CC BY
32
ВЕСТНИК ТГГПУ. 2011. №4(26)
УДК 519.6+539.3
ГИПЕРБОЛО-ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ОРТОТРОПНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ ОБЛАСТИ
© А.В.Матросов
Методом начальных функций (МНФ) построены для ортотропной прямоугольной области в декартовой системе координат два решения через гиперболо-тригонометрические функции. Каждое решение позволяет удовлетворить граничным условиям на двух противоположных гранях прямоугольной области. Приведены расчеты нагружения ортотропных прямоугольников распределенной нагрузкой по разным их граням.
Ключевые слова: метод начальных функций, плоская краевая задача, линейная теория упругости.
Введение
из уравнений в перемещениях. В этой же работе
Гиперболо-тригонометрическое решение на при выборе вектора начальных функций в виде
основе метода начальных функций (МНФ) легко получается при наличии замкнутой формы операторов метода, под которой подразумевается их представление в виде комбинации элементарных или специальных функций. Однако такой их вид может быть получен в случае ортотропного или изотропного материала прямоугольной области [1; 2; 3; 4; 5]. При воздействии операторов замкнутой формы на тригонометрические функции представления начальных функций решение для плоской задачи теории упругости получается в виде комбинации гиперболо-тригонометричес-ких функций.
Гиперболо-тригонометрические решения В работе [5] операторы МНФ для ортотропной прямоугольной области (0, к )х(0, а) в декартовой системе координат Оху получены в замкнутом виде на основе алгоритма построения общего решения задачи линейной теории упругости, исходя
Uo _ U0,m _
{h
s,m h і s,m h i s,m h i s,m h
, Cm , h2 sm , h3, sm , V Cm
} ( his
про-
0 _ 0
извольные константы, chm = cos ( amx),
5 m V m f 5
shm = sin (amx) , am = шл/h) построено гиперболотригонометрическое решение вида
?s,m —s,} xy ’ x
)T~s,m h t~s,m h 7S,m h t~s,m h t~s,m h )
Cm ,L2 Sm , L3 Sm ,L4 Cm ,L5 Smf ,
(1)
U U s ,m {^s ,m ^s ,m —s ,m -^s ,m —s ,m } _
“s ,m h j~s ,m h T~s,m h j~s ,m h j~s ,m h m ,L2 sm , L3 sm ,L4 Cm ,L5 Sm.
_ 4
Zs,m \_ ' rs,mj s,m / • і с \ T-
i _^Lip hp (z _ 1,...,5), а величины L
s,m
ip
p_1
представляют собой коэффициенты при получаемых тригонометрических функциях как результат воздействия операторов Ьір на тригонометрическую функцию в представлении р -ой начальной функции в векторе начальных функций и0
js,m . j0 :
Lsm _ _н66[(Hi2 + «2H22)ch(aamy)+(-Hi2 -a\H22)ch(a2amy)]/(d)
^ _-L-4 _H66 [«2 ( H12 -a12H22 ) sh (ay )+«l (H12 +a22H22 ) sh (2)]/(««)
^ _ -24m _ -((12 +H66 ) («1«лУ) “ch (««У ]^(«md)
L4m _[a2 (-H66 +ai2H22 ) sh (iamy )+«l (H66 -a22H22 ) sh ((^У )]/(«i«2«md ) jL2im _H66 [«2 (H11 +«i2H12 ) sh (iamy)+«l (-Hll -a2Hu ) sh (««щУ)]/(«1М)
% _ftm _[(Hi,H66 + Hi, -HiiH,, + «H22H№)ch(««у^
+(-Hi,H66 - Hi22 + H11H22 a^H22H66 )ch (««„у)]/(d)
^ _[«2 (-Hll +«l2H66 ) sh («І«ЛУ)+«l (Hll -«22H66 ) sh (a2amy )
LL3lm _H66 (HllH 22 -Hl22 )[ch («iamy)-ch (a2amy )]«/(d)
t s,m _____
L32 _
a
(H2H66 + « ( 2H12H22H66 - HllH222 + HI2H22 ) + «X22H66 ) Sh («„У ) +
+ai ( Hi2H66 +a2 ( 2Hl2H22H66 + HllH22 Hl2H22 ) a2H22H66 ) sh (a2amy )\am/ (aia2d )
L4? _ H 66 [a2 ( Hll +ai22 Hl2 +ai4 H 22 ) Sh (aiamy ) +
+a (-Hn -a222Hl2 -a24H22)h(a2amy)]am/(ala2d)
_ H66 (Hl2 - HllH22 )^ai2ch (alamy)-a22ch (a2amy)^am/(d)
L,m _((H11H12H66 + ((-H11H12H22 + Hi2H66 + Hi, + H11H22H66) +
+ai Hi2H22H66 )Sh (aiamy) + «І (-HllHl2H66 +«2 (HllHl2H22 - Hl2H66 - Hl2 - HllH22H66 ) -
-a24Hi2H22H66 ) Sh (a2amy )] «m j(«2d)
^ _ H66 [(Hll +ai2Hl2 ) ch («У)+(-Hll -a22Hl2 ) ch (a2amy)]/(d)
L^T _[a, (HiiH 66 +a2 (-H11H22 + H12H66 + н,2)) Sh (aiamy) +
+a ^-HiiH66 + a2 (HllH22 - Hl2H66 - Hl2 )) sh (a2amy) I)aia2d ) .
В формулах (2) используются величины Ex Ey
H _Gl9, Hl2 _ —(v +v v |_— (v +v v
66 12 5 12 77- \ yx yz zx J j_r у — • —
a_
1 "V
2d4 _
"t-----=r , a, _
*4 , d _^/d22 - 4d0d.
66 12 5 **1^77- У yx '' yz' zx f JT \ ' xy ' ' xz' zy)
4 ’ H _ l - v„,v,„ - v,,v - W - 2v,W .
— 66 12 ' l^rr \yx yz zx r TT
2d4 - Гг, ГТТ" H H
d, + d ' xy' yx ’ yz’ zy ' xz' zx ' xy' yz' zx
^0 H22H66 , d2 HllH22 2Hl2H66 Hl2 ’
2
2 Решение (l)-(2) получено при задании началь-
ный функций на начальной линии у _ 0 . Приме-d. _ HXlH66, а коэффициенты Hpq суть коэффи- г,п _
4 11 66 pq няя алгоритм из [5], можно получить гиперболо-
циенты пропорциональности в обобщенном за- тригонометрический вид и для решения МНФ при
коне Гука для плоской задачи линейной теории задании начальных функций на линии x _ 0 .
упругости Выбирая представление начальных функций
0 S , (З) TT TTs,n ( „s,n a „s,n a „s,n a „s ,n a)
, ч в виде U0 _ U0, _{gl,sn , g, Cn , gз, sn , g 4, n }
где о _{—y,t ,—x }- вектор-столбец напряжений, a
v (g/ произвольные константы, cn _ cos (pny),
S _K,Sy,Y) - вектор-столбец деформаций, s:_ Sin(eny), pn _ nn/a ), вектор компонентов
напряженно-деформированного состояния в со. Для плоской деформации ответствии с основным соотношением МНФ будет получен в виде
Tjs,n (=s,n =s,n =s,n =s,n =s,n I
_ U , _{U , , V , ,— J[ , ,Txy’ ,— ,y, }_
H
Hl2 H 22 H 26
Hi6 H,6 H66
Hii Hi2 Hi6
ненулевые коэффициенты пропорциональности в (3) через технические модули упругости выразят- _ ^Ls,nsa Ls,nca Ls,п,,° Ls,nca Ls,пг°\
_ Лп , L2 Сп , Лп , L4 Сп ,^п( ,
(4)
E E
ся в виде [6] Hn _---------x---, H22 _------y---, _ _ _
’ ■■ ■■ 1 где Ls,n _^L?;g;n (i _l,...,5), а величины Lp
1 - кху% 1- ^ где Ц" = Xїї*?:; (і = 1,^,5 ), а величины 1%
ЕхУух ЕуУу р=1
Н66 = ^2, Н12 =------------------------------= = --, а в слу- представляют собой коэффициенты при получае-
1 — V V 1 — V V ,
ху ух ху ух мых тригонометрических функциях в результатах
чае плоского напряженного состояния они будут - у
¥ ^ ^ воздействия операторов —р на тригонометриче-
равны Н11 _—х(1 -уу2у2у), Н22 _—у(1 -ух1ух), скую функцию в представлении р -ой началы Н Н
функции в векторе начальных функций и0,п:
А7 _^ _[(-нпН22 + ( + Н12Н66 +^12нпНбб)() +
/ - ч м Н=\ (5)
+(НцН22 -( -Н12Н66 -а2нпНбб))]/()
ЗЗ
Ц” =—ЦзИ =Н66 [«2 (Н22 +а12 Н12 ) («1^„х)+«1 (-#22 —«22Я12 ) ) (а^Д^) )
А3 = [а2 (— Н22 +а1Н66 )Ь )(Х1впх)+а1 ((22 — а2Н66 )Ь )а2впх(РпРЦ* 2і )
АТ =-ЗзИ =((12 +#66 ) ((Дх)—сЬ )(2рпх)\1в)
121 = _134 = Н66 [а2 (_Н12 — а1 Н11 )Ь (1 Д,х) +а1 (Н12 + ^2 Н11 )Ь (2Д,х)\|(^1^2і )
^22И = ^44” = #66 [(#12 +а2яп )сЬ (вх)+(—#12 — а2Нп ) (2в„х)]|)
^ =[«2 (— Н 66 +«12 Н11 ) ((Д^ )+«1 ( 66 —«22 Н11 ) (2Р„х )]/(ДД[| і)
її = [*2 (н2Н66 +(12 (2Н11Н12Н66 + НцН2 — Н1Н22 ) + ^14Н2Н66 )Дх) +
^ (— НН +а2 (— 2Н11Н12Н66 — НцН2 + Н2Н22 )— ^24Н2Н66 ) 8Ь (2вях)^вУ (ОД) ІІй = —41 =Н66 (Н11Н22 —Н2 ) (Дх)-сЬ (адхДд/ (і)
142 = Н26 [а (Н22 + а22 Н12 +а4Н11 )вЬ (Дх) +
+«1 (—Н22 — «2 2Н12 — «24Н11 ) )\ Д,/ (а1)
51й =[а (Н12Н22Н66 +а2 (Н11Н22Н66 + Н2Н66 + Н132 — Н11Н12Н22) +
+ а1 Н11Н12Н66 ) (а1вих ) + а1 (—Н12Н22Н66 +а2 (—Н11Н22Н66 — Н12Н66 — Н12 + Н11Н12Н22 )"
—«24Н11Н12Н66 )(«2Дх)\Д„/(«1«21)
^^52” = Н66 (Н122 — Н11Н 22 )[«12сЬ (ЭДх ) —«22сЬ ^(2$пх )\в(|)
ї^53И = Н66 [(Н22 + «!Н12 ) (1вих)+(— Н22 — «22Н12 ) сЬ (2 Дх)]|(1)
5й =[^2 (Н 22 Н 66 +а2 (— Н11Н22 + Н12Н66 — Н2 )) 8Ь (ВДх) +
+а1 (—Н22Н66 + <( (Н11Н22 — Н12Н66 — Н12 ))®Ь (а2вих1 )•
В
формулах (5)
21
формации. В варианте 1 отношение сторон ^а _ 2, на грани у _ 0 нормальная нагрузка
21,
Л
(х) = д0 віп
^0 = Н11Н 66 ,
гаюс
(га - положительное це-
^2 = Н11Н22 2 Н12Н 66 Н12 , |4 = Н22Н 66 •
лое), в варианте 2 отношение сторон = 1/2,
на грани х = 0 нормальная нагрузка
й^у
(и - положительное це-
Заметим, что гиперболо-тригонометрическое Стх (у)_ #0 ^
решение (4)-(5) полностью совпадает с решением [4], полученным также методом начальных лое). На нижних гранях у _ а и х _к вариантов функций, но на основе смешанных уравнений 1 и 2 напряжения отсутствуют. Расчет выполнял-
теории упругости.
ся для углеволокнита с высокомодульными угле-
Вычислительные эксперименты. На рис.1, родными волокнами, являющегося ортотропным
2 приведены графики напряжений для прямо- материал°м с° следующими физико-механи-
угольных областей с размерами к х а вдоль осей ческими характеристиками Ех = 220ГПа ,
Ох и Оу , находящихся в условиях плоской де- Е = 6 9ГПа G = 5ГПа у = 0 25
^ у ’ ’ ху ’ ху ’ ■
тху Ех и Оху различаются в 44 раза, что и приводит
к существенно нелинейному характеру изменения указанных напряжений по толщине прямоугольной области.
Заключение
Построенные два гиперболо-тригонометри-ческие решения позволяют выполнять расчет ор-тотропной прямоугольной области при нагрузке на гранях х = 0, к или у = 0, а . Приведенные расчеты для материала с большой степенью анизотропии показывают различие в изгибе прямоугольной области в двух перпендикулярных направлениях.
Ш = 1
т = 3
т = 5
п = 1
п = 3 п = 5
б ...................
Рис.1. Безразмерные касательные напряжения rxyjq0
в сечении x = 0 варианта 1 (а) и в сечении у = 0 варианта 2 (б).
Обратим внимание на существенное отличие в характере графиков напряжений для двух рассчитанных вариантов. Во втором варианте графики напряжений практически аналогичны соответствующим графикам для изотропного тела: параболическое изменение касательного напряжения и линейное изменение изгибного напряжения при нагрузке <7° (у) = q0 sin ^ ПУ j в случае
n = 1. Этот факт можно объяснить тем, что изгиб происходит в направлении оси Оу и при этом модули упругости Еу и Gxy практически равны
между собой. Тогда как в варианте 1 изгиб происходит в направлении Ox , и модули упругости
1 го ' 1 I-1 1 2
" ■■ II
кЩ
/\
Рис.2. Изгибные безразмерные напряжения 7x/q0 в сечении x = к/ 2 варианта 1 (а) и 7y/q0 в сечении у = а/ 2 варианта 2 (б).
а
а
б
1. Власов В.В. Метод начальных функций в плоской задаче теории упругости // Изв. вузов: Строительство и архитектура. - 1956. - №2. - С.97-111.
2. Власов В. В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. - М.: Стройиздат, 1975. - 223 с.
3. Власов В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом
основании. - М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1960. - 6.
491 с.
4. Елпатьевский А.Н., Зимаков Н.Н. Метод начальных функций в плоской задаче теории упругости для тела с прямолинейной ортотропией // Изв. АН СССР. МТТ. - 1973. - №1. - С.127-134.
5. Матросов А.В. Замкнутая форма операторов метода начальных функций для плоской задачи теории упругости ортотропного тела // Вест. ТГГПУ. - 2010. - №4(22). - С.56-62.
Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука, 1977. - 416 с.
HYPERBOLIC-TRIGONOMETRIC SOLUTIONS FOR AN ORTHOTROPIC LINEAR ELASTIC RECTANGULAR DOMAIN
A.V.Matrosov
Two solutions for an orthotropic rectangular domain in the cartesian coordinate system are built on the basis of the method of initial functions (MIF). Each solution may be used to satisfy boundary conditions on two opposite edges of the rectangular domain. The calculations of the loading uniformly distributed on different edges of the orthotropic rectangular domain are presented.
Key words: method of initial functions, plane boundary-value problem, linear-elasticity theory.
Матросов Александр Васильевич - кандидат технических наук, доцент кафедры информационных систем Санкт-Петербургского государственного университета.
E-mail: [email protected]
Поступила в редакцию 21.11.2011
