ТОЧНОСТЬ ОЦЕНКИ ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ СЕЙСМИЧЕСКОГО СИГНАЛА В СИСТЕМАХ ОХРАННОГО НАБЛЮДЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Научный вестник НГТУ. - 2013. -№ 2(51)

УДК 621.391

Точность оценки временного положения сейсмического сигнала в системах охранного наблюдения

С.Г. ФИЛАТОВА

Определение потенциальной точности алгоритма оценки временного положения сейсмического сигнала является важным этапом при его реализации. Она позволяет объективно судить о качестве получаемых оценок. В статье определена нижняя граница условной дисперсии ошибок, удовлетворяющая неравенству Крамера-Рао. Приведены результаты сравнения точности алгоритма, в котором для определения временного положения сигнала используются оценки его локальных мощностей.

Ключевые слова: оценка максимального правдоподобия, временное положение, сейсмические системы охраны, потенциальная точность.

ВВЕДЕНИЕ

При разработке алгоритма определения временных положений сейсмических сигналов [1] используется модель, согласно которой наблюдаемый процесс представляется в виде суммы:

Х = Ф + (1)

Здесь Ф = | |ф[1],ф[2] ..Ф[/] || Т - фон,который является бельм гауссовым шу-нулевым средним и дисперсией ; 5 = 5 [ 1 ] , 5 [ 2 ] .. 5 [ / ]

мом с

- полезный

сигнал, который является гауссовым процессом с нулевым средним и дисперсиеи, меняющейся по правилу:

к

[/],/ = 1../. (2)

X 21

Функция Ри [ г, /пи ] описывает огибающую пачки импульсов (рис. 1), соответствующую законченному проходу человека мимо датчика, а Рк [ г ] - распределения интенсивности

К сигналов (импульсов), соответствующих шагам человека. Огибающая пачки импульсов аппроксимируется функцией

и г'пиЬАт6

('-'пи}

2 А

2т;

1111 л 1 = 1../,

(3)

где Оп — максимальная дисперсия пачки импульсов, /пн - временное положение пачки, тпн -параметр, определяющий длительность пачки.

Статья получена 9 октября 2012 г.

тгш

10

1

50 60 70 80], отсч.

Рис. 1. Пример сейсмического сигнала, Рис■ 2■ Вспомогательная последова-

полученного после выбеливания

тельность У, 9 = 500

Огибающая импульса аппроксимируется функцией вида:

Рк[г]= е

\1-ч) 2^1

, I = 1../,

(4)

где ¡[. - временное положение к -го импульса, хк - его длительность. Неравномерный характер перемещения объекта наблюдения вводится в модель соотношением:

.к =.к-1 + т + 9тк>

(5)

в котором Т - средний период следования импульсов, АТк - случайная составляющая, определяющая отклонение от среднего периода для к -го импульса.

Для определения временного положения пачки импульсов /пи методом максимального

м \\Т

правдоподобия образуется вспомогательная последовательность У = У[1], У[2] .. У [Е]

1 ¡+9/2

У[^^]=-1 X [¡и=1..Е.

9 г=1 -9/2

Её элементы независимы и имеют смысл локальных мощностей исходного сигнала. Оценки временного положения импульсов находятся путём совместного решения уравнений максимального правдоподобия [1]:

( ' ; 2 Л • ■/* \ 2 7 "'пи

Х^я [Л

7= 1 Ттти

2 т/ 2 /2 хии /• ^ /0

у = Ю_ 2

(С-1

2 ^

_/ 2

|'пи ^

2 ^

_/ 2

- еК

(7)

/о

Г Е

У ]=1

V 'пи

2 ^

,/ 2

-1 Е

и* У]-я»)

м

V 'пи

2 ^

2 х.

/ 2

(8)

1. АНАЛИЗ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ТОЧНОСТИ

Показателем эффективности при использовании небайесовских оценок параметра служит граница Крамера-Рао [2, 3]. Для несмещённых оценок неравенство Крамера-Рао записывается в виде

[ а 1п w (х | е) 2 -1 а 21п w (х | е)

ае а е2

(9)

Для независимой

выборки X = ||х [1],Х [2] ...X [/] ||г: 1п w(x | е) = £ 1п w(Х 0)

¿=1

Поскольку наблюдаемый процесс X является гауссовым с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной сумме (см. (1)) дисперсий фона и полезного сигнала /_)[/,/пи ], а также с учётом того, что параметром, подлежащим оцениванию, является временное положение пачки 1ТШ, одноэлементная функция правдоподобия записывается следующим образом:

^М^пиЬ"

1

I-'"еХР / Г т \

^Х[ V] Хф) I 2(хМпи] ХФ)

Логарифмируя и вычисляя вторую производную, получаем:

X2 []

л

.•2

, I

=1 !(Х 2 []А[, V ] + В[, V ]),

2 ¿=1

где

Х[Мпи]

5[мПи] = -

[(/)[г,гпи] + /)ф) ММгш]

1 , 2 (г'~у)2 (' ~гпи)2

ИМпиМф)

(' -у)2 0'-у)2Д[мш] 1

^ (Я[»,*пи] + А]>)

Усредняя, получаем:

¿21пгу(х|у)

' ¿ = 1

Окончательно из (9):

(10)

(11)

(12)

= 2

X № V Мг'> V ]+5 [м'пи ])

¿=1

(13)

Функция (13) зависит от нескольких параметров: дисперсии фона /Зф, длительности пачки импульсов тш, её пиковой мощности Оп, среднего периода следования импульсов Т и их длительности т^ . Очевидно, что на неё не влияет истинное значение временного положения пачки импульсов /пи.

Так как оценка (13) требует знания зависимости дисперсии О [/, /Ш1 ] от времени в пределах пачки импульсов, при анализе поведения оценки 1 /Ш11 /пи | в различных условиях

задавались параметры, описывающие дисперсию процесса ((2)-(5)), затем производился

расчёт по (11)-(13). При этом длительности импульсов и средний период следования устанавливались постоянными для всех экспериментов (хк = 20 отсч., Т = 300 отсч.), а длительность пачки тШ1 определялась через произведение среднего периода и количества импульсов в пачке К .

Заметим, что флюктуации временных положений импульсов «внутри» пачки (5), вызванные неравномерным характером перемещения объекта наблюдения в зоне действия сейсмической системы охраны, приводят к тому, что измеренные значения | /пи 17Ш11 являются случайными при фиксированных прочих параметрах ( Оф, тпи, Оп, Т , ). Усреднение случайных величин | /пи /пи | по указанному параметру является достаточно сложной

задачей, поэтому изучение влияния флюктуаций производилось следующим образом. Временные положения импульсов относительно центра пачки фиксировались, далее анализировались два случая. В первом параметры функций (2)-(5) задавались таким образом, чтобы центр пачки находился между импульсами, во втором - чтобы центр пачки совпадал с центром одного из импульсов.

Рис. 3-5 иллюстрируют зависимость потенциальной среднеквадратической ошибки (СКО) оценки временного положения пачки аП1П11 /пи /пи | от флюктуации временных положений импульсов «внутри» пачки. На графиках приведены зависимости потенциальной СКО атт { 'пи 17пи} ПРИ различном количестве импульсов в пачке К , длительности наблюдения / и отношения сигнал-шум (ОСШ) в момент максимальной интенсивности сигнала пачки т О

<у~ = ——. Верхним кривым на графиках соответствует случай, когда центр пачки находится

Ар

между импульсами, а нижним кривым - центр пачки совпадает с центром импульса.

ПТШТ| отсч 'пи 1'пи)

26 21 22-

Л\.........

18

1 2 3 4 5 6 7 8 ч2103

Рис. 3. Зависимость ат1п { /Ш1 | /Ш1} от ц1 Рис. 4. Зависимость ат1п { /Ш1 | /Ш1} от ц1

ири различном расположешш импульсов отно- при различном расположении импульсов относи-сительно центра пачки, К = 10 , I = 4000 отсч. тельно центра пачки, К = 50 , I = 17000 отсч.

отсч

Рис. 5. Зависимость а„

при различном Расположении импульсов относительно центра пачки, К = 50, / = 50000 отсч.

На рис. 3 приведены зависимости потенциальной СКО ат;п | /пн 17Ш11 от ОСШ в момент

максимальной интенсивности сигнала пачки при различном расположении импульсов относительно центра пачки, при количестве импульсов К = 10 и длительности наблюдения / = 4000 отсч. Длительность пачки при этом составляла т^ = 3000 отсч. На рис. 4-5 пока-

заны зависимости потенциальной СКО а„

с}

от ОСШ в момент максимальной ин-

тенсивности сигнала пачки при различном расположении импульсов относительно центра пачки, при количестве импульсов К = 50, а также длительности наблюдения / =17000 отсч. и I = 50000 отсч., соответственно. Длительность пачки при этом тШ1 =15000 отсч. Различие между верхней кривой, когда центр пачки находится между импульсами, и нижней кривой, когда центр пачки совпадает с центром импульса, невелико. Так, для рис. 3 различие между кривыми составляет приблизительно один отсчёт, а для рис. 4 и 5 - меньше одного отсчёта. Поэтому для дальнейшей оценки потенциальной точности используется случай, для которого центр пачки совпадает с центром импульса (нижняя кривая).

Увеличение ОСШ приводит к уменьшению потенциальной СКО оценки временного положения пачки аП1П11 /ии | /1[И | (рис. 3-5). При увеличении интервала наблюдения (рис. 4-5)

имеет место резкое снижение величины потенциальной СКО аП1П11 /пи | /пи |, что также подтверждается рис. 6. На рис. 6 приведены зависимости потенциальной СКО аП1П11 7Ш11 /|[И } от

размера интервала наблюдения при различных ОСШ в момент максимальной интенсивности сигнала пачки. Исследования проводились для пачки длительностью тШ1 =15000, содержащей К = 50 импульсов. При интервале наблюдения, меньшем длительности пачки, СКО ошибок оценки временного положения пачки не превышает среднего периода следования импульсов. С ростом ОСШ в момент максимальной интенсивности сигнала пачки наблюдается

уменьшение ап

{ 'пи I 'пи} •

На рис. 7 показана зависимость потенциальной СКО оценки временного положения пач-

ки а„

V I']

'пи} от длительности импульса при различных ОСШ в момент максимальной

интенсивности сигнала пачки. Увеличение длительности импульса приводит к увеличению энергии наблюдаемого сигнала, что в свою очередь вызывает уменьшение потенциальной

СКО аП1П11 /пн 17Ш11 оценки временного положения пачки.

Рис. 8 иллюстрирует поведение потенциальной СКО оценки временного положения пачки аП1П11 7Ш1 /||и | в зависимости от количества импульсов К при различных ОСШ. При получении этих зависимостей принималось, что длительность пачки тШ1 =Т-К , при этом длительность наблюдения выбиралась по правилу: / = тпи + 2000 (отсч.). Увеличение числа импульсов в пачке при фиксированных длительности импульса (т^ = 20 отсч.) и среднем периоде следования (Т = 300 отсчетов) приводит к повышению нижней границы среднеквадрати-

ческих ошибок а„

'тш | 'Ш11 'пи} (Рис- 8). При увеличении числа импульсов энергия пачки

возрастает, что ведёт к получению более точных оценок. Однако увеличение количества импульсов приводит к уменьшению эффективной полосы спектра сигнала, что, в свою очередь, ухудшает оценки. Взаимодействие этих противоположных механизмов и ведёт, в итоге, к росту потенциальных ошибок.

Этот же эффект объясняет и увеличение атщ | /пи 17Ш1} с ростом среднего периода следования импульсов, что иллюстрируется рис. 9, на котором приведена зависимость потенциальной СКО оценки временного положения пачки от среднего периода следования импульсов Т при различных ОСШ и фиксированных длительности импульса (= 20 отсч.) и количестве импульсов К = 50 . При этом длительность пачки тШ1 =Т -К , а длительность наблюдения / = тШ1 + 2000 (отсч.).

отсч

30 10

ч" 10( )

1 / 1000

V

!\

; —

\

ч

СТПИТ| ' 'пи1 'ни '

отсч. 28

24 20 16

. \

«г= 10( ) ..

1000/"-. - -

... - ._. ___

набл*

10 20 30 40 50 60 70 т:отсч.

Рис. 6. Зависимость а„

'пи I 'пи I от Любл

Рис. 7. Зависимость а„

Рис. 8. Зависимость ат1п { /пи | /Ш11 от К

10 20 30 40 50 60 70 80 К

2. АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ АЛГОРИТМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ СЕЙСМИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Разработанный в [1] алгоритм, в котором для определения временного положения сигнала используются оценки его локальных мощностей, был исследован методом статистического

моделирования. Эксперимент проводился путем генерирования и обработки ансамбля из

*

100 сигналов. При сопоставлении истинного /Ш1 и измеренного /Ш1 временного положения

*

импульсов определялась ошибка измерения о,- = /пи - /ии , а по совокупности экспериментов находились смещение и среднеквадратическая ошибка. На рис. 10 изображены зависимости СКО оценки временного положения пачки импульсов от ОСШ при различных размерах окна. С увеличением ОСШ точность получаемых оценок возрастает. Также наблюдается зависимость от длительности окна.

100 200 300 400 Тотсч,

Рис. 9. Зависимость ат1п | /„„ от Т

Рис. 11-12 иллюстрируют зависимости смещения и СКО оценки временного положения пачки импульсов от размера окна при различных ОСШ. С ростом А СКО ошибок увеличивается. Кроме того, как при больших, так и при малых размерах окна наблюдается наличие смещения получаемых оценок. Смещение, которым можно пренебречь, получается при длительности окна от 500 до 700 отсч. Зависимости СКО оценки временного положения пачки им!

пульсов от количества импульсов в пачке при =100 и различных размерах окна показаны на рис. 13. Видно, что с ростом количества импульсов ошибка возрастает, что вызвано сужением эффективной полосы частот сигнала.

300 200

Рис.

а£ 400 300 200 100

q HU-

IDO

200 400 600 800 Д,отсч.

Рис. 12. Зависимость СКО оценки /Ш1 от 9

300 200 100

с г. Á \ 1000 oíd.

А"-500 отсч..

________J

Д 100 отсч.

: ------—

10 20 30 40 50

К

Рис. 13. Зависимость СКО оценки /Ш1

2

от количества имиульсов> =100

Поскольку основная цель разработки алгоритма, в котором для определения временного положения сигнала используются оценки его локальных мощностей, состояла в уменьшении задержек выдачи результата при условии сохранения приемлемой точности, были проанализированы зависимости смещения и СКО оценки временного положения пачки от длительности

наблюдения /иабл при <у" = 100 и различных размерах окна, изображённые на рис. 14-15. Они показывают, что приемлемая точность достигается при наблюдении не менее чем половины пачки импульсов. При аппроксимации огибающей пачки по наблюдению меньше половины пачки, оценка центра пачки является смещённой и сильно флюктуирующей. В этом случае качество оценок снижается значительно в условиях априорной неопределённости относительно параметров сигнала.

Сравнение графиков рис. 3-9 и рис. 10-15 показывает различие между потенциальной точностью оценки временного положения пачки и точностью алгоритма, в котором для определения временного положения сигнала используются оценки его локальных мощностей. Оно вызвано преобразованием (6), которое изменяет шкалу времени с «быстрого» на «медленное». Шумы, обусловленные этим преобразованием, являются аддитивными с равномерным распре-

делением идисперсиеи а

пр

= 9 2/l2.

В табл. 1 приведена зависимость СКО шумов преобразования апр от длительности окна

А. При этом очевидно значительное (по сравнению с потенциальной точностью) ухудшение точности алгоритма при А = 1000 отсч. и А = 500 отсч., что подтверждается экспериментальными данными (рис. 10-15).

10. Зависимость СКО оцен-

2

г»т Г"

'пи

КИ L ОТ

200

400

600

800

отсч

Рис. 11. Зависимость смещения оцен-

1 200

O'IC'I.

\

\

"\ \ !

• \ \

\ N \ 10( - 'A

) o re1 ч.

500 ОТСЧ

0.6 0.8 1.0 L2 I мне . 1()Л>

Рис. 14. Зависимость смещения оценки /

от Либл, =Ю0

"е 1200 800 400 0

ОГОЧ.

■

' \

s \

A 500 о CI.

Л-НЮ n ir.i

0.6 0.8 1.0 1.2 1набл.10>тсч. Рис. 15. Зависимость СКО оценки /Ш1 от Лгабл, =Ю0

Таблица 1

Зависимость СКО шумов преобразования от длительности окна А

9 ,отсч. 1000 500 100

СТир ,отсч. 289 144 29

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Алгоритм, в котором для определения временного положения сигнала используются оценки его локальных мощностей, позволяет получать оценки центра пачки с приемлемой точностью при наблюдении не менее половины пачки. Этот алгоритм, в отличие от алгоритма, который мог бы обеспечить точность, сравнимую с потенциальной, не требует знания параметров, описывающих «внутреннюю» структуру пачки - длительность импульсов, период их следования. Кроме того, использование оценок локальных мощностей вместо отсчетов сигнала (преобразование (6)) позволяет сократить объём вычислений, а значит и время ожидания результата.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Спектор А.А. Определение временных положений сигналов для оценки движения человека в сейсмической системе охранного наблюдения / С.Г. Филатова, А.А. Спектор // Научный вестник НГТУ. - Новосибирск: ИПЦ ГОУ ВПО НГТУ, 2009. - Вып. 3 (36)/ - С. 57-66.

[2] Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники / Б.Р. Левин. - 3-е изд., перераб. и доп. -М.: Радио и связь, 1989. - 656 с.

[3] Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы: учебник для вузов по спец. «Радиотехника» / Ю.П. Гришин, В.П. Ипатов, Ю.М. Казаринов [и др.]; под ред. Ю.М. Казаринова. - М.: Высш. шк, 1990. - 496 с.

Филатова Светлана Геннадьевна, ассистент кафедры Теоретических основ радиотехники НГТУ. Основное направление научных исследований: статиспгческая обработка сигналов и изображений. Имеет 15 публикаций. E-mail: filatovasg@ngs.ru

Filatova S.G.

Theprecision ofseismic signal timeposition estimation in a guard system

Determination of potential accuracy ofseismic signal time position estimation algorithm is important stage of its implementation. It allows tojudge about received estimation quality objectively. In this paper the lower bound of error conditional variance satisfied Kramer-Rao inequality is determined. The precision of algorithm based on local power estimation usage is compared with potential accuracy.

Key words: maximum likelihood method, time position, seismic guard system, potential accuracy.