CC BY
12
ЕСТЕСТВЕННОМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 539.3 Рябенков Н.Г.
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Предлагается форма асимптотического алгоритма, которая позволяет строить не только приближенные, но и точные решения системы уравнений плоской теории упругости. Каждому точному решению можно корректно поставить в соответствие номер асимптотического приближения, т.е. упорядочить эти решения.
Ключевые слова: теория упругости, точные решения, асимптотический метод.
1. Исходная система уравнений плоской задачи теории упругости. Рассмотрим декартову систему координат о, х,у,2. Выделим плоскость о, х, ~ и в ней прямоугольник (х,г) е / 2Л/ х / 2/г/, в котором будем решать задачу теории упругости, предполагая, что длина прямоугольника значительно больше его высоты, т.е. 2Ь»2/г. Далее при построении асимптотического алгоритма это позволит величину И принять в качестве малого параметра.
Введем следующие обозначения. Модуль упругости обозначим Е , коэффициент Пуассона V, модуль сдвига С = Е/[2(1 +у)]. Операторы производных будут
д д 2 д2 ~а д2 ^к ^ъ 2 ~а
X ^ 2 ^ XX 'Л 2 ^ 22 ^ 2 ^ X 1 к ^ XX 22
ох ог дх дг ах
Запишем систему уравнений теории упругости для плоского напряженного состояния упругого твердого тела. Имеем два уравнения равновесия
5хОя + агт„=0, (1)
^2С2 +ЗхТХ2 = 0, (2)
три соотношения закона Гука
Едхи = ъх-™2, Едгм/ = аг-\ах,
(3)
(4)
<3(дги + дхм>) = т:
(5)
Здесь компоненты перемещения произвольной точки (ком-
поненту сбудем называть прогибом), сх,а2,тх2 - нормальные и касательные напряжения. Кроме этого, используем выражение угла поворота малого элемента
Заменив соответствующим образом [2] параметры упругости, систему соотношений (1-7) можно использовать и для плоского деформированного состояния упругого тела.
2. Преобразование исходной системы уравнений. Исходную систему уравнений удобно преобразовать к виду, в котором все неизвестные функции выражены через угол поворота малого элемента б)у
и прогиб w. Проинтегрировав (6) по 2, имеем
(6)
и уравнение неразрывности деформаций [1] в виде
у2О* + сгг) = 0-
(7)
2
(8)
0
Из (5) получим
=2О(С0у+дхМ?).
(9)
Проинтегрировав (2), имеем
~ 20 \д* К + дхм>ук.
0
Из (3) находим нормальные напряжения
2
СГХ - Шхи0 + У(Т20 + 2в |[(2 + у)дхсоу + д^мгук. (11)
0
В полученных формулах функции г/0,бт20, появляющиеся при интегрировании, зависят только от х . Подстановкой в исходную систему уравнений нетрудно определить, что в точных решениях и{) - линейная
функция, <тг0 - константа.
После исключения напряжений из уравнения неразрывности деформаций (7) его запишем в виде
2
=о.
0
Продифференцировав это соотношение по г и проинтегрировав по х ^ получим уравнение Пуассона У2 со - Р(г) . Здесь произвольная
функция 1<'(г) порождает частное решение со = со (г), которое, как станет ясно из дальнейшего, не связано с прогибом w . Пренебрегая далее
этим решением получаем разрешающее уравнение для угла поворота
У2еоу=0. (12)
Итак, угол поворота малого элемента - гармоническая функция. Продифференцировав соотношение (4) по Г , запишем его в следующей форме:
У2м? + (1 + у)дха>у - 0. (13)
Таким образом, получили систему уравнений (12), (13) для определения угла поворота и прогиба. Остальные неизвестные найдем из соотношений (8)-(11). Все уравнения исходной системы (1)-(7) будут
выполнены, уравнение равновесия (1) при этом выполнено тождественно.
3. Асимптотический алгоритм. Плоская задача теории упругости сведена к решению системы уравнений (12),(13). Для реализации асимптотического метода в этих уравнениях совершим замену переменной г — кд. Получим
д2ддсоу=-И2д2ххсоу, д2ддм; = -Ь2\д2ххм; + (\ + у)дхюу\ (14)
Учитывая опыт построения асимптотических разложений [3; 4] будем предполагать, что все неизвестные функции асимптотически равноправны и, следовательно, разлагаются в асимптотические ряды одинаковой формы. Итак, выбирая в качестве малого параметра величину И, полагаем
2п-\ 2п-\
®у = Е ™= Е /г2мЛ (15)
5=1,3 5=1,3
Здесь п - номер асимптотического приближения. Подставим эти ряды в уравнения (14), приведем подобные члены и приравняем нулю коэффициенты при одинаковых степенях И . В результате для определения коэффициентов асимптотического разложения со",м?* получим следующую систему уравнений:
д2у = -с5>*-2 -(1 + у)дхсох~2, я = 1,3,...,2л -1.
Проинтегрировав эти соотношения дважды по д, получим
о'=/:+рк- Я э>-ч’.
О О
=/; +Рк-))[д1м--2 +(1 + у)е,«,-2]с1Г,* = 13....2/7-1. (16)
о о
Здесь ,Р*Х,Л,Р1 ~произвольные функции координаты X. Ве-
личины с отрицательным верхним индексом следует положить равными нулю.
Формулы (16) представляют собой рекуррентный процесс последовательного выражения коэффициентов асимптотического разложения а5,м>5 через функции Гх,Р*х,/1 ,р\- Совершив эту процедуру ряды (15) можем записать в следующей форме:
к к-1
2п-2 у -к 2п-к-\ 2п-\ ~к 2п-к
= Х<-1) ТТ< IЬ"1-1/; + Х<-1) X
к=0,2 5=1,3 £=1,3 5=1,3
к
2п-2 у -к 2п-к-\
Е(-!) ТГ Е к+к-2Ш: +(1+у)-акх-11\■;]+
к=0,2 к! ^=1,3 2
Аг-1
2и-1 -у ~к 2п-к ь.__1
+ 1>1) тгЁ им[4:'р1 + (\ + у)—ы'-'-р’Л (17)
*=1,з л! х=1>3 2
Здесь предполагается, что 0! = 1 и с1х - единичный оператор.
4. Построение точных решений. Формулами (17) дано приближенное решение системы уравнений (14). В них функции /х , р°х, //, р\
, необходимые для удовлетворения граничным условиям, пока произвольны.
Преобразуем соотношения (17). Заменим в них д на г/к и введем новые функции
В результате получим
к к-1
2п-2 Т _к 2и-к-1 2п-\ 9 2к-к
, = І*'1* ТГ<* І Л“ + І*'1» ТГ^"11 Л“.
*=1 ^ Ь=1 Ъ К -
к=0,2 Л1 5=1,3 Аг=1,3 Л1 5=1,3
к
2п-2 Т £ 2и-к-1 К
»■= 1(->) тг Е к‘л’'+о+>о|</г/;']+
к=0,2 к! 5=1,3 2
к-1
2и-1 9 2я-£ _1
+ Е<-!) ТгЕ [<_1Л'+0 + >')^</Гл']- (18)
*=1,з «=1,з ^
Для построения точного решения системы уравнений плоской
теории упругости необходимо точно удовлетворить системе уравнений (12), (13). Подставим в нее выражения (18), приведем подобные члены и приравняем нулю коэффициенты при всех степенях координаты 2 . В результате получим четыре независимые системы дифференциальных уравнений для последовательного определения вида функций
!х , Р х , /г , Рг . Имеем
г* Я 1П-8 Ап—Я г*6- $-2п-1 Г 2 n-.li 2 п-э
/х =(Рх >Рх =¥х =——0- + У)\<Рх <Ь + <р] ,
2
^=^—(1+у)Угах+уу2г,8 = \х..,2п-1.
2
Здесь (рк,(рк2,у/к,ц/к2 — полиномы координаты Xстепени к с постоянными коэффициентами. Коэффициенты полиномов произвольны. Итак, точное решение уравнений (12), (13) принимает следующий
вид:
к к-1 Т _к 2п-к-\ 2п-\ ^ _к 2п-к
у = Е(-!) тг^ I <рТ + 2>1) ТГ^1 Е У'" '• к\ Й^з к\ ^
£=0,2 Л! 5=1,3 £=1,3 Л! 5=1,3
к
2п-2 2 2к2п_к-1 к + 8-2П-\
"■= Ё(->) 77 £ й‘[К"+(! + >')---г-----
к=0,2 к! 5=1,3
£-1
2п-\ ~^Г £ 2к-£ ^ с__О77_О
+ £(-'> ТгЕ <*Г[0'Г*+(1 + >')---------------г------/к';""*]- (19)
*=1,з л! х=1>3 2
4. О классификации моделей деформирования. Отличительной особенностью построенных здесь полиномиальных решений плоской задачи теории упругости является их асимптотическая упорядоченность. Это означает, что каждому построенному здесь решению в отличие от известных (см.[1]) можно корректно поставить в соответствие номер асимптотического приближения. Такая нумерация позволяет классифицировать модели расчета балок, стержней, модели цилиндрического изгиба пластин и прочие модели деформирования упругих тел, соответствующие их плосконапряженному или плоскодеформирован-ному состоянию.
В нулевом приближении, когда все функции сркх,(рк2, Ц/кх,Ц/\ равны
нулю, имеем и - и(), и’ = 0, тх2 = О, <т2 = сгг0, <тх - Еёхы0 + У(т2().
В точном варианте функции интегрирования принимают вид
Ev
и0 - ах х + а(), crz0 =- ах, (а(), ах -const).
1-У
Таким образом, в нулевом приближении имеем только модель равномерного растяжения прямоугольной тонкой пластины в двух направлениях.
В первом приближении, полагая по очереди отличными от нуля четыре полинома первой степени ^х,^2,ц/\,ц/\, соответственно восьми коэффициентам этих полиномов получим восемь элементарных моделей деформирования объектов. Коэффициентам полинома ср\ соответствует модель равномерного сдвига прямоугольника и модель изгиба балки торцевыми моментами при наличии поверхностной нормальной и касательной нагрузки. Аналогично порождают модели и другие полиномы. В частности, если только коэффициент при нулевой степени
£■>
полинома у/г отличен от нуля, т.е. y/z =c(=const) и и0=—X , то по-
V
лучим модель равномерного растяжения стержня торцевым усилием F , учитывающую поперечное сужение. Имеем
n Е У Т7
и = un,w - cz. г = а =0 а =---------с, с -------г.
U 7 7 XZ 2 ' X ~ т~ту
у ES
Здесь S - площадь сечения стержня.
Модели второго асимптотического приближения содержат четыре полинома первой степени (р1х,(р\,цс\,цс\ и четыре полинома третьей степени <р1,<р*,1//1,ц/*. При п = 2 формулы (19) принимают вид
2 3
= £+<£+*№ +vl)--d2x<pl--dlwl
Г 72
3 /1 , .Л \ , Л,.3и„ z гл2„3 /1 , .лл1„3п
w = <р\ + ср] - (1 ■+ у) \(<р1 + 2(pi )dx -—\d2x<p] - (1 + v)d\(pl ] +
+^+^_(u,o^+2^)A]4KV’-a-KV;’L (г»)
Они содержат 20 произвольных констант, каждой из которых соответствует элементарная модель деформирования объекта. Общий случай представляет собой суперпозицию напряженно-деформированных состояний, соответствующих каждой элементарной модели.
В качестве примера точной модели второго приближения можно рассмотреть модель чистого изгиба стержня моментами М , приложенными на его торцах. Пусть г/У, = сх, (pi = ^сх2 (с - const) и остальные полиномы тождественно равны нулю. Тогда формулы (20) принимают вид
С / 2 2 \
G),=CX,W =-(X +VZ ).
у 2
Из соотношений (8)-(11) находим остальные параметры деформирования. Получим
и = xzc, тХ2 - (7_ - 0, (7 . - Ecz.
Здесь С---------7.
2Ек
С увеличением числа п на единицу в моделях добавляются четыре полинома от х, степень которых возрастает на 2. При этом также возрастает на два максимальная степень координаты 2 .
Источники
1. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука . 1979. 560 с.
2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1966. С.93.
3. Рябенков Н.Г, Файзуллина Р.Ф. Асимптотический метод в теории деформирования плоского упругого тела // МТТ. 2005. №3. С.53-59.
4. Рябенков Н.Г., Файзуллина Р.Ф. О единой асимптотической природе методов решения задач теории упругости для плит и пластин // ПММ. Т.70. №3. 2006. С.440-448.
1. Timoshenko S.P., Gud'er Dj. Teoriya uprugosti. M.: Nauka . 1979. 560 s.
2. Mushelishvili N.I. Nekotory'e osnovny'e zadachi matematicheskoy teorii uprugosti. M.: Nauka. 1966. S.93.
3. Ryabenkov N.G., Fayzullina R.F. Asimptoticheskiy metod v teorii deformirovaniya ploskogo uprugogo tela // MTT. 2005. №3. S.53-59.
4. Ryabenkov N.G., Fayzullina R.F. O edinoy asimptoticheskoy prirode metodov resheniya zadach teorii uprugosti dlya plit i plastin // PMM. T.70. №3. 2006. S.440-448.
Зарегистрирована 16.11.2012.
