CC BY
36
УДК 62-253.001
DOI: 10.17277/vestnik.2019.01.pp.022-035
РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА ОТОБРАЖЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ СТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
П. А. Алехин, А. О. Глебов, С. В. Карпов, С. В. Карпушкин, В. А. Хлебников
Кафедра «Компьютерно-интегрированные системы в машиностроении», ФГБОУ ВО «ТГТУ», г. Тамбов, Россия; [email protected]
Ключевые слова: изоконтуры; стационарная теплопроводность; топологическая оптимизация; электроэрозионная резка.
Аннотация: Топологическая оптимизация (ТО) может быть применена для поиска оптимального распределения материала внутри рассматриваемой области. Изготовление оптимизированных таким образом изделий связано с необходимостью перехода от графического представления распределения материала к стандартам систем автоматизированного проектирования, автоматизации инженерных расчетов и технологической подготовки производства. В связи с этим существует потребность в надежных, универсальных и доступных методах, позволяющих осуществить геометрическое отображение результатов ТО.
Рассмотрена одна из классических задач ТО - задача стационарной теплопроводности плоской металлической пластины с условием Дирихле на одной из границ, на примере которой разработан алгоритм отображения результатов ТО, предусматривающий построение и анализ изоконтуров распределения материала в расчетной области. Показано, что для тепловых задач возникает необходимость фильтрации результатов и проведения процедуры сглаживания. Выявлены особенности постобработки сплайнов.
Разработанный алгоритм протестирован на примере изготовления радиатора охлаждения из дюралюминия при помощи технологии проволочной электроэрозионной резки.
Введение
Топологическая оптимизация (ТО) технических систем - широко распространенный метод, обеспечивающий значительное снижение материалоемкости и энергопотребления. В общем случае это инструмент, основанный на совместном использовании численного анализа методом конечных элементов (МКЭ) и градиентных методов оптимизации для нахождения распределения материала, обеспечивающего экстремум отклика объекта исследования на заданные условия функционирования [1]. Впервые такой подход был применен к задачам анализа напряженно-деформированного состояния конструкций, позже сфера применения расширилась до микроэлектромеханических систем, фотоники, акустики, механики жидкости и др. Для топологической оптимизации наиболее популярны 81МР-метод [2] и метод гомогенизации [3], идея которых состоит в том, что параметры элементов расчетной системы являются варьируемыми переменными. При этом реализация процедуры оптимизации предусматривает установление отношений между локальными свойствами материала (например, плотностью) и глобальными физическими свойствами (например, модулем Юнга или теплопроводностью).
Далее на основе выбранного метода оптимизации происходит итерационное перераспределение материала внутри расчетной области.
Поскольку задачи ТО предусматривают большое число варьируемых переменных, для их решения необходимо использование специальных методов оптимизации. Наиболее часто в данных случаях используется метод подвижных асимптот (Method of Moving Asymptotes - MMA), который впервые был предложен Сванбергом [4], а затем развит им же в работе [5]. Детальное исследование использования MMA представлено в работе [6].
Методология ТО успешно используется при конструировании новых технических систем, обеспечивая уменьшение капитальных и эксплуатационных затрат при выполнении широкого спектра ограничений. Однако в большинстве случаев такие конструкции можно считать лишь концептом ввиду необходимости проведения постобработки результатов. Эти «доработки» геометрии во многих случаях могут сильно повлиять на эффективность конструкции, в том числе и негативно [7]. Как отмечено в [8], существует потребность в надежных и доступных методах, позволяющих осуществить геометрическое отображение результатов ТО для проведения конечно-элементного анализа. Данный вопрос рассмотрен в настоящей работе.
О необходимости проведения операций постобработки результатов ТО заявлено, например, в [9] (рис. 1), где предлагается не только простое отображение полученных результатов в данные о геометрии, но и учет аспектов изготовления и практического использования созданных конструкций [10]. Последние исследования сделали возможным в некоторых случаях реализацию ТО без постобработки результатов [7]. Например, возможно внесение в постановку задачи ТО ограничений, отражающих особенности технологического процесса изготовления, что гарантирует возможность изготовления рассматриваемых изделий заявленным способом. В некоторых случаях это влияет на стадию подготовки технологического оборудования, например, можно исключить необходимость оптической коррекции фотолитографического оборудования. Тем не менее, даже в данных случаях, для конечного изготовления физических образцов необходима информация о геометрии в виде CAD-файлов, поэтому задача геометрического отображения результатов ТО является актуальной.
В работе [11] использован свободно распространяемый графический редактор InkSkape для создания точных векторных отображений результатов ТО стационарной теплопроводности. Однако не приведено никакой информации о непосредственной процедуре извлечения геометрических данных.
Известны работы, посвященные извлечению геометрических данных для трехмерных задач [12]. Разработанный алгоритм состоял из трех этапов: определение замкнутых геометрических изоповерхностей для генерации оптимизированных моделей и их характерных особенностей, а также создание параметрической твердотельной CAD-модели, представляющей собой поверхностные полиномы восьмой степени. Одним из недостатков трехмерной постановки является требовательность к вычислительным ресурсам [10].
Оптимизированные конструкции в тепловых задачах имеют комплексную геометрию, схожую с дендрическими структурами. Они могут быть изготовлены при помощи аддитивных технологий (АТ), а в случаях, когда изготовление образцов предусматривает обра-
о о Q T = 0 °C / Го Гм -nq = 0
500
Рис. 1. Геометрия расчетной системы и используемые граничные условия
ботку листовых материалов (например, лазерную резку полимерных и металлических материалов), возможна постановка двумерных задач и получение достаточно точных решений за разумное время.
Проблема больших вычислительных затрат является характерной для процедур ТО. Например, в работе [10] задействован высокопроизводительный вычислительный кластер для решения задачи стационарной теплопроводности радиаторов пассивного охлаждения осветительных светодиодных устройств. Алгоритм оптимизации предусматривал проведение 500 - 1000 итераций, что потребовало от 2 до 5 суток машинного времени с использованием 1000 - 2500 ядер кластера. С учетом этого, задача была рассмотрена в двумерной постановке.
В качестве объекта исследования выбрана классическая задача, встречающаяся в научной литературе: ТО стационарной теплопроводности плоской металлической пластины [13] (см. рис. 1).
Такая задача является актуальной, например, для электронных устройств, когда важно обеспечивать заданный температурный режим функционирования компонентов за счет стока тепла через радиатор. В рассматриваемой изотропной расчетной области ^ осуществляется равномерное внутреннее тепловыделение Q. Температура расположенной посередине левой границы Гд шириной 100 мм принималась равной 0 °С. На остальных границах Гдг теплообмен отсутствовал (условие Неймана). Стационарная теплопроводность в расчетной области описывается следующими уравнениями:
где Т = T(x, y) - температурное поле в точке с координатами (x, y) внутри к - коэффициент теплопроводности материала пластины. Задача состоит в минимизации средней температуры пластины Тср при наличии ограничений на массу т < тп. Для снижения вычислительных затрат рассматривается только тепловая задача, хотя в некоторых публикациях показаны мультифизические процессы [14].
Дискретизация расчетной области осуществлялась двумерными прямоугольными конечными элементами (КЭ). Результаты предыдущих работ показали, что для задачи данной размерности дискретизация расчетной области при значении максимального размера единичного элемента 5 = 4 мм является оптимальной. Постановка задачи предусматривает использование модели твердого изотропного тела с пенализацией SIMP [15]. В качестве метода оптимизации использован MMA [5], применяющий анализ чувствительности целевой функции к варьируемым переменным. С математической точки зрения получение лучшего значения целевой функции возможно за счет усложнения топологии материала. Однако, как показано в [16], реализация подобных сложных структур не всегда приводит к улучшению результатов: значение целевой функции может ухудшаться при использовании избыточной степени детализации [17].
В результате решения задачи (1) - (3) получено распределение материала (рис. 2, а) с представлением данных в цветовой карте в градациях серого. Черный цвет означает присутствие материала, белый - отсутствие. Серый цвет соответствует промежуточной плотности.
Постановка и решение задачи
V(kVT) + Q = 0, (x, y )eQ; T = 0,(x,y)e Гd; (k VT ) n = 0, (x, y )e Г N,
(1)
(2)
(3)
г ff [у ^Лр
V
у
а) б)
Рис. 2. Результат решения задачи ТО стационарной теплопроводности плоской металлической пластины:
а - распределение материала; б - контурный график распределения материала
Такой результат хорошо согласуется с данными, полученными в [11, 18]. Задачей исследования является извлечение данных о геометрии для последующего использования в СЛО/САБ/СЛМ-системах. То есть необходимо построить замкнутый контур, соответствующий границе материала. Для этого можно представить результаты в виде контурного графика (рис. 2, б).
Обработка результатов
Согласно постановке задачи ТО с применением 8ГМР-модели, варьируемой переменной является плотность каждого КЭ. Поэтому необходимо регистрировать информацию о точном расположении каждого элемента. В связи с этим для однозначного определения всех узлов необходимо осуществить регистрацию следующих величин: двух координат КЭ, информацию о КЭ, значения функции для КЭ. Поэтому целесообразно осуществлять импорт геометрии в текстовый файл, содержащий соответственно 4 столбца с данными. Следует отметить, что такой файл содержит точную информацию об используемой расчетной сетке, что позволит в конечном итоге построить замкнутый контур.
Особенности постобработки
Реализация методов ТО возможна во многих современных СЛБ-системах (например, 81ешешМХ [19], А№У8 [20]), а также пакетах прикладных программ (например, МАТЬАБ [21]). Поэтому постобработка полученных результатов может быть выполнена встроенными средствами этих программ, а также любыми способами обработки двумерных массивов.
Полученный ранее контурный график (см. рис. 2, б) необходимо импортировать в виде многоточечного сплайна в текстовый файл. Из-за большого числа узлов сплайн может иметь мелкие участки с множеством точек перегиба (рис. 3, а). В этом случае к данному сплайну можно применить операции сглаживания [22].
Параметром настройки данной операции может являться величина относительного допуска: чем он выше, тем ровнее получаемый контур (рис. 3, б). Этот параметр представляет собой максимальное расстояние между генерируемой кривой и последовательностью узловых точек. Значение «0» будет обеспечивать интерполяцию всех точек.
Для результатов, представленных на рис. 3, проведен расчет площади контуров, который показал, что данные области практически не отличаются друг от друга.
Рис. 3. Результат импорта геометрии в виде сплайна при различных значениях сглаживания:
а - 0,004 мм; б - 0,007 мм
Визуальный анализ контуров, представленных на рис. 3, позволяет выделить многочисленные мелкие области, «оторванные» от основного контура (рис. 4).
Отметим, что оптимальная топология для задач стационарной теплопроводности имеет сходство с развитой дендрической структурой. В связи с этим при обработке сплайнов распределения материала получение таких областей, не имеющих физического смысла, неизбежно. Поэтому для корректного отображения результатов необходима фильтрация результатов, заключающаяся в удалении областей, не принадлежащих основному контуру.
Особенности постобработки для САЕ-систем
Полученные после фильтрации сплайны можно использовать для дальнейшего КЭ-анализа. Однако встречаются ситуации, когда в этих областях КЭ-сетку построить невозможно. Основываясь на собственном практическом опыте, выделим две причины таких ситуаций. Первая - наличие самопересечения импортированного контура (рис. 5, а), вторая - присутствие «узких» мест, не позволяющих осуществить КЭ-дискретизацию рассматриваемой области (рис. 5, б).
В данном случае целесообразно проведение сглаживания для другого значения параметра. Например, на рис. 6, а, приведен контур, для которого возможно построение расчетной КЭ-сетки (рис. 6, б) при значении параметра сглаживания 0,0019 мм.
Число треугольных КЭ составило 34 708. Среднее качество элементов 0,79, минимальное 0,04.
Разработка алгоритма
Учитывая вышесказанное, можно предложить алгоритм отображения результатов двумерной ТО, представленный на рис. 7. На первом этапе на основе поверхности распределения материала строится изоконтур плотности. Далее осуществляется импорт данных изолинии в текстовый файл. На следующем этапе
Рис. 4. Области, не принадлежащие основному замкнутому контуру
текстовый файл импортируется в CAD/CAM-систему и осуществляется фильтрация данных. Полученный замкнутый сплайн используется для задания нагрузок и граничных условий (CAE) или траектории движения рабочих органов промышленного оборудования (CAM). Если это оказывается невозможным из-за присутствия самопересечений и «узких» мест, то осуществляется операция сглаживания контура с возрастающим значением относительного допуска.
x, м
а)
x, м
б)
Рис. 5. Характерные случаи непригодности импортированной геометрии для реализации КЭ-анализа:
а - самопересечение контура; б - наличие «узких» мест
а) б)
Рис. 6. Расчетная область после процедуры фильтрации (а) и КЭ-сетка расчетной области (б)
Рис. 7. Алгоритм отображения результатов ТО
Изготовление опытного образца
В качестве технологии изготовления экспериментального образца выбрана проволочная электроэрозионная резка (Wire Electrical Discharge Machining -WEDM). Данная технология эффективна при изготовлении образцов из твердых металлических материалов, имеющих сложную геометрию [23].
Создание графической
схемы
ПО системы -
управления
Плата управления
Блок управления шаговым двигателем
Блок управления генератором технологического тока
Блок ввода-вывода для управления инвертором
Рис. 8. Схема изготовления образца по технологии WEDM
Полученный на основе предложенного алгоритма замкнутый контур в формате .dxf импортирован в систему программного управления электроэрозионным проволочно-вырезным станком (ЭПВС) AutoCut. Пользователь задает технические параметры ЭПВС, а также осуществляет проектирование процесса резки на основании геометрии контура. Во время работы станка система контролирует скорость двигателя и параметры импульсной мощности. Метод обработки базируется на графическом процессоре и представляет собой объединенное использование CAD и CAM. Схема изготовления образца представлена на рис. 8.
Для изготовления экспериментального образца использован ЭПВС с ЧПУ DK7732CA. Согласно спецификации, точность обработки составила (6...9)-10-6 м. В качестве заготовки использована пластина из дюралюминия Д16 100x100x20 мм. Время изготовления составило около 10 часов.
Опорная поверхность радиатора должна быть отшлифована для уменьшения термосопротивления. Совместный анализ рис. 6, а, и 9 позволяет сделать вывод, что из-за технологических ограничений электроэрозионной резки геометрия изготовленного образца не содержит узких областей. Однако для основного контура образца точность и разрешение данной технологии являются удовлетворительными.
Выводы
Рассмотрена задача ТО плоской металлической пластины с условием Дирихле на одной из границ. Найденное распределение материала хорошо согласуется с результатами, полученными в предыдущих работах по ТО.
Практическое применение полученных результатов возможно при их представлении по стандартам систем CAD/CAE/CAM. Для этих целей разработан алгоритм геометрического отображения результатов ТО. На основе имитационного моделирования задач стационарной теплопроводности выявлены особенности постобработки результатов. Показано, что для данных задач возникает необходимость фильтрации и проведения процедуры сглаживания контуров.
Разработанный алгоритм отображения результатов двумерной ТО реализован при помощи встроенных инструментов COMSOL Multiphysics. Необходимо отметить возможность создания прикладных комплексов программ для решения этой задачи в автоматизированном режиме.
МММ!, "TT
г з ч в в 1 а
Рис. 9. Внешний вид изготовленного образца
Результаты решения задачи использованы для создания графической схемы распределения материала с последующим импортом в системы подготовки управляющих программ оборудования на основе ЧПУ. Для тестирования алгоритма выбрана современная технология WEDM. Точность и разрешение данной технологии являются удовлетворительными для промышленного изготовления.
Работа [24] посвящена экспериментальным и численным исследованиям эффективности топологически оптимизированных конструкций пассивного охлаждения светодиодных устройств. Экспериментальные образцы изготавливались по современной АТ селективного лазерного спекания [25], а также с использованием традиционных технологий обработки металлов резанием. Отмечено, что применение АТ в этом случае на два порядка дороже традиционных технологий. В связи с этим можно сделать вывод, что использование технологии WEDM является предпочтительным. Тем не менее использование АТ оправдано в тех случаях, когда речь идет об уникальных конструкциях и прототипах, где требуется наилучшая эффективность функционирования.
Область применения данного алгоритма - двумерные задачи ТО, результат решения которых являются сложные картины распределения материала. Под «сложными» можно понимать такие картины, конструкторская проработка которых, в целях повышения технологичности изготовления (например, замена криволинейных контуров прямолинейными), неизбежно приведет к уменьшению эффективности изготавливаемых изделий. Такими задачами являются ТО процессов теплопроводности (в том числе сопряженной с конвекцией) и гидродинамики. К задачам ТО напряженно-деформированного состояния это относится в меньшей степени.
Существует большое число исследований ТО в задачах теплопроводности в двумерной и трехмерной постановках, например, работа [26] с обзором статей, посвященных различным задачам ТО теплопроводности и описанию применяемых в них методов. Особенность данных публикаций - фундаментальный характер исследований, то есть в большинстве случаев отсутствует экспериментальное обоснование полученных теоретических результатов. В связи с этим поставлена задача проведения прикладных исследований для проверки и оценки степени эффективности оптимизированных конструкций пассивного охлаждения.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках базовой части проекта № 8.7082.2017/8.9 с использованием оборудования центра коллективного пользования «Цифровое машиностроение» Тамбовского государственного технического университета.
Список литературы
1. Gersborg-Hansen, A. Topology Optimization of Heat Conduction Problems Using the finite Volume Method / A. Gersborg-Hansen, M. P. Bendsee, O. Sigmund // Structural and Multidisciplinary Optimization. - 2006. - Vol. 31, Issue 4. -P. 251 - 259.
2. Bendsee, M. Ph. Optimal Shape Design as a Material Distribution Problem / M. Ph. Bendsee // Structural optimization. - 1989. - Vol. 1, Issue 4. - P. 193 - 202.
3. Bendsee, M. Ph. Generating Optimal Topologies in Structural Design Using a Homogenisation Method / M. Ph. Bendsee, N. Kikuchi // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. - 1988. - Vol. 71, Issue 2. - P. 197 - 224.
4. Svanberg, K. The Method of Moving Asymptotes - A New Method for Structural Optimization / K. Svanberg // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1987. - Vol. 24, Issue 2. - P. 359 - 373. doi: 10.1002/ nme.1620240207
5. Svanberg, K. A Class of Globally Convergent Optimization Methods Based on Conservative Convex Separable Approximations / K. Svanberg // SIAM Journal on Optimization. - 2002. - Vol. 12, Issue 2. - P. 555 - 573. doi: 10.1137/ S1052623499362822
6. Dbouk, T. Performance of Optimization Algorithms Applied to Large Nonlinear Constrained Problems / T. Dbouk, J.-L. Harion // American Journal of Algorithms and Computing. - 2015. - Vol. 2, No. 1. - P. 32 - 56. doi:10.7726/ajac.2015.1003
7. Lazarov, B. S. Length Scale and Manufacturability in Density-Based Topology Optimization / B. S. Lazarov, F. Wang, O. Sigmund // Archive of Applied Mechanics. -2016. - Vol. 86, No. 1-2. - P. 189 - 218. doi: 10.1007/s00419-015-1106-4
8. A Geometry Projection Method for Shape Optimization / J. Norato [et al.] // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2004. - Vol. 60, Issue 14. - P. 2289 - 2312. doi: 10.1002/nme.1044
9. Development of Heat Sink Device by Using Topology Optimization / A. A. Koga [et al.] // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2013. -Vol. 64. - P. 759 - 772. doi: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2013.05.007
10. Design of Passive Coolers for Light-Emitting Diode Lamps Using Topology Optimisation / J. Alexandersen [et al.] // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2018. - Vol. 122. - P. 138 - 149. doi: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2018. 01.103
11. Lohan, D. J. Topology Optimization for Heat Conduction Using Generative Design Algorithms / D. J. Lohan, E. M. Dede, J. T. Allison // Structural and Multidisciplinary Optimization. - 2017. - Vol. 55, Issue 3. - P. 1063 - 1077. doi: 10.1007/s00158-016-1563-6
12. Koguchi, A. A Surface Reconstruction Algorithm for Topology Optimization / A. Koguchi, N. Kikuchi // Engineering with Computers. - 2006. - Vol. 22, Issue 1. -P. 1 - 10. doi: 10.1007/s00366-006-0023-0
13. Bendsoe, M. Ph. Topology Optimization: Theory, Methods and Applications / M. Ph. Bendsoe, O.Sigmund. - Springer Science & Business Media, 2013. - 370 p.
14. Topological Design of Structures and Composite Materials with Multiobjectives / N. De Kruijf [et al.] // International Journal of Solids and Structural. -2007. - Vol. 44, Issue 22-23. - P. 7092 - 7109. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2007.03.028
15. Rozvany, G. I. N. Generalized Shape Optimization Without Homogenization / G. I. N. Rozvany, M. Zhou, T. Birker // Structural and Multidisciplinary Optimization. -1992. - Vol. 4, Issue 3-4. - P. 250 - 252. doi: 10.1007/BF01742754
16. Ghodoossi, L. Conceptual Study on Constructal Theory / L. Ghodoossi // Energy Conversion and Management. - 2004. - Vol. 45, Issue 9-10. - P. 1379 - 1395. doi: 10.1016/j.enconman.2003.09.002
17. Zhang, Y. Design of Conducting Paths Based on Topology Optimization / Y. Zhang, Sh. Liu // Heat and Mass Transfer. - 2008. - Vol. 44, Issue 10. - P. 1217 -1227. doi: 10.1007/s00231-007-0365-1
18. Dede, E. M. Topology Optimization, Additive Layer Manufacturing, and Experimental Testing of an Air-Cooled Heat Sink / E. M. Dede, Sh. N. Joshi, F. Zhou // Journal of Mechanical Design. - 2015. - Vol. 137. - P. 111702-1 - 111702-9. doi: 10.1115/1.4030989
19. Design and Topology Optimization of Lattice Structures Using Deformable Implicit Surfaces for Additive Manufacturing / E. B. Arisoy [et al.] // International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference : volume 4 : 20th Design for Manufacturing and the Life Cycle Conference ; 9th International Conference on Micro- and Nanosystems (2 - 5 August, 2015, Boston, Massachusetts, USA). - ASME, 2015. - P. V004T05A003. doi: 10.1115/DETC2015-46565
20. Finite Element Analysis of the Lumbar Spine with a New Cage Using a Topology Optimization Method / Zh.-Ch. Zhong [et al.] // Medical Engineering end Physics. - 2006. - Vol. 28, Issue 1. - P. 90 - 98. doi: 10.1016/j.medengphy. 2005.03.007
21. Sigmund, O. A 99 Line Topology Optimization Code Written in MATLAB / O. Sigmund // Structural and Multidisciplinary Optimization. - 2001. - Vol. 21, Issue 2. -P. 120 - 127. doi: 10.1007/s001580050176
22. De Boor, C. R. A Practical Guide to Splines / C. R. de Boor. - New York : Springer-Verlag, 1978. - 325 p.
23. Firouzabadi, H. A. Improving Accuracy of Curved Corners in Wire EDM Successive Cutting / H. A. Firouzabadi, J. Parvizian, A. I. Abdullah // International Journal of Advanced Manufacturing Technology. - 2015. - Vol. 76, Issue 1-4. -P. 447 - 459. doi: 10.1007/s00170-014-6270-0
24. Experimental Validation of Additively Manufactured Optimized Shapes for Passive Cooling / B. S. Lazarov [et al.] // Applied Energy. - 2018. - Vol. 226. -P. 330 - 339. doi: 10.1016/j.apenergy.2018.05.106
25. Pat. US4863538A USA, NKI C23C26/02. Method and Apparatus for Producing Parts by Selective Sintering / Deckard C. R. - Pablish. 1986.
26. Dbouk, T. A Review About the Engineering Design of optimal Heat Transfer Systems Using Topology Optimization / T. Dbouk // Applied Thermal Engineering. -2017. - Vol. 112. - P. 841 - 854. doi: 10.1016/j.applthermaleng.2016.10.134
Development of an Algorithm for Displaying the Topological Optimization Results in Two-Dimensional Problems of Stationary Heat Conduction
P. A. Alekhin, A. O. Glebov, S. V. Karpov, S. V. Karpushkin, V. A. Khlebnikov
Department of Computer-Integrated Systems in Mechanical Engineering, TSTU, Tambov, Russia; [email protected]
Keywords: isocontours; stationary thermal conductivity; topological optimization; electroerosion cutting.
Abstract: Topological optimization (TO) can be applied to search for the optimal distribution of material within the area under consideration. The manufacture of products optimized in this way is associated with the need to move from a graphic representation of the distribution of the material to the standards of computer-aided design (CAD), computer-aided engineering (CAE) and computer-aided manufacturing (CAM).
In this regard, there is a need for reliable, universal and affordable methods that allow for the geometric display of the results of TO.
We considered one of the classical maintenance problems - the problem of stationary heat conduction of a flat metal plate with the Dirichlet condition on one of the boundaries. Using the example of this problem, an algorithm has been developed for displaying the results of maintenance, providing for the construction and analysis of the material distribution isocontours in the computational domain. For thermal problems there is a need to filter the results and carry out the smoothing procedure. The peculiarities of spline post-processing are revealed.
The developed algorithm was tested on the example of manufacturing a radiator for cooling from duralumin using wire EDM technology.
References
1. Gersborg-Hansen A., Bendsee M.Ph., Sigmund O. Topology Optimization of Heat Conduction Problems Using the finite Volume Method, Structural and Multidis-ciplinary Optimization, 2006, vol. 31, issue 4, pp. 251-259.
2. Bendsee M.Ph. Optimal Shape Design as a Material Distribution Problem, Structural Optimization, 1989, vol. 1, issue 4, pp. 193-202.
3. Bendsee M.Ph., Kikuchi N. Generating Optimal Topologies in Structural Design Using a Homogenisation Method, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 1988, vol. 71, issue 2, pp. 197-224.
4. Svanberg K. The Method of Moving Asymptotes - a New Method for Structural Optimization, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1987, vol. 24, issue 2, pp. 359-373, doi: 10.1002/nme.1620240207
5. Svanberg K.A Class of Globally Convergent Optimization Methods Based on Conservative Convex Separable Approximations, SIAM Journal on Optimization, 2002, vol. 12, issue 2, pp. 555-573. doi: 10.1137/S1052623499362822
6. Dbouk T., Harion J.-L. Performance of Optimization Algorithms Applied to Large Nonlinear Constrained Problems, American Journal of Algorithms and Computing, 2015, vol. 2, no. 1, pp. 32-56, doi:10.7726/ajac.2015.1003
7. Lazarov B.S., Wang F., Sigmund O. Length Scale and Manufacturability in Density-Based Topology Optimization, Archive of Applied Mechanics, 2016, vol. 86, no. 1-2, pp. 189-218, doi: 10.1007/s00419-015-1106-4
8. Norato J., Robert B.H., Tortorelli D.A., Bendsee M.Ph. A Geometry Projection Method for Shape Optimization, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2004, vol. 60, issue 14, pp. 2289-2312, doi: 10.1002/nme.1044
9. Koga A.A., Lopes E.C.C., Nova H.V., de Lima C.R. Development of Heat Sink Device by Using Topology Optimization, International Journal of Heat and Mass Transfer, 2013, vol. 64, pp. 759-772, doi: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2013.05.007
10. Alexandersen J., Sigmund O., Meyer K.E., Lazarov B.S. Design of Passive Coolers for Light-Emitting Diode Lamps Using Topology Optimisation, International Journal of Heat and Mass Transfer, 2018, vol. 122, pp. 138-149, doi: 10.1016/ j.ijheatmasstransfer.2018.01.103
11. Lohan D.J., Dede E.M., Allison J.T. Topology Optimization for Heat Conduction Using Generative Design Algorithms, Structural and Multidisciplinary Optimization, 2017, vol. 55, issue 3, pp. 1063-1077, doi: 10.1007/s00158-016-1563-6
12. Koguchi A., Kikuchi N. A Surface Reconstruction Algorithm for Topology Optimization, Engineering with Computers, 2006, vol. 22, issue 1, pp. 1-10, doi: 10.1007/s00366-006-0023-0
13. Bendsee M.Ph., Sigmund O. Topology Optimization: Theory, Methods and Applications, Springer Science & Business Media, 2013, 370 p.
14. De Kruijf N., Zho S., Li Q., Mai Y.-W. Topological Design of Structures and Composite Materials with Multiobjectives, International Journal of Solids and Structural, 2007, vol. 44, issue 22-23, pp. 7092-7109, doi: 10.1016/j.ijsolstr. 2007.03.028
15. Rozvany G.I. N., Zhou M., Birker T. Generalized Shape Optimization Without Homogenization, Structural and Multidisciplinary Optimization, 1992, vol. 4, issue 3-4, pp. 250-252, doi: 10.1007/BF01742754
16. Ghodoossi L. Conceptual Study on Constructal Theory, Energy Conversion and Management, 2004, vol. 45, issue 9-10, pp. 1379-1395, doi: 10.1016/j.enconman. 2003.09.002
17. Zhang Y., Liu Sh. Design of Conducting Paths Based on Topology Optimization, Heat and Mass Transfer, 2008, vol. 44, issue 10, pp. 1217-1227, doi: 10.1007/s00231-007-0365-1
18. Dede E.M., Joshi Sh.N., Zhou F. Topology Optimization, Additive Layer Manufacturing, and Experimental Testing of an Air-Cooled Heat Sink, Journal of Mechanical Design, 2015, vol. 137, pp. 111702-1-111702-9, doi: 10.1115/1.4030989
19. Arisoy E.B., Musuvathy S., Mirabella L., Slavin E. International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference: vol. 4: 20th Design for Manufacturing and the Life Cycle Conference; 9th International Conference on Micro- and Nanosystems, 2-5 August, 2015, Boston, Massachusetts, USA, ASME, 2015, p. V004T05A003, doi: 10.1115/DETC2015-46565
20. Zhong Zh.-Ch., Wei Sh.-H., Wang J.-P., Feng Ch.-K., Chen Ch.-Sh., Yu Ch.-H. Finite Element Analysis of the Lumbar Spine with a New Cage Using a Topology Optimization Method, Medical Engineering end Physics, 2006, vol. 28, issue 1, pp. 90-98, doi: 10.1016/j.medengphy.2005.03.007
21. Sigmund O. A 99 Line Topology Optimization Code Written in MATLAB, Structural and Multidisciplinary Optimization, 2001, vol. 21, issue 2, pp. 120-127, doi: 10.1007/s001580050176
22. De Boor C.R. A Practical Guide to Splines, New York: Springer-Verlag, 1978, 325 p.
23. Firouzabadi H.A., Parvizian J., Abdullah A.I. Improving Accuracy of Curved Corners in Wire EDM Successive Cutting, International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2015, vol. 76, issue 1-4, pp. 447-459, doi: 10.1007/s00170-014-6270-0
24. Lazarov B.S., Sigmund O., Meyer K.E., Alexandersen J. Experimental Validation of Additively Manufactured Optimized Shapes for Passive Cooling, Applied Energy, 2018, vol. 226, pp. 330-339, doi: 10.1016/j.apenergy.2018.05.106
25. Deckard C.R. Method and Apparatus for Producing Parts by Selective Sintering, USA, 1986, pat. US4863538A.
26. Dbouk T. A Review About the Engineering Design of optimal Heat Transfer Systems Using Topology Optimization, Applied Thermal Engineering, 2017, vol. 112, pp. 841-854, doi: 10.1016/j.applthermaleng.2016.10.134
Entwicklung des Algorithmus zur Anzeige der Ergebnisse der topologischen Optimierung beim Lösen zweidimensionaler Aufgaben der stationären Wärmeleitung
Zusammenfassung: Die Topologische Optimierung (TO) kann verwendet werden, um eine optimale Materialverteilung innerhalb des betreffenden Bereichs zu finden. Die Herstellung von auf diese Weise optimierten Produkten ist mit der Notwendigkeit verbunden, von einer grafischen Darstellung der Verteilung des Materials zu CAD-Standards, Automatisierungstechnik-Berechnungen (CAE) und technologischer Produktionsvorbereitung (CAM) überzugehen. Im Zusammenhang damit besteht ein Bedarf an zuverlässigen, universellen und verfügbaren Methoden, die eine geometrische Darstellung der Ergebnisse von TO ermöglichen.
Es ist eines der klassischen Probleme der TO betrachtet: das Problem der stationären Wärmeleitung einer flachen Metallplatte mit der Dirichlet-Bedingung an einer der Grenzen. Am Beispiel dieser Aufgabe ist ein Algorithmus zur Anzeige der Instandhaltungsergebnisse entwickelt, der die Erstellung und Analyse von Isokonturen der Materialverteilung im berechneten Bereich vorsieht. Es ist gezeigt, dass für thermische Aufgaben die Notwendigkeit besteht, die Ergebnisse zu filtern und das Verfahren zu glätten. Merkmale der Nachbearbeitung von Splines sind identifiziert.
Der entwickelte Algorithmus wurde am Beispiel der Herstellung des Kühlkörpers aus Duraluminium mit Hilfe der Drahtelektroerosionstechnologie getestet.
Elaboration d'un algorithme d'affichage des résultats de l'optimisation topologique lors de la résolution des problèmes bidimensionnels de la conductivité thermique stationnaire
Résumé: L'optimisation topologique (OT) peut être appliquée pour la recherche de la distribution optimale du matériel à l'intérieur de la zone examenée. La fabrication de produits optimisés de la telle manière est liée à la nécessité dutransfert de la représentation graphique du matériel aux normes de la conception assistée par ordinateur (CAO), de l'automatisation des calculs d'Ingénierie (ACI) et de la formation technologique de la production (FTP). Sont examinées les méthodes permettant de réaliser l'affichage géométrique des résultats.
L'une des tâches classiques de OT est considérée: celle de la conductivité thermique stationnaire de la plaque métallique plate avec la condition de Dirichlé à l'une des limites. Est mis au point un algorithme d'affichage des résultats pour la construction et l'analyse des isocontages de la séparation des matériaux dans la zone de calcul. Il est montré que pour les tâches thermiques, il est nécessaire de filtrer les résultats et d'effectuer une procédure de lissage. Sont identifiées les caractéristiques du posttraitement des splines.
L'algorithme développé a été testé à l'exemple de la fabrication d'un radiateur de refroidissement en duraluminium à l'aide de la technologie de la coupe du fil électrique.
Авторы: Алехин Павел Андреевич - аспирант кафедры «Компьютерно-интегрированные системы в машиностроении»; Глебов Алексей Олегович -кандидат технических наук, доцент кафедры «Компьютерно-интегрированные системы в машиностроении»; Карпов Сергей Владимирович - кандидат технических наук, доцент кафедры «Компьютерно-интегрированные системы в машиностроении»; Карпушкин Сергей Викторович - доктор технических наук, профессор кафедры «Компьютерно-интегрированные системы в машиностроении»; Хлебников Вячеслав Андреевич - магистрант, ФГБОУ ВО «ТГТУ», г. Тамбов, Россия.
Рецензент: Туголуков Евгений Николаевич - доктор технических наук, профессор кафедры «Техника и технологии производства нанопродуктов», ФГБОУ ВО «ТГТУ», г. Тамбов, Россия.
