Метод суперпозиции в решении задачи упругого изотропного параллелепипеда Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6+539.3

А. В. Матросов1, Г. Н. Ширунов2

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 2

МЕТОД СУПЕРПОЗИЦИИ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ УПРУГОГО ИЗОТРОПНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА*)

1 Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

2 ООО «ТЕКТОН», Российская Федерация, 190013, Санкт-Петербург, ул. Можайская, 13

Представлен алгоритм вычисления результатов воздействия (значений) трансцендентных дифференциальных операторов метода начальных функций (МНФ) в декартовой системе координат для пространственной задачи теории упругости на произведения тригонометрических функций. На его основе построены три решения МНФ в виде двойных тригонометрических рядов по соответствующим координатным переменным с неизвестными коэффициентами, каждое из которых позволяет удовлетворить произвольным граничным условиям (силовые, кинематические, смешанные) на двух противоположных гранях изотропного параллелепипеда. Сумма этих решений согласно методу суперпозиции представляет собой общее решение для упругого параллелепипеда, позволяющее удовлетворить произвольным граничным условиям на всех его гранях. Численно-аналитическое решение для конкретной задачи получается нахождением неизвестных коэффициентов в общем решении из системы линейных алгебраических уравнений, которая формируется из условий удовлетворения заданным граничным условиям. Выполнен расчет изгиба толстой изотропной защемленной по четырем боковым граням плиты под воздействием равномерно-распределенной по верхней горизонтальной грани нагрузки. Проведено сравнение результатов конечно-элементного моделирования в системе ANSYS с полученным аналитическим решением, показавшее некоторые проблемы МКЭ расчетов напряжений на защемленных гранях. Библиогр. 17 назв. Ил. 5.

Ключевые слова: метод суперпозиции, метод начальных функций, теория упругости, изотропный параллелепипед, изотропная толстая плита.

A. V. Matrosov1, G. N. Shirunov2

A SUPERPOSITION METHOD FOR SOLVING A PROBLEM OF AN ELASTIC ISOTROPIC PARALLELEPIPED

1 St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

2 ООО «TEKTON», 13, Mozhaiskaya street, St. Petersburg, 190013, Russian Federation

This article introduces an algorithm for calculating impacts (values) of transcendental differential operators of the method of initial functions (MIF) in the Cartesian coordinate system for three-dimensional problems of the theory of elasticity on products of trigonometric functions. Using this algoritm three MIF solutions in the form of double trigonometric series of the corresponding coordinate variables with unknown coefficients are built. Each of these

Матросов Александр Васильевич — доктор физико-математических наук, профессор; e-mail: [email protected]

Ширунов Гурий Николаевич — кандидат технических наук, старший научный сотрудник; e-mail: [email protected]

Matrosov Alexandr Vasilievich — doctor of physical and mathematical sciences, professor; e-mail: [email protected]

Shirunov Guriy Nicolaevich — candidate of technical sciences, senior research worker; e-mail: [email protected]

*) Исследования были проведены с использованием вычислительных ресурсов Ресурсного центра Вычислительного центра СПбГУ (URL: http://cc.spbu.ru).

solutions can satisfy arbitrary boundary conditions (power, kinematic, mixed) on the respective two opposite faces of the isotropic parallelepiped. The sum of these solutions in accordance with the method of superposition is a general solution for an elastic parallelepiped allowing to satisfy arbitrary boundary conditions on all its faces. A numerical-analytical solution for a particular problem is obtained finding the unknown coefficients in the general solution solving the system of linear algebraic equation which is formed satisfying the given boundary conditions. An analysis of bending of a thick isotropic plate clamped on its four side faces under an uniformly distributed load on the upper horizontal face is carried out. The comparison of the results of finite element modeling using ANSYS with the analytical solution received shows some problems in FEM analysis of stresses on the faces clamped. Bibliogr. 17. Il. 5.

Keywords: superposition method, method of initial functions, theory of elasticity, isotropic parallelepiped, thick isotropic plate.

Введение. В 1851 г. Гюстав Ламе в своих лекциях по теории упругости [1] высказал идею построения общего решения для параллелепипеда, нагруженного по его граням, в виде суммы трех решений, каждое из которых позволяет решить задачу нагружения указанного параллелепипеда по двум противоположным граням. Этот подход приводит к решению бесконечной (или очень большой размерности) системы линейных алгебраических уравнений. Во времена Ламе теории подобных систем не существовало, да и не было возможности решать системы большой размерности, если применять метод редукции.

В начале XX в. Б. М. Кояловичем [2, 3] была развита теория бесконечных линейных алгебраических систем определенного вида, получаемых при использовании подхода Ламе к решению задачи защемленной изотропной пластинки, обоснован метод редукции в качестве подхода к построению приближенного решения бесконечной системы. В дальнейшем этот метод, который стали называть методом суперпозиции, был развит в работах [4, 5 и др.] для упругого изотропного прямоугольника с силовыми граничными условиями (ГУ) на гранях. В [6-8] с применением двух решений, построенных методом начальных функций (МНФ), данный подход был расширен до анизотропного прямоугольника с силовыми, кинематическими и смешанными ГУ, а с развитием метода аналитической декомпозиции [9] и для упругих плоских систем сложной конфигурации, составленных из соприкасающихся прямоугольников [10-12].

В настоящей работе методом суперпозиции построено в ортогональной декартовой системе координат общее решение задачи деформирования упругого изотропного параллелепипеда с произвольными ГУ на его гранях (силовые, кинематические, смешанные). Используются три решения в тригонометрических рядах, полученные с помощью основного соотношения МНФ, связывающего компоненты напряженно-деформированного состояния (НДС) в параллелепипеде с начальными функциями (компоненты НДС на начальной плоскости) через операторы МНФ в замкнутой форме [13]. Выполнен расчет толстой плиты, защемленной по вертикальным граням и нагруженной равномерно распределенной нагрузкой по верхней грани, проведено сравнение с результатами конечно-элементного моделирования.

Решения в тригонометрических рядах. Основное соотношение МНФ в декартовой ортогональной системе координат Oxyz в матрично-операторной форме может быть записано следующим образом:

Uz = Lz U0z. (1)

Здесь Uz = {u (x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z),az (x,y,z),Tyz (x,y,z),rXz (x,y,z),&y (x,y,z), ax (x,y,z),rXy (x,y,z)} - вектор-столбец компонентов НДС, U0'z = {u0'z (x,y), v0'z (x, y), w°'z (x, y), a0'z (x, y), r0zz (x, y), t°'z (x, y)} - вектор-столбец начальных

функций, определенных на плоскости г = 0, Ьг = \Ьц (дх, ду, , г = 1,... ,9,

] = 1,...6, - матрица операторов МНФ, дх и ду - операторы дифференцирования по соответствующей переменной, Е - модуль упругости Юнга, V - коэффициент Пуассона изотропного упругого континуума. Операторы МНФ получены в замкнутой форме [13] и могут быть в самом общем виде представлены как линейная комбинация трансцендентных операторов:

- , ,- ч вт [ф92 + 522;)

М3 = ^у^ + ^вш (^2+92.) + Ц3^==и

--/ г сои д2х+ вт (,/<92 + д\г

4 со8 (М+д^г) + ^--^ J + -

Коэффициенты а', Ьц, с' и ¿ц (некоторые могут быть и нулевыми, но не все одновременно) для каждого оператора представляются в виде произведения следующих сомножителей: степени г от нулевой до первой, степеней операторов дх и ду от нулевой до второй, а также сомножителя, зависящего от упругих констант Е (модуль упругости) и V (коэффициент Пуассона).

При применении соотношения (1) для решения конкретных задач следует операторами МНФ воздействовать на соответствующие начальные функции, зависящие от переменных х и у. В результате будет получено представление компонентов вектора НДС в виде функций переменных х, у и г. Результат воздействия оператора МНФ на некоторую функцию называют значением оператора на этой функции.

Если начальные функции выбраны в виде произведений тригонометрических функций (так называемое решение «в синусах»)

и атпСтвп, V атпвтСп, М атпвт вп, /г>\

а0 = о4 ее т0 = а5 в С т0 = а6 С в (2)

а г атп втвп, туг ЧтпвтСп, тхг ЧтпСтвп,

где вт = 8ш(«тх), ст = сов(атх), вп = вт(впу), Сп = соБ(впУ), ат = тп/А, вп = пп/В, т и п - целые числа, атп - произвольные константы, то компоненты вектора НДС после воздействия операторов МНФ на соответствующие начальные функции также представляются через произведения тригонометрических функций:

6 6 6

атпЬ1' Ст вп, V атпЬ2] втСп, М атп Ь3Ц вт вп,

'=1 '=1 '=1

666

атп Ь4Ц втвп, ту г атпЬ5' вт Сп, тх г атпЬ6] Ст вп, (3)

'=1 '=1 '=1

6 6 6

ЕЗ т г,тп _ чт-^ З т г,тп _ чт-^ ' т г,тп

атп Ь7 ' вт вп, ау = атпЬ8] втвп, тху = атп Ь9Ц СтСп-'=1 '=1 '=1

Здесь Ьгт - значение оператора МНФ Ь*' на произведении гармоник порядка т и п соответствующих тригонометрических функций, представляющем начальную функцию, на которую воздействует оператор МНФ.

Можно построить еще три решения, если в (2) и (3) выполнить замены вт — ст, Ст — вт и/или вп — Сп, Сп — вп.

Для получения значения оператора МНФ на произведении тригонометрических функций необходимо вычислить результат воздействия четырех трансцендентных

а

а

операторов, входящих в выражения всех операторов МНФ. Для этого трансцендентный оператор раскладывается в степенной ряд, в котором каждый член содержит целые степени операторов дифференцирования. После этого следует воздействовать им на начальную функцию и просуммировать полученные степенные ряды.

Значения трансцендентного оператора \Jd\ + д\ sin z^J на произведе-

ниях тригонометрических функций находим в результате следующих вычислений:

Jd[7d¡sm (y/dl + dlz))

(

£(-i)

i=0

\

i=0

, у/di + d¡ {Jdl + dj)

(2i + 1)!

(2i + 1)! ,

smsn

smcn

cm sn

cm cn 2г+1

y2i+1

sm sn sm cn cmsn cm cn

= £(-i)!

i=0

(-1 y+1(al+i3ty+1z^ (2г + 1)!

Л

/ ,_ч 2¿+l

(2i +1)!

smsn smcn cm sn cm cn

smsn smcn cm sn cm cn

= ~\/a1i+ Plsh (yfá+M*)

Sin (yjdl + dlz)

Значения операторов-' -и cos [ \ ai + oiz) определяются с исполь-

y¡dl+dl VV 7

зованием аналогичной процедуры:

'sin (^Jdl + dl^j

sm sn sm cn cmsn cm cn

2i+1

£(-i) ,-

jdl+дЦ 2г + 1)!

= (-1)i

i=0

i (92 + 92)i z2i+

(2i +1)!

smsn smcn cm sn

cm cn \

mn

mn

mn

mn

mn

mn

mn

mn

z

mn

mn

mn

£ (-1Г

¿=0

(-1Г (а1 + 131)гг^ (2г+1)!

вт вп в т Сп Ст в п Ст Сп

1 ~ (V «т +

\/ат + ¿=0

2¿+1

(2г +1)!

вт

811 (^«т +

д2 + дуг

(-1)

¿=0

Лд1 + д2уГ*2

(2г)!

втвп \ /

втСп

Ст в п

Ст Сп / V

/ втвп

2¿\

) втСп

) Ст вп

\ Ст Сп

ЕМУ

0

+ г*

(-1)

¿=0

(2г)!

г (-1У (а2т + вп)¿

втвп в т Сп Ст вп Ст Сп

2

т

втвп втСп Ст вп Ст Сп

Е

¿=0

(у^+Ж)2^2

т

вт вп в т Сп Ствп Ст Сп

с11 (л/аш +

вт вп в т Сп Ствп Ст Сп

Для последнего трансцендентного оператора применим следующий прием: сначала добавляем и вычитаем оператор -¡—---т- с последующим группированием

дх2 + ду2

соответственно с рядом для синуса и рядом для косинуса, что позволяет удалить из этих рядов первые члены с операторами в знаменателе. После воздействия операторами с целыми степенями на тригонометрические функции добавляем и вычитаем

г

и выполняем суммирование полученных рядов:

(а2т + вп)

у/д2х + д2уг) 8Ш + д2уг)

^; : I о

д+ду)

(д2+д2у)2 )

вт вп в т Сп Ствп Ст Сп

____2 V (~\ У

№ + д2у) ' (д2 + д2у)(2г)\

+

+

у/% + Щ

2¿+1

(д2 + ду)

у/д2х + д2у(д2х + д2у)( 2г+1)!

втвп втСп Ст в п Ст Сп

тп

тп

тп

в

тп

1

тп

тп

тп

СОо

г соо

г

'-1

-2 12 (-1)'

+ £(-1)

i=l

(-1Г1 (<£ + /£) (20!

i (-1Г1 + в2Г1 22т'

2

+

+

(2г +1)!

_ч 2г

{<&+№) ' « + /32)(2г)!

2i+1

-

^сЬ (^«т + /З^) 811 (У^Г+Ж^) ^

$т Сп Ст$п Ст Сп

(а2т + вп)

V

« + Ю2 )

$т Сп Ст$п Ст Сп

Если начальные функции задать в виде тригонометрических рядов с неизвестными коэффициентами д-^п

ж ж

£ £ д

т=0 п=1 оо оо

тп т°п->

ж ж

£ £4

0 z _

т=1п=0 жж

0^ _

жж

£ £ 4

3

тпвтвп,

т=1п=1 жж

' — £ £ дтпСт вп, 0 п=1

£ £ дтпйтйп, Т^ £ дт п ^тСп, ТxZ £ £ дтпСт

= 1 п=1

т=1п=0

(4)

то получим решение также в виде тригонометрических рядов с этими же неизвестными коэффициентами

ж ж 6 ^

^ — £ £ Т,дтпЬТп Ствп,

т=0 п=1 3=1

жж6 ^ — £ £ £ <п3 8тСп

т=1п=0 3=1

оо оо

Е^ 3 Т z,'>

дтпЬ31

т=1 п=13=1

z,mn ''тп^Зз вт *

ж ж 6 ж ж 6

■Z — у^ у^ у^ д3 Т *,тп * * Тz — V V V дЗ ТТ^тп * С

z ~~ 2^ 2^ 2^ дтпТ43 ьт*п, lyz ЧтпТЬ3 ьтСп,

т=1 п=1 3=1 т=1 п=0 3=1

жж6

xz А^ дтпТ63 Ст ьп, т=0 п=1 3=1

Т"

ж ж

ж ж

т=1п=1 3=1

£ £ £

т=1п=1 3=1

жж6

Е^ 3 т z,mn

дтпТ§3 Ст Сп •

(5)

т=0 п=0 3=1

Используя (5), можно решить задачу для бесконечного слоя 2 € [0, Н] с заданными на его поверхностях 2 — 0, Н периодическими ГУ с периодами 2А и 2В вдоль осей Ох и Оу. Для этого заданные в качестве ГУ на поверхности 2 — 0 три компонента НДС приравниваем соответствующим начальным функциям. Таким образом, известными

тп

тп

тп

тп

2

3

0

1

2

z

Ш

z

а

тп

тп

X

z

являются коэффициенты ^п (г принимает три целых значения, связанных с заданными компонентами НДС). Неизвестные коэффициенты в тригонометрических рядах для трех остающихся начальных функций определяются из условий удовлетворения ГУ на поверхности г = к. Вычисляем компоненты НДС на этой поверхности по формуле (1) и приравниваем коэффициенты при соответствующих гармониках коэффициентам в тригонометрических рядах заданных компонентов ГУ. Отсюда получаем серию систем линейных алгебраических уравнений третьего порядка для нахождения неизвестных коэффициентов в тригонометрических рядах представления неизвестных начальных функций.

Построенное решение (5) можно трактовать как решение для плиты с размерами в плане А х В и толщиной к с заданными ГУ на гранях г = 0,к из класса функций, раскладываемых в ряды Фурье, и с ГУ на гранях х = 0,А и у = 0,В, которые соответствуют выбранному представлению (4) начальных функций в виде тригонометрических рядов.

Таким образом, получено решение, которое позволяет удовлетворить ГУ на двух противоположных гранях г = 0,к прямоугольного параллелепипеда со сторонами А х В х к.

Аналогично (5) можно построить еще два решения МНФ

их = Ьхи°'х, (6)

иу = Ьу и°'у, (7)

которые позволяют удовлетворить ГУ для прямоугольного параллелепипеда соответственно на гранях х = 0,А и у = 0,В, задавая начальные функции на плоскостях х = 0 и у = 0.

При этом векторы начальных функций в (6) и (7) равны

и°'х = Нх (г, у), и°х (г, у), у°'х (г, у), а0°'х (г, у), г°ух (г, у), т°? (г, у)}

и

U0 -y = -y (x, z), w° •y (x, z) , v° -y (x, z), a°-y (x, z), t^ (x, z), r^ (x, z)} , а векторы компонентов НДС Ux и Uy имеют вид

Ux = {wx (x, y, z), ux (x, y, z), vx (x, y, z), o'x (x, y, z), rXy (x, y, z) , Txz (x, y, z

az (x, y, z) , a% (x, y, z) , ТУг (x, y, z)

Uy = {иУ (x, y, z), wy (x, y, z), vy (x, y, z), ay (x, y, z), ryz (x, y, z), ryy (x, y, z),

ay (x, y, z), oy (x, y, z), Tyz (x, y, z)} .

Матрицы операторов МНФ Lx и Ly получаются из матрицы операторов Lz путем следующих замен в ее компонентах:

для Lx z ^ x, dx ^ dz, оператор dy не меняется и для Ly z ^ y, dy ^ dz, оператор dx не меняется.

Если компоненты вектора начальных функций U0-x представить тригонометрическими рядами с неопределенными коэффициентами tJkn

ж ж ж ж ж ж

w°-x (z,y)=Е J2tlncksn, v°-x (z,y)=E E tinskcn, u°-x (z,y)=E I2 4nsksn,

k=0 n=1 k=1 n=° i=l n=l

ж ж ж ж ж ж

&x-x (z,y)=E Y,4n^^ r%'y (z,y) = E E tinskc^ r%? (z,y)=E E C^n,

k=1 n=1 k=1 n=0 k=0 n=1

и

Sk = sin Yk z, Ck = cos Yk z, Yk = kn/h, а компоненты вектора начальных функций U°'y - тригонометрическими рядами

с неопределенными коэффициентами pm

k

ж ж ж ж ж ж

У°'у (х,2)— £ Т,Р1пк Ст$к ,Ш°'У (х,2) — £ Т,Р2тк йтСк , (х,2)—^ ^Р^тк^к,

т=0 к=1 т=1 к=0 т=1 к=1

ж ж ж ж ж ж

ау,У (х, 2) — Е Е ртк , Ту(х, 2) — Е Е ртк 8тСк , Тху (х, 2) — Е Х^ ртк Ст8к,

т=1 к=1 т=1 к=0 т=0 к=1

то компоненты векторов НДС их и иу будут представлены следующим образом:

жж 6 к ж ж 6 к

'х — £ £ £ 3Щ п СкVх — £ £ £ п вкСги

к=0 п=1 3=1 к=1 п=0 3=1

ж ж 6 ^ к

иХ — £ £ £ ^кпТх3 п 8к^ к=1п=13=1

ж ж 6 ж ж 6

аХ — X! X! Е ^кпЬХ3 8к$п, ТХХу — X! X! Зк Сп,

к=1п=13=1 к=1п=0 3=1

ж ж 6 к

тх — X! X! X! ^кп ТхХ Ск 8п,

к=0п=13=1

ж ж 6 ж ж 6

аХ — £ £ £ 3ТХ3 п sksn, аУ — £ £ £ ¿кпЩ п йк^

к=1п=13=1 к=1п=13=1

ж ж 6 ^Х _ ^ -3 Т х,кп

(8)

=

knT9j ckcn

yz Z^ Z^ Z^ vkn 9j

k=0 n=0j=1

oo oo b oo oo 6

(9)

иУ = £ £ £j Lyjmk(x) cm sn, wy = ]T ]T Y.P3mk (y) Cfc,

m=0 k=1 j=1 m=1 k=0 j=1

OO OO 6 _ k

vy = £ £ £p^kLyr (y) sk,

m=1 k=1 j=1

OO 6 _ k OO OO 6 _ k

= £ £ J2p3mkLir (у) SmSk, ryz = £ £ £ pmkLyr (y) Sm^k

m=1 k=1 j=1 m=1 k=0 j=1

OO OO 6 _ k

ryy = £ £ £pjmkLyr (У) cmsk,

m=0 k=1 j=1

oo 6 _ k OO 6 _ k

= £ £ £ p3mkLyyjm (У) SmSk, = £ £ £ P^kЦ'Г (У) ^^

m=1 k=1 j=1 m=1 k=1 j=1

OO6

Tyz = £ £ Y^pLk Lj (y) ^ Ck .

m=1k=1j=1

Значения операторов МНФ LXk в (8) и Lyjmk в (9) получаются из значений

~ ~ т\/гттлл Т z,mn Т X,kn Ty,mk

операторов МНФ Lij заменами: для Lij z ^ x, am ^ Yk и для Lij z ^ y, вп ^ Yk. Эти два решения позволяют удовлетворить ГУ для параллелепипеда x e [0, A], y e [0, B], z e [0, h] соответственно на гранях x = 0,A и y = 0, B.

Сумма трех решений Ux (5), Uy (8) и Uz (9), каждое из которых позволяет удовлетворить ГУ на двух противоположных гранях упругого параллелепипеда, согласно принципу суперпозиции Ламе [1] является общим решением U для прямоугольного параллелепипеда, которое символически можно записать так:

U = Ux + Uy + Uz, (10)

и

предполагая, что складываются те компоненты «суммируемых» векторов, которые представляют одинаковые компоненты НДС: и = их+иу+и7 (сумма третьего, первого и первого компонентов соответствующих векторов НДС ), V = Vх + + V7 (сумма второго, третьего и второго компонентов соответствующих векторов НДС ) и т. д.

Неизвестные коэффициенты ^кп, рРтк и д3тп общего решения (10) определяются из условий удовлетворения ГУ, заданным на восьми гранях прямоугольного параллелепипеда.

Предположим, что на каждой грани заданные компоненты НДС представимы тригонометрическими рядами по системам тригонометрических функций, по которым разложены начальные функции на соответствующих гранях параллелепипеда.

ГУ на каждой грани могут быть заданы в одном из следующих видов:

• три перемещения;

• три напряжения;

• касательные напряжения и нормальное перемещение;

• нормальное напряжение и два перемещения в плоскости грани.

Используя (10), вычисляем на каждой грани параллелепипеда компоненты НДС,

определяющие ГУ на ней, и раскладываем полученные значения в двойные ряды Фурье по системам тригонометрических функций, по которым разложены заданные на ней компоненты НДС. Приравнивание коэффициентов при одинаковых гармониках в построенных разложениях и тригонометрических рядах, представляющих соответствующие компоненты НДС из ГУ, приводит к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ц,п, рРтк и д3тп общего решения. Ее решение можно найти методом редукции [14], что по существу равносильно заданию всех ГУ и соответственно вычислению компонентов НДС в виде тригонометрических полиномов по двум переменным.

Численные результаты. В качестве числового примера рассмотрена задача об изгибе толстой изотропной (V = 0.3) квадратной (А = В) плиты относительной толщины к/А =1/3 с заделанными боковыми гранями под действием нормальной равномерно распределенной нагрузки интенсивности д, приложенной к верхней грани ^ = 0, нижняя грань г = к свободна от нагрузок (рис. 1).

и,™

Рис. 1. Расчетная схема плиты

При использовании представленного в работе численно-аналитического подхода в двойных тригонометрических рядах задания ГУ на гранях плиты и представлений компонентов НДС по каждой из координат удерживалось по 31 члену. Для преодоления вычислительной неустойчивости расчеты производились с мантиссой длиной 143, определенной из серии вычислительных экспериментов [15]. Для сглаживания колебаний функций компонентов НДС применялись а-множители Ланцоша [16].

На рис. 2,а приведены графики безразмерных нормальных напряжений аг в сечениях, параллельных плоскости г = 0. На верхней грани плиты (график 1) нормальные напряжения соответствуют заданной нагрузке д. На нижней грани плиты г = Н эти напряжения отсутствуют, как задано в ГУ. Отметим, что в окрестности заделки (х = 0) по глубине, равной примерно Н/4, горизонтальные слои плиты не надавливают друг на друга.

Рис. 2. Безразмерные нормальные напряжения аг = ог/д (а) в сечениях у = В/2 г = {г — 1)/г/4, г = 1,... ,5 (г — номер графика), и перемещения и = иЕ ¡дк (б) в сечениях х = 0, у = (3 — ])Б/4, ] = 1,..., 3 - номер графика)

На грани х = 0 перемещения и>, V равны нулю [17], тогда как перемещения и (рис. 2, б) равны нулю везде за исключением малых окрестностей граней г = 0, Н. Номера графиков г соответствуют координатам сечений у = (3 — г)В/4. На графиках указаны максимальные отклонения от заданных ГУ.

Полученные результаты сравнивались с конечно-элементным решением, построенным с помощью программного комплекса Апвув с автоматическим построением геометрической модели специальной опцией Бта^МеэЬ, что привело к разбиению плиты по толщине на 8 элементов, а в плане - на 22. В конечно-элементной модели использовались 20-узловые пространственные элементы БоШ186.

На рис. 3-5 показаны изменения безразмерных напряжений и перемещений в разных сечениях плиты по ее толщине. На всех рисунках сплошная кривая 1 соответствует методу суперпозиции, точечная 2 - МКЭ.

а

б

3.3 -3.3 -3.1 -3.0 -2.9 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2

2

Рис. 3. Безразмерные перемещения ш = шЕ/цН (а) в центре плиты и напряжения тху = тху/ц (б) в сечении х = 0, у = 0

Рис. 4. Безразмерные напряжения аг = ог/ц (а) и ах = ах/ц (б) в центре плиты

Вертикальные перемещения ш в ее центре, полученные по МКЭ и методу суперпозиции (рис. 3, а), близки между собой, относительная погрешность максимальных значений не превышает 1%. Отметим, что максимальное перемещение по методу достигается не на верхней грани плиты, а на небольшом расстоянии от нее. С помощью МКЭ с автоматически построенным разбиением не удается выявить подобное поведение.

Касательные напряжения тху в угловом сечении плиты х — 0, у — 0 существенно отличаются и качественно, и количественно (рис. 3,б). Из всех компонентов НДС

эти напряжения имеют наибольшие расхождения по абсолютным значениям. Разница экстремальных значений, наблюдаемых в окрестностях граней г = 0 и г = Н, достигает сотен процентов.

Графики нормальных напряжений azи ax в центре плиты (рис. 4), соответствующие решениям МКЭ и метода суперпозиции, практически совпадают, относительная погрешность не превышает 1%.

Иная картина наблюдается при сравнении результатов по представленным двум расчетам на защемленных гранях плиты (рис. 5). Нормальные ax и касательные Txz напряжения существенно различаются в окрестностях точек z = 0 и z = h. Нормальные напряжения ax в методе суперпозиции представляются частичной суммой тригонометрического ряда по системе функций sinYkz, поэтому максимальное и минимальное значения не достигаются в точках z = 0 и z = h. Но с увеличением числа удерживаемых в решении гармоник они будут приближаться к указанным точкам.

Касательные напряжения Txz по МКЭ качественно отличаются от решения методом суперпозиции: они не равны нулю в точках z = 0 и z = h, тогда как решение методом суперпозиции, представляющееся частичной суммой по системе функций cos Ykz, стремится к нулю, что приводит к двум локальным экстремумам.

Заключение. Построено аналитическое решение для упругого изотропного параллелепипеда в прямоугольной декартовой системе координат, позволяющее удовлетворить произвольным ГУ на всех его гранях. Результаты численного моделирования на основе широко применяемого в расчетной практике МКЭ хорошо согласуются с разработанным численно-аналитическим алгоритмом метода суперпозиции за исключением областей вблизи заделки, где полученное методом суперпозиции приближенное решение более точно отражает характер распределения компонентов НДС.

Литература

1. Lamé G. Leçon sur la théorie mathémathique de l'élasticité des corps solids. Paris: Bachelier, 1852. 335 p.

2. Коялович Б. М. Об одном уравнении с частными производными четвертого порядка. СПб.: Изд-во Имп. Акад. наук, 1902. 125 с.

3. Коялович Б. М. Исследования о бесконечных системах линейных алгебраических уравнений // Изв. Физ.-мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1930. № 3. С. 41—167.

4. Гринченко В. Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. Киев: Наукова думка, 1978. 264 с.

5. Мелешко В. В. Бигармоническая задача для прямоугольника: история и современность // Мат. методи та фiз.-мех. поля. 2004. Т. 47, № 3. С. 45-68.

6. Матросов А. В. Численно-аналитическое решение граничной задачи деформирования линейно-упругого анизотропного прямоугольника // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2007. Вып. 2. С. 55-65.

7. Матросов А. В. Замкнутая форма операторов метода начальных функций для плоской задачи теории упругости ортотропного тела // Филология и культура. 2010. № 22. С. 56-62.

8. Матросов А. В. Гиперболо-тригонометрические решения для ортотропной прямоугольной линейно-упругой области // Филология и культура. 2011. № 26. С. 32-36.

9. Матросов А. В. Численно-аналитический алгоритм решения задач плоской деформации линейно-упругих тел сложной конфигурации // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2008. Вып. 3. С. 70-84.

10. Матросов А. В. Расчет гидротехнических сооружений численно-аналитическим методом // Вестн. Гос. ун-та морского и речного флота им. адмирала С. О. Макарова. 2010. № 4. С. 8-14.

11. Матросов А. В. Численно-аналитический расчет балок-стенок на линейно-упругом основании // Вестн. Гос. ун-та морского и речного флота им. адмирала С. О. Макарова. 2011. № 2. С. 14-21.

12. Матросов А. В. Расчет балочных перекрытий численно-аналитическим методом // Вестн. Гос. ун-та морского и речного флота им. адмирала С. О. Макарова. 2012. № 1. С. 8-15.

13. Матросов А. В., Ширунов Г. Н. Алгоритмы получения замкнутых форм операторов метода начальных функций для пространственных задач теории упругости // Вестн. гражданских инженеров. 2014. № 1 (42). С. 136-144.

14. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматлит, 1962. 709 с.

15. Ширунов Г. Н. Вычислительная устойчивость метода начальных функций в пространственных задачах теории упругости для изотропного тела // Вестн. гражданских инженеров. 2015. № 2 (49). С. 58-67.

16. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа: справочное руководство / пер. с англ. М. З. Кайнера. М.: Физматгиз, 1961. 524 с. (Lanczos C. Applied Analysis.)

17. Matrosov A. V., Shirunov G. N. Numerical-Analytical Computer Modeling of a Clamped Isotropic Thick Plate // Proc. of Intern. Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA), St. Petersburg, Russia, June 30-July 4, 2014. 96 p.

References

1. Lame G. Lecon sur la théorie mathémathique de l'élasticité des corps solids [Cours on the mathematical theory of elasticity of solids]. Paris, Bachelier Publ., 1852, 335 p. (in Fr.)

2. Koialovich B. M. Ob odnom uravnenii s chastnymi proizvodnymi chetvertogo porjadka [On one partial differential equation of the fourth order]. St. Petersburg, Izd-vo Imp. Akad. Nauk, 1902, 125 p. (in Russ.)

3. Koialovich B. M. Issledovanija o beskonechnyh sistemah linejnyh algebraicheskih uravnenij [Studies on infinite systems of linear equations]. Izvestiya Fiz.-mat. in-ta imeni Y. A. Steklova, 1930, no. 3, pp. 41167. (in Russ.)

4. Grinchenko V. T. Ravnovesie i ustanovivshiesja kolebanija uprugih tel konechnyh razmerov [Equilibrium and Steady Vibrations of Elastic Bodies of Finite Dimensions]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1978, 264 p. (in Russ.)

5. Meleshko V. V. Bigarmonicheskaja zadacha dlja prjamougol'nika: istorija i sovremennost' [Biharmonic problem in a rectangle: history and modernity]. Mat. metodi ta fiz.-mekh. polia, 2004, vol. 47, issue 3, pp. 45-68. (in Russ.)

6. Matrosov A. V. Chislenno-analiticheskoe reshenie granichnoj zadachi deformirovanija linejno-uprugogo anizotropnogo prjamougol'nika [Numerical-analytical solution for a boundary problem of deformation of linearly-elastic anisotropic rectangle]. Vestn. of St. Petersburg University. Series 10.

Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2007, issue 2, pp. 55—65. (in Russ.)

7. Matrosov A. V. Zamknutaja forma operatorov metoda nachal'nyh funkcij dlja ploskoj zadachi teorii uprugosti ortotropnogo tela [A closed form of the operators of the method of initial functions for a linearly elastic plane problem of an orthotropic solid]. Philology and culture, 2010, no. 22, pp. 56—62. (in Russ.)

8. Matrosov A. V. Giperbolo-trigonometricheskie reshenija dlja ortotropnoj prjamougol'noj linejno-uprugoj oblasti [Hyperbolic-trigonometric solutions for an orthotropic linealy elastic rectangular domain]. Philology and culture, 2011, no. 26, pp. 32—36. (in Russ.)

9. Matrosov A. V. Chislenno-analiticheskij algoritm reshenija zadach ploskoj deformacii linejno-uprugih tel slozhnoj konfiguracii [Numerical-analytical algorithm for solving problems of plane deformation of linearly-elastic solids with irregular shapes]. Vestn. of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2008, issue 3, pp. 70—84. (in Russ.)

10. Matrosov A. V. Raschet gidrotehnicheskih sooruzhenij chislenno-analiticheskim metodom [A numerical-analytic analysis of hydraulic structures]. Vestn. Gosudarstvennogo universiteta morskogo i rechnogo flota imeni admirala S. O. Makarova, 2010, issue 4, pp. 8—14. (in Russ.)

11. Matrosov A. V. Chislenno-analiticheskij raschet balok-stenok na linejno-uprugom osnovanii [A numerical-analytic analysis of wall-beams on a linearly elastic foundation]. Vestn. Gosudarstvennogo universiteta morskogo i rechnogo flota imeni admirala S. O. Makarova, 2011, issue 2, pp. 14—21. (in Russ.)

12. Matrosov A. V. Raschet balochnyh perekrytij chislenno-analiticheskim metodom [A numerical-analytic analysis of grillages]. Vestn. Gosudarstvennogo universiteta morskogo i rechnogo flota imeni admirala S. O. Makarova, 2012, issue 1, pp. 8—15. (in Russ.)

13. Matrosov A. V., Shirunov G. N. Algoritmy poluchenija zamknutyh form operatorov metoda nachal'nyh funkcij dlja prostranstvennyh zadach teorii uprugosti [Algorithms for obtaining closed forms of the operators of the initial functions method for three-dimensional problems of the elasticity theory]. Bulletin of Civil Engineers, 2014, issue 1(42), pp. 136—144. (in Russ.)

14. Kantorovich L. V., Krylov V. I. Priblizhennye metody vysshego analiza [Approximate Methods of Higher Analysis]. Moscow, Phyzmatlit Publ., 1962, 709 p. (in Russ.)

15. Shirunov G. N. Vychislitel'naja ustojchivost' metoda nachal'nyh funkcij v prostranstvennyh zadachah teorii uprugosti dlja izotropnogo tela [Computational stability of the method of initial functions for three-dimensional problems of elasticity theory for an isotropic body]. Bulletin of Civil Engineers, 2015, issue 2(49), pp. 58-67. (in Russ.)

16. Lanczos C. Prakticheskie metody prikladnogo analiza: spravochnoe rukovodstvo [Applied Analysis]. Per. s angl. M. Z. Kainera. Moscow, Phyzmatgiz Publ., 1961, 524 p. (in Russ.)

17. Matrosov A. V., Shirunov G. N. Numerical-Analytical Computer Modeling of a Clamped Isotropic Thick Plate. Proc. of Intern. Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA), St. Petersburg, Russia, June 30-July 4, 2014, 96 p. (in Russ.)

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья поступила в редакцию 17 февраля 2015 г.