Точность определения колебательных характеристик упругой конструкции при резонансных испытаниях с многоточечным возбуждением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Т о м VII 197 6 №5

УДК 629.7.015.4:533.6.013.422 629.7.018.4:620.178.5

ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК УПРУГОЙ КОНСТРУКЦИИ ПРИ РЕЗОНАНСНЫХ ИСПЫТАНИЯХ С МНОГОТОЧЕЧНЫМ

ВОЗБУЖДЕНИЕМ

Е. А. Жаров, В. И. Смыслов

Оцениваются случайные и систематические погрешности при проведении наземных резонансных испытаний с многоточечным возбуждением. Предложенные оценки погрешностей величин обобщенных масс (при их измерении различными способами) позволяют определить требования к метрологическим характеристикам технических средств и к методике проведения испытаний.

1. В связи с увеличением сложности конструкций современных летательных аппаратов возрастает роль экспериментальных исследований, на основании которых проверяются и уточняются ранее проведенные расчеты. К таким исследованиям, в частности, относятся и резонансные испытания, в результате которых определяются собственные частоты и формы, а также обобщенные массы и демпфирование отдельных собственных тонов. Проведение этих испытаний, при многоточечном возбуждении колебаний и автоматизации измерений, связано с затратой значительных средств и с использованием сложного современного оборудования.

Целью настоящей работы является рассмотрение основных источников погрешностей, случайных и систематических, возникающих при проведении резонансных испытаний (см. например, [2, 3, 9]) с многоточечным возбуждением. Величины допустимых погрешностей в определении собственных частот и коэффициентов распределения форм собственных колебаний условно принимаются равными 1—2%, а в определении обобщенных масс — 5%. Приведенные ниже оценки погрешностей в определении колебательных характеристик для конкретных примеров показывают, что проведение резонансных испытаний с многоточечным возбуждением и автоматизацией измерений позволяет получать данные в пределах указанных допустимых погрешностей.

Определение обобщенных характеристик связано с двумя видами погрешностей — аппаратурных и методических. Первые носят

случайный характер и зависят от класса измерительных приборов, а также и от алгоритма обработки измерений при определении, например, обобщенных масс. Методические погрешности обусловлены тем, что характер колебаний исследуемой конструкции отличается несколько от предполагаемого, так как, например, на форму колебаний влияет механическая догрузка, приведенные массы искажаются влиянием возбудителей и т. п. Эти погрешности являются систематическими, поэтому их влияние может быть скорректировано при получении окончательных результатов.

2. Влияние аппаратурных погрешностей на результаты определяется видом основных соотношений (см. [2, 9]) для величин обобщенных параметров, получаемых при испытаниях с многоточечным возбуждением. Поскольку погрешности измерительной аппаратуры задаются максимальными значениями для всей области их изменения измеряемых величин так, что появление какой-либо погрешности любого знака имеет случайный характер, то функциональная связь между среднеквадратичными ошибками а;сг аргумента и о [г (X], х2, . . . , хл)] функции имеет известный вид (см. [4]):

Если функция г(хь х2, . . . , хп) нелинейна, это соотношение получается с помощью линеаризации функции г и остается справедливым в малой окрестности выбранных точек.

Через Ьхі далее обозначаем относительную погрешность (отношение ол^/л,- называется также относительным отклонением).

• 2 тс

При определении периода резонансных колебаний Г,- = — имеются две составляющие погрешности: относительная погрешность установки (оператором) резонансного периода 8Ту (например, по фигуре Лиссажу) и относительная погрешность измерения периода измерительным прибором ЬТИ. Первая из них определяется в основном декрементом колебаний исследуемого тона бу, так как по изображению фигуры Лиссажу оператор может определить резонанс* с погрешностью по фазе + 1°.

Поскольку фазовый сдвиг между силой и скоростью в точке возбуждения определяется соотношением (см. [1])

что при |<р|=1° дает в процентах 8Ту^О,Зб.

Погрешность измерения и нестабильность периода оТи определяется сравнением с показаниями образцового частотомера. В частности, для задающего генератора 20 \У^ 10 (Продера) вычисление относительной величины среднеквадратичной погрешности в каждой из 20 точек частотного диапазона (при 50 измерениях в точке)

о[г(хи х2, 2^г(х

„ х2, . . ., хп)/дхі]2 (зх,)2 .

то

* При определении значения 7у из условия Не у — 0 или 1т у = 0 величина ЬТу существенно ниже.

позволило найти значение бГи^Ю-4 (0,01%). Таким образом, среднеквадратичная погрешность определения периода колебаний имеет вид

что для 0 = 0,1 составляет 0,03%.

Перемещения в отдельных т-х точках при определении форм собственных колебаний вычисляются но составляющим 1т ит, Ие £/т сигналов датчиков (перемещения, скорости, ускорения) по следующим соотношениям

где О0, О и £)у — тарировочные коэффициенты датчиков перемещения, скорости и ускорения; /е°, й и &у — соответствующие коэффициенты передачи аппаратуры.

Погрешность измерения колебаний в каждой точке зависит от погрешностей тарировки 80°, ЬИ или Ъйу, измерительной аппаратуры (синхронного детектирования) 8(1ш/7т) или 8(Ие^) и коэффициентов передачи 8/г°, §& или 8£у.

Коэффициент £>° определяется динамической тарировкой—измерением сигнала датчика е° при колебаниях его подвижной системы

е°

с амплитудой А:О0 = -дО01 (у), где О01 (у) — степень нелинейности характеристики датчика (безразмерная). Относительная погрешность тарировки находится из выражения 80° = у^б2 е° + 82 А -|-82 £>01 (у) . Например, при использовании цифрового вольтметра, обеспечивающего 8е = 0,2%, микроскопа с 8Д=0,5% и при нелинейности оО01 (у) = 1 % в рабочем диапазоне перемещений (датчики СД 317, Продера) гарировочный коэффициент измеряется с относительной погрешностью 8£)° ^ 8О01 (_у)1 %, так как практически определяется его нелинейностью.

Погрешности блоков синхронного детектирования определяются для 10 блоков по эталонному сигналу (частотой 20 Гц) с пятью фиксированными значениями амплитуд (1, 2, 3, 4 и 5 В). При фазовых сдвигах 0, 90°, 180° и 270° это позволило найти среднеквадратичные погрешности по амплитуде и по фазе, которые в случае блоков ММ 442 (Продера) составили соответственно 1,2% и 0,6°.

Относительная погрешность перемещения определяется выражением

и при указанных условиях, с учетом среднеквадратичной погрешности 8£°=1%, составляет 8_ут=1,8%.

Подобные соображения для сигналов датчиков скорости (20 М12С) дают величину 8_ут=ь2,4%, что в основном определяется большой относительной погрешностью тарировки за счет большой нелинейности [8£)^8Л'(_у)~ 1,8%]. Приведенные цифры получены с учетом того, что в условиях реальных испытаний подвижная система датчика устанавливается, в пределах +1 мм от среднего положения и тщательно контролируется в процессе измерений.

о

^ = /(87’,)*Н-(37’н)2,

и при указанных условиях

8Г;<0,01 V 1 +(306)2 ,

(1)

Т 21т ит 4гс2£>У

либо ут

кТ^ит

2 л£>

8ут = V(81т итГ + (80°)2 + (Щ2

(2)

Величина силы в 6-й точке возбуждения, если она не измеряется непосредственно, а вычисляется по величине напряжения ик на входе усилителя мощности — генератора тока, определяется из соотношения '

где Ек— тарировочный коэффициент силовозбудителя вместе с усилителем мощности; кр — коэффициент передачи аппаратуры синхронного детектирования.

При поддержании среднего положения подвижной системы силовозбудителя с погрешностью + 1 мм и при условии тщательной калибровки усилителя среднеквадратичная погрешность не превышает значения ЪЕк~2%. Тогда относительная погрешность определения силы возбуждения определяется соотношением

и при 8Ке ик= 1,2% и Ыгр = 1 % (для ММ 442) составляет о/к = 2,5%. Относительная погрешность определения обобщенной силы

и для рассматриваемого случая составляет 3,6% при определении _у°у датчиком перемещения и 4,2%—датчиком скорости.

Обобщенная сила при многоточечном возбуждении определяется выражением /^ у°к/, и ее погрешность зависит от

относительной погрешности отдельных слагаемых (одинаковых, поскольку все величины измеряются теми же приборами).

Относительная погрешность обобщенной силы определяется из выражения

В частности, при возбуждении I тона симметричных изгибных колебаний крыльев самолета в двух симметричных точках (на концах крыльев) погрешность §/' составляла 2,5% при измерениях датчиками перемещения и 3%—датчиками скорости.

Погрешность определения логарифмического декремента колебаний при введении квадратурных составляющих сил возбуждения по методу наименьших квадратов (МНК) представляет интерес не только сама по себе, но и потому, что является составляющей выражения для обобщенной массы.

Величина декремента 6Х определяется в этом случае с помощью следующего соотношения:

8Д = /(8ЕкГ + (8 Ие икГ + (8Л' )2

f'k==fkУ0kj (-У*/==‘Зг) ПРИ возбуждении водной точке (не совпадающей с точкой нормировки п) имеет вид

8/; = 1/(8/,)2 + 2(8 Уку

£

(3)

к

Т' и Т’ — значения периода колебаний, полученные для г-го варианта измерений, при |Х| = Хг; Поскольку величины Т'. и Т". близки,

Среднеквадратичная погрешность декремента определяется соотношением

что для приведенного выше примера измерения 1 тона симметричных колебаний составляло 8бу = 1,4%.

Обобщенная масса тп9 (или приведенная т* = т°./у2п) определяется различными способами, что позволяет контролировать надежность результатов. Ниже приведена оценка для трех основных способов.

Величина приведенной массы определяется при механической догрузке по МНК из следующего соотношения:

Д/га? и Г, —соответственно приращение приведенной массы и период собственных колебаний для г-го варианта догрузки массами тк.

Величина среднеквадратичной погрешности приведенной массы имеет вид

от аналогичного выражения при введении квадратурных составляющих сил возбуждения [см. (2)], то абсолютная погрешность

в первом случае составит з =* У 2 ЬТт. е. вдвое больше.

ЬТ

абх

ж уо_ ЬТ,

откуда относительная погрешность

86

(5)

где

к

А Т

Поскольку выражение при механической догрузке отличается

Относительные погрешности каждого слагаемого в выражении для приращения приведенной массы Д/п? равны

что с учетом приведенных ранее значений составляет 5,1% для датчиков перемещения и 6,6% для датчиков скорости. Относительная погрешность приведенной массы

В рассмотренном выше примере при измерении . датчиками перемещения среднеквадратичная погрешнось gamr\ составляла 15 кг, а относительная Ът” — 3,7%, а измерение датчиками скорости давало соответственно 20 кг и 4,9%.

Соотношения (5) для определения от"? при механической догрузке по МНК не распространяются на случай догрузки в точке нормировки (при _Уау=1)- В этом случае приведенная масса определяется другим соотношением:

Приведенная масса при введении квадратурных составляющих

сил возбуждения определяется следующим выражением:

где для всех слагаемых оценки приведены выше. Отсюда в рассмотренном примере относительная погрешность 8тН составляет 3,4% при измерениях датчиками перемещения и 3,8%—датчиками скорости.

2

(6)

ее среднеквадратичная погрешность имеет вид

относительная

величина ее относительной погрешности имеет вид

8т" = У (8Г/ + (&/;)* + (88х )» + (8 Яеуп)* ,

При определении приведенной массы энергетическим методом

используется соотношение

Относительные погрешности слагаемых в отдельных точках возбуждения равны

и составляют ~3,5'%. Среднеквадратичная погрешность величины имеет вид

что составляет —3% в указанном примере. Выражение для относительной погрешности приведенной массы в этом случае имеет вид

и для того же примера Ьту^4,5%.

Таким образом, сопоставление величины погрешности определения обобщенных масс тремя различными способами дает, для конкретного примера, близкие значения — в пределах 5%, что можно считать вполне удовлетворительным.

3. В процессе определения обобщенной массы по МНК вычисляется коэффициент пропорциональности К линейной аппроксимирующей функции

Если погрешность независимой переменной х невелика, приведенные выше выражения для МНК (4) — (7) правомерны, иначе МНК

4 71 (Ие^л)2 ’

где

(7)

8 (Л 1П1.У*) = / (»/*)* -И5

2

ее относительная погрешность —

8 (£ ф) =---------—10--------------------------------------*- -± 8(Д 1т^),

(ТI ^р) (/^ 1ш_уй)

л/ £ [ (Г‘- - X(/* 1т У*) Г

* I /г I

/ к

8т" = У2 (8Г/)2 +18 <« Ф)12 + 2 [§ (Ке Уп)]2

где

оценка для величины К может оказаться сильно смещенной либо несостоятельной. Применение линейной аппроксимации по МНК допустимо лишь при выполнении следующего условия (см. [5]):

(3*)2 С1, (8)

где ах и вг — дисперсии в точке х^

При механической догрузке в точке нормировки приведенная масса определяется выражением (6), где независимой переменной является величина массы догрузки хг = т(, а функцией

А 7/ т1 '

Т) 2 т" ’

откуда для оценки применимости МНК

дг/дХ1= \l2rrij?х — т1 Ьт\ зг=У2ЪТ), и условие (8) принимает вид

2«1-

т" ) I *7)

Оно выполняется, поскольку обычно т^т”. 10~2 и Ьт1 ^ 10_3.

При механической догрузке в произвольной точке (У^ф 1) следует применять выражение (5), а не (6), иначе условие (8) не выполняется.

В общем случае механической догрузки соотношение (5) удовлетворяет условию применимости МНК: теперь при

хь = ; г = Дт? = 2 т] ^у-; ах = V 2 ЬТ/ ;

' « = /[(*«*)* +8(8у*)*1 X т1 (У!/’

и

условие (8) принимает вид

2(87’,-)*

(2 лгп.)2__________-_-_____________< 1

1 [(#т*)» + 8(»у*)*1Х,Я*(-У«)4

к

и выполняется при прежних данных, если

При введении квадратурных составляющих сил возбуждения

используется соотношение (4), для которого полагаем

А Т, - 8 Т)

х1 — 'к1\ гг = /.г; ох~\1Ь\]

и условие применимости линейной аппроксимации МНК

выполняется, например, при 6х~0,05, Х^0,5, Зх == 0,01.

Аналогичным образом можно показать, что условие (8) выполняется и при определении приведенной массы с помощью выражения (7).

4. Приведенные выше аналитические соотношения для погрешностей определения обобщенных характеристик при резонансных

испытаниях позволяют сформулировать требования к метрологическим характеристикам оборудования. Кроме этого, в процессе испытаний можно получить погрешности эксперимента и непосредственно, как характеристики рассеивания.

Поскольку временем и условиями испытаний число экспериментальных точек п, например, функции (Х;) или (т.,) ограничено, величину п можно оценить исходя из надежности а* эксперимента (см. [4]). Так, для пяти экспериментальных точек при а = 0,9 величина отношения абсолютной погрешности измерения к выборочной среднеквадратичной, зависящая от числа измерений п и от надежности а, —коэффициент распределения Стыодента ^ (а) —составляет 2,13. При увеличении я до 10 (при том же а) £ (а) =1,83, т. е. уменьшение незначительно, в то время как трудоемкость испытаний, например, при механической догрузке, практически удваивается. При а = 0,95 разница коэффициентов t(а) также невелика. С другой стороны, при числе точек менее четырех исключать какую-либо из них неразумно; таким образом, минимальное значение п должно быть 4 — 5.

Точка, подозреваемая как ошибочная, проверяется с помощью одного из статистических критериев по величине отклонения от среднего или от значения, полученного по МНК (см. [4]).

5. Причиной одной из наиболее существенных систематических погрешностей определения характеристик при резонансных испытаниях с многоточечным возбуждением является изменение формы собственных колебаний в процессе измерений. Например, при введении квадратурных составляющих сил возбуждения или при механической догрузке выражения, которыми определяется величина тV, справедливы строго лишь для исходной, неискаженной конструкции. Однако при известных величинах „возмущения" можно скорректировать результаты. В частности, относительная погрешность приведенной массы при механической догрузке в точке нормировки составляет (см. [6, 9])

где /м". — величина, полученная в процессе испытаний в соответствии с выражением (6). При введении квадратурной составляющей возбуждения в той же точке это соотношение видоизменяется:

С учетом одного нерезонансного тона, например, при 7’1/Т2 = 2 и т\!пЦ= 0,04 систематическая погрешность составляет 8' т" = 4%, добавление следующего тона (Ть/Т3 = ‘2,6; т\1тп\ — 0,01) несколько увеличивает погрешность: Ъ' = 5%.

* Вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в заданный (доверительный) интервал.

О)

так что истинное значение определяется в виде

т^\і(\ 8'от}1),

(Ю)

Выражения для систематической погрешности в других случаях приведены, например, в работах [7—9].

Методическая погрешность, в ряде случаев существенная, возникает также из-за искажения колебательных характеристик объекта испытаний, вызванного влиянием силовозбудителей и датчиков, а также подвески. При известных характеристиках элементов этого оборудования (в основном возбудителей) погрешности измеряемых величин Шj, т°у и 6“. устраняются пересчетом, например, в соответствии с соотношениями работ [2, 9].

6. Анализ факторов, влияющих на точность определения колебательных характеристик упругой конструкции при резонансных испытаниях с многоточечным возбуждением, показывает, что погрешности результатов могут быть снижены, вообще говоря, до приемлемых значений. В то же время получение результатов, особенно величин обобщенных масс, с удовлетворительной точностью возможно лишь при соблюдении определенных методических условий в процессе проведения и подготовки испытаний, а также при поддержании достаточно высокого метрологического уровня технических средств эксперимента.

ЛИТЕРАТУРА

1. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. М., „Наука*, 1964.

2. Смыслов В. И. Некоторые вопросы методики многоточечного возбуждения при экспериментальном исследовании колебаний упругих конструкций. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 3, № 5, 1972.

3. D a t R. The theoretical and experimental methods used in France for fluter prediction. A1AA Paper N 73-329.

4. ХиммельблауД. Анализ процессов статистическими методами. М., „Мир*, 1973.

5. Ф е д о р о в В. В. Теория оптимального эксперимента. М., „Наука*, 1971.

6. Qauzi Н. Le glissement des frequences propres d’un systeme

surharge. Rech. Aeron., 1957, N 59.

7. Simpson A. An improved displaced frequency method for estimation of the dynamical characteristics of mechanical systems. RAS, 1966, vol. 70, N 666.

8. Mahal in gam S. On the determination of the dynamic characteristics of a vibrating system. RAS, vol. 71, N 683, 1967.

9. Васильев К. И., Смыслов В. И., Ульянов В. И. Экспе-

риментальное исследование упругих колебаний летательных аппаратов с помощью многоканального оборудования АВДИ-1Н. Труды 1ДАГИ, вып. 1634, 1975.

Рукопись поступила 14jX 1974 г.

7—Ученые записки № 5