CC BY
9
Вестник КГЭУ, 2017, № 1 (33) УДК 517.95
ОДИН ВАРИАНТ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Н.Г. Рябенков, Е.М. Степанова
Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, Россия
Резюме. В статье рассмотрен вопрос построения аналитического решения системы дифференциальных уравнений, которая описывает напряженно-деформированное состояние твердого тела, находящегося под действием внешней нагрузки. В случае, когда область, в которой определяется решение, имеет в осях 0Х, 0у форму прямоугольника, а по оси 0Z ограничена плоскостями z= +h, для решения задачи выбран метод асимптотического интегрирования, при котором искомые функции разлагаются в ряды по степеням h. Особенностью предложенного метода является предположение об асимптотической равноправности всех искомых функций. Это приводит к разделению алгоритма по признаку четности степенных рядов на два независимых рекуррентных процесса. В статье использован только один из них.
Для иллюстрации возможностей предложенного метода построена математическая модель деформирования балки с упругим покрытием. Реализовано только первое асимптотическое приближение.
Ключевые слова: асимптотический метод, дифференциальное уравнение, математическая модель.
ONE VARIANT OF ASYMPTOTIC EXPENSION OF SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS IN PARTIAL DERIVATIVES
N.G. Ryabenkov, E.M. Stepanova
Kazan State Power Engineering University, Kazan, Russia
Abstract In paper the problem of construction of an analytical solution of system of differential equations which describes the is intense-deformed condition of the rigid body which is under the influence of exterior loading is considered. In a case when the area in which the solution is defined, has the rectangle form in axes 0X, 0y and on an axis 0Z it is limited by planes z= +h, , for a problem solution the method of asymptotic integration at which required functions decay in rows on degrees h is chosen. A singularity of the offered method is the supposition about asymptotic равноправности all required functions. It leads to separation of algorithm on the basis ofparity of ascending power series on two independent recurrent processes. In paper one of them is used only.
For a case history of possibilities of the offered method, the mathematical model of deformation of a beam with an elastic covering is constructed. The first asymptotic approach is realised only. Keywords: an asymptotic method, differential equations, mathematical model.
1. Введение. Рассмотрим прямоугольную область декартова пространства размером 2L х Ь х 2h и параметризуем ее декартовой системой координат OXyz . Имеем следующую
систему линейных дифференциальных уравнений [1]:
18
дх ду dz dz дх ду гди ^dw
E— = <tx-v(<t +<гг\ Е— = az-v(a + ах), (1.1)
дх dz
„,ди dw. =G(— + —X
dz дх да у дт^ дту2 dv
= °> = +0-Л
ду дх dz ду
rdv ди. dw
,— + —), ryz=G(— + — дх ду dz ду
UU. f^íVV <JW
^ = G(— + —I = + —У (1-2)
Здесь Е, v,G- const. В частном случае, когда решение системы (1.1) не меняется в направлении оси Оу, уравнения (1.1) приводят к соотношениям [2]
5^ + ^ = 0 д(Тz i дт" =0
дх dz dz dx
~ди „dw dw.
E— = a -ver E— = a,-vax,rx2 =G(— + —). (1.3)
/—i X Z 7 Z X 7 XZ V /—i /-v / v s
dx dz dz dx
Уравнения (1.2) несут дополнительную информацию. Ее можно использовать для оценки погрешности применения уравнений (1.3) при решении конкретной задачи.
2. Асимптотический алгоритм. Известны разные варианты асимптотических разложений систем линейных дифференциальных уравнений [3-10]. Основной особенностью представленного далее асимптотического алгоритма является предположение об асимптотическом равноправии искомых функций. При решении исходной системы уравнений это предположение приводит к разделению асимптотического процесса по признаку четности степени малого параметра на два независимых [3]. Здесь используем только первый из них.
Будем считать, что толщина области, в которой определяется решение, значительно меньше ее длины, т.е. 2h{{2L. Поэтому при построении асимптотического алгоритма в качестве малого параметра примем величину h . Полагаем
5=1,3 5=1,3 5=1,3
п п
Введем новую переменную £ — z\h. Подставим асимптотические ряды в уравнения (1.3) и совершим обычную процедуру асимптотического метода [2-6]. В
s=1.3
s=1.3
результате для определения коэффициентов асимптотического разложения получим следующую систему уравнений:
с><2 дт' п да* дт' п
_X__|__XZ_ _ Q _Z_ _j__XZ_ _ Q
dx dg dg dx
г s s ^ ^ s-2 s-2
= e-= < -v<rx >
X 2 J Z X 7
dx dg
s ^,dus dw\
- + —-). (2.2) dg dx
Здесь s = 1,3,... .
Асимптотический алгоритм позволяет не только решить систему уравнений (1.3), но и строго классифицировать полученные решения. Далее рассмотрим модели деформирования пластин строго соответствующие первому асимптотическому приближению. В уравнениях (2.2) полагаем S =/7 = 1. Тогда решение уравнений (1.3) принимает следующий вид:
г z .f, df3. /3 f, z df, u= -(—-—), w = —, т =—, <7 = L---—,
«^4 7 v 7 x ? 7 ? XZ 7 ' Z j 2 77'
h G dx h h h dx
^ + + v) f--E^M. (2.3)
dx n dx dx
В соотношениях (2.3) —функции только координаты х. Определяя их
соответствующим образом, можно удовлетворить различным граничным условиям.
3. Построение математических моделей. В качестве примера использования асимптотического алгоритма построим математическую модель деформирования пластины с покрытием в условиях цилиндрического изгиба. Полагаем, что два упругих слоя, которые можно рассматривать как достаточно тонкие пластины, контактируют по некоторой плоскости без проскальзывания. Одну из них, для определенности верхнюю, будем считать тонким упругим покрытием. Все параметры, к ней относящиеся, будем отмечать индексом «2». Нижнюю пластину будем считать основным носителем внешней нагрузки. Параметры, относящиеся к ней, пометим индексом «1». Таким образом, Е1,Е2— модули упругости, 2/-?, ,2/г2 — толщины пластин, щ, и2 — тангенциальные перемещения, И',, И'2 — прогибы и т.д.
Пластины параметризуем системами координат о1ху1г1 и о2ху2г2. При этом координаты Л', = Л"2 = х меняются в пределах от — Л до Л , координата г, от — до /?, , координата г2 от — /г2 до /?2 . Координаты у1 = у2 = у меняются в пределах О, Ъ .
В формулах (2.3) полагаем = /2 = 0. С учетом введенных обозначений эти формулы принимают следующий вид:
„ Ли.
и, = Щ, ~ ——, Щ. = М?01, СТ., = Л
7 ' i 0 г ' XI i 7 '
ах ах
= тХ21 = О, / = 1,2.
(3.1)
При иагружении нижняя пластина и слой покрытия деформируются без проскальзывания. Поэтому на плоскости контакта г, = /-?,, г2 = —И2 следует выполнить условия непрерывности тангенциальных перемещений и прогиба. Имеем
ск\Мх _ , С^ 2
и01~/г1 Г" = и02 + "2 ах
, , ^01=^02-ах
Обозначим г/02 = и, И'02 = \у . Тогда перемещения слоев выразим через две новые неизвестные функции
щ=и + {И1+к2-гх) — ,и2=и-г2—, ах ах
М!х=М!2=Ъ1. (3.2)
4. Разрешающие уравнения и граничные условия. Формулами (3.1), (3.2) деформированное состояние соединения выражено через две пока неопределенные функции 11, . Их будем искать из принципа минимума потенциальной энергии. Запишем
вариацию потенциальной энергии деформации
ь ъ К ^^ К ^^
<5П = | | ах1—А<к1 + | ах2 \Jydx.
-Ь О -и
-К,
дх
Введем усилия и моменты в слоях
Т, = кА = 2/гК^ + (/71+/72)^(2- /)), ах ах
-к
-ь
сЬс2
(4.1)
Используя алгоритм интегрирования по частям с учетом (3.1), (3.2), вариацию потенциальной энергии запишем в следующей форме:
^ \ ах ах
с!х с!х
+ Ь
(Т1+Т2)ал + [(к1+к2)Т, -М,-М2]
сЬс
сЫ1
ь
-ь
-ъ
т+ю
d'l\ сМх dM2
dx dx
dx
]Sw
L
Отметим звездочкой значения вариаций искомых функций на торцах пластин, а также значения внешних усилий и моментов, приложенных на торцах. Полагаем, что на слой покрытия действует нормальная распределенная нагрузка интенсивности (/. Тогда вариацию работы внешних воздействий представим в виде
SA = | qSwbdx
+
+ Ъ
{Т* + Т2)ёb* +|(/7, +h2)T* -М[ -М*2]
dSw
dx
-b
, , dl * dM* dA4 * , , [{J\ +h2) —f------j2- |t5w
dx
dx
dx
Теперь из соотношения STL = SA, приводя подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при независимых вариациях искомых функций, получаем разрешающие уравнения и граничные условия для решения поставленной задачи.
Для определения двух неизвестных функций имеем два уравнения
сП\ сП\ =() dx dx
(h+K) , 2
ax
dx
'M, d2M0 —--^ = 4-
dx
Используем выражения (4.1) для усилий и моментов и после некоторых преобразований эти уравнения запишем в виде
d w
dx1
■ = ос-
d3 w dx3
, P
d \я
dx4
= q-
(4.2)
Здесь
a = -
Ех1\{1\ +h2) Exhx + E2h2
f3 = 2Elhl{hl+h2){a + hl+h2) + -(Erf + E2h32).
Разрешающая система уравнений (4.2) имеет шестой порядок. Поэтому для нее следует записать шесть граничных условий. Из принципа минимума потенциальной энергии можно записать два вида условий. Кинематические граничные условия принимают вид:
x = ±L: u = u,w = w
б/w dw*
dx dx
Статические граничные условия можно записать в следующей форме:
л: = ±Ь : Тх +Т2 = Т* + Т*,
, ¿//; шл „ 7 dт* dм*. <зм*
—----- = (\+к2)—— -- --
dx dx dx dx dx dx
Таким образом, на торцах пластин должны быть заданы либо значения перемещений, либо значения усилий и моментов, либо смешанные граничные условия.
5. Реализации построенной модели. Рассмотрим пластину с упругим покрытием, жестко защемленную по торцам, когда на слой покрытия действует нормальная поверхностная нагрузка интенсивности qQ . Если q0 = const решение системы уравнений
(4.2) принимает вид
6/3 24/3 12/3
Остальные неизвестные функции определяются из соотношений (3.1), (3.2), (4.1). Пусть внешняя поверхностная нагрузка изменяется по синусоидальному закону
£/, = Лsin[-(л* — Л)]. Для сравнения результатов расчета будем считать, что нагрузка
1 п
ql статически эквивалентна постоянной нагрузке. Тогда А — — £/0 — .
Удовлетворив условиям жесткого защемления торцов, получим следующие выражения искомых функций:
Z3 ж Z2
и = 8 —— ay cos [-(х — Z)] — 8 —— ссух,
ж ILL ж
Z4 ж /2
w = 16—rsin[—-(jc-Z)]-4 — ух1 +4 у — , ж ZL ж ж
аж
Здесь v = —.
2 р
Согласно приведенным решениям нормальные напряжения в пластине и покрытии по длине соединения меняют знак. Сравнивая два рассмотренных случая нагружения, отметим, что при переменной нагрузке напряжения в покрытии несколько выше, чем при равномерном поверхностном нагружении.
6. Заключение. Предложенный вариант асимптотического разложения системы линейных дифференциальных уравнений позволяет не только строить математические модели решения задач механики деформированного твердого тела, но и классифицировать эти модели согласно порядку их асимптотической реализации. При наличии весьма малого параметра с учетом быстрой сходимости асимптотического процесса во многих задачах можно использовать модели, соответствующие только первому приближению.
Литература
1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М. Наука. 1966. 707 с.
2. Тимошенко С.П., Гудьер Дж.. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 575 с.
3. Рябенков Н.Г., Файзуллина Р.Ф. О единой асимптотической природе методов решения задач теории упругости для плит и пластин // ПММ. Т.70. № 3. 2006. С. 440-448.
4. Ryabenkov N.G.. Polyharmonic functions in structures of exact solutions of elastic theory. Russian mathematics. Vol. 57, № 7. 2013. P. 39-44.
5. Аголовян JI.A.. Асимптотическая теория анизотропных пластин. М.: Наука. 1997. 414 с.
6. Александров В.М. Асимптотическое решение контактной задачи для тонкого упругого слоя. ПММ. 1969. Т. ЗЗ.Вып. 1.С. 61-73.
7. Вазов В. Асимптотическое разложение решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1964.464 с.
8. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотическое разложение сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука. 1973. 272 с.
9. Виленская Т.В., Ворович И.И.. Асимптотическое поведение решения задачи теории упругости для сферической оболочки малой толщины. ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 2. С. 278-296.
10. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. УМН. 1957. Вып. 5. С. 3-122.
References
1. Muskhelishvili N.I. Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoi teorii uprugosti. M. Nauka. 1966. 707 p.
2. Timoshenko S.P., Gud'erDzh.. Teoriya uprugosti. M.: Nauka, 1975. 575 p.
3. Ryabenkov N.G., Faizullina R.F. О edinoi asimptoticheskoi prirode metodov resheniya zadach teorii uprugosti dlya plit i plastin // PMM. T.70. no. 3. 2006. PP. 440-448.
4. Ryabenkov N.G.. Polyharmonic functions in structures of exact solutions of elastic theory. Russian mathematics. Vol. 57, no. 7. 2013. PP. 39-44.
5. Agolovyan L.A.. Asimptoticheskaya teoriya anizotropnykh plastin. M.: Nauka. 1997. 414 p.
6. Aleksandrov V.M. Asimptoticheskoe reshenie kontaktnoi zadachi dlya tonkogo uprugogo sloya. PMM. 1969. T. 33.Vyp. 1. PP. 61-73.
7. Vazov V. Asimptoticheskoe razlozhenie reshenii obyknovennykh dilferentsiarnykh uravnenii. M.: Mir. 1964.464 p.
8. Vasil'eva A.B., Butuzov V.F. Asimptoticheskoe razlozhenie singulyarno vozmushchennykh uravnenii. M.: Nauka. 1973. 272 p.
9. Vilenskaya T.V., Vorovich I.I.. Asimptoticheskoe povedenie resheniya zadachi teorii uprugosti dlya sfericheskoi obolochki maloi tolshchiny. PMM. 1966. T. 30. Vyp. 2.PP. 278-296.
10. Vishik M.I., Lyusternik L.A. Regulyarnoe vyrozhdenie i pogranichnyi sloi lineinykh differentsial'nykh uravnenii s malym parametrom. UMN. 1957. Vyp. 5. PP. 3-122.
Авторы публикации
Рябенков Николай Георгиевич — доктор физ.-мат. наук, доцент Степанова Екатерина .Михайловна — старший преподаватель
Authors of the publication
Nikolai G. Ryabenkov — Doc. Sci. Ekaterina M. Stepanova
Дата поступления 16.10.2016.
