CC BY
78
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2013, вип. 5 (47)
НЕТРАДИЦ1ЙН1 ВИДИ ТРАНСПОРТУ
УДК [629.4 + 625.144.5.]-048.35
Б. М. ТОВТ1*
1 Каф. «Теоретична мехашка», Дшпропетровський нацюнальний ушверситет затзничного транспорту iMeHi академжа В. Лазаряна, вул. Лазаряна, 2, Дшпропетровськ, Укра!на, 49010, тел. +38 (063) 739 13 17, ел. пошта tovt@ua.fm
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ1 ТОПОЛОГ1ЧНО1 ОПТИМ1ЗАЦ11 КОНСТРУКЦ1Й РУХОМОГО СКЛАДУ ТА СПЕЦ1АЛЬНО1 ТЕХН1КИ ЗАЛ1ЗНИЦЬ З УРАХУВАННЯМ КОМПЛЕКСНИХ ОБМЕЖЕНЬ НА М1ЦН1СТЬ
Мета. Головна мета статп полягае в розвитку наукових основ теорй' тополопчно! ошташзащ! конструкцiй у частинi розв'язання складних задач ошташзащ! конструкцiй рухомого складу i спещально! тeхнiки залiзниць. Методика. Математичне програмування й математичне моделювання як iнструмeнти постановки задач тополопчно! ошгашзацп конструкцiй рухомого складу i спещально! тeхнiки залiзниць. Результата. Виконано грунтовний огляд i аналiз сучасного стану теорй' тополопчно! отгашзащ! конструкцiй. Наведено класичну варiацiйну та ск1нченно-елементну постановки задач тополопчно! оптишзащ!. Розглянуто вдею та особливосп рeалiзацi! SIMP-методу для !х розв'язання. Подано постановку задачi топологiчно! отташзащ! у виглядi мiнiмiзацi! маси конструкци з урахуванням обмежень на напруження. Детально розглянуто низку проблем, що виникають у разi введення таких обмежень до задачi оптимiзацi!. Наукова новизна. Наукова новизна статп полягае в розвитку теорй оптимального проектування конструкцш рухомого складу i спещально! тeхнiки залiзниць шляхом запропонування постановки задачi топологiчно! оптимiзацi!, адаптовано! до виршення оз-начених задач. Практична значимкть. Практична значимiсть дослвдження полягае в адаптацп iснуючих постановок задач тополопчно! опти^а^! до задач залiзничного машинобудування.
Ключовi слова: тополопчна оптимiзацiя; МСЕ; SIMP-метод; обмеження на напруження; утомна мщшсть; мiнiмум ваги
Вступ
Тополопчна оптим1защя конструкцш е кон-цептуальним шструментом проектування й удосконалення конструкцш, який потребуе пост-обробки й детального анал1зу отриманих результапв.
Тополопчна оптим1защя, як окрема галузь наукових дослщжень, бере свш початок з1 стат-т талановитого австралшського винахщника М1чела [16], що була опублшована в 1904 р. У [16] вперше були отримаш оптимальш кри-тери для розподшу матер1алу в рамах.
У 1960 р. на другш конференцп Американ-сько! спшки цившьних 1нженер1в з електронних
обчислень Шмп запропоновував свою револю-цшну щею проектування тш i систем з мшма-льною вартютю за допомогою метод1в матема-тичного програмування [22]. 1дея Шмпа досить швидко знайшла застосування в теорй оптим> заци розм1р1в i форми конструкцш, а шзшше була використана i для задач тополопчно! оп-тим1зацп [15].
Числов1 методи математичного програмування в тополопчнш оптим1зацп штенсивно дослщжуються з кшця 80-х роюв [3]. Анатз, виконаний у [20], показуе, що для виршення задач числово! скшченно-елементно! тополопчно! ошташзацп використовуються таю методи математичного програмування:
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2013, вип. 5 (47)
- гравдентш методи, серед яких найбшьшого поширення набули методи послщовного лшш-ного програмування, послщовного квадратичного програмування, випукло! лшеаризаци, а також метод рухомих асимптот [2];
- негравдентш методи, серед яких на сього-дш прийнято видшяти дв! популярш групи ал-горшмв: генетичш [10] та еволюцшш [26];
- методи, що базуються на критер!ях опти-мальносп (евристичш методи) [23].
Зараз град!ентш методи мають найбшьше поширення серед сучасного ошташзацшного програмного забезпечення, до якого слщ вщне-сти таю всесвггньо вщом! та визнаш продукти, як Altair HyperWorks OptiStruct, Dassault Systems Simulia ABAQUS, ANSYS та ш. Серед велико! кшькосп гравдентних метод!в можна ви-дшити метод рухомих асимптот, запропонова-ний Сванбергом у [25], оскшьки алгоритм цьо-го методу становить основу обчислювальних модул!в сучасних ошташзацшних комплекс!в. 1дея методу рухомих асимптот базуеться на спещальному тиш випукло! апроксимаци щ-льово! функцп та функцш, що задають обме-ження [8, 25].
Мета
Головна мета статп полягае в розвитку нау-кових основ теори тополопчно! оптишзацй конструкцш у частиш розв'язання складних задач оптим!заци конструкцш рухомого складу й спещально! техшки затзниць.
Методика
Математичне програмування та математичне моделювання як шструменти постановки задач! тополопчно! оптим!зац!! конструкц!й рухомого складу i спец!ально! техн!ки зал!зниць.
Результати
Класична постановка задач1 тополог1чног оптим1зацИ. Основна щея тополопчно! оптим!-зац!! конструкцш полягае у отриманн! оптимального розподшу матер!алу в наперед визначе-н!й област!. Причому суть класично! постановки задач! - мш!м!зацп п!ддатливост! (максим!-зац!! жорсткост!) конструкц!! при обмеженнях на !! об'ем або вагу [5].
Розглянемо деяку область проектування Q
(рис. 1) у простор! R2 або R3, що е частиною
твердого деформованого тша. У розрахунковш област! визначимо масов! (об'емн!) сили f, розпод!лен! навантаження t ! граничн! умови на д!лянщ Ги. Задачу оптимального проектування визначимо як задачу оптимального по-шуку (вибору) тензора жорсткост! E. який е зм!нним у межах област! Q.
-tjki (х) :
Рис. 1. Узагальнена задача проектування форми у вигляд! пошуку оптимального розпод!лу матер!алу у двовим!рнш област!:
1 - точка проектування; 2 - точка з вщсутшм матер!алом; 3 - точка !з закршленим матер!алом
Подаючи енергетичну б!л!н!йну форму (мо-жливу роботу внутр!шн!х силових фактор!в для пружного т!ла у стан! р!вноваги и , а також для довшьного можливого перем!щення v) у ви-гляд!
а(u,v) = JEm (х)sy. (u)skl (v)d^
де л!неаризован!
t ч 1 (du, du ^ sv (u ) = T
CXV ■>
CX,
деформац!! ! силову л!н!йну форму
у вигляд!:
l (и ) = J fud Q+ J tuds,
задача мш!м!зацп п!ддатливост! (максим!зац!! жорсткост!) буде мати такий вигляд:
min l (u ) (1)
ueU ,E V '
за умови aE (u,v) = l (v), V v eU - р!вняння
р!вноваги, записане у вар!ац!йн!й форм!, де U -прост!р к!нематично допустимих пол!в перем!-щень; t - розподшеш навантаження за дшян-
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2013, вип. 5 (47)
кою Гt с Г = cQ. границ обласп; Ead - мно-жина допустимих тензор1в жорсткосп для дано! задач1 проектування.
1ндекс E вказуе на те, що бшшйна форма aE залежить вщ змшних проектування.
Сшнченно-елементна постановка задач1 то-пологгчног оптимгзацИ. Область проектування Q под1ляеться на N сюнченних елеменпв. Кожному сюнченному елементу вщповщае змшна проектування ре (x)е(0,1], де е = 1,...,N, для
представлення так звано! вщносно! густини ма-тер1алу [4]. Ц змшш проектування створюють
вектор р е RN . Глобальна матриця жорсткосп
конструкци K(ре )е Rd d залежить вщ змшних
проектування, де d - число степешв вшьносп.
Якщо вектор зовшшшх навантажень f е Rd ,
вектор перемщень и е Rd, то основне р1вняння р1вноваги матиме вигляд
K(Ре) = f.
(2)
Вважаючи, що матер1ал мае лшшш пружш властивосп, тензори деформацш i напружень можуть бути записанi через кшематичне рiв-няння й рiвняння стану вщповщно
8У-=2>+и л),
°V = DijklS kl,
(3)
(4)
так званого 0-1 розв'язку [4, 5, 8], тобто опти-мальний проект конструкци мае мютити лише областi з матерiалом - «1» i без нього - «0». Значення штучно! функцп густини ре (x), якi
лежать всерединi промiжку (0,1], мають штра-фуватися.
Властивостi матерiалу для кожного сюнчен-ного елемента виражаються за допомогою штрафного модуля Юнга Ee таким чином:
Ее =РеЧ
(5)
де Е0 - модуль Юнга для твердого iзотропного матерiалу; р - параметр штрафу, який мае бути бiльшим за 1 для того, що промiжнi значення густини 0 <р<1 штрафувалися [4]. Згiдно з [5] параметр штрафу р рекомендовано оби-рати бшьшим, шж 3 (р > 3) для того, щоб про-мiжнi значення функцii густини в результую-чому оптимальному проект не з'являлися. Таким чином, функщя штрафу в SIMP-методi ре-алiзуеться без допомоги будь-яких явних штрафних схем.
При використаннi штрафного модуля Юнга Ее глобальна матриця жорсткосп буде мати явну залежнють вiд змiнних проектування, вщ-носноi густини кожного скiнченного елемента:
K (Р ЫРеЧ,
(6)
е=1
де D - матриця стану, що залежить вiд коеф> цieнта Пуассона ц i модуля Юнга E0.
На сьогоднi найпоширенiшим вживаним методом, який застосовуеться для розв'язання задач тополопчно! оптишзацп конструкцiй, е SIMP-метод, у основу якого закладено поняття твердо! iзотропноi мiкроструктури (або мате-рiалу) зi штрафом (Solid Isotropic Microstructure (or Material) with Penalization). Основна щея цього пiдходу була запропонована Бендсо у [4], у той час як термш «SIMP» був вперше запропонований Розваш у [21], шзшше ставши загальновживаним.
1дея SIMP-методу полягае в замш цших дискретно змiнюваних змшних проектування неперервними змшними, для яких пiсля означено! замiни задаеться певна форма штрафу, що приводить оптимальний проект до дискретного,
де k0 - матриця жорсткостi скшченного елеме-нта, для яко! використовуеться модуль Юнга твердого iзотропного матерiалу E0.
Мiнiмiзацiя пiддатливостi (максимiзацi!' жорсткосп) конструкци для заданого !! об'ему або ваги еквiвалентна мiнiмiзацi! енергi! деформацi! конструкцi! у сташ рiвноваги. Отже, скшченно-елементна постановка задачi топологiчно! оп-тимiзацi! матиме вигляд
min
in C (и ) = uT Ku
(7)
за умови Ku = f, причому m (Р) = ^Ре ^
m.
0
е=1
0 < Pmin ~ Ре ^ 1,
де C - шддатливють конструкцi!; и - глоба-льний вектор перемiщень; K - глобальна мат© Б. М. Товт, 2013
Наука та прогрес транспорту. Вюник Дшпропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2013, вип. 5 (47)
риця жорсткостц f - глобальний вектор зовш-шшх навантажень; m0- обмеження на макси-мальну масу конструкцй; pmin - мшмальна вщ-носна густина (як правило, встановлюсться (10
O (10-3) [5]).
Постановка задач1 тополог1чног оптим1за-цп конструкцй з урахуванням обмежень на на-пруження. На вщм1ну вщ класично! задач! м> шм!заци шддатливост! конструкцй при обме-женнях на 1! об'ем або вагу, бшьш реальною постановкою задач! тополопчно! оптишзацп слщ вважати задачу мшм1зацп маси конструкцй з урахуванням обмежень на напруження, яка матиме такий вигляд:
N
min m (р) = ^Pe (8)
e=1
за умов
Ku = f,
Fid < 1 М
0 < Pmin <Pe <1,
де F (се) - функщя, що характеризуе розподш напружень у сюнченних елементах за областю проектування; [с] - значення допустимого напруження для заданого матер1алу, з якого виго-товлена конструкщя.
Для ¿зотропних матер1ал1в найчастше вико-ристовуеться критерш М1зеса для отримання значень екв1валентних напружень cvM :
С2 = 1
CvM = 2
(С11 С22 )2 +(с22 -С33 )2 +
+ (с33 -С11 )2 +3 (С122 + C23 + C31 ).
Проблема сингулярност1 напружень. Введения обмежень на напруження породжуе певш труднощь Зазвичай у задачах тополопчно! оп-тим!зацп конструкцш спостер1гаються пробле-ми з1 зб!жшстю, зумовлеш так званою сингуля-ршстю напружень [14].
Проблема сингулярност напружень у задачах тополопчно! оптим!заци конструкцш впе-
рше була виявлена пiд час проектування ферм. У робот [7] було показано, що n -BHMipH™ проспр допустимых проектiв конструкцй MiC-тить виродженi пiдпростори розмiрностi, мен-шо! за n. Бшьше того, глобальний оптималь-ний проект конструкцй часто належить одному з таких вироджених пiдпросторiв [11, 14]. Ал-горитми нелiнiйного програмування не в змозi iдентифiкувати подiбнi област та збiгаються до локальних оптимальний проектiв конструкцй.
Для вирiшення проблеми сингулярносп обмеження на напруження шддаються релаксаци задля вилучення вироджених пiдпросторiв i3 простору допустимих проектов i, як результат, для того, щоб методами нелiнiйного програмування можна було отримати глобальний оптимум задача Для задач тополопчно! оптишзацп рамних i фермових конструкцш було запропо-новано релаксацiйнi методи, зокрема метод в -релаксаци та гладеньких обвщних функцiй (smooth envelope functions, SEF). Изшше цi методи були адаптоваш до задач проектування континуальних конструкцiй [13].
1дея в -методу полягае в тому, що традицш-ний вигляд обмежень на допустимi напруження
(CvM -[с])рв < 0
зам1нюеться шляхом зм1ни нижньо1 границ1 на малу величину в > 0 . Таким чином, обмеження на напруження буде мати вигляд
(CvM [C])Pe <В.
в -релаксащя обмежень на напруження дозво-ляе набувати вщносшй густиш матер1алу pe досить малих значень, проте бшьших за нуль, таким чином видаляючи вироджеш область У робот! [24] було показано, що навтоъ якщо за допомогою в -релаксаци глобальний оптимум задач! може бути отриманий, це не гарантуе, що розв'язок вихщно! задач! з нерелаксованими обмеженнями на напруження буде зб1гатися до глобального оптимуму.
Критерш допустимих напружень у задачах тополог1чног оптим^зацп конструкцш. Наступ-на складнють, яка виникае при введенш обмежень на напруження до задач тополопчно! оп-тим!зацп конструкцш, пов'язана з локальним характером обмежень на напруження. У конти-нуальнш постановщ задач! обмеження на на-
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дшпропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2013, вип. 5 (47)
пруження мають розглядатися для кожно1 точки матерiалу. У дискретнiй постановцi (напри-клад, скiнченно-елементнiй) число точок мате-рiалу е скiнченним, проте все одно занадто великим, як для практично! реатзаци. 1снуе дею-лька способiв введення обмежень на напруження до задачi топологiчно1 оптимiзацi1 конструкцш.
Один iз найпростiших способiв полягае в контролюванш величини напружень у зада-них вузлах кожного сюнченного елемента. Цей спосiб вiдомий шд назвою метод локальних обмежень i використовувався у [19]. Метод локальних обмежень потребуе велико! кшькосп обчислень, адже до задачi тополопчно! оптим> зацi1 вводиться кiлькiсть обмежень на напруження, порiвнянна з кшьюстю скiнченних еле-ментiв. Зменшення кiлькостi обчислень можли-ве за рахунок обчислення чутливостей тiльки для активних обмежень.
1нший пiдхiд полягае у зведенш всiх лока-льних обмежень на напруження до одного глобального обмеження. Цей пiдхiд вiдомий тд назвою метод глобального обмеження i використовувався у [9]. Як об'еднувальна функцiя застосовуеться функцiя р-норми:
I
(
М
v
(9)
= iln
I exP
f
e=1
M
(10)
Обидв1 функцп (8) i (9) гладю та диференщ-йовш. Параметр p контролюе рiвень гладкостi.
Недолгом методу глобальних обмежень е значно прший контроль за рiвнем локальних напружень порiвняно з методом локальних обмежень. До переваг методу глобальних обмежень слщ вщнести скорочення обсягу обчис-лювальних операцш, що виконуються у процесi оптимального проектування.
Третiй пiдхiд передбачае групування скш-ченних елементiв у блоки й використання окре-мо! об'еднувально! функцii для кожного блока. Такий спошб отримав назву методу блочно-
об'еднаних обмежень i був застосований у [17].
У цьому методi для кожного блока вщпов> дне йому обмеження на напруження може бути записане у виглядк
f
F К )
Л
(11)
або функщя Крейссельмера-Штайнхаузера (Kreisselmeier-Steinhauser function, KS-fUnction) [18]:
У pa3i використання методу блочно-об'еднаних обмежень кiлькiсть обмежень значно зменшуеться порiвняно з методом локальних обмежень при вщносному збереженш контролю за рiвнем локальних напружень. Недолiком цього методу е те, що функщя (10) не е дифе-ренцшовною.
На завершення слiд сказати про новий шд-хiд, запропонований у [11]. Вш мае назву методу кластерiв. Згiдно з цим шдходом скiнченнi елементи, що мають сумiрний рiвень напружень, об'еднуються разом у так зваш кластери за певним правилом (метод рiвнiв напружень або метод розподшених напружень).
Фыьтр для зм1нних проектування. Обмеження на напруження суттево нелшшно зале-жать вiд проекту. На рiвень напружень надмiр-но впливае змша вiдносноi густини матерiалу ре у сусщшх областях, i це явище посилюеться в критичних областях з великими градiентами напружень (концентрацiями напружень), на-приклад у гострих кутах. Ця проблема отримала назву проблеми залежносп розв'язку вiд скш-ченно-елементноi сiтки (mesh-dependency problem) [5, 11, 13] Таким чином, постановка задачi топологiчноi оптимiзацii конструкцiй та алгоритм ii вирiшення мають уникати проблем зi збiжнiстю.
Для коректно1' постановки задачi тополопчно!' оптимiзацii запропонований i пiзнiше доведений метод фiльтрування густини [6]. Фшь-трованi змiннi густини ре створюються шляхом взяття середнього зваженого вiд сусiднiх змiнних проектування х-. Фiльтр змiнних проектування записуеться так:
,(х>
I
wjxj
I
w,
(12)
де Qe - множина (для скiиченного елемента e ), що мютить усi елементи j, що лежать всере-
Наука та прогрес транспорту. Вюник Дшпропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2013, вип. 5 (47)
дин1 кола рад1усом ro , вим1ряного м1ж центрами тяжшня сусщшх елеменпв (рис. 2); w- -середньозважений коефщент.
Рис. 2. В1зуал1зац1я фшьтру змшних проектування:
1 - ск1нченно-елементна стка; 2 - змшна проектування e ; 3 - змшна проектування j
Середньозважений коефщент визначаеться [6] таким чином:
wj =
ro - rj
Щодо критерда допустимих напружень, то вище детально було розглянуто постановку за-дач1 тополопчно! оптишзацп конструкцш з урахуванням обмежень на напруження (8). Запишемо (8) таким чином:
)
s.t.
min J mePe (X)
e=1
oS (X)
T^f Z 1, i = 1,..., nr, e < Xe < 1, e = 1,...,ne,
(13)
Зауважимо, що вага дор1внюе нулю для уах змшних проектування, що перебувають зовш множини Qe. З точки зору реатзацп, вагова
матриця W увшде до функцп вщносно! густи-ни матер1алу таким чином:
Pe (X) = £ —.
j=1
Постановка задач1 тополог1чног оптим^зацп конструкцш рухомого складу зал1зниць та спец1-альног техтки залгзниць з урахуванням обмежень на мщшсть. Для бшьшосп задач оптишзаци рухомого складу та спещально! техшки зашзниць класична постановка задач1 тополопчно! опгамь зацл е неприйнятною, оскшьки створення най-бшьш жорстко! конструкцп при обмеженнях лише на И об'ем або вагу не е доцшьним.
Важливою для затзничного машинобуду-вання е проблема створення тримальних конструкцш найменшо! маси при виконанш обмежень на мщшсть.
Мщшсть конструкцш локомотив1в, мотор-вагонного рухомого складу, вагошв i колшних машин оцшюегься за двома критерiями: допустимих напружень i коефiцiентiв запасу утомно! мiцностi [1]. Оцiнка мщност виконуеться як на стадп проектування, так i на етапi випробувань дослщних зразкiв.
де öS (X) - значения напруження для i -го об-меження на напруження; [oS ] - значення допустимого напруження для заданого матерiалу, з якого виготовлена конструкщя.
Проект конструкцп, отриманий за допомо-гою постановки задачi (13), (/J) може вщпов>
дати вимогам обмежень за допустимими на-пруженнями, проте це не гарантуеться, як було зазначено в [21]. За необхщносп до постановки задачi (13) можуть бути додатково введет об-меження на тддатливють, перемщення чи вла-снi частоти. У [11] виконано порiвняння задач з рiзними постановками, описаними вище, а також зроблено висновок, що виршення за-дачi тополопчно! оптимiзацi! конструкцп мож-ливо розпочинати одразу з уведення обмежень на допустимi напруження у виглядi (13).
Що стосуеться введення оцiнки утомно! м> цностi конструкцп до задач тополопчно! опти-мiзацi!, то це питання зараз розвиваеться i до-слiджуегься [11, 12]. На основi огляду й аналiзу сучасного стану теорi! топологiчного проектування конструкцш, що був виконаний вище, не виявлено достатньо! кшькост публiкацiй, при-свячених цiй проблемi стосовно до задач проектування й удосконалення залiзнично! технiки. Таким чином, розгляд задачi топологiчно! оп-тимiзацi! конструкцiй рухомого складу i спещ-ально! техиiки залiзниць з урахуванням ком-плексних обмежень на мщшсть е актуальним науково-технiчним питанням.
У [12] запропоновано постановку задачi то-пологiчно! оптимiзацi! з урахуванням обмежень на утомну мiцнiсть наводити в такому виглядк
Г
0
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2013, вип. 5 (47)
ft )
s.t.
mm ¿ mepe (x)
e=1
as (x)
И
a j (x)
(14)
[a f ]
< 1, j = 1,...,nt,
e < xe < 1, e = 1,...,ne,
де с7 (х) - значення утомного напруження для
7 -го обмеження на утомш напруження; |с ^ ^ -
значення допустимого утомного напруження для заданого матерiалу, з якого виготовлена конструкщя, обране таким чином, щоб накопи-чене пошкодження В було меншим, нiж допу-стиме [В] для встановлених умов навантажен-
ня протягом повно! розрахунково! довговiчностi.
Постановку задачi тополопчно! ошташзацп конструкцiй рухомого складу та спещально! технiки затзниць з урахуванням комплексних обмежень на мщнють пропонуеться виконувати у виглядi (Р2).
Наукова новизна та практична значимкть
Наукова новизна статп полягае в розвитку теори оптимального проектування конструкцiй рухомого складу i спецiально! технiки залiз-ниць шляхом запропонування постановки зада-чi тополопчно! оптимiзацil, адаптовано! до ви-рiшення означених задач.
Практична значимють дослiдження полягае в адаптаци iснуючих постановок задач тополопчно! ошташзацп до задач залiзничного маши-нобудування.
Висновки
У статтi розглянуто основш етапи створення теори тополопчно! оптимiзацil конструкцiй, наведено класичну варiацiйну та скшченно-елементну постановки задачi тополопчно! оп-тимiзацi!. Розглянуто iдею та особливост реа-лiзацil 81МР-методу для И розв'язання.
Наведено постановку задачi тополопчно! оптимiзацil у виглядi мiнiмiзацil маси констру-кцп з урахуванням обмежень на напруження.
Детально розглянуто низку проблем, що вини-кають при введеннi таких обмежень до задачi оптимiзацп. Зокрема, надано опис i методи ви-рiшення проблеми сингулярностi напружень, а також проблеми залежносп вiд скшченно-елементно! спки (фiльтр для змiнних проектування). Також розглянуто методи введення обмежень на напруження до задач тополопчно! оптимiзацi! - методи локальних обмежень, глобального обмеження, блочно-об'еднаних i кла-стерних обмежень.
Таким чином, огляд i анатз сучасного стану теори тополопчного проектування конструк-цш, виконаний у статп, показав, що цей науко-вий напрямок е актуальним i активно розвива-еться останшм часом.
Саме тому залучення такого сучасного ш-струменту проектування, як тополопчна опти-мiзацiя, до розв'язання задач створення й удо-сконалення конструкцiй рухомого складу i спещально! техшки залiзниць е актуальною проблемою.
У статтi запропонована постановка задачi то-пологiчно! оптимiзацi! конструкцш рухомого складу та спецiально! техшки зашзниць з урахуванням комплексних обмежень на мщнють, що включають обмеження за критерiями допусти-мих напружень i критерiями утомно! мщносп.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Костриця, С. А. Чисельна реал1зац1я метод1в математичного програмування у задачах оптимального проектування мехашчних конструк-цт / С. А. Костриця, Б. М. Товт // Вюн. Днш-ропетр. нац. ун-ту зал1зн. трансп. 1м. акад. В. Лазаряна. - Д., 2009. - Вип. 30. - С. 150-154.
2. Allaire, G. Shape optimization by the homogeni-zation method / G. Allaire. - New York : Springer, 2002. - 471 р.
3. Bendsoe, M. P. Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method / M. P. Bendsoe, N. Kikuchi // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1988. -№ 71. - P. 197-224.
4. Bendsoe, M. P. Optimal shape design as a material distribution / M. P. Bendsoe // Structure Optimization. - 1989. - № 1. - P. 193-202.
5. Bendsoe, M. P. Topology Optimization: Theory, Methods and Application / M. P. Bendsoe, O. Sigmund. - Heidelberg : Springer, 2003. - 370 p.
6. Bruns, T. Topology optimization of non-linear elastic structures and compliant mechanisms /
HayKa Ta nporpec TpaHcnopTy. BicHHK ^mnponeTpoBctKoro Ha^oH&ntHoro ymBepcmeTy 3&ni3HHHHoro TpaHcnopTy, 2013, BHn. 5 (47)
T. Bruns, D. Tortorelli // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2001. -№ 190 (26-27). - P. 3443-3459.
7. Cheng, G. D. Study on topology optimization with stress constraints / G. D. Cheng, Z. Jiang // Engineering Optimization. - 1992. - № 20 (2). -P. 129-148.
8. Christensen, P. W. An introduction to Structural Optimization / P. W. Christensen, A. Klarbring. -London : Springer, 2009. - 211 p.
9. Guilherme, C. E. M. Topology optimization of continuum structures with s -relaxed stress constraints / C. E. M. Guilherme, J. S. O. Fonseca // ABCM Symp. Series in Solid Mechanics. - 2007.
- № 1. - P. 239-250.
10. Hajela, P. Genetic algorithms in truss topology optimization / P. Hajela, E. Lee // Intern. J. Solids Structure. - 1992. - № 32. - P. 3341-3357.
11. Holmberg, E. Stress constrained topology optimization / E. Holmberg, Bo Torstenfelt, A. Klarbring // Structural and Multidisciplinary Optimization. -2013. - № 48 (1). - P. 33-47.
12. Holmberg, E. Fatigue constrained topology optimization / E. Holmberg, B. Torstenfelt, A. Klarbring // Structural and Multidisciplinary Optimization. - 2013. - preprint.
13. Le, C. Stress-based topology optimization for continua / C. Le, J. Norato, T. Bruns, C. Ha // Structural and Multidisciplinary Optimization. - 2010.
- № 41. - P. 605-620.
14. Lee, E. Stress-constrained topology optimization with design-dependent loading / E. Lee, K. A. James, J. R. R. A. Martins // Structural and Multidisciplinary Optimization. - 2012. -№ 46 (5). - P. 647-661.
15. Lewinski, T. Exact analytical solutions for some popular benchmark problems in topology optimization II: three-side polygonal supports / T. Lewinski, G. I. N. Rozvany // Structural and Multidisciplinary Optimization. - 2007. - № 33. -P. 337-350.
16. Michell, A. G. M. The limits of economy of material in frame structures / A. G. M. Michell // Philosophical Magazine. - 1904. - № 8. -P. 589-597.
17. Paris, J. Block aggregation of stress constraints in topology optimization of structures / J. Paris,
F. Navarrina, I. Colominas // Advances in Engineering Software. - 2010. - № 41 (3) -P. 433-441.
18. Paris, J. Topology optimization of continuum structures with local and global stress constraints / J. Paris, F. Navarrina, I. Colominas // Structural and Multidisciplinary Optimization. - 2009. -№ 39. - P. 419-437.
19. Pereira, J. Topology optimization of continuum structures with material failure constraints / J. Pereira, E. Francello, C. Barcellos // Structural and Multidisciplinary Optimization. - 2004. -№ 26 (1). - P. 50-66.
20. Rozvany, G. I. N. Aims, scope, methods, history and unified terminology of computer-aided topology optimization in structural mechanics /
G. I. N. Rozvany // Structural and Multidiscipli-nary Optimization. - 2001. - № 21. - P. 90-108.
21. Rozvany, G. I. N. Difficulties in truss topology optimization with stress, local buckling and system stability constraints / G. I. N. Rozvany // Structural and Multidisciplinary Optimization. -
1996. - № 11 (3). - P. 213-217.
22. Schmit, L. A. Structural design by systematic synthesis / L. A. Schmit // Proc. of the second ASCE Conf. on Electronic Computation. - Pittsburgh : ASCE, 1960. - P. 105-122.
23. Spillers, W. R. Structural Optimization / W. R. Spillers, K. M. MacBain. - London : Springer, 2009. - 302 p.
24. Stolpe, M. On the trajectories of the epsilonrelaxation approach for stress-constrained truss topology optimization / M. Stolpe, K. Svanberg // Structural and Multidisciplinary Optimization. -2001. - № 21 (2). - P. 140-151.
25. Svanberg, K. The method of moving asymptotes -a new method for structural optimization / K. Svanberg // Intern. J. for Numerical Methods in Engineering. - 1987. - № 24. - P. 359-373.
26. Xie, Y. M. Evolutionary structural optimization / Y. M. Xie, G. P. Steven. - London : Springer,
1997. - 540 p.
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2013, вип. 5 (47)
НЕТРАДИЦ1ЙН1 ВИДИ ТРАНСПОРТУ
Б. Н. ТОВТ1*
1 Каф. «Теоретическая механика», Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна, ул. Лазаряна, 2, Днепропетровск, Украина, 49010, тел. +38 (063) 739 13 17, эл. почта tovt@ua.fm
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ КОНСТРУКЦИЙ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА И СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕХНИКИ ЖЕЛЕЗНЫХ ДОРОГ С УЧЕТОМ КОМПЛЕКСНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ НА ПРОЧНОСТЬ
Цель. Главная цель статьи заключается в развитии научных основ теории топологической оптимизации конструкций в части решения сложных задач оптимизации конструкций подвижного состава и специальной техники железных дорог. Методика. Математическое программирование и математическое моделирование как инструменты создания постановки задач топологической оптимизации конструкций подвижного состава и специальной техники железных дорог. Результаты. Выполнен основательный обзор и анализ современного состояния теории топологической оптимизации конструкций. Приведены классическая вариационная и конечно-элементная постановки задач топологической оптимизации. Рассмотрена идея и особенности реализации SIMP-метода для их решения. Приведена постановка задачи топологической оптимизации в виде минимизации массы конструкции с учетом ограничений по напряжениям. Детально рассмотрен ряд проблем, возникающих при введении подобных ограничений в задачу оптимизации. Научная новизна. Научная новизна заключается в развитии теории оптимального проектирования конструкций подвижного состава и специальной техники железных дорог путем создания постановки задачи топологической оптимизации, адаптированной к решению упомянутых задач. Практическая значимость. Практическая значимость исследования состоит в адаптации существующих постановок задач топологической оптимизации к задачам железнодорожного машиностроения.
Ключевые слова: топологическая оптимизация; МКЭ; SIMP-метод; ограничения на напряжения; усталостная прочность; минимум веса
B. M. TOVT1*
1 Dep. «Theoretical Mechanics», Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan, Lazaryan St., 2, Dnipropetrovsk, Ukraine, 49010, tel. +38 (063) 739 13 17, e-mail tovt@ua.fm.
COMPLEX STRENGTH-CONSTRAINED TOPOLOGY STRUCTURAL OPTIMIZATION PROBLEM STATEMENT FOR ROLLING STOCK AND SPECIAL EQUIPMENT OF RAILWAY
Purpose. The main paper purpose is the development of the topology structural optimization scientific basis regarding to the complicated optimization problems of rolling stock and special railway equipment structures. Methodology. Mathematical programming and mathematical modeling are the creating tools for the topology structural optimization problem statement for the rolling stock and special railway equipment. Findings. The fundamental review and analysis of the topology structural optimization modern state is executed. The classical variation problem statement and FE-statement of the topology optimization problem are in the paper. The stress-constrained structure mass minimization problem statement is considered. The stress-constrained topology optimization problems have some difficulties, which are considered in the paper in detail. The strength condition by the fatigue strength safety factor criterion is transformed to the strength condition by the allowable stresses criterion. Originality. Scientific novelty is the development of the optimal design theory adapted to solving the rolling stock and special railway equipment structures problems. Practical value. Practical importance of the research is the adaptation of the existing topology structural optimization problem statements to the railway engineering industry problems.
Keywords: topology optimization; FEM; SIMP-method; stress constraints; fatigue strength; weight minimum
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2013, вип. 5 (47)
REFERENCES
1. Kostrytsia S.A., Tovt B.M. Chyselna realizatsiia metodiv matematychnoho prohramuvannia u zadachakh op-tymalnoho proektuvannia mekhanichnykh konstruktsiy [The numerical implementation of mathematical programming in problems of optimal design in mechanical structures]. VisnykDnipropetrovskoho natsionalnoho universytetu zaliznichnoho transportu imeni akademika V. Lazariana [Bulletin of Dnipropetrovsk National University named after Academician V. Lazaryan], 2009, issue 30, pp. 150-154.
2. Allaire G. Shape optimization by the homogenization method. New York, Springer Publ., 2002. 471 р.
3. Bendsoe M.P., Kikuchi N. Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1988, no. 71, pp. 197-224.
4. Bendsoe M.P. Optimal shape design as a material distribution. Structure Optimization, 1989, no. 1, pp. 193-202.
5. Bendsoe M.P., Sigmund 0. Topology Optimization: Theory, Methods and Application. Heidelberg, Springer Publ., 2003. 370 p.
6. Bruns T., Tortorelli D. Topology optimization of non-linear elastic structures and compliant mechanisms.
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2001, no. 190 (26-27), pp. 3443-3459.
7. Cheng G.D., Z. Jiang. Study on topology optimization with stress constraints. Engineering Optimization, 1992, no. 20 (2), pp. 129-148.
8. Christensen P.W., Klarbring A. An introduction to Structural Optimization. London, Springer Publ., 2009. 211 p.
9. Guilherme C.E.M., J.S.O. Fonseca Topology optimization of continuum structures with s -relaxed stress constraints. ABCM Symposium Series in Solid Mechanics, 2007, no. 1, pp. 239-250.
10. Hajela P., Lee E. Genetic algorithms in truss topology optimization. International Journal Solids Structure, 1992, no. 32, pp. 3341-3357.
11. Holmberg E., Torstenfelt B., Klarbring A. Stress constrained topology optimization. Structural andMultidis-ciplinary Optimization, 2013, no. 48 (1), pp. 33-47.
12. Holmberg E., Torstenfelt Bo., Klarbring A. Fatigue constrained topology optimization. Structural andMultid-isciplinary Optimization, 2013, preprint.
13. Le C., Norato J., Bruns T. Stress-based topology optimization for continua. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2010, no. 41, pp. 605-620.
14. Lee E., James K. A., Martins J. R. R. A. Stress-constrained topology optimization with design-dependent loading. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2012, no. 46 (5), pp. 647-661.
15. Lewinski T., Rozvany G.I.N. Exact analytical solutions for some popular benchmark problems in topology optimization II: three-side polygonal supports. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2007, no. 33, pp. 337-350.
16. Michell A.G.M. The limits of economy of material in frame structures. Philosophical Magazine, 1904, no. 8, pp. 589-597.
17. Paris J., Navarrina F., Colominas I. Block aggregation of stress constraints in topology optimization of structures. Advances in Engineering Software, 2010, no. 41 (3), pp. 433-441.
18. Paris J., Navarrina F., Colominas I. Topology optimization of continuum structures with local and global stress constraints. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2009, no. 39, pp. 419-437.
19. Pereira J., Francello E., Barcellos C. Topology optimization of continuum structures with material failure constraints. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2004, no. 26 (1), pp. 50-66.
20. Rozvany G.I.N. Aims, scope, methods, history and unified terminology of computer-aided topology optimization in structural mechanics. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2001, no. 21, pp. 90-108.
21. Rozvany G.I.N. Difficulties in truss topology optimization with stress, local buckling and system stability constraints. Structural and Multidisciplinary Optimization, 1996, no. 11 (3), pp. 213-217.
22. Schmit L.A. Structural design by systematic synthesis. Proc. of the second ASCE Conf. on electronic computation. Pittsburgh, 1960, pp. 105-122.
23. Spillers W.R., MacBain K.M. Structural Optimization. London, Springer Publ., 2009. 302 p.
24. Stolpe M., Svanberg K. On the trajectories of the epsilon-relaxation approach for stress-constrained truss topology optimization. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2001, no. 21 (2), pp. 140-151.
25. Svanberg K. The method of moving asymptotes - a new method for structural optimization. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1987, no. 24, pp. 359-373.
26. Xie Y.M., Steven G.P. Evolutionary structural optimization. London, Springer Publ., 1997. 540 p.
Стаття рекомендована до публтацп д. т.н., проф. С. В. Ракшою (Украта);
к.т.н. М. Е. Хожилом (Украта)
Надшшла до редколегп 06.08.2013
Прийнята до друку 30.08.2013
