Cходимость степенных рядов в методе начальных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2012. Вып. 1_ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 519.6+539.3 А. В. Матросов

СХОДИМОСТЬ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ В МЕТОДЕ НАЧАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Введение. В методе начальных функций (МНФ) [1, 2] для плоских задач линейной теории упругости в прямоугольной декартовой системе координат Оху решение строится в виде линейной комбинации начальных функций, определенных на одной из координатных линий х = 0 или у = 0. Если в качестве начальных функций выбираются тригонометрические функции, то коэффициенты пропорциональности суть степенные ряды по второй независимой координате. В случае изотропного тела эти ряды просуммированы в работе [3]. Для ортотропного тела при задании начальных функций на линии у = 0 и при условии, что координатные линии совпадают с главными направлениями упругости ортотропного материала, их суммы вычислены в статье [4]. В обоих случаях они представляются в виде комбинаций гиперболических функций. Полученная замкнутая форма коэффициентов пропорциональности показывает, что в данных случаях степенные ряды сходятся на всей вещественной оси. В настоящей работе показана сходимость степенных рядов МНФ для материала с произвольной анизотропией, что включает в себя и случай несовпадения координатных линий с главными направлениями упругости ортотропного материала.

Уравнения равновесия Ламе. Уравнения равновесия в перемещениях (уравнения Ламе) для плоской задачи теории упругости в декартовой ортогональной системе координат Оху в отсутствие массовых сил для прямолинейно-анизотропного тела в матрично-операторной форме могут быть записаны следующим образом:

Шй = 0, (1)

где й = {и (х, у) ,г) (х, у)} - вектор-столбец перемещений соответственно вдоль осей х и у, а матрица Ш операторов Ламе представляется в виде

W

Hndl + 2Ы16дхду + Ибед2у Ы16д% + (Hi2 + Нее) дхду + И26д2у

И16д2х + (Hiy + Нее) дхду + Нубду НеедУ + 2Нубдхду + Нууду

У "ОО^ X 1 Х^у I у

Символы дХ и ду обозначают операторы дифференцирования соответственно по переменным х и у, а константы Ичг являются коэффициентами пропорциональности в обобщенном законе Гука для плоской задачи линейной теории упругости

й = Н е. (2)

Матросов Александр Васильевич — кандидат технических наук, доцент кафедры информационных систем факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 58. Научные направления: численно-аналитические алгоритмы механики деформируемого твердого тела, вычислительная устойчивость алгоритмов. E-mail: [email protected].

© А. В. Матросов, 2012

деформаций, H

Здесь а = {jy, тху, <jx} - вектор-столбец напряжений, e = {ex, ey, jxy} - вектор-столбец H12 H22 H26 H16 H26 Нее H11 H12 H16

Компоненты матрицы H выражаются через упругие константы Aij анизотропного материала. Это представление зависит от типа плоского состояния, в котором находится тело: плоская деформация или обобщенное плоское напряженное состояние. Оно получается из уравнений обобщенного закона Гука в декартовой ортогональной системе координат Oxyz для пространственной задачи теории упругости. При этом следует учесть, что плоское состояние в анизотропном теле реализуется только в случае наличия в каждой его точке плоскости упругой симметрии, нормальной к образующей бесконечного цилиндра (плоская деформация) или параллельной срединной плоскости тонкой пластинки (обобщенная плоская деформация) [5, 6].

Общее решение через две функции. Уравнение (1) будет удовлетворено тождественно, если по аналогии с пространственной задачей [7] вектор перемещений и представить через вектор-столбец F = {Jj1 (x, y), F2 (x, y)} так:

u = WF. (3)

Элементы Wj, i,j = 1, 2, матрицы W являются алгебраическими дополнениями элементов Wji матрицы W. Функции (x,y) и Fj2 (x,y) должны удовлетворять дифференциальному уравнению

(det W) J = 0, i = 1, 2. (4)

Здесь через det W обозначен определитель матрицы W.

Вектор напряжений а также выражается через две введенные функции F1 (x, y)

и F2 (x,y), используя закон Гука (2) и соотношения Коши e = Cu, C = с учетом (3) в виде

а = SF, (5)

где матрица дифференциальных операторов а представляется как произведение трех матриц: S = H CW.

По существу соотношениями (3) и (5) представлено общее решение уравнений линейной теории упругости прямолинейно анизотропного тела в прямоугольной декартовой системе координат. Оно не упрощает нахождение решений краевых задач для произвольной области, но его можно использовать для построения решения задач теории упругости для прямоугольной области с удовлетворением силовых, кинематических или смешанных граничных условий (ГУ) на двух противоположных гранях, параллельных координатной линии x = 0. На оставшихся гранях ГУ будут диктоваться выбранным представлением функций компонентов напряженно-деформированного состояния (НДС) на гранях, на которых ГУ будут удовлетворяться точно.

Функции F1 (x,y) и F2 (x,y), входящие в полученное общее решение уравнений теории упругости, удовлетворяют дифференциальному уравнению в частных производных (4). Для его решения воспользуемся символическим способом составления решения уравнений в частных производных, предложенным А. И. Лурье [8]. Существо этого подхода заключается в рассмотрении уравнения в частных производных

дх 0

0 д

дУ д

как обыкновенного дифференциального уравнения по одной из независимых переменных, «заморозив» остальные и рассматривая операции дифференцирования по ним как некие константы, входящие в указанное обыкновенное дифференциальное уравнение. Правда, эти константы не совсем обычные - на определенном этапе построения решения они должны снова рассматриваться как соответствующие операции дифференцирования. Их называют символическими константами, так как по существу они суть символы соответствующих операций дифференцирования.

«Заморозим» в уравнении (4) переменную х. Тогда (4) как обыкновенное дифференциальное уравнение записывается следующим образом [9]:

{Б0дАу + В^ + В2д2у + Взду + ВА) Р =0 (6)

с коэффициентами В^, ] = 0,...,4, выраженными через коэффициенты пропорциональности НдГ из закона Гука (2) и символ дифференцирования дх:

Во = Н22Н66 — Н26, В = 2 (Н16Н22 — Н12Н26) дх,

В2 = (Н11Н22 + 2Н16Н26 — 2Н12Н66 — Н^) дХ, (7)

Вз = 2 (Н11Н26 — Н)2Н16) д^, В4 = (НцН66 — Н^) дХ.

Функции Рг, удовлетворяющие обыкновенному дифференциальному уравнению (6), будем искать в виде рядов Маклорена по переменной у

<х> к

я = г = 1'2- (8)

к=0

Подстановка (8) в уравнение (6) приводит к рекуррентному соотношению для нахождения коэффициентов ]гк

ВоЯ+4 + В1Я+3 + В2 /¡+2 + Вз ¡¡¡+1 + В4Я =0, г = 1, 2, Л = 0,...,с. (9)

Полученное рекуррентное соотношение (9) является уравнением четвертого порядка. Это означает, что первые четыре коэффициента в представлении (8) для каждой искомой функции могут быть выбраны произвольно. Данные коэффициенты, называемые начальными значениями функций Рг, суть значения самой функции и ее первых трех производных на линии у = 0: /р = дрРг (х, у) | , р = 0,1, 2, 3.

Остальные коэффициенты рядов (8) однозначно определятся из рекуррентного соотношения (9) как линейные комбинации начальных значений соответствующих функций Рг. Подставив полученные коэффициенты ¡к в (8) и приведя подобные члены при начальных значениях функций Рг, имеем представление функций Рг (х, у) в виде

Рг = Мо ¡0 + М1Я + М2 Я + Мз ¡3, (10)

где Мр = шркук/Л!, р = 0,..., 3, суть степенные ряды по переменной у с коэффициен-

к=0

тами, зависящими от упругих констант материала и символа дифференцирования дх. Эти ряды легко вычисляются с использованием рекуррентного соотношения (9), если заметить, что коэффициенты ряда Мр при начальном значении ¡р находятся из решения указанного рекуррентного уравнения со следующими начальными условиями:

значений функций Fi и матрицу M

шрк = 1, если p = к, иначе шрк =0, к = 0,1, 2, 3 [10]. Учитывая такой факт, получаем ряды-коэффициенты в представлении (10)

Mp = yp/p! + ^ <vk/к!. (11)

k=4

Вводя в рассмотрение вектор-столбец F о = {/о, fi, ¡2, /з, /о, fi, fl, fi} начальных

Mío Mi M2 M3 0 0 0 0

0 0 0 0 M0 M1 M2 Mx

вектор F функций общего решения можно выразить так:

F = MF 0. (12)

Подстановка (12) в (3) и (5) позволяет представить перемещения и напряжения в упругой среде через начальные значения функций общего решения Fi (x, y) в символическом смысле, так как для получения окончательного представления компонентов НДС следует выполнить операции дифференцирования по переменной x, определенные через символ дх в рядах Mp, над начальными значениями fp, которые являются функциями «замороженной» переменной x.

Метод начальных функций. Начальные значения fp функций общего решения FFi (x, y) не имеют никакого механического смысла, однако их можно связать с начальными функциями [7], представляющими напряжения íX (x) и тХу (x) и перемещения Uo (x) и vo (x) на линии y = 0. Для этого сначала представим матрицы W и S с учетом структуры их элементов через произведение двух матриц: элементы первой не будут содержать символ операции дифференцирования ду, тогда как элементы второй будут составлены только из него.

Каждый элемент матрицы W может быть записан в виде скалярного произведения вектора-строки размерности три, элементы которого не содержат символа ду, на вектор-столбец {1,ду,д2}. Вводя в рассмотрение матрицу B с элементами Bij =

hj dX rem(j'X), i = l, 2, j = 1,...,6, где через rem (j, 3) обозначен остаток от деления j на 3, а bij зависят только от коэффициентов пропорциональности в законе Гука:

bll = b26 = #66, bi2 = 2#26, bix = H22, bi4 = Ьц = -Hi6, bi5 = Ьц = — (H12 + Нбб),

1 ду д2у 0 0 0 " 0 0 0 1 ду ду2

(T - символ транспонирования), матрица W записывается следующим образом:

bi6 = 623 = —#26, 624 = H11, 625 = 2Hi6 и матрицу DW =

W = BD W •

Аналогично можно представить и матрицу S = GDs как произведение матрицы G с коэффициентами Gij = gij dX-rem(j'4), i = 1, 2,3, j = 1,_,8, где через rem (j, 4) обозначен остаток от деления j на 4, g11 = g27 = g38 = —H16H26 + H12H66, gi2 = — gir/2 = -023 = —334 = —H16H22 + H12H26, — gi3 = gl8 = g24 = H22H66 — H26, gl4 = 321 = g28 = g35 = 0, 315 = g26 = 332/2 = —037 = H11H26 — H12Hi6, 316 = 333 = H11H22 — H12H66 — H2 + H16H26, g22 = H16H26 — H12H66, g25 = 331 = —g36 =

222 — H12H66 — H12 + H 16H26, 322 = H16H26 — H 12

1 ay 03 00 0 0

0 0 0 0 1 dy d2y d3 j

H11H66 — H26, и матрицы DS

Теперь компоненты векторов перемещений u и напряжений а через начальные значения функций Fi представятся как

u = BM wF 0, ( )

а = gm sf 0.

Здесь М^ = О^ ММ

Б ВМ

т в 0

w м 0

т в

т w 0

т в

0

т w

М0

ду Мо

д2М0

дЫо

mw =

М1_

ду М1

дМ

д3М1

М0 М1

ду Мо ду М1

ду2Мо

д2уМ-1

М2

дуМ2 ду2М2

Мз ду Мз

дуМз

М в

М2 М3

ду М2 ду Мз

д2М2 д2М3 д1М2 дуМз

Соотношения (13) выполняются в любой точке упругой области, в том числе на линии у = 0, на которой определены начальные функции. Чтобы вычислить компоненты НДС на указанной линии, достаточно рассчитать при у = 0 значения матриц Mw и Мв, так как только их компоненты зависят от переменной у. В силу вида (11) рядов Мр эти матрицы в точке у = 0 будут иметь значения

М w

у=о

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

Мп в

у=о

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Тогда вектор начальных функций и0 = {м0 (х), у0 (х), ^ (х), т°у (х)} представится через начальные значения функций Рг следующим образом:

и 0 = ТЕ 0

(14)

Ъцд1 Ъ12дх Ъ13 0 Ъ14д<х Ъ_14дх Ъ16 0

Ь21д1 Ъ22дх Ъ23 0 Ъ24дх Ъ25дх Ъ26 0

911дХ 912 д1 913 дх 914 915 д3 91бд 2 917 дх 918

921д1 922 д2 923 дх 924 925 д3 926 д 2 927 дх 928

где Т

Соотношения (14) можно рассматривать как систему линейных уравнений (в символическом смысле) для нахождения представления начальных значений /р, р = 0,..., 4, г = 1, 2, функций общего решения Рг через начальные функции. В этой системе из четырех уравнений содержится восемь неизвестных / р - начальных значений функций Рг. Для получения однозначного решения следует любые четыре из них выбрать в качестве параметров, назначив им значения, исходя из каких-либо соображений.

Анализ матрицы системы (14) приводит к единственному выбору в качестве параметров начальных значений /0", /I, /2 и /2, так как только в этом случае в выражение определителя матрицы системы (14) не будет входить символ дифференцирования по переменной х, а это необходимо, чтобы в решении системы данная операция не попала в знаменатель.

Итак, в качестве «рабочих» неизвестных выбираем /21, /3, /| и /3, а остальные параметры примем равными нулю: /0 = /I = /2 = /2 =0. Тогда система уравнений (14) будет иметь вид

Т 0 Е 0 = и 0,

здесь F0 = {ftJl f2, %}, T

bi3 0 bi6 0 623 0 626 0

313^ 314 317^ 318 323^ 324 327 328 Решая ее, получаем представление искомых начальных значений f1, f1, /|, f через начальные функции

F 0 = P 0U о,

где Р0 = д

ро ро

L21Q £ х

P31

ро -1/1

-F21 — —H16H22H66 — H16H26 + 2H12H26H66, Р2

д

ро

P12 ро

£22 q

P32

ро

Д

2

0 0

0 1 0 0

1 0

Pl°1 — H66, = H26, — H26, Р32 — H22,

22 — —2H16H22H26 + Hi2H226 + H12H22H66,

р^ — —2H16H22H26

2Hi2H|6 — H|6H66 + H22H66, Р42 — 2H12H22H26 — 2Hi6H|2 +

Н22Н26Н66 — Н36; Д — Н22Н66 — Я|6.

Для получения представления вектора начальных значений Ео через вектор начальных функций и о следует в матрицу Р о добавить по две нулевых строки перед ее первой и третьей строками (так как начальные значения /д — Д1 — /о2 — Д — 0)

PU о.

(15)

Здесь P

0, 0, P

(1) ñ(2)

0, 0, P

(3) ñ (4) ^

о о о ,А о |, через Р0г) обозначена г-я строка матрицы

I3о, а через 0 - нулевая вектор-строка размерности 4.

Подставляя (15) в (13), получим основное соотношение МНФ - выражение вектора НДС "О — {и (х, у), V (х, у), ау (х, у), тху (х, у), ах (х, у)} через вектор начальных функций "Оо в матрично-операторной форме

в котором матрица L — следующие компоненты:

3

BM WP GM SP

и — LU о,

называемая матрицей операторов МНФ, имеет

- 3г/- _ pü

Lij = ¿ Е [P?jdky-1M2 + ^-дпд^Мз) bikdl-k + k=i L v '

+ [р%дку-хм2 + i^a^fc-iMgj Iwdlrk

_ 4 Г/ _ pü ч

Lij = ¿ E {P¡jdky-1M2 + ^dxdk-iM3) gikdtk + k=11v '

T ■■ — -L

-Ьп — -т-

Т - -1

"и — ^Г

к Е hl2-31+кд3х-кдк-Ш3, k=1 4

Д Е 9i,i6-4j+kdx~kdy-1M3, k=i

1, 2,

3,4,

3,4, 5, j — 3,4.

1, 2,

1, 2,

3, 4, 5, j — 1, 2,

(16)

Из представления (16) видно, что элементы матрицы операторов МНФ Ь представляют собой степенные ряды по переменной у с коэффициентами, в выражения которых

о

k

входят упругие константы материала через коэффициенты пропорциональности Нчг, а также символ дх операции дифференцирования по переменной х:

ж

Ъэ = Е к Н^дх) ук,

к=0

что следует из представления (11) рядов М2, Мз в виде степенных рядов по переменной у.

Подобные формулы для операторов МНФ могут быть получены и в случае задания начальных функций на линии х = 0, если полностью повторить приведенный выше алгоритм вывода операторов МНФ с переменой местами компонентов ау и ах в векторе напряжений а и очевидными изменениями в записи закона Гука. При этом в представлениях операторов МНФ символы дифференцирования поменяются местами: дх перейдет в ду и наоборот - ду в дх. Ряды М2 и Мз перейдут в степенные ряды

ж

Мр = хр/р! + Е тркхк/к\, р = 2, 3,

к=4

коэффициенты тк которых получаются из решения рекуррентного соотношения (9), но со следующими коэффициентами:

П = НпНбб — Не,

= 2 (Н11Н26 — Н12Н\е) ду, П = (Н1 1Н22 + 2Н1 еН2е — 2Н1 2Нее — #12) д^, (17)

Пз = 2 (Н1еН22 — Н12Н26) д^, П = (Н22Нее — Н^е) ду.

Компоненты постоянных матриц Ро, В и (5 изменятся в соответствии с измененной матрицей в записи закона Гука и в результате использования в качестве символьной постоянной при построении общего решения по методу А. И. Лурье символа дифференцирования ду.

Корни характеристического уравнения. Видим, что основную роль в формировании вида операторов МНФ для двух случаев задания начальных функций (соответственно на линиях у = 0 и х = 0) играют степенные ряды М2, Мз, коэффициенты которых получаются из решения рекуррентных соотношений типа (9) с соответствующими начальными условиями

По/к+4 + А/к+з + П/к+2 + Пз/к+1 + Пу/к =0, к = 0,...ю, (18)

где Пр, р = 0,..., 4, может принимать значения либо (7), либо (17).

Если все коэффициенты этого уравнения постоянные, то, зная корни его характеристического уравнения

Во\4 + АА3 + В2\2 + Вз\ + Пу = 0, (19)

общее решение рекуррентного соотношения запишется в виде [11]

т

/к =Е АкРг (к), (20)

г=1

где Аг - корень характеристического уравнения кратности рг; Рг - многочлен степени рг — 1, коэффициенты которого определяются так, чтобы равенство (20) было

справедливо для первых четырех членов рассматриваемой последовательности,

т

Т.Рг =4.

¿=1

Если ввести переменную ¡л = Х/д, где оператор д = дх в случае, когда начальные функции заданы на линии у = 0, или д = ду, когда начальные функции заданы на линии х = 0, то уравнение (19) примет вид

с!о ¡4 + ¿1Ц3 + а^^2 + ¿¿л + ¿4 = 0, (21)

здесь коэффициенты !р (р = 0,..., 4) суть постоянные величины, которые соответственно для двух рассматриваемых случаев будут равняться либо !р, либо !р: !о =

(¿4 = #22#66 — #26, (¿1 = (¿3 = 2 (#16#22 — #12#26), (¿3 = <¿1 = 2 (#11#26 — #12#1б), ¿4 = (¿о = #11#66 — #16, <¿2 = <¿2 = #11 #22 + 2 (#16#26 — #12#66) — #12.

Деформации анизотропного тела в условиях плоской задачи теории упругости выражаются через напряжения таким образом:

£х = + Й12^у + в16Гху, £у = Оц^х + «22^у + а26Тху, Тху = 016<7х + ^26^у + 0,66Тху.

Коэффициенты арч являются компонентами обратной матрицы Низ обобщенного закона Гука (2) и имеют вид

(¿0 (¿1 (¿3 (¿4 #16#26 — #12 #66 а11 — Т? а16 — —7ГТ' а26 — —7ГТ' а22 — Т? а12 — -7-,

а 2а 2а а а

#11 #22 — #12 — 2 2 2

«66 = -у-, <1 = 2Д"16#12#26 — #16#22 — #12#66 + #11#22#66 — #11#26-

а

Используя это представление, коэффициенты уравнения (21) для случая начальных функций, заданных на линии у = 0, выразятся через упругие коэффициенты ам следующим образом: (¿о = ац(¿, (¿1 = —2а16^, ¿2 = 2ац + О66, (¿з = —2а2еА, (¿4 = 022(¿, а само уравнение запишется как

ацл4 — 2о16^3 + (2012 + 016) ¡2 — 2а26М + 022 = 0. (22)

В [6] показано, что это уравнение не может иметь вещественных корней.

Для случая начальных функций, заданных на линии х = 0, уравнение (21) через упругие коэффициенты а,м записывается так:

а22Л4 — 2а26Л3 + (2а12 + а16) ¡2 — 2а16Л + а11 = 0.

Выполняя в нем замену переменных ¡л = 1/5, приходим к уравнению (22) относительно новой переменной 5. Таким образом доказана

Теорема. Характеристическое уравнение (21) не может иметь вещественных корней.

Следовательно, корнями этого уравнения могут быть либо четыре неравных комплексных корня (¡1,2 = П1 ^ ¿71, ¡3,4 = П2 ^ ¿72), либо два комлексно-сопряженных корня каждый второй кратности (¡1,2 = П1 ^ ¿71).

В случае четырех неравных комплексных корней общее решение рекуррентного уравнения (18) будет иметь вид

¡к = (Сц1 + Сцк2 + + ) дк, к = 0,...,ю,

а в случае двух комлексно-сопряженных корней второй кратности

/2 = ((с + С2к) т2 + (Сз + С4к) М22) а2, Л = 0,...,

Коэффициенты и шр степенных рядов-операторов Мз и М2, Мз вычисляются с использованием полученных формул с произвольными коэффициентами С (г = 1,...,4), определяемыми из начальных условий ш2 = ш2 = 0, ш2

2 2з

ш2 = ш2 = 1, ш3 = ш2 = 0 для операторов М2, М2 и ш3 = ш3 = 0, ш\ ш3 = ш3 = 0, ш3 = ш3 = 1 для операторов М3, М3.

В случае четырех неравных комплексных корней произвольные постоянные определятся в следующем виде (верхний индекс соответствует номеру ряда-оператора):

С22 =

№ + № + М4

1 (м1 -мз)(м1

+ № + М4

С32 =

С13 =

С33

(т - м) (т - М2) (т - ^4) а2' 1

(т - М2) (т - т) (т - М4) а3' 1

(т - м) (т - М2) (т - ^4) а3'

С22 =

С4 = -

С23 =

С43

М + № + т

(№ - т1) (т - н ■ т3) (т -- М2 + Мз т) а2,

(М4 - м) (т - ^2) (т 1 - т) а2,

(№ - т1) (т - ■ М3) (т -1 т) а3,

(т - м) (т - М2) (т - т) а3'

М1 = М2, № = М4,

а в случае двух комплексно-сопряженных корней второй кратности они будут выглядеть так:

2 _ 3(/Х1 + /х2) „2

1 — 7 2

М + 2М2

(т - М2) а2

П2 _ 3(/Х1+/Х2)

°3 — -

С13 = -

С33=

(т - т) а2 2

С2

4

т (т - т) а2 2^1 + №

(т - М2)3 а3' 2

С3 =

С43 =

т (т - М2) а2 1

т (т - т )2 а3' 1

(т - т) а3 т (т - М2) а3

М1 = М2.

Таким образом ряды-операторы М2, М3 и М2, М3 могут быть представлены следующим образом:

Мр = ур/р! + ^ У2а2-Р/к!, Мр = хр/р! + ^ ш2х2 а£-р/ к!, р = 2,3, (23)

2=4

2=4

где шр = /2/ах, шр2 = /2/а2

Регулярность операторов МНФ. Для операторов дифференцирования, имеющих вид степенных рядов, важным свойством является регулярность.

Определение [12]. Оператор Ь = Е г, где а есть оператор дифференцирования

i=0

по какой-либо независимой переменной, называется регулярным, если числовой ряд

ж

I = Е aizi сходится во всей (конечной) плоскости комплексной переменной г.

i=0

Докажем, что операторы M2 и M3 регулярные. Рассмотрим в соответствии с определением регулярного оператора степенные ряды

ж

Mp = + E mpkykzk-plk!, p = 2, 3, (24)

k=4

и покажем, что они сходятся на всей (конечной) плоскости комплексной переменной z. В случае четырех неравных комплексных корней имеем оценку

\rnp \ = \Ср1Ик + Ok + Cp^k + Cpvk\ < < \ср\ ¡\ + \ср\ ¡\ + \С3р\ И\ + \СРр\Щ < 4Cmax(<aX,

Cmax = max (\ср\) , ¡max = max (¡j\) ,

j =1,..., 4 J j=1,...,4

и в соответствии с признаком Даламбера сходимости числовых рядов в предельной форме радиус сходимости рядов (21) R = ^тахЫ^ = ^ + 1 —> оо стремится

k!Mmax \y\ ¡max \y\ k

к бесконечности при любом конечном у.

При двух комплексно-сопряженных корнях второй кратности оценка коэффициента mk рядов (21) представляется в виде

\mp \ = \ (Cp + Cpk) ¡k + (cp + Cpk) ¡k \ <

< (\Cp \ + \Cp\ k) ¡i\k + (\Cp\ + \Cp \ k) ¡2t < (1 + k) Cmax^max,

fi к. (fc+l)ML.xb!fc(fe+l)! и их радиус сходимости стремится к бесконечности К = -- max u^ —fc+1 =

k! (k + 2) ¡max \y\

(fc+1)2 _ j-,—-Stn—-—i—г —> оо при любом конечном у.

(k + 2) ¡max \y\ k—ж

Из сходимости числовых рядов следует, что операторы M2 и M3 являются регулярными, а следовательно, в соответствии с доказанным в [12] регулярными операторами являются и их производные dqM2, дхМз, q = 1,...,l, так как очевидно, что производная любого конечного порядка l членов рядов M2 и M3 ограничена \dl (mpk /k!) /dyl \ ^ Np

для любого к и lim (трк /к\) /dyl \ = 0 при конечном у. Причем в этих рядах

k—

допускается почленное дифференцирование.

Аналогично доказывается регулярность операторов M2, M3 и их производных д% M2, д%M3, q = 1,...,l, при любом конечном l.

Операторы МНФ для случаев задания начальной линии y = 0 или x = 0 также регулярные, так как представляются в виде линейных комбинаций соответственно регулярных операторов M2, M3 или M2, M3 и их первых трех производных.

Сходимость степенных рядов. Если каждую начальную функцию задать в виде линейной комбинации тригонометрических функций синуса и косинуса одной переменной с одним и тем же аргументом, то все компоненты вектора НДС будут выражены в виде линейной комбинации этих же синуса и косинуса, в которой коэффициенты уже не будут постоянными величинами, но будут представлять собой в случае произвольной анизотропии степенные ряды по второй переменной как результат воздействия операторных рядов на тригонометрические функции [9].

Для использования тригонометрических функций синуса и косинуса в качестве начальных функций следует рассмотреть вопрос о сходимости степенных рядов, получаемых в результате воздействия операторного степенного ряда на тригонометрический синус или косинус.

В [12] доказана теорема о сходимости функционального ряда, представляющего результат воздействия регулярного степенного операторного ряда на бесконечно-дифференцируемую функцию f (x), заданную на некотором множестве ü и удовлетворяющую на нем следующим ограничениям:

|d£ f (x) J < B • Аг, x € ü, i = 0,...,<x), (25)

где A и B - положительные постоянные. Полученный функциональный ряд сходится в области ü.

Если начальные функции выражаются в виде линейной комбинации функций sin (ax) и cos (ax), то получаемые в результате воздействия на них операторов МНФ степенные ряды будут сходящимися в силу указанной теоремы, так как операторы МНФ суть регулярные операторы и на всей вещественной оси x € (-ж, выполняются неравенства |d£ sin (ax) | ^ \a\i и Jdlx cos (ax) | ^ \a\, соответствующие неравенствам (22), в которых B = 1, а A = a.

Заключение. В работе показана сходимость степенных рядов в решении плоской задачи теории упругости для тела с произвольной анизотропией при помощи МНФ. Этот факт подтверждается наличием замкнутых форм операторов МНФ для изотропии и ортотропии (частных случаев анизотропии) [3, 4], приводящих к гиперболо-тригонометрическим решениям со сходящимися на всей вещественной оси степенными рядами.

Литература

1. Малиев А. С. О выборе функций в общих решениях задачи равновесия изотропного упругого тела // Труды ЛЭТИИЖТа. М.: Трансжелдориздат, 1952. Вып. 4. С. 180-244.

2. Власов В. З., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. 491 с.

3. Власов В. В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. М.: Стройиздат, 1975. 223 с.

4. Елпатьевский А. Н., Зимаков Н. Н. Метод начальных функций в плоской задаче теории упругости для тела с прямолинейной ортотропией // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1973. № 1. С. 127-134.

5. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. Изд. 2-е. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1957. 464 с.

6. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. Изд. 2-е. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. 416 с.

7. Galileev S. M., Matrosov A. V. Method of initial functions in the computation of sandwich plates // International Applied Mechanics. 1995. Vol. 31, N 6. P. 413-500.

8. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1955. 491 с.

9. Матросов А. В. Численно-аналитическое решение граничной задачи деформирования линейно-упругого анизотропного прямоугольника // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 2. С. 55-65.

10. Galileev S. M., Matrosov A. V., Verizhenko V. E. Method of initial functions for layered and continuously inhomogeneous plates and shells // Mechanics of Composite Materials. 1995. Vol. 30, N 4. P. 313-415.

11. Чашкин А. В. Лекции по дискретной математике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2007. 260 с.

12. Агарев В. А. Метод начальных функций для двумерных краевых задач теории упругости. Киев: Изд-во АН УССР, 1963. 203 с.

Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем. Статья принята к печати 20 октября 2011 г.