CC BY
15Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
УДК 539.374
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ В СЛУЧАЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
С. И. Сенашов, И. Л. Савостьянова, Е. В. Филюшина
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
Найдена группа непрерывных преобразований, допускаемая уравнениями пластичности в случае плоского напряженного состояния. Построены инвариантные решения, которые позволяют анализировать технологические процессы, использующие пластические деформации.
Ключевые слова: пластичность, плоское напряженное состояние, точные решения.
EXACT SOLUTIONS OF THE IDEAL PLASTICITY EQUATIONS IN THE CASE OF A PLANE STRESSED STATE
S. I. Senashov, I. L. Savostyanova, E. V. Filyushina
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]
A group of continuous transformations admissible by the equations ofplasticity in the case of a plane stress state is found. Invariant solutions are constructed that allows to analyze technological processes using plastic deformations.
Keywords: plasticity, plane stress, exact solutions.
Симметрии широко используются для построения точных решений уравнений механики сплошных сред. В частности, для уравнений пластичности такие решения построены в работах [1-9].
В предложенной работе исследуются уравнения плоского напряженного состояния идеальной пластичности. Несмотря на практическую важность уравнений, они исследованы еще не недостаточно. Поэтому новые решения этих уравнений имеют не только фундаментальное значение, но и могут быть использованы для анализа технологических процессов.
Уравнения в полярной системе координат имеют вид
+1 5с£1 + с - с дг г де г дс „ 1 дсе 2с
1 5с0
- +--1 +
r 50
- = 0,
r0
5r
= 0,
(1)
Сr2 + G02 - СG0 + 3СГ02 = 3kl.
После замены переменных
С = k] ((cosra + sinra cos29), c0 = к] ((cosra - sinra cos29 ), cr0 = k2sinra sin29.
Система уравнений запишется в виде —((cosra+sinra < ~ ^ 1 5
cos29^+—500 sinra sin29 +
2 . „ дsinю sin2ф н— sinю cos2ф +-- +
г дг
+ 1 д^Зх^ю - sinю cos2ф + 2sinю sin2ф _ ^ (2)
г де г
Эта система допускает бесконечномерную алгебру Ли, которая порождается операторами
Х1 _ —, X 2 _ г—, X 2 _ а (г, е )—+ в (г, е)— , 1 де 2 дг 2 V ' >дг у 'де
где а (г, е), в(г, е) - произвольное решение линеаризованной уравнений системы (2). Линеаризация осуществляется переходом к независимым переменным.
Найдем инвариантное решение системы (2) относительно подалгебры _ —. Его следует искать в
де
виде
ю = ю (r), ф = ф(г).
(3)
Подставляем (3) в (2), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Из нее следует
r 2sinrosin29 = Cj - const. (4)
Из второго уравнения, после несложных преобразований, получаем
ю + ln tgф = C2 - const. (5)
Решение (4)-(5) может быть использовано для описания пластического состояния трубы под действием радиальных и касательных напряжений.
Решетневскуе чтения. 2017
Найдем инвариантное решение системы (2) относительно подалгебры X1 = г —. Его следует искать
dr
в виде
(б)
Ю = Ю(0),ф = ф(0) . Подставляя (6) в (2) получаем d0юcosю Бт2ф + 2d0фsinю со8 2ф + 25Шю ^2ф = 0,
-^Jзd0ю sinю - d0юcosю cos2ф + 2d0фsinю sin2ф +
+ 2sinю sin2ф = 0. (7)
Умножаем первое уравнение (7) на sin2ф, а второе на - cos2ф и складываем. Имеем
d0ю ( ^Ю sin2ф + cos2ф + ^Ю cos22ф) = 0. (8)
Отсюда получаем первое решение системы (2)
deœ = 0 . Следовательно,
œ = œ0 = const.
(9)
Подставляя (9) в (7) имеем
2й?0ф соб2ф + 2cos2cp = 0.
Отсюда получаем ф = -0 + const. Для простоты считаем, что const = 0.
Следовательно, компоненты тензора напряжения имеют вид
cr = k (V3cos<B0 + sin ю0 cos20 j, с0 = k ((cos ю0 - sinю0 cos 20 j, =-k (sin ю0 sin 20 j. Второе решение. В этом случае
cosro sin2ф + \/3sm(i> cos2ф + cosюcos22ф = 0. Отсюда получаем
tgœ = -
-i
\/3а^2ф
Подставляя это соотношение в (7) имеем ^0ф (1 + cos22фj = 2(sin2 2ф -л/3(1 + cos22фjj.
Последнее соотношение без труда вычисляется с помощью квадратур. Из-за громоздкости окончательный результат здесь не приводится. Построенные решения можно использовать для описания пластического течения внутри сходящегося канала.
Библиографические ссылки
1. Senashov S. I., Yakchno A. N. Reproduction of solutions for bidimensional ideal plasticity // Journal of Non-Linear Mechanics, 2007. Vol. 42. P. 500-503.
2. Senashov S. I., Yakchno A. N. Deformation of characteristic curves of the plane ideal plasticity equations by point symmetries // Nonlinear analysis. 2009. Vol. 71. P.1274-1284
3. Senashov S. I., Cherepanova O. N. Новые классы решений уравнений минимальных поверхностей //
J. of Siberian Fed / Univ., Math. & Ph. 2010. Vol. 3(2). P. 248-255.
4. Senashov S. I., Yakchno A. N. Conservation Laws, Hodograph Transformation and Boundary Value Problems of Plane Plasticity // SIGMA. 2012. Vol. 8. 071, 16 p.
5. Senashov S. I., Yakchno A. N. Some symmetry group aspects of a perfect plane plasticity system // J. Phys. A: Math. Theor. 2013. Vol. 46.
6. Senashov S. I., Yakchno A. N. Conservation Laws of Three-Dimensional Perfect Plasticity Equations under von Mises // Yield Criterion Abstract and Applied Analysis. 2013. Vol. 2013. Article ID 702132, 8 p.
7. Senashov S. I., Kondrin A. V. Cherepanova O. N. On Elastoplastic Torsion of a Rod with Multiply Connected Cross-Section // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics., 2015. Vol. 7(1). P. 343-351.
8. Senashov S. I., Cherepanova О. N., Kondrin А. V. Elastoplastic Bending of Beam // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics., 2014. Vol. 7(2). P. 203-208.
9. Senashov S. I., Filyushina E. V., Gomonova O. V. Construction of elasto-plastic boundaries using conservation laws // Вестник СибГАУ. 2015. Т. 16. № 2. С. 343-360.
References
1. Senashov S. I., Yakchno A. N. Reproduction of solutions for bidimensional ideal plasticity // Journal of Non -Linear Mechanics. 2007. Vol. 42. P. 500-503.
2. Senashov S. I., Yakchno A. N. Deformation of characteristic curves of the plane ideal plasticity equations by point symmetries // Nonlinear analysis. 2009. Vol. 71. P. 1274-1284.
3. Senashov S. I., Cherepanova, O. N. [New classes of solutions of the minimal surface equations] // Journal of Siberian Fed/ Univ., Math. & Ph. 2010. Vol. 3(2). P. 248-255. (In Russ.)
4. Senashov S. I., Yakchno A. N. Conservation Laws, Hodograph Transformation and Boundary Value Problems of Plane Plasticity // SIGMA, 2012. Vol. 8. 071. 16 p.
5. Senashov S. I., Yakchno A. N. Some symmetry group aspects of a perfect plane plasticity system // J. Phys. A: Math. Theor. 2013. Vol. 46.
6. Senashov S. I., Yakchno A. N. Conservation Laws of Three-Dimensional Perfect Plasticity Equations under von Mises Yield Criterion Abstract and Applied Analysis. Vol. 2013 (2013), Article ID 702132. 8 p.
7. Senashov S. I., Kondrin A. V., Cherepanova O. N. On Elastoplastic Torsion of a Rod with Multiply // Connected Cross-Section // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics., 2015. Vol. 7(1). P. 343-351.
8. Senashov S. I., Cherepanova O. N., Kondrin A. V. Elastoplastic Bending of Beam // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics., 2014. Vol. 7(2). P. 203-208.
9. Senashov S. I., Filyushina E. V., Gomonova O. V. Construction of elasto-plastic boundaries using conservation laws // VestnikSibGAU. 2015. Vol. 16, № 2. P. 343-360.
© Сенашов С. И., Савостьянова И. Л., Филюшина Е. В., 2017
