Анализ осесимметричной задачи теории упругости для неоднородной трансверсально-изотропной конической оболочки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

АНАЛИЗ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

© 2015 г. Н.К. Ахмедов, М.Ф. Мехтиев, Г.Н. Шахвердиева

Ахмедов Натик Каракиши-оглы - доктор математических наук, профессор, кафедра математических методов прикладного анализа, факультет прикладной математики и кибернетики, Бакинский государственный университет, ул. З. Халилова, 23, г. Баку, AZ-1073/1, Азербайджанская Республика, е-mail: ana-tiq@gmail.com

Мехтиев Магомед Фарман-оглы - доктор физикоматематических наук, профессор, академик, Институт математики и механики НАН Азербайджана, ул. Б. Вахабзаде, 9, г. Баку, AZ-1141, Азербайджанская Республика, е-mail: mehtiev_magomed@mail.ru

Шахвердиева Гюльназ Нариман-кызы - преподаватель, кафедра математики и информатики, Бакинский славянский университет, ул. С. Рагимова, 145, г. Баку, AZ-1141, Азербайджанская Республика, е-mail: bgnq@mail.ru

Akhmedov Natik Karakishi-ogly - Doctor of Mathematical Science, Professor, Department of Mathematical Methods of Applied Analysis, Faculty of Applied Mathematics and Cybernetics, Baku State University, Z. Khalilov St., 23, Baku, AZ-1073/1, Azerbaijan, е-mail: ana-

tiq@gmail.com

Mekhtiev Magomed Farman-ogly - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Academician, Institute of Mathematics and Mechanics of NAS ofAzerbaijan, B. Vakhabzade St., 9, Baku, AZ-1141, Azerbaijan, е-mail: mehtiev_magomed@mail. ru

Shakhverdieva Gyulnaz Nariman-kyzy - Lecturer, Department of Mathematics and Informatics, Baku Slavonic University, S. Rahimov St., 145, Baku, AZ-1141, Azerbaijan, е-mail: bgnq@mail.ru

Методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости изучается осесимметричная задача теории упругости для неоднородной трансверсально-изотропной конической оболочки. Построены неоднородные и однородные решения. Изучено поведение решения полученных краевых задач как во внутренней части оболочки, так и около ее краев. Раскрыты особенности напряженно-деформированного состояния неоднородной трансверсальноизотропной конической оболочки переменной толщины.

Ключевые слова: неоднородные решения, однородные решения, краевой эффект, пограничный слой, анизотропия, асимптотический метод.

By the method of asymptotic integration of elasticity theory equations, an axisymmetric problem of elasticity theory for an inhomogeneous transversally-isotropic conic shell is studied. Inhomogeneous and homogeneous solutions are constructed. Behavior of the solution of the obtained boundary value problems both in the internal part of the shell and near its edges is studied. The peculiarities of the stress-strain state of a variable thickness inhomogeneous transversally-isotropic conic shell are revealed.

Keywords: inhomogeneous solutions, homogeneous solutions, edge effect, boundary layer, anisotropy, asymptotic method.

В [1] асимптотическим методом исследованы осесимметричные задачи теории упругости для конической оболочки. В [2, 3] построена асимптотическая теория неоднородной конической оболочки переменной толщины. В [4] разработана общая теория трансверсально-изотропной конической оболочки переменной толщины. Решение трехмер-

ных задач для анизотропных конических оболочек связано с дополнительными трудностями, обусловленными значительным увеличением числа параметров, описывающих оболочку. В отличие от изотропных конических оболочек здесь появляются новые группы решений, которые характерны только для анизотропных конических оболочек.

0 b..

М = 44

Ь12 0

Рассмотрим осесимметричную задачу теории упругости для неоднородной трансверсальноизотропной конической оболочки переменной толщины, которая представляет собой тело с двумя коническими и двумя сферическими границами. В поверхностях, достаточно гладкие функции, отно-сферической системе координат г,е,ф область, сительно £ имеют порядок O (1).

, т±(р)=(h ±(р); / +-(р))т.

Нагрузки h (р), /+(р), заданные на боковых

занятую конической оболочкой, обозначим через

Г = jr є [—;—], 0є[^;^],фє[О;2^]}.

Уравнения равновесия в перемещениях имеют вид

(L0 +sd1L1+s2d2lL2)u = 0 , (1)

где Lk - матричные дифференциальные операторы вида

Lo =

д(Ь44д) + 2ff2 (b12 “ b22 “ b23 ) + ^(b12 b22 b23 )д +

+ffb44ctg (0o +є7)д + ^ (b12 “ b23 “ b44 “ b22 )ctg (в0 + V - Є (b44 )

Єд((Ь22 + Ь23 )) + 244д д (Ь22д) +Sd(b23ctg (Уо + Є7)) - 2£2b44 + (b22 “ b23 ) X X єctg(во + Є7)д -(І22 -І23 )є2 ctg2 (b + £7)

Рассмотрим построение частных решений уравнений (1), удовлетворяющих граничным условиям (2), т.е. неоднородных решений.

Предполагая, что величина є достаточно мала, а нагрузка, заданная на конических границах относительно є , имеет порядок O (1), неоднородные решения будем искать в виде

u = є-' (Uo +su, +....) ,

ui =(upi>иві)r> і = 0,1,2>... (3)

Подстановка (3) в (1), (2) приводит к системе, последовательное интегрирование которой дает соотношения для коэффициентов разложения (3)

V0

=e1 (р)=

= Є2 (р) ,

L =

2єіп д (Ь44 ) + Ь12д + є (b44 + Ь12 ) ctg (в0 + є7) L = b11 0

д (Ь12 ) + Ь44д 2єІ44 ? -^2 0 Ь44

я д д 2 2 д2 ( \т

д=7д =рТр’ д'=рр u (ир, ^

Здесь и , ие - компоненты вектора перемещений; 7 = -

77 h

“І ІТdx 'рєі(р) -j

ир1 =(o + 1) (e2 (р) “ ре'г (р)) + e3 (р),

7 b

ивІ = “ j i3 dx ■ e2 (р) ctgeo “

-1 b22

(b22 + b23 )

в —, р = — - новые безразмерные пе-

-1 b22 где

b

1 b22

ременные; є = -

2

малый параметр, характе-

ризующий толщину конической оболочки;

угол раствора срединной поверхности

п _в1 + в2 во

2

конуса; 7є[-і;і]; рє[р;і]; в є(^0; .

Предполагаем, что модули упругости b = b (7)

являются произвольными кусочно-непрерывными функциями переменной 7, значения которой могут

меняться в пределах одного порядка. Такую оболочку будем называть слабонеоднородной [5].

Пусть на боковых поверхностях конической оболочки заданы граничные условия

а = МиІ7=±! = т ±(р). (2)

Т 1

Здесь а = (&рв,&т) , M = — (Mo +єд1М1),

(Po - bn0)) [ре"(р) + 2e1 (р)] + (mo + to)

dx ■ Є1 (р)+ Є4 (р) , (4)

Є1 (р) ^

+ Ctg0o

e'2 (р) to +(mo +10)

р Є2 (р)

р

= h (р), (5)

Є2 (р) m0 Ct8°0 “ toPe^(р) + т0Є1 (р) = рf (р) &в0

J- ь2 * , г (b = j І 7 d7; m = j 2 - in) * 7 d7,

j b j -1 ^22 -1 b22

1 І ii__ - І. 1 1

Г V 23 ^22/ k 1 = j ' b ’7d 7, -1 b22 ij] = j iij7d7 , -1

Єр

Mo =

b 44д -єІ 44

(b22 + Ь23 )є І2 д + є^-ftg (в + є7)

f (р) = f + (р)- f ~ (р), h (р) = h+ (р)- h (р). Однородным решением назовем всякое решение уравнений (1), удовлетворяющее условию отсутствия напряжений на боковых поверхностях.

Построим однородное решение. Положим в (2) т±(р) = 0 . Отыскивая решения полученных однородных систем в виде u(р,т) = р 2w(7),

w (7) = ( a; c )т, приходим к несамосопряженной за-

є

—

2

<

даче со спектральным параметром z

L0 +s(z-°I(Ll-sL2)+s2 fz-°1 L2

b..

w = 0,

M0 + є\z--IMl |w|7=±1 = 0 при v = ±1.

(6)

x( m0 +10 )-1 ] + О [є1)} .

w = - i-( m +10 )+є^е{

p

+m,

v ь

(m0 +10 )• I — dx + m0 (v +1) +

-1 b22

v

J

(b12 Ь23)

b

1 u22

dx

о (є2U,

где

= I (bbb+bbd f|(bbLlbbb) dx 0 J h J h

dv,

V-1 22

\

d = J (bbb + bb3) I J b'2 (bb3 bb2) dx

-1 b 22 V-1 b 22

db J"

d3 =^

- b2 1 ^22,

b 22 u,

’22 )ff b23

і b22

dv,

-dx

dv,

dv.

2

2 = -T ctS 4

P

^pp = ctS°0

m0 + toXb + O (є)

. g0 .

(8)

2 =— ctg$0 [m0Xb -hX1 + O(є)] ,

p

= -є ctg00

m0 JXb (x) dx - t0 Jx (x) dx + O (є)

b12 b11b22

_ b22 b23 b12 (b23 b22)

X1 , , X2

b

b

22 22 Решения, соответствующие второму итерационному процессу, будем отыскивать в виде

1/1 Л

a = є2

a20 + є2 a2i +.

При є —— 0 для решения (6) воспользуемся асимптотическим методом, основанным на трех итерационных процессах [6]. Однородные решения, соответствующие первому итерационному процессу, можно получить из (4), (5), если в них положить т± (р) = 0 :

u(° = — |moctg0o + є [-2v (m0 + t0 ) + m1 + 2/ + (7)

+ctg 2e0 (m0 (d2 - d + d -1 - m)+10 (d - d))x

c = c20 +є2 c21 +., z = є 2 (а0+є<а +.) (9)

Подставляя (9) в (6), после некоторых преобра-

зовании получим

1

V 4

«ЧР,j

1 4

= | -1 ZBjupj, 42)=p~bZj

(2) ej ■

(10)

где

1

+є2

upb = {- (v+1)2 (b1(10} - P0) q + qj +

1 Г l

+є 2 [(v +1) («0j (b1(i0) - P0 ) (m0 + 2t0 ) ctge0 -« (bo(l0) - P0)Oj !n p)+«uqj !np] + O(є)}exP!npj, Ue = {«0j (b1(i0) - P0 ) Oj +

I «02j (P1 + P0 - b1(11) - b1(° ’ ) - ^ m0 + 110 1 ct1e0 +

+«0j«1 jOj !np] (b1(i0) - P0) + O(є)|ехР

Oj = «0j } + bU ) - P1 - P0 ) + t0ctge0 .

ln p

Этим решениям соответствуют собственные значения z„ = —.

Для определения a0j получаем биквадратное уравнение

(P0Pb - P0b1(12) - Pbb1(i0) + b1(i0)b1(12) -(b1(11) - P1) )«04j +

+bctge0 (t1 bn ] - t1P0 - t0b1(1) + t0P1 )a0j +

+ (m0 (b1(10) - P0 ) -102 ) ctg4 = 0 .

Напряжения Г^относительно є имеют

Напряжения, соответствующие решениям (7), имеют вид

v v

m0 JXb (x) dx -10 J X1 (x) dx + O (є)

порядок О (1), Г2] - порядок О (є), а a(b] - О

( \\ є

V ,

Решения (6), соответствующие третьему итерационному процессу, отыскиваем в виде

a = є (a30 + є a31 +.), c = є (c30 + є c31 +.) ,

z = є-1 (Д + єД +..) . (11)

После подстановки (11) в (6) для первых членов разложения получаем спектральную задачу, описывающую потенциальное решение трансверсальноизотропной плиты, неоднородной по толщине [7]

L(Д)w0 ={/0 (Д)w0;t(Д0)wo|v=±1= 0}= 0, (12)

<

u

0j

22

1 (Л ) L00 + Р0Ао + Р0 L2 ,

t (р0 ) — Моо + роМ1, W0 — (Я30, С30 )

д(ь44д) о

0 д(Ь22 д)

0 д(Ь44) + Ьпд

д(Ь12) + Ь44д 0

L00

Ао

M 00

Ь44д 0

0 Ь22 д

При помощи замены a30 — Р02 g0 fg1 f,

t t

c30 — -Р-3 (g0f") + P-1g2f' + Р-1 (glf) спектральная

задача (12) сводится к следующей:

Ы") -РІ Ы) + gbT + fef')

f'\ — о, Р f\ — о,

J Ш—± 1 ’ |„—+1 ?

+ро4/ — о,

(13)

к

Ь12 Ь11Ь2

' , g2 Ь44 , g3

Ь,,

Ь12 Ь11Ь2:

Система (13) является обобщением спектральной задачи П.Ф. Папковича на неоднородный трансверсально-изотропный случай [8, 9].

Решения, соответствующие третьему итерационному процессу, имеют вид

1 ю

u{p(p;v) — ep 2XDkх

k—1

хрg0fk" -gb/* + O(є)]exP

1 ю

u{e)(p;v) — sp 2XD*х

Р (g„f;) +Ро-^.А'+Ро-к1 (gJk) + о (є)

^ + Р1* I ln p|,

х exp І І Рр^ + Р1* I ln p I.

(14)

Общее решение (6) будет суперпозицией решений (7), (10), (14), соответствующих вышеприведенным итерационным процессам

(1) . (2) (3) (1) (2) (3)

и — и 1 + и ' + и ', и„ — иу + иа ’ + иа’ .

p p p p ~ Є Є Є Є

Определяем характер построенных однородных решений. Перемещения представим в виде

ю ____

.(p!)—u(p](p^)+XEkpl 2ak(л),

k—1

ю z -1

,(p,v)—4]M+XEkpl 2ck(л).

(15)

Во второе слагаемое включены перемещения, определяемые вторым и третьим итерационными

<

k—1

х

и

и

k—1

процессами. Для напряжений имеем

ю _3

°pp —a(p1p+XEkp 2Qk (л),

k—1

ю

°pe—°{p>e+X Ek p 2 Tk (л) .

31

k—1

(16)

Qk (л) — ^zk -1 j^Pk (л) +

+Ь12 ||k |) ctg(e0 +1 + Ik |) + 11" (л)j ,

Tk (л) — Ь44 ^1 a" (л) + |Zk - 3 j ck (l)j .

Изучаем связь однородных решений с величиной главного вектора Р напряжений, действующих в сечении p — const. Отметим, что

1

Р — lnpLe\ (&pp cos(e0 +єл)-Оpe sm(e0 +єл))x

-1

x sin (ва+єл) л. (17)

Подставляя (16) в (17), окончательно получаем Р — 2лвЛю0, (18)

где со0 — (m0р0 - т0Ьо +102) cos2 Є0 + О (є).

Таким образом, напряженное состояние, соответствующее второму и третьему итерационным процессам, является самоуравновешенным в каждом сечении p — const .

Решение (7), соответствующее первому итерационному процессу, определяет внутреннее напряженно-деформированное состояние конической оболочки. Первые члены его разложения по є определяют безмоментное напряженное состояние. Решение (10) имеет характер краевого эффекта. Главные части изгибающего момента и перерезывающей силы определяют решение соответствующего второго итерационного процесса. Первые члены разложения по є решения (10) в совокупности с первыми членами (7) можно рассматривать как решения по прикладной теории оболочек. Решения (14) имеют характер пограничного слоя. Первые члены (14) эквивалентны краевому эффекту Сен-Венана неоднородной трансверсальноизотропной плиты. Для мнимых Рм погранслойное

решение затухает весьма слабо. В этом случае напряженно-деформированное состояние трансверсально-изотропной и изотропной оболочек качественно отличается. Когда Рм — действительные или комплексные, общая картина напряженно-деформированного состояния в качественном отношении аналогична соответствующей картине для изотропных неоднородных конических оболочек [2], и они различаются скоростью затухания погранслоев Сен-Венана.

Пусть на сферической части границы оболочки заданы граничные условия

°рр U = = №, \р=л = S s, (s = 1; 2) (19)

где fu (v), f2s (rj)(s = 1,2) - достаточно гладкие

функции, удовлетворяющие условиям равновесия.

Как было показано, несамоуравновешенную часть нагрузки (19) можно снять при помощи проникающего решения (7), и связь постоянной А с величиной главного вектора Р дается равенством (18). Решение отыскиваем в виде (15). Для определения констант E на основании вариационного принципа Лагранжа получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений:

да

X FjkEk = Aj (j = 1,2,...), (20)

k=1

где

7-. ( Zk + Z. , Zk + z. \

Fjk =(P1k 1+p2 J)X 1

x j (Qk (v)aj (v) + Tk (v)cj (7))sin(0O + sv)dv ,

-1

2 z +3 1

A = XpT 2 j(r (v) aj (v) + 72s (v)cj (v))sin(6*0 + sv)dv ■.

r (v) = fls (v)-

mn

Pp

As

go

+ toX2 + O (s)

Ctgdo

Г2s (v)= f2s (v)+ — Ctg6o x PS

v v

-mo j z2dx + to j Z,dx + O(s)

-1 -1 _

Система (20) всегда разрешима при физических осмысленных условиях, наложенных на правую часть [4]. Используя малость параметра s , построим асимптотические решения системы (20).

( 1 Л

Учитывая, что a(2 - O (1), = O

, уточ-

s2

V J

ним предположения относительно внешней нагрузки. Допустим, что fls = O (1) .

На основе (10), (14)

B, {а

1 --- 4 ( / \

jap6dv = s2р 2XBj {о (bno) -Po)4ja

-1 j=l *•

ao2j (bn°’ - bU ] - Po + P2 ) + (to - t1) ctg6o

+а1/] (Po -P1 -bu + b1)) + O| s2 I \exp

a.

-j In P

Vs .

. (21)

Касательные напряжения, заданные на сферических частях границы, представим в виде

f = f(1) + f(2) fW = If f dv f(2і = f - f(1 і

J2s J 2s ' J2s ? J 2 s ~jZ 2s^'( ’ J 2s Jls J 2s •

На основании (21) получаем, что f2J = O Таким образом,

( \\ s

V J

( 1 Л

fs = O (1), f2(s1)= O s2 , f2s> = O (1) .

(22)

V J

Неизвестные постоянные Bj, Dk отыскиваем в

виде

Bj = Bjo +s2 Bjl + , 1 = Dko +eDki +. (23)

После подстановки (23) в (20) с учетом (22) по-

лучаем

4

X mjkBjo = к, (k=м),

j=1

да

XgD = К, (k = 1,2,...),

(24)

(25)

где

aojao2k (b1(io) - Po )(Po + P1 -b1(io) -2 2

+aokao2j (b1(1o)- Po ) P2 jWj +

+aokalj (b1(1o) - Po )(Po - P1 - b1(io) + 2 2 -

:(bno)- Po ) P j£k£j X ЄХР

(ao k +ao j )

Ге

ln ps

К = Xpf j[r(s0) (v)[ao2k?k (Po- b1(i>)) (v+1)+£ ] + /]] (v)>

s=1 -1

Xaok£k (bno) - Po )] dv eXP ^ap іП Ps ^ 5

< (P2 + 2?1 + Po -b1112) --b11io)) -(to +11)Ctg6o , P2 j = ao2j (b1io' - bU ] - Po + P2 ) + (to - t1 ) Ctg6o ,

g*n = j {-aof [Ok'g^/k"- gb/k ] +

T1j =

+ f'

ao-k1 (g1fk) + aokg2f - ak (goS)

dv x

X exp

((

(aon +aok )

A A

ln Ps

К =XPs32eXP | I 001 + a1k ln Ps

1

j {г10) (v) [aok2gof"-g1fk ] + f2s (v) x 1

' f f

-aok (gofk ) +aokg2fk + aok (g1fk )

dv

r1so) (v) = fu (v)^Ar

Ps

— + toZ2 So

ctg0o .

n=1

s=1

2

X

В [9, 10] была доказана разрешимость и сходимость метода редукции для системы (25).

Определение BJp, D (Р = 1,2,...) неизменно сво-

дится к обращению одних и тех же матриц, которые совпадают с матрицами системы (24), (25).

л

Замечание. При 0О = у срединная поверхность

конической оболочки вырождается в плоскость, и л

случай с=— соответствует неоднородной плите

переменной толщины [3, 4]. Этот случай вырождения особый и требует отдельного исследования.

Проведем расчет показателя изменяемости краевого эффекта для кадмия (Сф при неоднородности

V V V

вида ьп (v)= v2, b22 (v)= к22е2, bu (v)= кпе2,

b23 (v) = k22e2 со следующими параметрами [11]:

kn = 5,13-1011н/м2, k12 = 4,42-1011 н/м2, k22 = 12,1-Ю11 н/м2, k23 = 4,81-1011 н/м2.

Из рисунка видно, что с уменьшением угла раствора срединной поверхности и толщины оболочки показатель изменяемости краевого эффекта возрастает (увеличивается скоростью затухания краевого эффекта). По сравнению с однородным трансверсально-изотропным конусом в неоднородном показатель изменяемости краевого эффекта увеличивается. Это означает, что для неоднородных конических оболочек краевой эффект затухает быстрее, чем в однородных конических оболочках.

---однородный материал оболочки;

б

неоднородный материал оболочки

Зависимости показателей изменяемости краевого эффекта

Я

от угла конусности срединной поверхности (90 при: а - е=0,01; б - е=0,001

0

0

0

0

а

Литература

1. Мехтиев М.Ф., Устинов Ю.А. Асимптотическое исследование решения задачи теории упругости для полого конуса // Прикладная математика и механика. 1971. Т. 35, № 6. С. 1108 - 1115.

2. Ахмедов Н.К., Мехтиев М.Ф. Анализ трехмерной задачи теории упругости для неоднородного усеченного полого конуса // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57, № 5. С. 113 - 119.

3. Ахмедов Н.К., Мехтиев М.Ф. Осесимметричная задача теории упругости для неоднородной плиты переменной толщины // Прикладная математика и механика. 1995. Т. 59, № 3. С. 518 - 523.

4. Мехтиев М.Ф. Метод однородных решений в анизотропной теории оболочек. Баку, 2009. 334 с.

5. Ахмедов Н.К., Устинов Ю.А. Некоторые задачи теории упругости для сильно неоднородных слоистых пластин и оболочек // Актуальные аспекты физикомеханических исследований. Механика. Киев, 2007. С. 48 - 61.

6. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27, № 4. С. 593 - 608.

7. Ахмедов Н.К., Акперова С.Б. Асимптотический анализ трехмерной задачи теории упругости для ра-

диально-неоднородного трансверсально-изотропного полого цилиндра // Механика твердого тела. 2011. № 4. С. 170 - 180.

8. Ворович И.И., Кадомцев И.Г., Устинов Ю.А. К теории неоднородных по толщине плит // Механика твердого тела. 1975. № 3. С. 119 - 129.

9. Устинов Ю.А. Математическая теория поперечно-неоднородных плит. Ростов н/Д., 2006. 257 с.

10. Устинов Ю.А., Юдович В.И. О полноте системы элементарных решений бигармонического уравнения в полуполосе // Прикладная математика и механика. 1973. Т. 37, № 4. С. 706 - 714.

11. Хантингтон Г. Упругие постоянные кристаллов // Успехи физ. наук. 1961. Вып. 3, № 74. С. 461 -520.

References

1. Mekhtiev M.F., Ustinov Yu.A. Asimptoticheskoe issledovanie resheniya zadachi teorii uprugosti dlya pologo konusa [Asymptotic analysis of the solution of the elasticity problem for a hollow cone]. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1971, vol. 35, no 6, pp. 1108-1115.

2. Akhmedov N.K., Mekhtiev M.F. Analiz trekhmer-noi zadachi teorii uprugosti dlya neodnorodnogo use-chennogo pologo konusa [Analysis of the three-dimensional problem of elasticity theory for an inhomogeneous truncated hollow cone]. Prikladnaya matematika i mekha-nika, 1993, vol. 57, no 5, pp. 113-119.

3. Akhmedov N.K., Mekhtiev M.F. Osesimmet-richnaya zadacha teorii uprugosti dlya neodnorodnoi plity peremennoi tolshchiny [Axisymmetric task of elasticity theory for an inhomogeneous plates of variable thickness]. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1995, vol. 59, no 3, pp. 518-523.

4. Mekhtiev M.F. Metod odnorodnykh reshenii v ani-zotropnoi teorii obolochek [The method of homogeneous

solutions in the theory of anisotropic shells]. Baku, 2009, 334 р.

5. Akhmedov N.K., Ustinov Yu.A. [Some problems in the theory of elasticity for a strongly inhomogeneous layered plates and shells]. Aktual'nye aspekty fiziko-me-khanicheskikh issledovanii. Mekhanika [Actual aspects of the physical and mechanical studies. Mechanics]. Kiev, 2007, pp. 48-61.

6. Gol'denveizer A.L. Postroenie priblizhennoi teorii obolochek pri pomoshchi asimptoticheskogo integriro-vaniya uravnenii teorii uprugosti [An approximate theory of shells by means of asymptotic integration of the equations of the theory of elasticity]. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1963, vol. 27, no 4, pp. 593-608.

7. Akhmedov N.K., Akperova S.B. Asimptoticheskii analiz trekhmernoi zadachi teorii uprugosti dlya radial'no-neodnorodnogo transversal'no-izotropnogo pologo tsilin-dra [The asymptotic analysis of three-dimensional problem of elasticity for radially inhomogeneous transversely isotropic hollow cylinder]. Mekhanika tverdogo tela, 2011, no 4, pp. 170-180.

8. Vorovich I.I., Kadomtsev I.G., Ustinov Yu.A. K teorii neodnorodnykh po tolshchine plit [The theory of nonuniform thickness of plates]. Mekhanika tverdogo tela, 1975, no 3, pp. 119-129.

9. Ustinov Yu.A. Matematicheskaya teoriya pope-rechno-neodnorodnykh plit [The mathematical theory of cross-inhomogeneous plates]. Rostov-on-Don, 2006, 257 p.

10. Ustinov Yu.A., Yudovich V.I. O polnote sistemy elementarnykh reshenii bigarmonicheskogo uravneniya v polupolose [Completeness of the system of elementary solutions of the biharmonic equation in a half-strip]. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1973, vol. 37, no 4, pp. 706-714.

11. Khantington G. Uprugie postoyannye kristallov [The elastic constants of crystals]. Uspekhi fiz. nauk, 1961, vol. 3, № 74, pp. 461-520.

Поступила в редакцию

20 февраля 2015 г.