ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.518.23

ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА

Т. А. Гарманова1, И. А. Шейпак2

В работе получено описание сплайнов Qnk(x, a), которые задают соотношения y(k)(a) = f1 y(n)(x)Q<n'j)(ж, a)dx для произвольной точки a G (0; 1) и произвольной функции y G WW™[0; 1]. Уклада связь задачи о минимизации по параметру a нормы |^ПП)) Wlp,[0;i] (1/p+1/p' = 1) с задачей о наилучших оценках производных |y(k) (a)| < Лп^,Р (a)||y(n)||Lp[0;1], а также с задачей нахождения точных констант вложения пространства Соболева W" [0; 1] в пространство W^ [0; 1], n G N 0 ^ k ^ n — 1. Найдены точные константы вложения для всех n G N k = n — ^и p = 1 и при p = œ.

Ключевые слова: оценки производных, неравенства типа Колмогорова, пространства Соболева, теоремы вложения, аппроксимация многочленами.

The рарег describes the splines Qn k(ж, a), which define the relations

/О У(п) (x)Q"nk (

(a) = /q1 y(n) (x, a)dx for an arbitrary point a G (0; 1) and an arbitrary function

y G Wpn[0; 1]. The connection of the minimization of the norm HQ^T" 11ьр/[0;i] (1/p + 1/p' = 1) by parameter a with the problem of best estimates for derivatives |y(fc)(a)| < AnjfciP(a)||y(n) ||lp[0;1], and also with the problem of finding the exact embedding constants of the Sobolev space WT [0; 1] into the space W" [0; 1], n G N 0 ^ k < n — 1. Exact embedding constants are found for all n G N k = n — 1 for p = 1 and for p = то.

Key words: estimates of derivatives. Kolmogorov type inequalities. Sobolev spaces, embedding theorems, approximation by polynomials.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-1-1

1. Введение. Рассмотрим пространство Соболева Wpi[0;1], состоящее из вещественнозначных функций, все производные которых до (n — 1)-го порядка абсолютно непрерывны, f(n) G Lp[0; 1] и которые удовлетворяют краевым условиям Дирихле y(j)(0) = y(j)(1) = 0 j = 0,1,... ,n — 1. Это пространство снабжено естественной нормой

1/p

|y(n)(x)|p dx

'0

В случае p = то норма определяется формулой

HyHws,[0;i] := ess sup |y(n)(x)|.

x€[0;l]

Bo многих задачах теории функций, функционального анализа, математической физики и других направлений возникает вопрос о нахождении точных констант An,k,p,q-

K,k,p,q := sup{||y(fc)\\Lq[0-1] : \\y(ra)||ip[o;1] = 1},

1 Гарманова Татьяна Алексеевна асп. каф. теории функций и функционального анализа мох.-мат. ф-та МГУ: Моск. центр фупд. и прикл. матом., e-mail: garmauovata0gmail.com.

Garmanova Tatiana Alekseevna Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Functions and Functional Analysis: Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics.

2Шейпак Игорь Анатольевич доктор физ.-мат. паук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ: Моск. центр фупд. и прикл. матом., e-mail: iaslieipöyandox.ru.

Sheipak Igor Anatolievich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Functions and Functional Analysis: Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics.

© Гарманова Т. Л.. Шойиак И. Л., "2024 © Garmanova Т. Л., Sheipak 1.Л., 2024

Ml

которые равны норме операторов вложения пространств ^«[0; 1] в пространства [0;1], п € N к = 0,1,...,п — 1.

Для п = 1 и к = 0 эта константа вычислена в [1] при всех значениях р и д. При п = 2, к = 1 и д ^ 3р эти константы получены в [2]. Вычисление этих констант для произвольных р, д ^ 1, п € N 0 ^ к ^ п — 1 является достаточно сложной задачей. Отдельный интерес представляет вопрос о нахождении Лга,к,р,д при д = то. В этом случае возникает дополнительная задача об отыскании точных величин Ага,к,р(а) в неравенствах

|у(к)(а)| < А«кР(а) -Цу^||Ьр[о;1]. (1)

Неравенства вида (1) относят к неравенствам типа Колмогорова Маркова Фридрихса (см. так-

1 о ,

/"[0; 1] в пространство Тк [

же [3]). Точная константа вложения пространства Ж«[0; 1] в пространство ТК^[0; 1] в этом случае

равна

Лга,к,р,к — вир А«,,к,р(а). а€[0;1]

На данный момент наиболее изученным является случай р = 2. В работе [3] получено представление для А« к 2(а) в виде ряда по первообразным полиномов Лежандра и найдены значения Лга,к,2,к при к = 0,1,2 В [4] получены константы Лга,к,2,к при к = 4, 6. В [5] для величин А« к 2(а) установлено представление через гипергеометрические функции типа Также в работе [3] Г. А. Калябиным была выдвинута гипотеза, что при четных к глобальный максимум функции А« к 2 достигается в середине отрезка, а при нечетных к функция А« к 2 имеет в середине отрезка локальный минимум. В [4] доказано, что при четных к середина отрезка является для функций А« к 2 локальным максимумом, а при нечетных локальным минимумом. В работе [6] методом построения огибающей

к

бального максимума функции А«,к,2 является точка локального максимума, ближайшая к середине отрезка.

В настоящей работе мы будем изучать свойства сплайнов О«,к(ж, а), которые задают функционалы / ^ /(к)(а) (а € (0; 1)) в пространствах Т™[0; 1]. Задача нахождения величин Ага,к,р(а) непосредственно связана с минимизацией нормы сплайнов 0«к(ж, а) в [0; 1] (1/р + 1/р' = 1)-

В свою очередь задача о минимизации ЦО^к II [о;1] приводит к задаче о наилучшем приближении алгебраическими многочленами в пространстве [0; 1] сплайна

(п — к — 1)!

0, ж € (а;1].

Здесь отдельное место занимает случай к = п — 1, так как сил айн £га,га-1(ж, а) = Х[0;а] разрывен. При р = то с помощью метода построения огибающей удается показать, что функция Ага,га_1,к обладает тем же свойством, что и Ага,к,2, а именно при нечетном п середина отрезка является точкой глобального максимума для Ага,га_1,к, а при чет ном п — точкой локального минимума. Также удается показать, что глобальным максимумом функции Ага,га_1,к является точка локального максимума,

р =1

туации показано, что максимум Ага,га_1д(а) не зависит от точки а € (0;1). Заметим, что задача о приближении характеристической функции тригонометрическими многочленами рассматривалась

в [71.

Структура работы следующая. В пункте 2 получено интегральное представление функционала у ^ у(к) (а) для функций у € Тк«[0; 1]. В пункте 3 установлена связь задачи о нахождении наилучших величин Ага,к,р(а) в неравенствах (1) с задачей отыскания сплайнов специального вида, наименее уклоняющихся от пуля в [0; 1], а также с задачей о наилучшем приближении сплайнов £га,га_1

многочленами степени не выше п — 1. В пункте 4 на основе свойств сплайнов ОЩ,(ж, а) получены точные константы вложения Лга,га_1,к,к, а в пункте 5 — точные константы вложения Лга,га_1д,к. 2. Функционал означивания. Рассмотрим функции

(x,fl) : =

( (-1 )n~l-l{x-a)n-l~lvi {-l)n-1-k{x-a)n-1-k{vk +1)

Ъ (n-l-iy. + (n-1-к)! '

¿=o,i=fc v 7 v 7 (2)

(п-1-1)1 '

ч 1— 0

где V = VI (а) — некоторые коэффициенты, зависящие от а I = 0,1,..., п — 1. Утверждение 1. Для произвольной функции у € Ж«[0; 1] выполнено

I-1

у(к)(а) = у(га)О(гак(ж, а) ^ж. (3)

./о ,

Доказательство. Утверждение доказывается с помощью формулы (2) и интегрирования но частям интегралов /у^О^к(ж, а) ^ж и ^ у(га)З^к(ж, а) ^ж.

о , а

ку

|у(к) (а) | < ||у(га)Ньр [0;1]-НО^к Н^ [0;1]. (4)

Для получения точной оценки в неравенстве (1) необходимо решить две задачи: 1) в классе функций вида (2) найти функцию <3га,к, п-я производная которой имеет наименьшую норму в [0; 1]; 2) для функции <3«,к построить экстремальную функцию, для которой в неравенстве (4) достигается равенство. Покажем, что это связанные друг с другом задачи.

Утверждение 2. Пусть 1 < р < то, и пусть <3«,к — функция вида (2); для которой

Н32кр,[0;1] = ^Пп-! Н32^[0;1].

Тогда она удовлетворяет соотношениям

г 1

Ql|p'-1 sgnOildx = 0, j = 0,1,... ,n - 1. (5)

o

Доказательство. Так как необходимо минимизировать норму по параметрам vo, vi, ..., vn-i, то выполнены условия

А и ли и?'

a^ll^n.fcllV[0;l]=°. i = 0, 1,..., ?г — 1.

Поскольку

— \\д{п)\\р/ - Р><у 1 3 [1(г-аУ\д{п)\р,-1'чтд{п)с]г

то из равенств ¿ртНФ^Н^ ,[0л] = ® иРи У = 0,1,---,??. — 1 следует утверждение леммы.

Замечание 1. Условия (5) являются и достаточными. Рассматриваемый класс сплайнов З^к образует конечномерное подпространство, которое является множеством существования (см. [8, следствие 1-3]).

Утверждение 3. Пусть 1 < р < то, и пусть функция Н € [0; 1] удовлетворяет соотношениям

/ ж-7 Н(ж) ^ж = 0, ^ = 0,1,...,п — 1. Jо

Тогда, существует решение уравнения у(га) = Н(ж), принадлежащее пространству Ж«[0; 1].

Доказательство. Положим

Г (ж - ¿)га-1, , \ , У^ = ] (п-1)\

Краевые условия в нуле выполнены очевидным образом, а в единице на основании свойств функции Н. Утверждение доказано. Введем функцию

(x) := QnfcW ■ sgn Qn,'k (x)"

Поскольку функция Q^k является сплайном, то w^k € Lp[0; 1]. А тогда из утверждений (2) и

(3) следует, что существует ее первообразная wn,k € [0; 1], для которой достигается равенство в неравенстве (1) с наименьшей возможной величиной An;k;P(a), т.е. выполнено

wä (a) = An,k,p(a) ■ 11 wnTk Wbp [0;1] •

3. Связь задач о минимизации нормы Q^ и минимизации уклонений. Напомним необходимые сведения о полиномах Лежандра на отрезке [0; 1]. Сдвинутый на [0; 1] полином Лежандра определяется как Рт(х) := ^((х2 — х)т)^т\ Первообразную порядка т j ^ 0 определим следующим образом: Рт ~*\х) := ^т((ж2—. Система полиномов Лежандра образует ортогональный базис в L2[0; 1] с нормой \\Рт\\12[0;1] = 2^+1-

Задача о нахождении min 11Q<n)WL [0;1] тесно связана со следующей задачей. Известно

vo,vi,...,nn-i < 'k p 1 ' J

(см. [9]), что при p = 2 функционал f ^ f (k)(a) в [0; 1] задан в соответствии с теоремой Рисса единственной функцией gn,k(x,a), которая имеет вид

р'-1

9n,k (x, a) = <

' (_ i)n—k—1

(2n - к - 1)! ^ ~ " ж, 1 - a), x € [0; a];

(_1)n 1

-an~k{l - x)nhn^k{x,a), x€(a,;l],

1ДС

т.е.

k(2n - k - 1)!

n— 1

hn,k(x,a)=^( —1)n 1 1 C2n—1——kхП 1 ^ ^ Cn—l+mx™,

1=0 m=0

r-l

' gn,k ( 0

f(k)(a)= / f(n)(x)ctk(x,a)dx.

Теорема 1. Функции Q^ и g^k отличаются на многочлен cm,ene ни не выше n — 1, т.е.

n — l

!(n) „(n) _ J„)xl.

Qnnk — gnnk = £ ci(a)x

l=0

Доказательство. 1) Из формулы (2) следует, что ОТ" ^ Ь2[0; 1], поэтому ОЩ можно разложить в ряд по ортогональной системе полиномов Лежандра:

те

Q<nk(x,a) = am(a)Pm(ж). (6)

m=0

Заметим, что при m ^ n ^ 0 выполнено p! n) € Ж<[0; 1]. Поэтому в соответствии с (3) получаем 0 Q<nkPm(x)dX = jO* Q<k (p!" n)(x))(n) dx = p!-n) (a), m > n > 0.

С другой стороны, из представления (6) следует, что

/ 3«Тк Рт(ж)^ж =

■)о

/0 ' у 7 2т + 1-

Таким образом,

«_1 к

т = 0,1,....

(ж, а) = ат(а)Рт(ж) + ]Т(2т + 1)Р!к_га)(а)Рт(ж).

т—0 т—«,

2) Функции дга,к удовлетворяют условиям Дирихле, поэтом у разложение дЩ, в РЯД п0 полиномам

Лежандра имеет вид

оо

^¿«к(ж,а) = вт(а)Рт(ж).

Как и в п. 1 доказательства, получаем, что вт(а) = (2т + 1)Р,т «(а), откуда и следует утверждение теоремы.

Определим пространство вещественных многочленов

т

М, 0 ^ у ^ т

[-—о т

Таким образом, теорема 1 утверждает, что

ю,¿1-1 НО2Н V[о;1] = иЩП-1— [о;1].

На основе предельного перехода при р ^ 1 и р ^то получаем следующий результат. Теорема 2. При 1 ^ р ^ то справедливо равенство

Ага,к,р(а) = Н3Я ^ [0;1] = ит!П-1 ^ — [0;1],

+ ? р'

Следствие 1. Дри 1 ^ р ^ то выполняется равенство

где± + $ = 1.

А„,к,р(а) = ш1п

«еРп-1

(ж — а)__к+1

— и

. (7)

V [0;1]

(п — к — 1)!

Доказательство. Для каждого натурального пик = 0,1,...,п — 1 рассмотрим функции

2га,к,1 = 3(гак (ж, а) , 2га,к,2 = (ж, а) [0;а]

(а;1]

Из формулы (2) следует, что 21 (ж, а) и 22(ж, а) отличаются на многочлен степени не выше п — 1, при этом

Оп,кл(х, а) - Яп,к,2{х, а) =-(п -к-1)\-' ^

Из теорем 1, 2 и формулы (8) получаем справедливость утверждения. Следствие доказано.

Замечание 2. Константу также можно включить в многочлен, но в теории аппрокси-

маций часто встречаются сплайны именно такого вида.

4. Точные константы вложения при р = 1. Справедлива следующая теорема. Теорема 3. Имеет, место формула 1д,оо =

т—

Доказательство. 1) Для произвольной функции y € Wpjü; 1] и k = 0,1,... , n — 1 выполнены соотношения

У [)~Jo (п-к- 1)! ah

Сложив эти два равенства, получим

i г i i

< Jfirtnjf 1 - (^^И^Иь.юа,.

откуда следует, что

1

Л„Д,1,оо < 2(n_fc_1)r

В частности,

1

1,1,СХ> ^ 2'

2) Из представления (2) следует, что по переменной ж функции QT,fc,i(x,a) и QT,fc,2(x,a) суть многочлены степени не выше n — 1, а из формулы (8) получим

Qn,n-i,i(a — 0,а) — Qn,n_i,2(a + 0,а) = 1,

откуда заключаем, что

II^Ü-IIILooIO;!] ^ 2'

причем для выполнения равенства необходимо, чтобы выполнялось равенство

" 0,а)\ = \Q^-i(a + 0,а)\ = -2,

а величины qTT_i(a — 0,a) и qTT_i(a + 0,a) имели разные знаки.

Возьмем в формуле (8) в качестве минимизирующего многочлена и*(ж) = 1/2. Тогда AT,T_i,i(a) = 1/2 для любо го a € (0; 1). Следовательно,

Ln,n— 1,1,ОО - 2'

Теорема доказана.

5. Точные константы вложения при k = n — 1, p = то. В соответствии с формулой (7) получаем

и

An,n_i,^(a) = J^in ^ ||Х[0;О] — u||Li[0;i].

Нам понадобится следующий результат (см. [10, формула (6.6)]).

Теорема 4. Значения функции Ап,п- 1,оо в точках a,j := sin2 2(n+i)' i = 2,... ,n. равны,

7Г , 2

Другими словам,и, точки (aj, AT,T_i,^(aj-)), 1 ^ j ^ n, лежат на, графике функции

п

Вп(а) :=tgщjПT)Va-a*.

Теорема 5. Если к := п — 1 чет,но, то т,очка, а = 1/2 является точкой глобального максимума функции Лп,п-1,ж■ Если к := п — 1 нечетно, то точка а = 1/2 является точкой локального минимума функции ЛП;П-1>те.

При четном п точками глобального ма;кси,м,у,м,а функции A„ira_ii00 являются точки sin

sin2 (ближайшие к 1/2 точки и,з множества |a,j = sin2 2(n+i) } )

а именно точные кон-

станты вложения равны

1

п

2tg2(n + l):

если n нечет но;

_ 1

1,00,00 - 0 t'S

п

пп

sin ■

если п четно.

2 2(п + 1) 2(п + 1)' Доказательство. Рассмотрим параметрическое семейство многочленов

Ед(г) = ^,„+1 (г) := ига+1(г) — 29ига(г) + д2ига_1(,г), д € [—1; 1].

Здесь V ^ 0, — многочлены Чебышёва второго рода, определенные на отрезке [—1; 1] формулой

вт^ + 1)£

Uv (z) =

sin t

z € [—1; 1].

t=arccos z

Известно [10, лемма 5], что при любом n ^ 0 многочлен имеет n + 1 пуль, каждый из которых непрерывно зависит от q € [-1; 1] и с возрастайием q от —1 до 1 непрерывно возрастает от точки

cos ^pj до точки cos пробегая, таким образом, отрезок cos cos , j = 1, 2,... , п + 1.

В работе [10] построены наилучшие приближения в Li [—1; 1] характеристической функции отрезка X[a;i] алгебраическими многочленами; введено наилучшее приближение характеристической функции X[a;i] па отрезке [—1; 1]:

E„_i(a) := ШШ ||X[a;i] — u||Li[-i;i].

uePn-i 1 ' J 11 J

Основные свойства функции En_i, установленные в [10], следующие. 1) Функция En_i является четной, а при cos ^ Н ^ 1 справедлива формула

2) Если a €

га+1'

TT(J-I) п+1

E„_i(a) = 1 — |a|.

(2 ^ j ^ n), то можно найти такое значение параметра q €

[—1; 1], что a = aj(q) является нулем многочлена на отрезке теорема 6])

П7 — 1)

COS cos

Тохда (см. [10,

Era—i(aj (q)) = 2п

Uj (q)

Fq (u) du

3) Значения E„_i (cos^j-j лежат на графике функции Gn(a) := (tg 2(ra+i)) л/1 — о2, 0 ^ j

n + 1. Заметим, что функция Gn четна и строго возрастает на отрезке [—1; 0].

4) Справедлива формула

<

Era—i(aj (q)) =

j—1

1 + 2^(-1)fc afc (q) + (-1)j aj (q)

fc=i

Из этой формулы следует, что на каждом отрезке

7TJ .

га+Т>1

tt(J-I)

п+1

(2 ^ j ^ п) функция

En-i строго выпукла вниз, т.е. функция Gn является огибающей для En_i, откуда получаем следующее свойство: при нечетном п точка 0 = cos при j = (11 + 1)/2 является точкой глобального максимума, а при четном n — точкой локального минимума. При четном n точками глобального

максимума являются ближайшие к середине отрезка точки из множества j т-с- точки

ni n(n+2)

cos 0, ,-.ч и cos 0; -I {. 2(i+i) 2(i+i)

1

Функции An,n- и Bn получаются из функций En-i и Gn соответственно при замене переменных [-1; 1] ^ [0; 1]. Таким образом, мы получаем аналогичные свойства функции An,n- i,^: при четном n — 1 a = 1/2 есть точка глобального максимум а функции An,n-1,^, а при нечет ном n — 1 точками глобального максимума функции An,n-i,(X являются ближайшие к 1/2 точки из множества

a,j = sin2 2(n+i) } ' т'с" точки sin2 и sin2 На рис. 1, 2 представлены эскизы графиков

Bn и An,n-i,(X при n = 3, 4 соответственно. Алгоритм построения графиков An,n-i,(X приведен в работе [10].

Рис. 1. Графики A3,2 (кривая 1) и B3,2 (кривая 2)

Рис. 2. Графики A4j3 (кривая 1) и B4,3 (кривая 2)

Подставляя соответствующие значения в функцию Bn, получаем соответствующие значения для констант вложения ЛП)П_1)те,те. Теорема доказана.

6. Обсуждение полученных результатов. Полученные результаты для p = 2 (см. [2]) и p = то позволяют выдвинуть гипотезу, что при всех p € (1; то] для четных k середина отрезка является точкой глобального максимума для функций АП;к;Р, а при не чет пых k — точкой локального минимума. При этом для нечетных k точка глобального максимума функции An,k,p совпадает с ближайшей к середине отрезка точкой локального максимума.

Авторы признательны А. Г. Бабенко за полезные обсуждения.

Результаты пи. 2 и 3 получены при поддержке фонда "Базис", результаты пи. 4 и 5 при поддержке РНФ, грант № 20 11 20261.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Shmidt Е. Ubcr die Ungloichung, wclchc die Intcgralc iibcr ciric Potcriz ciricr Function und iibcr cinc andcrc Potcnz ihrcr Ablcitnng vcrbindct // Math. Ann. 1940. 117. 301 326.

2. Nazarov A.I. On cxact constant in the generalized Poincare inequality // J. Math. Sci. 2002. 112. N 1. 4029 4047.

3. Калябин Г.А. Точные оценки для производных функций из классов Соболева WJ(— 1; 1) // Тр. Матем. ин-та РАН. 2010. 269. 143 149.

4. Мукосеева Е.В., Назаров А.И. О симметрии эктрсмали в некоторых теоремах вложения // Зап. науч. семинара ПОМИ. 2014. 425. 35 45: Corrigendum // Зап. науч. семинара ПОМИ. 2020. 489. 225.

5. Гарманова Т.А. Оценки производных в пространствах Соболева в терминах гипергеометрических функций // Матем. заметки. 2021. 109. вып. 4. 500 507.

6. Гарманова Т.А., Шейпак И. А. О точных оценках производных четного порядка в пространствах Соболева // Функц. анализ и его прил. 2021. 55. вып. 1. 43 55.

7. Бабенко А.Г., Крякин Ю.В. Интегральное приближение характеристической функции интервала тригонометрическими полиномами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2008. 14. № 3. 19 37.

8. Ptnkus A. On ^-approximation. Cambridge: Cambridge University Press, 1989.

9. Гарманова Т.А., Шейпак И.А. Явный вид экстремалей в задаче о константах вложения в пространствах Соболева /'/' Тр. Моск. матем. о-ва. 2019. 80. вып. 2. 221 246.

10. Дейкалова М.В. Интегральное приближение характеристической функции сферической шапочки алгебраическими многочленами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. 16. № 4. 144 155.

Поступила в редакцию 31.03.2023