Точные решения в проблемах прочности энергетического оборудования Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ В ПРОБЛЕМАХ ПРОЧНОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ

Н.Г. РЯБЕНКОВ

Казанский государственный энергетический университет

Излагается алгоритм построения точных решений теории упругости, которые можно положить в основу создания моделей деформирования упругих тел. Наиболее эффективно построенные решения можно применить к исследованию прочности плит, пластин, мембран и прочих плоских элементов упругих конструкций и оборудования.

Ключевые слова: теория упругости, точные решения.

Рассмотрим упругое тело в декартовой системе координат х,у,г предполагая, что оно ограничено плоскостями г = ±Н и некоторой цилиндрической поверхностью, перпендикулярной этим плоскостям. Полагаем параметр Н относительно малым по сравнению с другими размерами тела. Тело условно назовем плитой и будем считать ее изотропной. Модуль упругости обозначим Е, коэффициент Пуассона ц, модуль сдвига G = Е/ [2(1 + ц)]. Далее будем обозначать: (х,у,г;и,укруговые перестановки координат х,у,г и

д д 2

функций н,у,м>; дх =— ,...,дхх =——,... - операторы частных производных. дх дх2

Алгоритм вычислений

Систему уравнений линейной теории упругости, записанную для трех компонент перемещения произвольной точки и шести компонент тензора

напряжений стх,тху = тух, (х,у,г), можно привести к виду

(V2 +д2 )ю х = 0, (х,у), (V2 + д2 = А(дх<в у -дуй х ). (1)

Здесь юх = -2(дyW -дгг), юу = 2(дги -дх^) - есть функции углов поворота

малого элемента; V2 = д+ д^ - двумерный оператор Лапласа; А = (ц -1)-1.

Остальные неизвестные функции, точно удовлетворяя уравнениям исходной системы уравнений, определим по формулам:

тхг = 2С(дxw + <йу), туг = 2в(дyW -юх ) , (2)

и = и0 + \(С~1тхг + дх^г(u, Г,х,у),Тху = уи + дxv) ,

° г = ° г 0-|(дх тхг +д у т уг Уг,

стх =—ЕУ(дхи + уVг (и,*;х,у). 1 -ц2 у 1 -ц

© Н.Г. Рябенков Проблемы энергетики, 2011, № 9-10

Интегрирование по координате I проведем на отрезке [0,г]. щ , стг0 -произвольные функции координат х, у срединной плоскости плиты.

Определив компоненты деформаций посредством соотношений Коши, убедимся, что уравнения неразрывности деформаций формулами (1), (2) удовлетворяются точно.

Решение полученной системы уравнений будем строить асимптотическим методом [1]. Для реализации асимптотического процесса в качестве малого параметра выберем к - половину толщины плиты. Будем считать, что все входящие в систему уравнений неизвестные функции асимптотически равноправны, т.е. они разлагаются в асимптотические ряды одинаковой формы. Итак, имеем:

2и-1 2и-1

ах = Е к*-2<, (х,у), = Е к'-2(3) 5=1,3 5=1,3

Здесь п - номер асимптотического приближения.

В уравнениях (1) сделаем замену переменной г = к<;, подставим в них ряды (3), приведем подобные члены и приравняем нулю коэффициенты при одинаковых степенях к . В результате получим следующую систему уравнений для определения коэффициентов разложений:

д2д®Х = -V2®Х"2, (х,У), ^^ = -V2wX~2 + A(дха^2 - ду^"2).

Проинтегрируем эти уравнения дважды по д . Тогда соотношения (3) можем представить в виде следующих полиномов по координате г : 2п-2 к к 2п-к-1

а х = Е (-1)2 ^к Е к5-2+

к=0,2 к! 5=1,3

к-1

.5-3 _5

2п-1 к-1 к 2п-к

ч 2 г тгк-1

+ Е (-1) 2 -¿Г" Е к*~3р%, (х,у), (4)

к=1,3 ' 5=1,3

2п-2 к к 2п-к-1

" = Е (-1)2 ^ Е к5-2Fk,5 +

к=0,2 кг 5=1,3

2п-1 к-1 к 2п-к

+ Е (-1) 2 к" Е к5-3рк 5.

к=1,3 ' 5=1,3

Здесь обозначено

гк,и = Vк г5 - к ^к-2 2

= Vк/5 - - AVк-2(дх/5 -ду/5) ,

Рк 5 = Vк-1 ^ -AV-3(дxP5 — дуРх) .

В полученных формулах предполагается, что 0! = 1, V0 =1, V-2 = 0.

Соотношениями (4) записано приближенное решение системы уравнений (1). Точность его зависит от выбора числа п - номера асимптотического

© Проблемы энергетики, 2011, № 9-10

приближения. Функции /5 (х, у),...,р^ (х, у) , которые появляются при

вычислении интегралов, пока произвольны. Для построения точных решений их следует определить соответствующим образом.

Подставим выражения (4) в уравнения (1). Приведем подобные члены и приравняем нулю коэффициенты при всех степенях координаты г. В результате получим рекуррентную систему уравнений, в которых неизвестными будут функции интегрирования. Эта система распадается на шесть независимых систем, из которых последовательно н все функции из набора

/х ,рх,/$,ру,/1,р1,° = 1,3,..., 2п -1.

В результате получим следующие выражения функций углов поворота: 2п-2 к к 2п-к-1

ю х = х (-1)2 х фх+

к=0,2 к' 5=1,3

2п-1 1 к 2п-к

+ х (-1)2 к-1 х Фх, (х,у).

к=1,3 ' 5=1,3

Здесь обозначено * = 2п - 5 +1, ф(х,ф*у,Фх,Фу - произвольные полигармонические

функции координат порядка ¿/2.

Выражение прогиба принимает вид 2п-2 к к2п-к-1 к

w = х (-1)2 к X я"/*'+2vk-2фt ]+

к=0,2 к 5=1,3 2

2п-1 к-1 к 2п-к , ,

+ х (-1)2 к х ^г*+^vk-зФt ].

к=1,3 ' 5=1,3

Здесь ф* = А(дуфх - дхФ*у ), ф* = А(дуфх - дхФ^у ).

Функции, помеченные звездочкой, представляют собой решения уравнений Пуассона:

V /г +фг , V Рг ф +фг . (5)

где фг , фг - произвольные полигармонические функции порядка (* - 2)/2,

ф°, ф0 следует положить равными нулю.

Непосредственной подстановкой в исходные уравнения теории упругости нетрудно убедиться, что в точном варианте в формулах (2) функции интегрирования и0 ,У0 должны быть гармоническими и сопряженными, а

стг0 = 0 .

Выводы

Проблема построения точных решений теории упругости сведена к квадратурам. Для вычисления решения, соответствующего любому асимптотическому приближению, следует решать уравнения Пуассона (5), в правых частях которых имеем полигармонические функции координат срединной плоскости плиты.

© Проблемы энергетики, 2011, № 9-10

Summery

In this work, we describe the algorithm of the construction of exact solutions of elastic theory, which that can be used as the basis for creating the models of elastic bodies deformation. The most effectively constructed solutions may be used for the investigation of the strength of slabs, plates, membranes and other plane elements of elastic constructions end equipment.

Key words: elastic theory, exact solutions.

Литература

1. Рябенков Н.Г., Файзуллина Р.Ф. О единой асимптотической природе методов решения задач теории упругости для плит и пластин // Прикладная математика и механика Т.70. № 3. 2006. С. 440-448.

Поступила в редакцию 18 октября 2011 г.

Рябенков Николай Георгиевич - д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры механики Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел.: 8 (843) 519-43-28. Email: kgeu@kgeu.ru.

© Проблемы энергетики, 2011, № 9-10