слоя Оэ рассмотрим другие возможные геометрические формы области припоя. В первом столбце таблицы 3 приведены ссылки на рисунки исходных форм области П3 с оптимальными градиентными микроструктурами распределения припоя (рис.9). Во втором столбце табл.3 указана заданная площадь области П3. В
третьем столбце приведены значения допустимой доли припоя у. В четвертом - среднее
значение напряжений сдвига £ , рассчитанное по формуле (14). В пятом столбце приведен процент снижения пиковых значений напряжений сдвига в оптимальной микроструктуре по отношению к пиковым значениям напряжений сдвига в исходной неоптимальной конструкции.
в)
Рис.9 Топология оптимальной микроструктуры припоя
Таблица 3. Оптимальные градиентные микроструктуры распределения припоя
Топология оптимальной микроструктуры припоя mes(Q3) у £ А
Рис. 9а 0,4 1 771,65
0,75 656,80 50%
Рис.9б 0,4 1 809,65
0,75 739,75 60%
Рис.9в 0,4 1 603,98
0,75 564,92 60%
Как видно из таблицы 3, введение дополнительных областей припоя, находящихся вне области между слоями пакета, не приводит к дополнительному снижению пиковых напряжений сдвига. Основная микроструктура припоя находится между верхним и нижним слоями пакета, остальные зоны припоя не являются функционально значимыми и могут быть отброшены. Таким образом, наилучшей оптимальной микроструктурой можно считать микроструктуру из третьей строчки таблицы 2.
4. Численные результаты топологической оптимизации несимметричных пакетов при тепловых и механических нагрузках.
Пример 3.
Пакеты могут быть спаяны различным образом: внахлест, со скосом, ступенькой, двойным или одинарным коленом и другими способами. В спаянных соединениях распределение напряжений неравномерно. Пики напряжения возникают в точках геометрических разрывов. При соединении внахлест на концах линии спайки присутствуют разрывы. Эти неоднородности приводят к изгибающим моментам, возникающим из-за эксцентрической нагрузки, а также к неравномерному распределению моментов вокруг слоя припоя. Эти моменты создают отслаивающие / нормальные напряжения в клеевом слое. Геометрический разрыв также создает высокие напряжения сдвига на краях слоя припоя. Существуют способы уменьшения этой эксцентричной нагрузки в соединения внахлест. Например, было показано, что для этого являются эффективными сужение краев спаиваемых слоев и использование предварительных изгибов. Уменьшение максимальных напряжений сдвига и отслаивания может быть достигнуто путем увеличения длины соединения, толщины припоя, толщины спаиваемых слоев и уменьшения модуля припоя. В данном примере все геометрические параметры соединения внахлест остаются постоянными, а снижение максимальных значений напряжений на концах припоя достигается за счет топологической оптимизации микроструктуры припоя.
Рассмотрим конструкцию, приведенную на рисунке 10. В отличие от предыдущих случаев, кроме теплового воздействия конструкция подвергается механической нагрузке в направлении оси . Неравномерное распределение моментов вокруг слоя припоя вызывает дополнительные к температурным напряжения сдвига в слое соединении.
Рис.10 Конструкция пакета и граничные условия
Полученные результаты приведены в таблице 4. В первом столбце таблицы 4 приведена заданная температура ]. Во втором - приложенная к конструкции механическая нагрузка ¥[Н ]. В третьем столбце приведены ссылки на рисунки, на которых изображены оптимальные микроструктуры распределения припоя в области П3. В четвертом
столбце приведены значения допустимой доли припоя у . В пятом - среднее значение напряжений сдвига £ и в шестом столбце приведен процент снижения пиковых значений напряжений сдвига в оптимальной микроструктуре по отношению к пиковым значениям напряжений сдвига в исходной неоптимальной конструкции.
ж)
Рис.11 Топология оптимальной микроструктуры припоя при тепловых и механических нагрузках
Таблица 4. Результаты топологической оптимизации при тепловых и механических нагрузках
Топология оптимальной
в F микроструктуры припоя У £ А
на рисунках
3000 - 1 1501,15
Рис.11а 0,5 1501,00 78%
0 - 1 1510,10
Рис.11б 0,5 620,00 72%
о 1000 - 1 1400,90
Рис.11в 0,5 698,90 77,3%
3000 - 1 1524,95
Рис.11г 0,5 1508,7 71,5%
0 - 1 1510,10
Рис. 11д 0,5 620,00 72%
о 0 1 - 1 1661,95
1000 Рис.11е 0,5 760,55 75%
3000 - 1 2080,00
Рис.11ж 0,5 1562,90 69%
Приведем графики напряжений сдвига для различных случаев нагрузки: только механической нагрузки (рис. 12 а) й нагрузки (рис. 12 б) и также их совместного действия (рис. 12 в). Графики 2 и 3 значений а12 на всех рисунках соответствуют оптимальным конструкциям, а графики 1 и 4 - исходным конструкциям.
а) ^ = 3000Н,в = 0 "С
б) ^ = 0Н,в = 100 "С
в) ^ = 0Н ,в = -100 °С
Рис.12 Графики распределения напряжений сдвига по верхней (1,2) и нижней (3,4) границе области припоя для механической нагрузки (а) и термических воздействий (б и в).
Для начала проведем оптимизацию микроструктуры слоя припоя при действии только механической нагрузки. В данном случае среднее значение £ как для оптимальной, так и
для неоптимальной микроструктуры в слое припоя остается неизменным, что связано с необходимостью уравновешивания растягивающей нагрузки ¥. Однако значения пиковых напряжений снизились более, чем в 4,5 раза на нижней границе и примерно в 1,5 раза на верхней.
При отсутствии механической нагрузки и действии только термической нагрузки ( ¥ = 0Н,в = 100 С рис. 12б) и (¥ = 0Н,в = -100 С рис. 12в) происходит снижение как £ , так и пиковых значений аи: для в = 100 0С примерно в 4 раза на верхней границе слоя припоя и в 4,5 раза на нижней, а для в = -100 0С наоборот, в 4,5 раза на верхней границе и примерно в 4 раза на нижней.
При совместном действии механической и термической нагрузки для
¥ = 3000Н ,в = 100 0С (рис.13а) на верхней границе слоя припоя снижение пиковых напряжений аи происходит примерно в 3,7 раза, на нижней - в 3 раза, а для
¥ = 3000Н, в = -100 0С (рис.13 б) на верхней границе в 4 раза, а на нижней более, чем в 3 раза.
В 0.) 0.4 0.6 О.Й 1 и 14 1.6 1.Й 7X1
а) ¥ = 3000Н,в = 100 С
р с 7 об 0 а 1 1.7 14 1« 1я ?\1
б) ¥ = 3000Н,в = -100 0С
Рис.13 Графики распределения напряжений сдвига по верхней (1,2) и нижней (3,4) границе области припоя при совместном действии механической нагрузки и положительных (а) или отрицательных (б) термических
воздействий
Заключение
Алгоритм топологической оптимизации использовался для оптимизации микроструктуры двух типов соединений с целью уменьшения пиковых напряжений в слое припоя. Результаты показывают, что полученные оптимизированные микроструктуры значительно снижают пиковые напряжения в слое припоя. Это было достигнуто за счет более жесткой структуры в центре пакета, которая приводила к более низким пиковым напряжениям отслаивания наряду с плавным распределением напряжений вдоль слоя припоя. Оптимизация соединений внахлест привела к получению нестандартных микроструктур слоя припоя за счет действия как термических, так и механических нагрузок, которые могут быть изготовлены с использованием процессов аддитивного производства. Оптимизированные микроструктуры давали более низкие пиковые напряжения по сравнению с однородным слоем припоя. Преимущество использования топологической оптимизации состоит в том, что микроструктура припоя не должна быть известна априори, и, таким образом, любые конструкции могут быть оптимизированы без предварительного исследования влияния исходных геометрических параметров на прочность соединения.
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ 16-11-10138-П.
Список литературы
1. Hart-Smith L.J. Design methodology for bonded-bolted composite joints. Vol. 1: Analysis derivations and illustrative solutions. Long Beach, CA: Douglas Aircraft Co.; McDonnell Douglas Corp., 1982. 97 p.
2. Kelly G. Quasi-static strength and fatigue life of hybrid (bonded/bolted) composite single-lap joints // Composite Structures. 2006. Vol. 72. No.1. Pp. 119-129.
DOI: 10.1016/j.compstruct.2004.11.002
3. Handbook of adhesion technology / Ed. by L.F.M. da Silva a.o. 2nd ed. Vol. 1-2. N.Y.: Springer, 2018. 1805 p.
4. Adams R.D., Comyn J., Wake W.C. Structural adhesive joints in engineering. 2nd ed. L.: Chapman & Hall, 1997. 359 p.
5. Dixon D.G. Adhesives used: structures bonded // Handbook of adhesion / Ed. by D.E. Packham. 2nd ed. Chichester: John Wiley & Sons, 2005.
6. Watson C. Advantages of use of adhesives: specific examples of improved design // Handbook of adhesion / Ed. by D.E. Packham. 2nd ed. Chichester: John Wiley & Sons, 2005.
7. Breto R., Chiminelli A., Duvivier E., Lizaranzu M., Jimenez M.A. Functionally graded bondlines for metal /composite joints // 16th Eur. conf. on composite materials: ECCM'16 (Seville, Spain, June 22-26, 2014): Proc. 2014. 8 p.
8. Groth H.L., Nordlund P. Shape optimization of bonded joints // Intern. J. of Adhesion and Adhesives. 1991. Vol. 11. No. 4. Pp. 204-212. DOI: 10.1016/0143-7496(91)90002-Y
9. Hildebrand M. Non-linear analysis and optimization of adhesively bonded single lap joints between fibre-reinforced plastics and metals // Intern. J. of Adhesion and Adhesives. 1994. Vol. 14. No. 4. Pp. 261-267. DOI: 10.1016/0143-7496(94)90039-6
10. Rispler A.R., Liyong Tong, Steven G.P., Wisnom M.R. Shape optimisation of adhesive fillets // Intern. J. of Adhesion and Adhesives. 2000. Vol. 20. No. 3. Pp. 221-231. DOI: 10.1016/S0143-7496(99)00047-0
11. Taib A.A., Boukhili R., Achiou S., Gordon S., Boukehili H. Bonded joints with composite adherends. Part I. Effect of specimen configuration, adhesive thickness, spew fillet and adherend stiffness on fracture // Intern. J. of Adhesion and Adhesives. 2006. Vol. 26. No. 4. Pp. 226-236. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2005.03.015
12. Handbook of adhesion technology / Ed. by L.F.M. da Silva a.o. Vol. 1-2. B.; Hdbl.: Springer, 2011.
13. Da Silva L.F.M., Adams R.D. Joint strength predictions for adhesive joints to be used over a wide temperature range // Intern. J. of Adhesion and Adhesives. 2007. Vol. 27. No. 5.
Pp. 362-379. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2006.09.007
14. Haghani R., Al-Emrani M., Kliger R. Effects of geometrical modifications on behavior of adhesive joints used to bond CFRP laminates to steel members - experimental investigation // Nordic steel conf.: Nordic steel'09 (Sweden, Malmo, September 2-4, 2009): Proc. Gothenburg: Chalmers Univ. of Technology, 2009. Pp. 280-287.
15. Lang T.P., Mallick P.K. Effect of spew geometry on stresses in single lap adhesive joints // Intern. J. of Adhesion and Adhesives. 1998. Vol. 18. No. 3. Pp.167-177. DOI: 10.1016/S0143-7496(97)00056-0
16. Belingardi G., Goglio L., Tarditi A. Investigating the effect of spew and chamfer size on the stresses in metal/plastics adhesive joints // Intern. J. of Adhesion and Adhesives. 2002. Vol. 22. No. 4. Pp. 273-282. DOI: 10.1016/S0143-7496(02)00004-0
17. Frostig Y., Thomsen O.T., Mortensen F. Analysis of adhesive-bonded joints, square-end and spew-fillet-high-order theory approach // J. of Engineering Mechanics. 1999. Vol. 125. No. 11. Pp. 1298-1307. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9399(1999)125:11(1298)
18. Akpinar S., Doru M.O., Ozel A., Aydin M.D., Jahanpasand H.G. The effect of the spew fillet on an adhesively bonded single-lap joint subjected to bending moment // Composites. Pt. B: Engineering. 2013. Vol. 55. Pp. 55-64. DOI: 10.1016/j.compositesb.2013.05.056
19. Zhao X., Adams R.D., da Silva L.F.M. Single lap joints with rounded adherend corners: Experimental results and strength prediction // J. of Adhesion Science and Technology. 2011. Vol. 25. No. 8. Pp. 837-856. DOI: 10.1163/016942410X520880
20. Zhao X., Adams R.D., da Silva L.F.M. Single lap joints with rounded adherend corners: Stress and strain analysis // J. of Adhesion Science and Technology. 2011. Vol. 25. No. 8. Pp. 819-836. DOI: 10.1163/016942410X520871
21. Матвеенко В.П., Севодина Н.В., Федоров А.Ю. Оптимизация геометрии упругих тел в окрестностях особых точек на примере клеевого соединения внахлестку // Прикладная механика и техническая физика. 2013. Т. 54. № 5. С. 180-186.
22. Sancaktar E., Simmons S.R. Optimization of adhesively-bonded single lap joints by adherend notching // J. of Adhesion Science and Technology. 2000. Vol. 14. No. 11. Pp.1363-1404. DOI: 10.1163/156856100742258
23. Kaye R.H., Heller M. Through-thickness shape optimisation of bonded repairs and lap-joints // Intern. J. of Adhesion and Adhesives. 2002. Vol. 22. No. 1. Pp. 7-21. DOI: 10.1016/S0143-7496(01)00029-X
24. Ejaz H., Mubashar A., Ashcroft I.A., Uddin E., Khan M. Topology optimisation of adhesive joints using non-parametric methods // Intern. J. of Adhesion and Adhesives. 2018. Vol. 81. Pp. 1-10. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2017.11.003
25. Stapleton S.E., Waas A.M.,Bednarcyk B.A. Modeling progressive failure of bonded joints using a single joint finite element // AIAA J. 2011. Vol. 49. No. 8. Pp. 1740-1749.
DOI: 10.2514/1.J050889
26. Hsieh T.H., Kinloch A.J., Masania K., Taylor A.C., Sprenger S. The mechanisms and mechanics of the toughening of epoxy polymers modified with silica nanoparticles // Polymer. 2010. Vol. 51. No. 26. Pp. 6284-6294. DOI: 10.1016/j.polymer.2010.10.048
27. Carbas R.J.C., da Silva L.F.M., Critchlow G.W. Adhesively bonded functionally graded joints by induction heating // Intern. J. of Adhesion and Adhesives. 2014. Vol. 48. Pp. 110-118. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2013.09.045
28. Gojny F.H., Wichmann M.H.G., Fiedler B., Schulte K. Influence of different carbon nanotubes on the mechanical properties of epoxy matrix composites - A comparative study // Composites Science and Technology. 2005. Vol. 65. No. 15-16. Pp. 2300-2313.
DOI: 10.1016/j.compscitech.2005.04.021
29. Yong Huang, Xian-Fang Li. A new approach for free vibration of axially functionally graded beams with non-uniform cross-section // J. of Sound and Vibration. 2010. Vol. 329. No. 11. Pp. 2291-2303. DOI: 10.1016/j.jsv.2009.12.029
30. Da Silva L.F.M., Adams R.D. Techniques to reduce the peel stresses in adhesive joints with composites // Intern. J. of Adhesion and Adhesives. 2007. Vol. 27. No. 3. Pp. 227-235. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2006.04.001
31. Hart-Smith L.J. Adhesive-bonded scarf and stepped-lap joints. Long Beach, CA: McDonnell Douglas Corp., 1973. 123 p.
Oterkus E., Barut A., Madenci E., Smeltzer S.S., Ambur D.R. Nonlinear analysis of bonded composite single-lap joints // 45th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC structures, structural dynamics & materials conf. (Palm Springs, CA, USA, April 19-22, 2004): Proc. Wash.: AIAA, 2004. 18 p. DOI: 10.2514/6.2004-1560
32. Boss J.N., Ganesh V.K., Lim C.T. Modulus grading versus geometrical grading of composite adherends in single-lap bonded joints // Composite Structures. 2003. Vol. 62. No. 1.
Pp. 113-121. DOI: 10.1016/S0263 -8223(03)00097-7
33. Kumar S. Analysis of tubular adhesive joints with a functionally modulus graded bondline subjected to axial loads // Intern. J. of Adhesion and Adhesives. 2009. Vol. 29. No. 8. Pp. 785-795. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2009.06.006
34. Stapleton S.E., Waas A.M., Arnold S.M. Functionally graded adhesives for composite joints // Intern. J. of Adhesion and Adhesives. 2012. Vol. 35. Pp. 36-49.
DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2011.11.010
35. Spaggiari A., Dragoni E. Regularization of torsional stresses in tubular lap bonded joints by means of functionally graded adhesives // Intern. J. of Adhesion & Adhesives. 2014. Vol. 53. Pp. 23-28. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2014.01.006
36. Da Silva L.F.M., Lopes M.J.C.Q. Joint strength optimization by the mixed-adhesive technique // Intern. J. of Adhesion and Adhesives. 2009. Vol. 29. No. 5. Pp. 509-514.
DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2008.09.009
37. Pires I., Quintino L., Durodola J.F., Beevers A. Performance of bi-adhesive bonded aluminium lap joints // Intern. J. of Adhesion and Adhesives. 2003. Vol. 23. No. 3. Pp. 215- 223.
DOI: 10.1016/S0143 -7496(03)00024-1
38. Nimje S.V., Panigrahi S.K. Numerical simulation for stress and failure of functionally graded adhesively bonded tee joint of laminated FRP composite plates // Intern. J. of Adhesion and Adhesives. 2014. Vol. 48. Pp. 139-149. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2013.09.046
39. Das Neves P.J.C., da Silva L.F.M., Adams R.D. Analysis of mixed adhesive bonded joints Part I: Theoretical formulation // J. of Adhesion Science and Technology. 2009. Vol. 23. No. 1. Pp.1-34. DOI: 10.1163/156856108X336026
40. Das Neves P.J.C., da Silva L.F.M., Adams R.D. Analysis of mixed adhesive bonded joints Part II: Parametric study // J. of Adhesion Science and Technology. 2009. Vol. 23. No. 1. Pp. 35-61. DOI: 10.1163/156856108X336035
41. Carbas R.J.C., da Silva L.F.M., Madureira M.L., Critchlow G.W. Modelling of functionally graded adhesive joints // J. of Adhesion. 2014. Vol. 90. No. 8. Pp. 698-716.
DOI: 10.1080/00218464.2013.834255
42. Da Silva L.F.M., Adams R.D. Adhesive joints at high and low temperatures using similar and dissimilar adherends and dual adhesives // Intern. J. of Adhesion and Adhesives. 2007. Vol. 27. No. 3. Pp. 216-226. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2006.04.002
43. Par'is J., Navarrina F., Colominas I., Casteleiro M. Global versus local statement of stress constraints in topology optimization of continuum structures // Computer aided optimum design in engineering X / Ed. by S. Hernandez, C.A. Brebbia. Southampton; Boston: WIT Press, 2007. Pp. 13-23. DOI: 10.2495/OP070021
44. Par'is J., Navarrina F., Colominas I., Casteleiro M. Topology optimization of continuum structures with local and global stress constraints // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2009. Vol. 39. No. 4. Pp. 419-437. DOI: 10.1007/s00158-008-0336-2
45. Qiu G.Y., Li X.S. A note on the derivation of global stress constraints // Structural and Multi-disciplinary Optimization. 2010. Vol. 40. No. 1-6. Pp. 625-628. DOI: 10.1007/s00158-009-0397-X
46. Stolpe M., Svanberg K. An alternative interpolation scheme for minimum compliance topology optimization // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2001. Vol. 22. No. 2.
Pp. 116-124. DOI: 10.1007/s001580100129
47. Chau Le, Norato J., Bruns T.E., Ha C., Tortorelli D.A. Stress-based topology optimization for continua // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2010. Vol. 41. No. 4. Pp. 605-620. DOI: 10.1007/s00158-009-0440-y
M'hrpciznd-Mtmaücd MoJe""s• 201'- Mathematics £ Mathematical
DOI: 10.24108/mathm.0219.0000174
rWM ®
Electronic journal
© K.S. Bodyagina, S.P. Pavlov http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911
Topological Optimization of Microstructure of Adhesives under Thermal and Mechanical Loads
K.S. Bodyagina1*, S.P. Pavlov1
1Saratov State Technical University n.a. Gagarin Yu.A., Saratov, Russia b o dkEen@mai] ju
Keywords: topological optimization, shear stress, adhesive with gradient properties Received: 07.03.2019, Revised: 22.03.2019
The paper presents a mathematical model and method for solving a wide class of problems in topological optimization of an adhesive joint to obtain an optimal microstructure and gradient properties in order to reduce the level of stresses arising from both thermal and mechanical loads therein.
Adhesive joints have advantages over alternative bonding methods. The paper shows that the introduction of graduating properties in thickness or along the adhesive layer is the most promising strategy to optimize the adhesive. The approach is to modify the material properties or the geometry of the adhesive, varying along the joint.
In all the papers known to authors, the shape of the elements to be joined, or the shape and location of the adhesive layer, were subject to optimization. The topological optimization methods to determine the optimal distribution / change of the gradient properties of the adhesive layer itself were not used.
In the paper, the stresses arising in the solder joints are analyzed; it is shown that due to the small solder thickness, shear stresses are basic in it. The shear stresses are concentrated near the ends of the solder, and have the lowest values in the middle. The objective of the optimization problem is to reduce the peak values of the shear and peeling stresses in the solder layer. The topological optimization of the solder microstructure is to find the best distribution of a given amount of solder in the region in order to reach minimum peak values of stresses. The advantage of using topological optimization is that the microstructure of the solder should not be known a priori, and, thus, any designs can be optimized without first studying the effect of the original geometric parameters on the strength of the joint.
The algorithm is implemented using the finite element method and the method of movable asymptotes. A number of examples are considered in order to obtain the solder microstructure to
be optimal for reducing the peak values of shear stresses and delamination in a three-layer package.
The results show that optimal microstructures significantly reduce peak stresses compared to a uniform layer. The obtained results reveal the potential of the developed algorithm and show that it can find practical use.
References
1. Hart-Smith L.J. Design methodology for bonded-bolted composite joints. Vol. 1: Analysis derivations and illustrative solutions. Long Beach, CA: Douglas Aircraft Co.; McDonnell Douglas Corp., 1982. 97 p.
2. Kelly G. Quasi-static strength and fatigue life of hybrid (bonded/bolted) composite single-lap joints. Composite Structures, 2006, vol. 72, no. 1, pp. 119-129.
DOI: 10.1016/j.compstruct.2004.11.002
3. Handbook of adhesion technology / Ed. by L.F.M. Da Silva a.o. 2nd ed. Vol. 1-2. N.Y.: Springer, 2018. 1805 p.
4. Adams R.D., Comyn J., Wake W.C. Structural adhesive joints in engineering. 2nd ed. L.: Chapman & Hall, 1997. 359 p.
5. Dixon D.G. Adhesives used: structures bonded. Handbook of adhesion / Ed. by D.E. Packham. 2nd ed. Chichester: John Wiley & Sons, 2005.
6. Watson C. Advantages of use of adhesives: specific examples of improved design. Handbook of adhesion / Ed. by D.E. Packham. 2nd ed. Chichester: John Wiley & Sons, 2005.
7. Breto R., Chiminelli A., Duvivier E., Lizaranzu M., Jimenez M.A. Functionally graded bondlines for metal/composite joints. 16th Eur. conf. on composite materials: ECCM'16 (Seville, Spain, June 22-26, 2014): Proc. 2014. 8 p.
8. Groth H.L., Nordlund P. Shape optimization of bonded joints. Intern. J. of Adhesion and Adhesives, 1991, vol. 11, no. 4, pp. 204-212. DOI: 10.1016/0143-7496(91)90002-Y
9. Hildebrand M. Non-linear analysis and optimization of adhesively bonded single lap joints between fibre-reinforced plastics and metals. Intern. J. of Adhesion and Adhesives, 1994, vol. 14, no. 4, pp. 261-267. DOI: 10.1016/0143-7496(94)90039-6
10. Rispler A.R., Liyong Tong, Steven G.P., Wisnom M.R. Shape optimization of adhesive fillets. Intern. J. of Adhesion and Adhesives, 2000, vol. 20, no. 3, pp. 221-231. DOI: 10.1016/S0143-7496(99)00047-0
11. Taib A.A., Boukhili R., Achiou S., Gordon S., Boukehili H. Bonded joints with composite adherends. Part I. Effect of specimen configuration, adhesive thickness, spew fillet and adherend stiffness on fracture. Intern. J. of Adhesion and Adhesives, 2006, vol. 26, no. 4, pp. 226-236. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2005.03.015
12. Handbook of adhesion technology / Ed. by L.F.M. da Silva a.o. Vol. 1-2. B.; Hdbl.: Springer, 2011.
13. Da Silva L.F.M., Adams R.D. Joint strength predictions for adhesive joints to be used over a wide temperature range. Intern. J. of Adhesion and Adhesives, 2007, vol. 27, no. 5, pp. 362-379. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2006.09.007
14. Haghani R., Al-Emrani M., Kliger R. Effects of geometrical modifications on behavior of adhesive joints used to bond CFRP laminates to steel members - experimental investigation. Nordic steel conf.: Nordic steel'09 (Sweden Malmo, September 2-4, 2009): Proc. Gothenburg: Chalmers Univ. of Technology, 2009. Pp. 280-287.
15. Lang T.P., Mallick P.K. Effect of spew geometry on stresses in single lap adhesive joints. Intern. J. of Adhesion and Adhesives, 1998, vol. 18, no. 3, pp. 167-177. DOI: 10.1016/S0143-7496(97)00056-0
16. Belingardi G., Goglio L., Tarditi A. Investigating the effect of spew and chamfer size on the stresses in metal/plastics adhesive joints. Intern. J. of Adhesion and Adhesives, 2002, vol. 22, no. 4, pp. 273-282. DOI: 10.1016/S0143-7496(02)00004-0
17. Frostig Y., Thomsen O.T., Mortensen F. Analysis of adhesive-bonded joints, square-end and spew-fillet high-order theory approach. J. of Engineering Mechanics, 1999, vol. 125, no. 11, pp. 1298-1307. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9399(1999)125:11(1298)
18. Akpinar S., Doru M.O., Ozel A., Aydin M.D., Jahanpasand H.G. The effect of the spew fillet on an adhesively bonded single-lap joint subjected to bending moment. Composites. Pt. B: Engineering, 2013, vol. 55, pp. 55-64. DOI: 10.1016/j.compositesb.2013.05.056
19. Zhao X., Adams R.D., da Silva L.F.M. Single lap joints with rounded adherend corners: Experimental results and strength prediction. J. of Adhesion Science and Technology, 2011, vol. 25, no. 8, pp. 837-856. DOI: 10.1163/016942410X520880
20. Zhao X., Adams R.D., da Silva L.F.M. Single lap joints with rounded adherend corners: Stress and strain analysis. J. of Adhesion Science and Technology, 2011, vol. 25, no. 8, pp. 819-836. DOI: 10.1163/016942410X520871
21. Matveenko V.P., Sevodina N.V., Fedorov A.Yu. Optimization of geometry of elastic bodies in the vicinity of singular points on the example of an adhesive lap joint. J. of Applied Mechanics and Technical Physics, 2013, vol. 54, no. 5, pp. 841-846. DOI: 10.1134/S0021894413050179
22. Sancaktar E., Simmons S.R. Optimization of adhesively-bonded single lap joints by adherend notching. J. of Adhesion Science and Technology, 2000, vol. 14, no. 11, pp.1363-1404. DOI: 10.1163/156856100742258
23. Kaye R.H., Heller M. Through-thickness shape optimisation of bonded repairs and lap-joints. Intern. J. of Adhesion and Adhesives, 2002, vol. 22, no. 1, pp. 7-21. DOI: 10.1016/S0143-7496(01)00029-X
24. Ejaz H., Mubashar A., Ashcroft I.A., Uddin E., Khan M. Topology optimisation of adhesive joints using non-parametric methods. Intern. J. of Adhesion and Adhesives, 2018, vol. 81, pp. 1-10. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2017.11.003
25. Stapleton S.E., Waas A.M., Bednarcyk B.A. Modeling progressive failure of bonded joints using a single joint finite element. AIAA J., 2011, vol. 49, no. 8, pp. 1740-1749.
DOI: 10.2514/1.J050889
26. Hsieh T.H., Kinloch A.J., Masania K., Taylor A.C., Sprenger S. The mechanisms and mechanics of the toughening of epoxy polymers modified with silica nanoparticles. Polymer, 2010, vol. 51, no. 26, pp. 6284-6294. DOI: 10.1016/j.polymer.2010.10.048
27. Carbas R.J.C., da Silva L.F.M., Critchlow G.W. Adhesively bonded functionally graded joints by induction heating. Intern. J. of Adhesion and Adhesives, 2014, vol. 48, pp. 110-118.
DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2013.09.045
28. Gojny F.H., Wichmann M.H.G., Fiedler B., Schulte K. Influence of different carbon nanotubes on the mechanical properties of epoxy matrix composites - A comparative study. Composites Science and Technology, 2005, vol. 65, no. 15-16, pp. 2300-2313.
DOI: 10.1016/j.compscitech.2005.04.021
29. Yong Huang, Xian-Fang Li. A new approach for free vibration of axially functionally graded beams with non-uniform cross-section. J. of Sound and Vibration, 2010, vol. 329, no. 11, pp. 2291-2303. DOI: 10.1016/j.jsv.2009.12.029
30. Da Silva L.F.M., Adams R.D. Techniques to reduce the peel stresses in adhesive joints with composites. Intern. J. of Adhesion and Adhesives, 2007, vol. 27, no. 3, pp. 227-235.
DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2006.04.001
31. Hart-Smith L.J. Adhesive-bonded scarf and stepped-lap joints. Long Beach, CA: McDonnell Douglas Corp., 1973. 123 p.
32. Oterkus E., Barut A., Madenci E., Smeltzer S.S., Ambur D.R. Nonlinear analysis
of bonded composite single-lap joints. 45th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC structures, structural dynamics and materials conf. (Palm Springs, CA, USA, April 19-22, 2004): Proc. Wash.: AIAA, 2004. 18 p. DOI: 10.2514/6.2004-1560
33. Boss J.N., Ganesh V.K., Lim C.T. Modulus grading versus geometrical grading of composite adherends in single-lap bonded joints. Composite Structures, 2003, vol. 62, no. 1, pp. 113-121. DOI: 10.1016/S0263-8223(03)00097-7
34. Kumar S. Analysis of tubular adhesive joints with a functionally modulus graded bondline subjected to axial loads. Intern. J. of Adhesion and Adhesives, 2009, vol. 29, no. 8, pp. 785-795. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2009.06.006
35. Stapleton S.E., Waas A.M., Arnold S.M. Functionally graded adhesives for composite joints. Intern. J. of Adhesion and Adhesives, 2012, vol. 35, pp. 36-49.
DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2011.11.010
36. Spaggiari A., Dragoni E. Regularization of torsional stresses in tubular lap bonded joints by means of functionally graded adhesives. Intern. J. of Adhesion & Adhesives, 2014, vol. 53, pp. 23-28. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2014.01.006
37. Da Silva L.F.M., Lopes M.J.C.Q. Joint strength optimization by the mixed-adhesive technique. Intern. J. of Adhesion and Adhesives, 2009, vol. 29, no. 5, pp. 509-514.
DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2008.09.009
38. Pires I., Quintino L., Durodola J.F., Beevers A. Performance of bi-adhesive bonded aluminium lap joints. Intern. J. of Adhesion and Adhesives, 2003, vol. 23, no. 3, pp. 215- 223.
DOI: 10.1016/S0143-7496(03)00024-1
39. Nimje S.V., Panigrahi S.K. Numerical simulation for stress and failure of functionally graded adhesively bonded tee joint of laminated FRP composite plates. Intern. J. of Adhesion and Adhesives, 2014, vol. 48, pp. 139-149. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2013.09.046
40. Das Neves P.J.C., da Silva L.F.M., Adams R.D. Analysis of mixed adhesive bonded joints Part I: Theoretical formulation. J. of Adhesion Science and Technology, 2009, vol. 23, no. 1,
pp. 1-34. DOI: 10.1163/156856108X336026
41. Das Neves P.J.C., da Silva L.F.M., Adams R.D. Analysis of mixed adhesive bonded joints Part II: Parametric study. J. of Adhesion Science and Technology, 2009, vol. 23, no. 1, pp. 35-61. DOI: 10.1163/156856108X336035
42. Carbas R.J.C., da Silva L.F.M., Madureira M.L., Critchlow G.W. Modelling of functionally graded adhesive joints. J. of Adhesion, 2014, vol. 90, no. 8, pp. 698-716.
DOI: 10.1080/00218464.2013.834255
43. Da Silva L.F.M., Adams R.D. Adhesive joints at high and low temperatures using similar and dissimilar adherends and dual adhesives. Intern. J. of Adhesion and Adhesives, 2007, vol. 27, no. 3, pp. 216-226. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2006.04.002
44. Par'is J., Navarrina F., Colominas I., Casteleiro M. Global versus local statement of stress constraints in topology optimization of continuum structures. Computer aided optimum design in engineering X / Ed. by S. Hernandez, C.A. Brebbia. Southampton; Boston: WIT Press, 2007. Pp. 13-23. DOI: 10.2495/OP070021
45. Par'is J., Navarrina F., Colominas I., Casteleiro M. Topology optimization of continuum structures with local and global stress constraints. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2009, vol. 39, no. 4, pp. 419-437. DOI: 10.1007/s00158-008-0336-2
46. Qiu G.Y., Li X.S. A note on the derivation of global stress constraints. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2010, vol. 40, no. 1-6, pp. 625-628. DOI: 10.1007/s00158-009-0397-X
47. Stolpe M., Svanberg K. An alternative interpolation scheme for minimum compliance topology optimization. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2001, vol. 22, no. 2, pp. 116-124. DOI: 10.1007/s001580100129
48. Chau Le, Norato J., Bruns T.E., Ha C., Tortorelli D.A. Stress-based topology optimization for continua. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2010, vol. 41, no. 4, pp. 605-620. DOI: 10.1007/s00158-009-0440-y
