CC BY
29
УДК 539.37:622.24
ОПТИМИЗАЦИЯ АРМИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МИКРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ ДЛЯ ГЕОЛОГИЧЕСКИХ ИЗЫСКАНИЙ: КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТ
Павлов Сергей Петрович1,
Бекренев Николай Валерьевич1,
Злобина Ирина Владимировна1,
Бодягина Ксения Сергеевна1,
1 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., Россия, 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77.
Актуальность исследования обусловлена использованием гироскопов и инклинометров для измерения траектории бурения скважин. В качестве элементов этих приборов часто используются пластины различной конфигурации с технологическими вырезами или вставками, наличие которых приводит к концентрации напряжений в некоторых областях и к дальнейшему их разрушению, если эти напряжения превысят предел прочности материала стВ1. Одним из способов повышения надежности этих элементов является армирование пластин, что позволяет усилить конструкцию в проблемных областях.
Цель работы: создание метода и алгоритма топологической оптимизации микроструктуры усиливающей арматуры с учетом ограничений по напряжениям для пластинок, являющихся элементами гироскопов и инклинометров, для увеличения их прочности и надежности.
Методы. Для математического моделирования напряженно-деформированного состояния пластинок используются методы конечных элементовдля задач механики твердого деформируемого тела. Оптимальная структура армирования пластин получена методом топологической оптимизации, разработанным авторами.
Результаты. Предложенный и реализованный алгоритм в виде комплекса программ позволяет получать топологически оптимальное армирование пластин не только при наличии вырезов и отверстий, но и при наличии включений из другого материала в базовый материал пластины. На примере модельной задачи получена оптимальная структура армирования пластины с технологическими вырезами, с целью проверки полученных результатов проведен эксперимент.
Ключевые слова:
Армирование, критерий Мизеса, пластины с технологическими вырезами, топологическая оптимизация, метод конечных элементов, композиционные материалы, трехмерная печать, испытания на растяжение.
Введение ных ограничениях на напряжения до сих пор рассма-В нефтегазовой промышленности и при добыче тривается как ОДна из наиболее сложных задач из-за полезных ископаемых гироскопы и инклинометры проблемы сингУлярности и сильной нелинейности си-используются для непрерывного контроля траекто- стемы ограничений [5, 7-13]. В этим жотедотанш рии бурения, так как из-за длительности процесса рассматривается топ°л°гическая штимшацга ми-бурения, а также вращения Земли есть вероятность кроструктуры усиливающей натуры с учет™ отра-отклонения бура от вертикальной оси. Одним из спо- ничений по напряжениям для пластинок. ШлЯу^т собов повышения надежности этих элементов явля- оптимальная микроструктура ^ирот^я и провеется армирование пластин, используемых в этих ден натурный эксперимент для этой структуры.
приборах, что позволяет усилить конструкцию в про-
Постановка задачи
блемных областях. Армирование повышает безопасность конструкции за счет добавления некоторых ма- В качестве примера рассмотрим пластину, по-териалов (подкреплений) в базовые структуры и ши- казанную на рис. 1. Похожие пластины использу-роко распространено в механических конструкциях ются в гироскопах и инклинометрах, применяе-[1—3]. Однако для подкрепления требуются дополни- мых ПРИ проходке скважин, тельные материалы и затраты, а неправильный выбор структуры армирования может привести к дополнительным повреждениям основной структуры.
ШШСЛЬНМШ iiUbpC/Tv1Л/Дишии UipyfVl уры. у I
Топологическая оптимизация широко применя-
и
л_«
ется для различных инженерных приложении от ми- *
кроструктур до мегаструктур и от единой физической Рис 1 Форма пластины без армирования и расчетная схема
системы до многофизических систем [4-6]. Тем не ме- Fig. 1. Shape of the plate without reinforcement and the design нее, проблема оптимизации топологии при локаль- scheme
На рис. 1 показана пластина с вырезами, изготовленная из ABS-пластика с модулем Юнга £(,=1,6 ГПа и пределом прочности 0^=800 МПа. В дальнейшем будем называть ее базовой структурой. К пластине прикладывается нагрузка F=36 KH вдоль оси OX. Верхняя и нижняя границы свободны от нагрузки. Требуется создать оптимальную структуру армирования пластины из углепластика с модулем Юнга £„=120 ГПа и пределом прочности ctb"j=800 ГПа с целью увеличения ее прочности при заданном количестве армирующего материала.
Топологическая оптимизация
микроструктуры армирования
Для увеличения прочности необходимо минимизировать величину максимального напряжения по Мизесу
0 mises = V°121 +022 "011°22 + 3°12 > (1)
где o,j - напряжения в области оптимизации Q, за счет армирования усиливающими элементами из углепластика базового материала пластины при условии, что объем армирующего материала в оптимальной конструкции не превосходит заданной величины. Так как положение точки, в которой достигается максимум функции из (1) omiSes(x,o11,o12,o22), неизвестно, то задача сводится к минимизации функционала:
Jc = maX 0mises (X °12> (2)
xeQ
Для локальных функционалов такого типа разработаны приближенные методы редукции к задачам с интегральными функционалами. Один из них [14] основан на близости нормы в пространстве непрерывных функций ||omJc норме на пространстве Lq функций, интегрируемых с q-й степенью при достаточно больших значениях q. Учитывая это, можно приближенно заменить (2) функционалом
( Л 1/q
Jq =lmk Q (°mss ^j ^ (3)
где m(Q) - мера множества Q. Там же дана оценка точности такого приближения.
Без потери общности функционал цели (2), с учетом (3), может быть взят в виде
J = J (стЦ + ст_22 - о11о22 + 3o122 )qdQ, (4)
Q
где q - заданное достаточно большое число.
Конструкция находится в плоском напряженном состоянии, и функции отклика должны удовлетворять соотношениям Коши, уравнениям состояния и равновесия
sij = 1(ui, j + uj i); (5)
E
011 = "-2 (£11 + ^е22).
E E
СТ22 = "-2 (е22 + VSnl СТ12 = "-ге12' (6)
1 - V 1+ V
а также соответствующим граничным условиям. Задача (5), (6) решается методом конечных элементов.
Оптимизация топологии микроструктуры армирования заключается в поиске наилучшего распределения усиливающего материала для достижения минимума максимальных значений omises, то есть минимизации функционала (4), в пластине. В методе топологической оптимизации, изложенном в работах [3, 15-19], модуль Юнга является функцией плотности материала, тензор напряжений считается функцией от модуля Юнга Ea - армирующего материала, модуля Юнга Еь - базового материала, и искусственно введенной плотности p(x), которая выступает в качестве переменной управления в задаче оптимизации:
E(x) = Eb +p(x)* (Ea - Eb), x eQ.
Показатель степени p>1 является фактором штрафа, и увеличение p приводит к более четкому решению. При p(x)=1 вся область полностью заполнена армирующим материалом. Таким образом, необходимо найти
min J (ст121 + а\2 - ст11ст22 + 3of2 )q dQ, (7)
P(X) Q
при ограничениях
0 < J p(x)dQ < yA,
Q
0 < p(x) < 1, (8)
где y- доля армирующего материала; А - площадь пластины.
Для решения задачи оптимизации (7), (8), при вычислениях с помощью градиентных методов, основной задачей является анализ чувствительности, вычисление производных по проектным переменным. Предположим, что рассматриваемая область массива разбита на конечные элементы и каждому элементу присваивается переменная плотность p (i=1,n). При этом элементы матрицы жесткости связаны с переменной плотностью степенным законом
K = [Eb +p* (Ea - Eb)] K, где K обозначает номинальную матрицу жесткости элемента i для p=1. Показатель степени p является фактором штрафа, который обычно выбирают в пределах 3<p<5.
Таким образом, глобальная матрица жесткости примет следующий вид
K = £ LTiKiLi I [Eb +pP (Ea - Eb )] KiIi. i=1 i=1
Вектор внешний нагрузки F не зависит от переменной плотности, тогда уравнение системы конечных элементов для рассматриваемой области примет вид
KU = F. (9)
В топологической оптимизации мы, как правило, работаем с умеренным числом ограничений, поэтому наиболее эффективным способом вычисления производных является использование метода сопряженных переменных [20], где производные для смещений не вычисляются в явном виде. Для минимизации перепишем функционал J(x) из (4), добавив к нему нулевое, в силу (9), слагаемое
J(х) = J(х) - От (КО - ^),
где и - произвольный вектор узловых смещений. Исходя из этого получаем, что
CJ(x) _ CJ(x) CU
Cp CU Cp
_ U1
CK,
CP
-U -U1K-
. CU
CP
CU
= -О т дки + №> - ит к I—. (10)
др К ди ) др/
Это равенство, в свою очередь, может быть за писано в виде
дК
CJ (x) __0 г
-U,
(П)
дР, Ф, когда и удовлетворяет сопряженному уравнению
^т - От К = 0,
где FT=дJ(x)/дU.
Чувствительность функционала (4) к изменению плотности на основании равенств (10), (11) может быть теперь вычислена следующим образом
dJ(x) __FiK_i CK
U _
CPi CPi
_ _(FTK-%)ppP_\Ea _ Eb ШЩ) _ _ _(lk-'F)t ppP_l (Ea _ Eb (L U). После упрощения приведенное выше выраже-
ние можно переписать в виде
CJ (x) __U Tppp _'( Ea _ Eb KU,
dp,
(12)
в котором [/¡т и обозначают сопряженный вектор смещений и вектор смещений на конечном элементе г. Производная функционала цели (12) имеет простой вид, легко вычисляется и очень выгодно реализует возможность топологической оптимизации в любой системе конечных элементов.
Численные результаты
Для получения оптимальной микроструктуры армирования пластины, воспринимающей нагрузки при растяжении, и создания дополнительного укрепления вокруг прорезей используем метод топологической оптимизации совместно с методом конечных элементов. Долю материала армирующей конструкции возьмем равной у=0,4, а в качестве армирующего материала выберем углепластик. На рис. 2, а представлена оптимальная топология микроструктуры армирования пластины.
Здесь синим цветом выделен базовый материал пластины, а красным - углепластик, укрепляющий
конструкцию. На рис. 2, б показано распределение напряжений по площади пластины при оптимальном армировании. Наибольшие напряжения достигаются в углах вырезов, полностью армированных углепластиком, и составляют <7т1е=27,6 МПа. Запас прочности при этой нагрузке составляет 800-109/27,6-106«29 000. Для сравнения был проведен расчет пластины, армированной слоем углепластика постоянной толщины, с той же долей армирующего материала у=0,4. В результате было получено значение максимальных напряжений ат^=23,2 МПа. Предел прочности составного материла <7вт''=194 ГПа. Таким образом, запас прочности при этой нагрузке составляет 194-109/23,2-106«8400, что примерно в 3,5 раза ниже, чем в конструкции с оптимальным армированием.
хю7
г.ъ
1.5
0.5
Рис. 2. а) оптимальная топология микроструктуры усиления вырезов углепластиком; б) распределение напряжений Мизеса
Fig. 2. a) optimum microstructure topology of reinforcement of cut-outs by carbon fiber; б) distribution of Mises stresses
Экспериментальное подтверждение результатов
В качестве объекта исследования принята пластина из пластика ABS с концентраторами напряжений в виде поперечных пазов размерами 120x40x4 мм, доходящих до оси симметрии.
Рис. 3. а) сформированный на 3D принтере образец с полостью, рассчитанной на основе моделирования; б) образец с топологически оптимальной структурой армирования
Fig. 3. a) sample formed on a 3D printer with a cavity calculated on the basis of modeling; б) sample with topologically optimal reinforcement integration
На основе компьютерной модели (рис. 2) разработан чертеж и трехмерная модель с полостью глубиной 3 мм.
Образцы формировали на 3D принтере Felix3.1 Single Extruder по технологии FDM из полимерной нити ABS стандартного диаметра 1,75 мм. Полости послойно заполняли углеродным волокном производства ООО «Балаково Карбон Продакшн» (г. Балаково Саратовской обл.) и эпоксидной смолой ЭД-20 с отвердителем ПЭПА. Волокна распределяли таким образом, чтобы они без разрывов связывали все полости и углубления, сформированные принтером согласно твердотельной модели. Сформированная на 3D принтере основа и готовый образец с заполненной композиционным материалом профильной полостью представлены на рис. 3.
Дополнительно, для сравнения вариантов упрочнения, изготавливали образцы увеличенной до 7 мм толщины и образцы толщиной 4,0 мм, с углублением в 2,0 мм, равномерно заполненным композитом, аналогичным топологической структуре по составу. В этом случае объемы слоев армирующего материала примерно одинаковы по двум схемам армирования.
Испытания на разрыв образцов проводили на разрывной машине ИР-5082-100 с компьютерной обработкой результатов при скорости растяжения 50 мм/мин. В процессе испытаний верхние и нижние участки образцов-пластин закрепляли в захватах механизма нагружения машины. Длина полосы захвата составляла 15 мм.
Графики нарастания разрывного усилия при испытаниях образцов на растяжение представлены на рис. 4.
Анализ полученных зависимостей позволяет сделать вывод, что армирование относительно малопрочного термопласта ABS, применяемого в технологии FDM, композиционным материалом с наполнителем из углеродных волокон обеспечивает увеличение предельного разрывного усилия на 42,7 % даже по сравнению с образцом увеличенной толщины. Использование армирования одина-
ковым по объему и содержанию углеродных волокон композиционным материалом по специальной схеме, учитывающей прогнозируемое распределение полей напряжений при растяжении, увеличивает предельное разрывное усилие на 51,3 %, т. е. обеспечивается прирост степени упрочнения практически на 20 %. При этом модуль упругости повышается в 3 раза.
Принятая модель распределения напряжений в образце с ослабленным сечением и эффективность ее реализации путем формирования топологической упрочняющей структуры иллюстрируют фотографии зоны разрушения (рис. 5), на которых явно заметно повторение картины, показанной на рис. 2, б.
Видно, что максимальные напряжения возникают в области ослабленного вырезами сечения, при этом они локализованы в дугообразных зонах. Зона разрушения контрольного образца из пластика ABS практически лишена остатков волокон структуры, разрушение произошло одномоментно для всей области материала. Образцы с топологически оптимальной армирующей структурой имеют более узкую зону разрушения. Зоны разрушения «прошиты» волокнами пластика, сохранившими целостность.
Таким образом, выполненные экспериментальные исследования качественно подтверждают эффективность упрочнения объектов из термопластичных материалов путем внедрения структур армированного углеродными волокнами композиционного материала, топология которых коррелирует с моделью полей напряжений, возникающих в процессе эксплуатации. Реализация серийного варианта данной технологии упрочнения возможна на базе 3D-принтеров, оснащенных двух или четырех струйными печатающими головками-экструде-рами. Существенное расхождение с расчетами по модели скорее всего связано с несовершенством опытной технологии топологического армирования, не позволившей с достаточной точностью воспроизвести модельные характеристики топологии и обеспечить идентичность структуры и состава ар-
Рис. 4. Графики нагружения образцов: a) из пластика ABS; б) из пластика ABS, равномерно армированного композиционным материалом; в) из пластика ABS с топологически оптимальной армирующей структурой
Fig. 4. Graphs of specimen loading made of: a) ABS plastic; б) ABS plastic, evenly reinforced with composite material; в) ABS plastic with topologically optimal reinforcement structure
мирующего композиционного материала. В этом направлении целесообразно проведение значительных по объему экспериментальных исследований.
Заключение
Использование методов оптимизации при проектировании микроструктуры армирования пластин, как видно из рассмотренного примера, по-
зволяет теоретически увеличить запас прочности пластины с топологически оптимальной конфигурацией армирования в несколько раз по сравнению с обычной двухслойной пластиной с тем же количеством углепластика. Предложенный и реализованный алгоритм в виде комплекса программ позволяет получать топологически оптимальное армирование пластин не только при наличии выре-
зов и отверстий, но и при наличии включений из другого материала в базовый материал пластины.
Полученные результаты моделирования качественно подтверждены в ходе экспериментов по армированию пластин из пластика ABS и их испытаний на разрыв.
Исследования выполнены при поддержке гранта РФФИ № 17-03-00720 «Методология оптимизационного микроконструирования композиционных материалов для объектов сложной формы повышенной динамической прочности, послойно формируемых электротехнологическими методами».
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Amir O. A topology optimization procedure for reinforced concrete structures // Comput. Struct. - 2013. - V. 114. - P. 46-58.
2. Topology optimization of reinforced concrete structures considering control of shrinkage and strength failure / Y. Luo, M.Y. Wang, M. Zhou, Z. Deng // Comput. Struct. - 2015. -V. 157. - P. 31-41.
3. Павлов С.П., Крысько В.А., Бодягина К.С. К вопросу об оптимизации формы геологических выработок и топологии их укрепления // Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов. - 2017. - Т. 328. - № 1. -С. 6-12.
4. Bendsoe M.P., Sigmund O. Topology optimization: theory, methods and applications. - Berlin: Springer Science & Business Media, 2003. - 370 p.
5. Moon S.J., Yoon G.H. A newly developed qp-relaxation method for element connectivity parameterization to achieve stress-based topology optimization for geometrically nonlinear structures // Comput. Method Appl. M. - 2013. - V. 265. - P. 226-241.
6. Structural topology optimization with strength and heat conduction constraints / A. Takezawa, G.H. Yoon, S.H. Jeong, M. Ko-bashi, M. Kitamura // Comput. Method Appl. M. - 2014. -V. 276. - P. 341-361.
7. Luo Y., Wang M.Y., Kang Z. An enhanced aggregation method for topology optimization with local stress constraints // Com-put. Method Appl. M. - 2013. - V. 254. - P. 31-41.
8. Luo Y.J., Kang Z. Topology optimization of continuum structures with Drucker-Prager yield stress constraints // Comput. Struct. - 2012. - V. 90-91. - P. 65-75.
9. A minimum weight formulation with stress constraints in topology optimization of structures / J., Paris S. Martinez, X. Noguei-ra, I. Colominas, F. Navarrina, M. Casteleiro // Rev. Internacional de Metodos Numericos Para Calculo y Diseno en Ingenieria. -2012. - V. 28. - P. 33-48.
10. Topology optimization of continuum structures with local and global stress constraints / J. Paris, F. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro // Struct. Multidiscip. O. - 2009. - V. 39. -P. 419-437.
11. Stress constraints sensitivity analysis in structural topology optimization / J. Paris, F. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro // Comput. Method. Appl. M. - 2010. - V. 199. - P. 2110-2122.
12. Qiu G.Y., Li X.S. A note on the derivation of global stress constraints // Struct.Multidiscip. O. - 2010. - V. 40. - P. 625-628.
13. Jong Wook Lee, Gil Ho Yoon. Stress based topology optimization of reinforcement structure under in-plane load // Computers and Structures. - 2017. - V. 191. - P. 115-128.
14. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. - М.: Наука, 1980. - 255 с.
15. Allaire G., Jouve F., Maillot H. Topology optimization for minimum stress design with the homogenization method // Struct. Multidiscip. O. - 2004. - V. 28. - P. 87-98.
16. Bruggi M. On an alternative approach to stress constraints relaxation in topology optimization // Struct. Multidiscip. O. -2008.- V. 36. - P. 125-141.
17. Bruggi M., Venini P. A mixed FEM approach to stress-constrained topology optimization // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 2008. -V. 73. - P. 1693-1714.
18. Burger M., Stainko R. Phase-field relaxation of topology optimization with local stress constraints // SIAM J Control Optim. -2006. - V. 45. - P. 1447-1466.
19. Cheng G., Jiang Z. Study on topology optimization with stress constraints // Eng. Optim. - 1992. - V. 20. - P. 129-148.
20. Akash D., Anadi M. Topology Optimization of Bridge Structures Using Optimality Criteria Method // International Journal for Research in Applied Science & Engineering Technology (IJRAS ET). - May 2015. - V. 3. - Iss. 5. - P. 1034-1038.
Поступила 27.10.2017 г.
Информация об авторах
Павлов С.П., доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и моделирования Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А.
Бекренев Н.В., доктор технических наук, профессор кафедры технической механики и деталей машин Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А.
Злобина И.В., кандидат технических наук, доцент кафедры технической механики и деталей машин Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А.
Бодягина К.С., аспирант кафедры информационной безопасности автоматизированных систем Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
UDC 539.37:622.24
OPTIMIZATION OF ELEMENTS REINFORCEMENT IN MICROMECHANICAL DEVICES FOR GEOLOGICAL SURVEYS: COMPUTER SIMULATION AND EXPERIMENT
Sergey P. Pavlov1,
Nikolai V. Bekrenev1,
Irina V. Zlobina1,
Kseniya S. Bodyagina1,
1 Saratov State Technical University named after Gagarin Yu.A., 77, Politekhnicheskaya street, Saratov, 410054, Russia.
The relevance of the study is caused by the use of gyroscopes and inclinometers to measure the trajectory of drilling wells. The plates of various configurations with technological cut-outs or inserts are often used as elements of these devices. The presence of these plates leads to stress concentration in some areas and their further destruction if these stresses exceed the ultimate strength of the material. One way to improve the reliability of these elements is the reinforcement of the plates, which allows strengthening the structure in problem areas.
The main aim of the study is to develop a method and algorithm for topological optimization of microstructure of reinforcing with constraints on stresses for plates that are the members of the gyroscopes and inclinometers, to increase their strength and reliability. Methods. The finite element methods for problems of mechanics of a solid deformable body are used for mathematical modeling of the stress-strain state of plates. The optimal structure of plate reinforcement is obtained by the method of topological optimization developed by the authors.
The results. The proposed and implemented algorithm in the form of a complex of programs makes it possible to obtain topologically optimal reinforcement of plates not only in the presence of cuts and holes, but also in the presence of inclusions from other material in the base material of the plate.
Key words:
Reinforcement, Mises criterion, plates with technological cut-outs, topological optimization, finite element method, composite materials, three-dimensional printing, tensile tests.
The studies were carried out with the support of RFBR grant No. 17-03-00720 «Methodology of optimizing microconstruction of composite materials for objects of complex shape with increased dynamic strength layered by electrotechnological methods».
REFERENCES
1. Amir O. A topology optimization procedure for reinforced concrete structures. Comput. Struct, 2013, vol.114, pp. 46-58.
2. Luo Y., Wang M.Y., Zhou M., Deng Z. Topology optimization of reinforced concrete structures considering control of shrinkage and strength failure. Comput. Struct, 2015, vol. 157, pp. 31-41.
3. Pavlov S.P., Krysko V.A., Bodyagina K.S. On the issue of optimizing the shape of geological excavations and topology of their strengthening. Bulletin of the Tomsk Polytechnic University. Geo Assets Engineering, 2017, vol. 328, no. 1, pp. 6-12.
4. Bendsoe M.P., Sigmund O. Topology optimization: theory, methods and applications. Berlin, Springer Science & Business Media, 2003. 370 p.
5. Moon S.J., Yoon G.H. A newly developed qp-relaxation method for element connectivity parameterization to achieve stress-based topology optimization for geometrically nonlinear structures. Comput. Method. Appl. M., 2013, vol. 265, pp. 226-241.
6. Takezawa A., Yoon G.H., Jeong S.H., Kobashi M., Kitamura M. Structural topology optimization with strength and heat conduction constraints. Comput. Method. Appl. M., 2014, vol. 276, pp. 341-361.
7. Luo Y., Wang M.Y., Kang Z. An enhanced aggregation method for topology optimization with local stress constraints. Comput. Method. Appl. M., 2013, vol. 254, pp. 31-41.
8. Luo Y.J., Kang Z. Topology optimization of continuum structures with Drucker-Prager yield stress constraints. Comput. Struct, 2012, vol. 90-91, pp. 65-75.
9. Paris J., Martinez S., Nogueira X., Colominas I., Navarrina F., Casteleiro M. A minimum weight formulation with stress constraints in topology optimization of structures. Rev Internacional de Métodos Numéricos Para Calculo y Diseno en Ingenieria, 2012, vol. 28, pp. 33-48.
10. Paris J., Navarrina F., Colominas I., Casteleiro M. Topology optimization of continuum structures with local and global stress constraints. Struct. Multidiscip. O, 2009, vol. 39, pp. 419-437.
11. Paris J., Navarrina F., Colominas I., Casteleiro M. Stress constraints sensitivity analysis in structural topology optimization. Comput. Method.Appl.M, 2010, vol. 199, pp. 2110-2122.
12. Qiu G.Y., Li X.S. A note on the derivation of global stress constraints. Struct. Multidiscip. O, 2010, vol. 40, pp. 625-628.
13. Jong Wook Lee, Gil Ho Yoon. Stress based topology optimization of reinforcement structure under in-plane load. Computers and Structures, 2017, vol. 191, pp. 115-128.
14. Banichuk N.V. Optimizatsiya form uprugikh tel [Optimization of forms of elastic bodies]. Moscow, Nauka Publ., 1980. 255 p.
15. Allaire G., Jouve F., Maillot H. Topology optimization for minimum stress design with the homogenization method. Struct. Mul-tidiscip. O, 2004, vol. 28, pp. 87-98.
16. Bruggi M. On an alternative approach to stress constraints relaxation in topology optimization. Struct. Multidiscip. O, 2008, vol. 36, pp. 125-141.
17. Bruggi M., Venini P. A mixed FEM approach to stress-constrained topology optimization. Int. J. Numer. Meth. Eng., 2008, vol. 73, pp. 1693-1714.
18. Burger M., Stainko R. Phase-field relaxation of topology optimization with local stress constraints. SIAM J Control Optim., 2006, vol. 45, pp. 1447-1466.
19. Cheng G., Jiang Z. Study on topology optimization with stress constraints. Eng. Optim., 1992, vol. 20, pp. 129-148.
20. Akash D., Anadi M. Topology Optimization of Bridge Structures Using Optimality Criteria Method. International Journal for Research in Applied Science & Engineering Technology (IJRAS ET), May 2015, vol. 3, Iss. 5, pp. 1034-1038.
Received: 27 October 2017.
Information about the authors
Sergey P. Pavlov, Dr. Sc., professor, Saratov State Technical University named after Gagarin Yu.A. Nikolai V. Bekrenev, Dr. Sc., professor, Saratov State Technical University named after Gagarin Yu.A. Irina V. Zlobina, Cand. Sc., associate professor, Saratov State Technical University named after Gagarin Yu.A. Kseniya S. Bodyagina, postgraduate student, Saratov State Technical University named after Gagarin Yu.A.
