Точное решение задачи Коши для дифференциального уравнения модели Харрода Домара с переменным коэффициентом приростной капиталоемкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

К моделированию реономных свойств твёрдых деформируемых сред

к.ф.-м.н. проф. Король Е.З.

8(495) 939-31-50, 8-916-852-30-09, ez_korommail.ru Аннотация. Рассматриваются вопросы, связанные с моделированием напряжённо-деформированного состояния реологических материалов линейными дифференциальными уравнениями высших порядков обобщённого эйлерова типа, содержащими производные (второго и выше порядка) по времени равноприсут-ствующих (по условию Кюри) напряжений и деформаций, подчиняющихся условиям напряжённо - временного или деформационно - временного подобия с одной или двумя функциями определения материальных констант и временных функций, для определения которых используется «стандартная» система опытов.

Ключевые слова: обобщённые силы, обобщённые потоки, полная система термодинамических потенциалов, обобщённая цепочка Гиббса-Гелъмголъца, преобразования Лежандра-Эйлера, соотношения взаимности Максвелла, обобщённая диаграмма Борна, условия (неравенства) равновесие и устойчивость системы, внутренние термодинамические времена релаксации и ползучести, определяющие соотношения

1. Потенциалы для реономных систем 1.1. Обобщенные силы и обобщённые потоки в реальном времени

Для реономных систем действие обобщеных сил У = (У^а,У2 ~ б) сопровождается

явлением затухания (или релаксации мгновенного значения), а реакция X = (X1 ~ 8, X 2 ~ Т)

на внешние воздействия сопровождается явлением нарастания потока (или ползучести мгновенного значения) и их значения со временем стремятся в сторону термординамически устойчивых равновесных значений. Считается [1-6, 10-13], что обобщенная сила

пропорциональна скорости релаксации У; и пропорциональна отклонению (Г,- — Г,*) силы от

равновесного значения *, а обобщенный поток - пропорционален ускорению хг., скорости

ползучести х{ и отклонению (Xг- — X *) потока от равновесного значения, указанные выше

обобщённые силы и потоки представляются так

дУ d с

У1 = Ц * -Т1 + & - О = » и (О„ ){Гг} - £{} = -, ц з, (1)

от ц у1

д ^ х дх

Xг = ™хг^ту + V + сх, (х1 - X *) = тХ1 (Б + V 1хг)(Б + V 2хг ){хг} - сХ1х* от7 от

цх, с

(2)

V +У ,=—, V, ,„■ V , ,„■ =

XI

1 хг v 2 хг э v 1 угу 2 уг

™Х1 тХ1

Здесь Ц у1, Ц Х1 - коэффициенты релаксации обобщенной силы и ползучести обобщенного потока соответственно; Су1 , С х1 - коэффициенты пропорциональности обобщенной силы и обобщенного потока соответственно; тх1 - коэффициент динамичности

обобщенного потока; У = ёУ 7 Ж , хг = d 2хг 2, хг = dxг /dt - производные первого и второго порядков указанных функций по времени; V у{, V 1х!, V 2Х! - времена релаксации.

1.2. Обобщенные силы и обобщённые потоки в «собственном» времени

Часто вместо реального времени I используют «собственное» или внутреннее «термодинамическое» время 0(1;) = |(V) или г(V) = )}, где g) - временная

функция релаксации ползучести. В этом случае «вязкость» и «жёсткость» - функции времени; если они таковы, что:

& g ^) Я {г) Ж йС ц

^ё V)

^2*г , Ж ^^дХг , С» „

х, = га,-- + ^^--- + —— х, =

XI

& ^ (г) & g 6(0 8 2(0

(О о + V хи )(Вс + V 2 хг) {х,}, (4)

Ц XI —V ХЦ + V X21э СХ1 —V\Х1 V х21,

где: g^ -т)- функция релаксации (внутреннее время релаксации - время последействия);

-г) - функция ползучести (внутреннее время ползучести - время последействия), то ^/Л = <1/(10 = гё/ёг и исходные дифференциальные операторы Эйлера с переменными коэффициентами приводятся к операторам Эйлера с постоянными коэффициентами (что представлено ниже).

2. Операторный метод обращения (решения) обобщённых Эйлеровых уравнений

( N + 2М )-ого порядка [9]

2.1. Операторы с постоянными коэффициентами

Обобщённые простейшие линейные дифференциальные модели, содержащие производные высших порядков, представляются в виде операторных полиномов:

р(К+2М){у} = д(К+2Ь)| (5)

записанных в форме многочленов с постоянными коэффициентами а ук, а хк

И+2М К+2Ь лк у

р(К+2М){у} = £ ^ = Е (N+2 М д(К+2Ь){~} = £ ^ ±Х = £ (К+2.) { (6)

к=0 к=0 или в виде соответствующих эйлеровых дифференциальных операторов

+ 2М{^} = f ^) = ЕК + 2 (7)

выраженных произведениями элементарных эйлеровых дифференциальных операторов первого (с действительными характеристическими показателями (V уп, V хк ) Е Я ) и второго (с

комплексными характеристическими показателями (ц ут = ОС ут + /р ут х/ = ОС х/ + /р х/ ) Е С ) порядков

мм мм

ек+2м{п(в )Шв -а)2+р 2кп=П ^П

п=\ т=1 п=\ т=1

Ек+2Ь{х) - П Р - V X» )ПКЯ - а х«» )2 + Р2 х» ]{= П П (8) к=1 1=1 к=1 1=1 где характеристические показатели - суть корни характеристических (вековых) уравнений

И+2М К+2Ь

р(К+2М){у н} аук у, = д(К+2Ь){у ч} ахк у : = о (9)

к=0 к=0 Решения (обращения) операторных уравнений эйлерова типа высших порядков представляются по «новому методу операторного интегрирования обобщённых эйлеровых урав-

нений (N + 2М) -ого порядка» [9], не используя широко применяемые метод Лагранжа-Эйлера (вариации произвольных постоянных) и метод интегральных преобразований Лапласа или Фурье. При этом используются обращения (решения) Бернулли-Эйлера элементарных операторных уравнений первого порядка

t

Е«{f} = (D - v){7} = /, f = J(1){/} = е"vi JеV(т)^т; (10)

о

и второго порядка

Е <2>{7} = ((D -а)2 + р 2){Г} = /,

f = |,-ах sm рт f {T)dT _ |, -ах cos рт f (п)

^Р 0 ^Р о

А далее путём кратных обращений (кратного интегрирования) имеем решения соответствующих эйлеровых уравнений с простыми (некратными) характеристическими действительными (v ) е R показателями

N N N т (l)jfj

} = П W) = U(D - v«= /> ^ f = J("Ч/} = X N п -(12)

^ ^ n l U (v«-v,)

р=1, рфп

и с простыми комплексно-сопряжёнными (ц = 0Сym ± х/ =0Сх/ + z'Px/)еС показателями

м

Е(2М {I7} = П = П KD " а » )2 + Р } = /'

т=1

f = j ){/} = jr—---(13)

П [(av -а,)2 + (P2 -p2)]

/=1,1 Фт

В общем случае, когда операторы содержат как действительные, так и комплексно-сопряжённые характеристические показатели, имеем представление решений (обращений)

EN+2M{fj = J-ц) = ЕК+2

w тл

у _ J(N+2M)|у|

N M

+

1 П уп У™ уп )2 +Р 2ут ]

р=1, рфп т=1

М т (2)|

+1"-^^--(14)

П(а-у»»> П к«~а»)2+(Р^-Р%)]

п=\ р=1, рфт

Представленное обращений в такой (конечной суммы, а не ряда) форме удобно тем, что в случае кратных характеристических показателей как действительных, так и комплексно -сопряжённых, даётся в универсальной общеё форме; в случае кратных показателей (корней), например, при Vу1 = Vу2 или Цу1 = (ау1 ± /ру1) = Ц„2 = (ан2 ± ¿ру2) и достаточно перейти к пределу в указанных представлениях, в результате чего появятся степени X *, я - кратность характеристического показателя

у = 1(К+2МЧ а = Иш У-

и=1

1 П уп )П[(аУ" у-)2 +Р2г»]

р=1, рфп т=1

М J(.2) Г

+Ит ,,,,, I ~-м -= (15)

и1П(а-V^) П [(а^ -а)2 + (Р2И -р2р)]

п=\ р=1, рфт

I

Ь > —77-гН^-+

N М N М

П уп*)ПКаз™ )2 ] " ^ (Vуп -V^Д(а-Vуп)2 ]

р=1, рфп т=1 р=\,рфп т=1

»ГШ , ^ Л2,ОТ

I

ММ N м

ПК* " V» П К^"а^)2 +(& -Р^)] ^ПК*"V» П [(с^ -а^,)2 -р^)]

и=1 р=\ рфт и=1

Общие (14-15) представления (приведенные выше) содержат интегралы двух видов

п1}{/} = \ еv - ^/(т)^, J%){f} = \ е <">яп а я (*-т)/(т)^т,

о о

К+1М К+1М N+1М ^ N+1М ^

где функции /у(/) = £^"{х} = £или /х= £аукОя{ТГ) =£> содержат

к=1 к=1 к=1 к=1

производные высших порядков 7(к) = <Зк¥ /или } = ёкх/Жк так, что

к

^{¿с*}} = £ (-1)р V р2(р + (-1) * V ^ (16)

Р=1

и, таким образом, сводится к элементарным интегралам.

В широко применяемых методиках моделирования реологических свойств материалов (см., например, публикации Работнова Ю.Н. [1, 2]) используются в качестве ядер подынтегральных выражений экспоненциально-дробные функции:

- - * . * . - * Е

® у = Еук1еы \ еу = а ы; —> а шо = Оук1 ёы; е^ = Jст ы; Е = Е(1 — Г ) = - —

1 + К

Г' = фА-Н,); э:(Р) -

где содержатся интегралы по контуру функций комплексной переменной. 2.2. Операторы с переменными коэффициентами

Если коэффициенты ауп ), ахп ) дифференциальных операторов (5-8) переменные с одной «координатной функцией» §(1:)так

($)=^т+=§п<$\ <%><$)=(-1)йП' (1?)

си к=1

то путём использования обобщённой эйлеровой переменной

Л(1) = ехр{[-^} (18)

Jg(t)

исходные дифференциальные операторы с переменными коэффициентами приводятся к опе-

раторам с постоянными коэффициентами:

р(К+2М)|у} =

N+2М

Е V

dkY

= Е(2Мх} =

К+2Ь Л к ~

Е1 (Л Л

Ьхк-

к=0

к=о ^ ^ к=0 й ^

где связь между коэффициентами «жёсткости» операторов такова:

пл

^Т±2Ь Л

= Е}{х} (19)

ьГм> = (_1}л„, Ъ» = = 1, к = ЦК+2М), С

к

М+2М

(Н+2М)!

^ Ло к\{И+2М-к)\

и, таким образом, обращения операторов определены формулами (14-15).

3. Полная система потнециалов [8]

Полная система потенциалов представляет обобщённую цепочку Гиббса-Гельмгольца, связанных между собой преобразованиями Лежандра-Эйлера. Ниже представлены общие выражения потенциалов с п перемеными, а для частных случаев - с двумя переменными.

3.1. Цепочка Гиббса-Гельмгольца

Потенциалы Н^д*^''"(ХъX2,...,Хк,Ук+х,Ук+2,...Уп) - это функии соответствующих переменных, связывающие обощённые термодинамические координаты (потоки) х15 / = (1, к) и термодинамические силы Yj, ] = (к +1, п), равноприсутствующих (по принципу Кюри), скалярной, векторной или тензорной структуры, дифференциальными соотношениями:

У

дН

дх,

Е—

I=1 дх1

/ = (1, к); х.

дН й1^»

дУ

,) = {к +1, п)

1

(1х

Ь

)

Ё = ±

-М- уу,

(20)

(21)

/=1 т=к+1 ^ ^ т т=к+1

при этом «жёсткости» Сг7 и «податливости» gjm удовлетворяют соотношениям взаимности Максвелла (или Гиббса-Гельмголца):

501р

чр

дх,

дх

дУ„ дУ„

' )| х, = ) > () г. = ()

(22)

3.2. Преобразования Лежандра-Эйлера.Обобщённая мнемоническая схема Борна

( ит ^

Г ТТ\2 \ п

Я1

л

д

я

я1:

я

12

н\

КН12

я

12 у

н?

щ

Щ,

н\

23

Нв

4^123

Я

123 у

а) Ь) с)

Рисунок 1. Обобщённая мнемоническая схема Борна для преобразований Лежандра-Эйлера полной цепочки Гиббса-Гельмгольца потенциальных функций одной (а),

двух (Ь) и трёх переменных (с)

Цепочка Гиббса-Гельмгольца (подобно мнемонической диаграмме Борна рисунок 1) для функций одной и двух переменных представляется в виде соответственно: • одной переменной Н1 (х1), Н1 )

Н1 = Я! - = Я! - х1У1, Я! = Я1 - У1 ^^ = Я1 + У1х1,

дхх

дУх

(23)

где термодинамические координаты (потоки) и силы даны выражениями:

дН! дН1

Yx =

^Х ^ —

1 dYx

двух переменных Н12(хъх2), Я2(*l572), Я 12(7Ь72), Я*(*2,7^ дН

(24)

Я2 = Я

12

•X,

йх-

Jl_ Н 12

^ = Н" - *2^2 = Н12 + 7Л, oYl

Я12 = Я2 - Yx ^ = ЯI - 7! ^ = Я2 + 72 х 2 = ЯI + 7Л;

57,

Я 2 — Я12 -Xj

ая

12

5-Xj

= Я12 - 7

57!

ая

(25)

12

Я

12 _

Я 2 -X 2

м = я2

йх о

.х-

572 дН2

— Я !2 •Х171 — Я + 72 X 2!,

- m

Н 2 -X г72 — Я! Xi7i,

здесь термодинамические координаты (потоки) и силы даются выражениями:

Уу

ая12 ая2 ая12 ая2

дхх х2 дхх дх2 XI дх2

дН

12

а^

ая'

ая]

12

х2

57,

ая2

dYx

.(26)

х2

Здесь нижние индексы указывают перечень переменных xi; i = 1,£, а верхние -переменных 7., j = к +1, и - аргуменов функций Н\+2Лк 2 " > и ПРИ следовании слева направо в цепочке Гиббса-Гельмгольца используется правило: при поднятии индекса производная берётся по X;, а при опускании - по 7. . Знаки производных определяются так: при поднятии индекса -«плюс», а при опускании-«минус».

3.3. Соотношеня взаимности Максвелла. Система неравенств; условия равновесия и устойчивости системы

По свойству преобразований Лежандра-Эйлера детерминанты производных потенциалов отличны от нуля, положительны их дифференциалы второго порядка и главные миноры гессианов; это, как и условия экстремума первого и второго порядков изопараметрических коэффициентов «жёсткости» и «податливости» (при х; = const или 7. = const), даёт ряд неравенств типа (таких неравенств 2 п ):

det|G,| >0; det|g,| >0, G, >0, g, >0, (Gfl)|7t <(Gtt)| ;(gu)| <(g;,)|;

\xk

дёг} dgu

\xk

8Y„ a7,

aGL=8GiL (27)

дх, dx,

Скк^к+и+1 ,к+1)2 — ёккёк+\,к+1 (§к ,к+\)2—о,

-к лк """)

Система неравенств и соотношений взаимности Максвелла обеспечивает взаимнооднозначную определимость (разрешимость) потоков и сил, положитнльную определённость дифференциалов второго и высших порядков, интегрируемость дифференциальных формц первого и второго порядков, а в целом -равновесие и устойчивость системы.

3.4. Определяющие соотношения. Дифференциалы сил и потоков

Согласно (9) и (11) дифференциалы термодинамических потоков и сил соответственно представляются соотношениями

dYl = (äT^х 2 1 + х 2 dx 2 = (ä^Х2 1 + (~dY) 72 1

——) _ dx, + (——) х dx2 = (—-) _ dx, + (—-

4 дх дх дУ дх

СЛА j СЛА 2 \ СлЛ- j

(28)

dXl = г2dYx + г!dY2 = х dYx + г dx2 1 VÖ7/72 1 Ü72 71 2 Ö7/X2 1 Vöx/72 2

(29)

dx2 = 7 ^ + г d72 == 7 ^ + x d72 2 VÖ7/72 1 dY2 Kdx/2 dYx

Наглядным примером потенциалов являются широко используемые в механике твёрдых деформируемых сред, а именно: внутренняя энергия H12(xx = s,х2 = 5), свободная энергия #2(Xj = s, Y2 = T), потенциал Гиббса Н12 (I7, = <т,72 = Т) и свободная энтальпия H:2(Yl =ст, х2 = s)/

4. Вариационные принципы [2, 5, 10-13]

В термодинамике существуют обобщенные силы, которые пропорциональны сопротивлениям и обобщенным скоростям (потокам). Если заданы термодинамические силы и условия принуждения, то в любой термодинамической системе возможны лишь такие необратимые процессы, для которых принуждение минимально. Универсальный локальный потенциал:

П( J, X) = Ф( J, J) + ¥(X, X); П = J л dV = min;

к

Вариационные принципы: Даламбера (дифференциальный), наименьшего принуждения Гаусса (дифферениальный), наименьшего действия (Мопертье- интегральный), (Гамильтона -интегральный), наименьшего рассеяния энергии (Онзагера), наименьшего производства энтропии (Пригожина), (Дьярмати). Ниже приведён достаточно широкий набор формулировок вариационных принципов, рекомендуемых для анализа реологических механических систем (с рассеиванием), приведенных в [2, 5, 10-13].

4.1. Принцип наименьшего рассеяния энергии (Онзагера,1931)

Процесс описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и линейными определяющими (конститутивными) соотношениями, коэффициенты которых удовлетворяют соотношениям взаимности и потенциальности

Jr = zLv&-adT] = ХАДТ,; LV = Lß;г< ={Т>"AMv-Ь VT,= fjR1JJJ; Rl] = Rß 1

j=\,n 7=1,и 7=1

оФ 1 п

Xt =—=W,; Ji =—-; Щ = const; Ц = com; Fa_M -(Ф+ЧО; Фa-j =~YßyJrJj'

dJt dXt 2lJ=x

потенциалы удовлетворяют принципу

^ O-X = 11 LVX>XJ' a o-M =Z J'X'' j Fo-udV = min; (30)

^ i ,j=1 '=1 V

Принцип наименьшего рассеяния энергии Онзагера в дифференциальной, локальной форме:

• представление через потоки X = const', ЬХ = 0

^ + V • Js - Ф(J,J) = а(J,X) - Ф(J,J); 5Га(.7,.Г) - Ф(.7,.7)1 у = 0; ^ Xк = Ц-:

oi L J х oJ к

• представление через силы J = const', bJ = 0

^+V • Js - 1) = a(.7,1) - 1); 5[a(.7,1) - 1)1 , = 0; ^ .7, = Ц-

CT L J J flti

4.2. Принцип наименьшего производства энтропии (Пригожин, 1959, Дьярмати Суагта« I., 1963)

Неравновесная термодинамика и обобщенный принцип, объединяющий принципы наименьшего рассеяния энергии и наименьшего рассеяния энтропии.

Зг = ХЦ&яК! = Е ' 1У =' Г< Ч^-АМ,-.}; = ; Д, = ;

7=1,и 7=1, п 7=1

^ и ^ п п

2 ¿Й

2

¿=1

г ^

I =mm; Хг =—=VT;; Jt =-—; * const; * const;

« Л / Ял

а/,

ах,

(31)

А? — А? (Г1,Г2,...,ГЯ), Д-,- — Д-,- (Г1,Г2,...,ГЯ)

квазилинейные конститутивные соотношения.

Представление конститутивных соотношений в виде разложения:

•Л = Ё^г, + ±Г, +...+1 £ ^,...УГ, +

J=1

2 / ,к=1 1

г,],../=1

1

VFг = ЕЛ,./, + -X RljkJjJk +... + - X

7 =1 ^ 7 ,i=l i ' г J ,..1=1

Ryk jJ jJ к ■■■J I +

Ly ~ Lji; LiJk - Llkj - Lkjl;

= ' R'jk = ^ikj = Rkji 5

Lyj — LU1 —...;

^27../ = ^/¿..i = •••

компоненты которого удовлетворяют соотношениям взаимности.

Вариация суммы потенциалов равна нулю (теорема Дьярмати):

^ О-М = ^ О-УГ + ^ О-3 + ^ О-Г =

в случае квазилинейных соотношений справедливы равенства

п , „ дьтк. „ „ дь

Т аг

lm Т -и Т?

mk im

дТ

) = Е С

дТ

1М f RimRki

mk

дТ

) =0;

dF 1 ", QL °;

~= E (XtXk - RimRklJmJI) дТ , 2i=1 аг;

(32)

(33)

(34)

7 г,л=1 ^^ 7 г,к=1

Теорема Дьярмати справедлива (Фаркаш и Ностициус) и для нелинейных конститутивных соотношений:

Я/ Я/

Л = J1 (Г2,..„Гя,УГ УГ2,...„УГя); (—г = к. (35)

ду1 к г

Соотношения взаимности Онзагера

и-1

а = + + >0; ст' =^iAkJk; gv = Jq ■ Xq + :

к=1

к=1

ст а _ pav. ^а. а i _ pav. ^. а = ^ LyJ iJ J ; <5 = ^ R1JX1XJ; Lß = LiJ; ^ = ^;

ВЫПОЛНЯЮТСЯ.

4.3. Принцип (Глансдорф - Пригожин)

rf Р

Р = Х>0; dP = £JidXi + £XldJl; X; = £L11J1; Jt = £R11Xl; <0;

¿=i

¿=i

i=i

¿=i

¿=i

^ -J£-Л ^ + 1£* 0;

dt

V ¿=1

dt

i=i

dt

(36)

J, =r,

T

,-P,... f; п(г,) = 2T(j,j)=J

Едг, + x Л-г ,г , + £ Lvw 1VTJ

i,J=1 i^/ =1

¿=1

йГ;

у д дЧ _ 0

0Гj-i dxk ^ ar^

dxk

4.4. Универсальная форма (Пригожин, Онзагер - Махлуп)

dp s

dt

■ + V • Js - Ф(J, J) (X, X) = g(J, X) - Ф(J, J) (X, X);

o( J, X) -Ф( J, J) X,X) l = 8[o OM ] = 0; ^ X к =|i-; Jk =Ц-(37)

J oJ k oXk

4.5. Функции рассеяния Рэллея (локальные потенциалы рассеяния)

Ч>(X,X) = кХ, > 0; Ф(ЛJ) = y^LklJkJl > 0; (38)

к ,1=1

к ,1=1

- " - " - - а^ - ЭФ

Jk ^ki^iXk RkiJ i j Lü = Lfc; = ; Jk = ; X,,

/=i

/=i

* ах/ * ал

4.6. Гауссова форма (наименьшего принуждения, наименьших скоростей, наименьших квадратов)

W (X, X) = \ X RbX г > 0; Ф( J, J) = \ X Lj j > 0; (39)

2 k=i 2 k=1

Jk = XLfoXl; X^ = Xj Jk = j = т^

/=i /=i ол^ oJ k

4.7. Интегральный принцип. Уравнения Лагранжа-Эйлера

Яс /.

3 = р--^ = ЦГ) =[3 = min;

а? •

(40)

у а дЗ _0. аг j-t ôxk д^ аг^

dxk

4.8. Общий случай

« аг 1 82 V

3(Г, VT) = р£ t-JL --X ¿.VT ;Vr, ; = = Ajt ; (41)

aves ar,.. a аз _Q

a? " аг, а? ' ^ аг, hdxk a(arL) " ■

dxk

4.9. Вариационный принцип А.А.Ильюшииа [5].

Однородный процесс деформации в твёрдом деформируемом теле, задаваемый обобщённой функцией (потоками) П(г) в интервале времени t0 < г < t < оо ,в результате чего реакция тела проявляется в обобщённых параметрах-функциях R(r) таких, что для любой точки х тела и в любой момент t имеют место законы сохранения энергии, баланса энтропии, сохранения массы и импульса. Для функционала внутренней энергии справедливо тождество

Ù ЧП(т)} - ё(t)ô' (П(х)} - л ' {П(т)}Г(t) = 0, (42)

где функционал внутренней энергии определён выражением

t

u(t) = u'{n (т)} = Jô ' (П (т)УЩт) + u(t о).

о

Существует билинейная форма (например, приток тепла) - скалярный функционал У'{П(г)} = Rtt{П(г)}П(t) такой, что при ненулевом процессе существуют первые вариации (первые линейные функционалы) L'n{¿П} и lly {Ж} :

R *{П + 5П} - Д ' {П} = L'u {5П} + 0(Ш ), У1{П + 5П} - V1 {П} = L'y {5П} + 0(Ш ),

при заданной норме <5N —» 0, удовлетворяет тождеству:

8V( (П(т)} - R' {П(х)}5П (t ) - 5R' {П(х)}П (t ) = 0 (43)

Согласно принципу минимума рассеяния следует:

t t

ÔV1 = J 511 (i)rfv (t, x) + a(t )6П (t 0), 5 R< = J 511 (x)dY (t, x) + b(t )6П(? 0) (44)

10 t о

Если процесс необратимый, т.е. У*{П(х)} = V(t) > 0 - неубывающий функционал, то величина (функционал необратимости):

My = J F ' {U{x)}dt = V (t ) - V (t о) > О

может служить мерой необратимости процесса.

4.10. Канонические полевые уравнения (Верхаша Ж.- Verhas J. ,1967 и Войта Г.-Vojta G.,1967)

Варьируется плотность потенциала рассеяния - плотность лагранжиана:

¿(Г,,Г,,УГ,) = р*-¥(Г,,Г,,УГ,) = гГ, -^¿Е¿,УГгУГ,; (45)

I=1 }=1 2 г=1 7=1

где время не рассматривается как независимая переменная и потому оператор - производная

по времени--может быть заменен оператором V :--> V; V г- =-; и, кроме того,

& Ж дх1

I

предполагая существование «потенциалов скорости» '1, которые не имеют непосредственного физического смысла (не измеряемые в эксперименте), а их градиенты, определяющие плотность потока:

I = У^ , = -П ,; (46)

и служат для записи уравнений переноса.

Следуя принципу Гамильтона (стационарности временного интеграла, равносильному термодинамическому принципу Лагранжа стационарности объемного интеграла):

Ь = (IV = шах; ^ ЩТ г) = с1У = 0; I = р 5-¥ = ст-¥;(47) к к

и считая полевые величины Гг. - обобщенными термодинамическими координатами, обобщенные термодинамические импульсы определяются соотношениями:

- дЬ дЬ —

п, = —-; П, = ; у = 1,2,3; I = (1,п)- (48)

аУГ< Э(^)

дх}

откуда вытекают представления через потенциал диссипации Ь (Гг., VГ;) и, в конечном счете, через диссипативные силы VГ;

й,=-Е ,; п *=-Е<46)

7=1 к=1 ЙХ;

и тогда полевые термодинамические уравнения Эйлера - Лагранжа записываются в виде:

Ы д1 Л д д1 д1

Е^—о; ^ ^^-п,. (49)

5г аг к=1 дхк д^ аг^ ' аг

дхк

Используя плотность термодинамического потенциала рассеяния Гамильтона: Я(Г,,Й,) = ЕЙ, УГ, -Ц УГ, ; -УЙ, = ; (50)

г=1 ап аг

нетрудно убедиться, что потенциалы рассеяния Лагранжа и Гамильтона связаны между собой преобразованиями Лежандра:

Я(Г ,, Й ,); £ (Г ,, УГ ,); I = ЕЙ, ^ ~ Я = EVГ - ¿; (51)

при этом между производными по «пассивным» переменным справедливы соотношения:

дЬ дН

-=--. (52)

аг аг

Это значит: если пассивные переменные лагранжиана - обобщенные координаты Гг., а активные переменные - обобщенные скорости VГ;, то они (активные переменные) переходят

в обобщенные импульсы П;, а плотность лагранжиана

I (Г ,, УГ ,) = р * -У; (53)

переходит в плотность гамильтониана:

Й (Г ,, П ,) = -р * -Ф; (54)

связанные между собой преобразованиями Лежандра

Я(ГгД); ¿(Г„\Т,); Ь = £Й, ~ Й\ Й = -(55)

для которых справедливы уравнения Эйлера-Лагранжа

ы, л а д1 ая л а ая п --У--= 0; =>--У--— = 0- (56)

аг, дхк а(аг1) аг, £ дхк а(п,)

дхк

Неравновесные потенциальные функции (производство энтропии), соотношения взаимности

Р=Е= т1п; = 0; 5Р = 5Хг >0; Зг = £ЬуХ].

1,7 =1 г г =1 7=1

5. Доопределение функционала рассеяния

Если в конечном объеме среды возможен стационарный периодический процесс _ _ 2л

П(Т', е) = П(х, ?) = П(х, ? Н--) с частотой со , то рассеяние * и энтропия 5* для произ-

со

вольного момента ^ и любого объема V с границей Е удовлетворяют условиям (условиям доопределения):

?! +2я/ю ?! +2я/ю ?! +2я/ю

| сИ|рЧУ = (2Ъ <2Х = | сИ|(-дпуи,; | сИ\pfsdV = 0; (57)

?! К ?! I ?! V

Допущение: тензор напряжения в точке х сплошной среды, в которой отсутствует влияние истории деформирования, зависит только от координаты х, градиента х{ и его производных по времени (смещений, деформаций, скорости деформаций и производных высшего порядка):

а = /(х,X,,, Xi Д,...) = /(8,8,8,8,...) тензор скорости напряжения в точке х сплошной среды, в которой отсутствует влияние истории деформирования, зависит только от координаты х, градиента х{ и его производных по времени (смещений, деформаций, скорости деформаций и производных высшего порядка):

d „ а _ _ дд d _ а 1: -л- ч ~ ~ ~ ч

— СУ = —С7 + у — = — /(х,хг,Xг,,ХЛ,...) = Ср(8,8,8,8,...) dt а? ох dt тензорно-линейные соотношения напряжений-скоростей деформации изотропных сред:

6 = С о 5 + С\ё + С 2 8®е; 8 = с 0 5 + сх а + с 2а ® а;

потенциал рассеяния и характеристики «жесткости » и «податливости»:

у =у ( т т j у г = dXa. ç _ д%о . ç _дг

Л,я КаУ1 le*1 2s->1 ЗеЛ ^ О _т 5 _т 5

д!хг д! 2е а/ЗЕ

_ / т т т Y - • - • -

Хе -ХЕ 1ст 51 2ст 51 Зст Л С0 —^ 5 — ^ 5 С 2

^/ю а/3о

I 1е = е8; / 2е = 8 • е; I 3е = е • е • е; 11а = ст8; 12о=а -ст; 13о=а -ст -д; эффекты второго порядка (Кельвина - давление пропорционально квадрату скорости сдвига или скорость изменения объема пропорциональна квадрату касательного напряжения; Пойн-тинга - нормальное напряжение в плоскости движения пропорционально квадрату скорости сдвига или скорость нормального удлинения в плоскости пропорционально квадрату касательного напряжения) отсутствуют

а = С 0 5 + С1Ё; 8 = с 0 5 + сх<5;

Ха=Ха 1е 51 2Е X С 0 = ~~ , =

3/le dl2e

у -у (I I )■ с ■ С - 01

Jis — JlsK1 la?1 2а h ~ > ~

3/la ÔI2g

I lE = sô ; I 2е = s • s; 11а = ст8 ; 12o = â -ст ; явление затухания со временем (релаксации) однородной немеханической «обобщенной» силы Хк в направлении устойчивого нулевого значения и пропорционально отклонению этой силы от положения равновесия и деформации тела (с заданным временем релаксации zi и коэффициентом взаимодействия yi )

Zr д

—- = -хДi -ys; dt

линейные соотношения «стандартного тела» (Zener С., 1948):

M g 8 + Mv 18 = C7 + ТСУ ; M g ( 8 + T v s) = (T + IC7 ;

T. = =Tt(l + M,); T = T(; M, = 1 + V< •

м, м 8 м,

сопротивление среды действию периодических сил и периодической деформации

5(t) = a 0exp{/a>i}; —> s (t) = s 0ехр{/(ш t + 5)};

.г 1 vMv - M Е шт - гтттт- - I— tgb = ш-——— = v- s -—-; M = уMEMv; x = ^xxv

1 + ю2т vT M 1 + ю 2x2

О О

5 = 2 G (e +1 k e); a = 2Gs + 2Gx * s + 8[( К — G) s5 — Gx k s5 - аГ ]; x k = ^;

3 3 G

^ ^ - коэффициент вязкости при сдвиге.

6. Полная механическая энергия (кинетическая и потенциальная)

Первый интеграл уравнения движения

Em = Ek + Е ф = const; dE = 0; (58)

полная энергия (механическая и тепловая - внутренняя) - закон сохранения полной энергии (удельная теплота и удельная работа)

Е = Ет + V = сотГ, <ЛЕ = 0; (Ю = dQ + аж;

8Ри в 7 А А А (59)

+ V • ,/„ =а и; аи = ад + dw;

а?

баланс энтропии

сБ = dtS+diS; drS=^ > 0; 5 = \psdУ, ^ = • ^ = > 0

Т у dt а (й у

до £ — — — —

-+ Js =<5 8 > 0; Js = JQS -р яу ; du = Tds - pdV; drQ = TdS; dq = Tds;

а?

и ^ и-1 ^

du = £Г; аг ={Т,р-,..}; Г={•?,...}; ^ = —-^—^(60) ¿=1 ^ ¿=1 ^ Второй закон термодинамики (закон возрастания энтропии) - теорема Карно-Клаузиуса

^ = ^ > 0; (61)

Сохранение энергии и баланс внутренней энергии:

1 2 1а 2 Фе - у0

е = + и = — V2 +— в(д2 + ф + и; -г— + =ае;

2 2 ^ д1 ^ (62)

^ + У • (Л + ри у) = а и = -Р: Уу + 2со • ?- > 0; Л = 1Ч дt

баланс энтропии и производство энтропии:

& V-Л Р:Уу-2со• Рач дэ - 7 р—+—=--; р—Js

дг т т аг ' '

®, = ЕА*1 ^ + Л ' ^ + ' ^ + + ?" : + : ^ 0; (63)

к=1 ¿=1

^ = 4^); Хк = ^; = -±V• у; =-'; X? = -ху -2со).

7. Модели вязкоуиругих элементов. Дифференциальные полиномы.

7.1. Двухэлементная схема Максвелла

Последовательное соединение элемента Гука и Ньютона М = Н ГлЫ

. 1 . 1

в = —су +—а;

Е л

7.2. Двухэлементная схема Фойгта-Кельвина

Параллельное соединение элемента Гука и Ньютона УК = Яи^

а = ЕЕ + Ц ¿;

7.3. Трехэлементные стандартные схемы

Состоят из последовательно соединенных элемента Гука и схемы Фойгта-Кельвина 8р = Н гл {Н сл Ы) или параллельно соединенных элемента Гука и схемы Максвелла St = Н и (Н п N)

о • Ел + Е 2 . ЕлЕ 2 Бр => су + —--а = Ехе+ е;

Л 2 Л 2

^ а + — а = (Е1 + Е2)г + 2 е; Л 2 Л 2

7.4. Трехэлементные нестандартные схемы

Состоят из последовательно соединенных элемента Ньютона и схемы Максвелла Ыр = Ыгл (Н о Ы) или параллельно соединённых элемента Гука и схемы Фойгта-Кельвина

М = N и (Н и N)

• 1 ЕУ 1 "Л

су н--а = Е (8 н--8);

7.5. Четырехэлементные М П ^ = М1 П М2 = Я П (N и М2 ) = N П (Я и М2 ) эквивалентные схемы

/Ел Ел Е. ЕлЕ3 .. ЕлЕ3 .

а + (— + — + —)су + а = Ер + ^^ е; Л 2 Лз Л 3 Л 2Лз Лз

7.6. Обобщенная схема Фойгта

Состоит их последовательно соединенных схемы Максвелла и множества схем Фойгта

11 ^ 1 Р

8 = С (— + -) Я (*) + [1 - ехр{ (*)

Е1 Л1 и=2 Е п Л п

7.7. Обобщенная схема Максвелла

Состоит из последовательно соединенных схемы Фойгта и множества схем Максвелла

к р а = КЕХН^) + КлД?) + К^Еп ехр{--Ч}Н^)

п=2 Л п

7.8. Модель Пойтинга-Томсона (нормальное тело)

Параллельное соединение модели Максвелла и элемента Гука Р = Н и (Н п N)

Л . „ л(Ех + Е2) . а н——су = ^8 + -— е;

Е 2 Е 2

7.9. Модель Кельвина

Последовательное соединение элемента Гука и модели Фойгта К = Н гл {Н и Ы)

Л . Ел + Е 9 л 8 н—— 8 = —-- а + —!—ст;

Е 2 Е ХЕ 2 2

Периодическая нагрузка

Периодическому процессу деформации ) = а0 ехр{/с#} соответствует напряжение

а(?) = а0 ехр{/(соу + ф)} при этом работа:

Л = |а ^ е; (64)

о

состоит из двух частей: первая - периодическая функция времени, т.е. полностью обратимая, а вторая - пропорциональна времени, следовательно необратимая. Величина необратимой работы в единицу времени - мощность диссипации равна:

j __Е

D = -шсто sinф; а0 = 80\е\ = s0>/Е2 + E2S\ = ;

2 Е „

Вынужденные колебания

Е р2

ü + СО g(l -Т)и = со 02ехр {ipt}; и 0 = [(-f)2 + (-f)2];

f-4)2 + ^^ = ^ „ 2

А СОо А ^

- Е

смещения при этом есть:

со2

Е + Е Е — Е

и = и0exp{-Aí}sinmt; ю = ю0А| ^ с; А = ю0J с; Е = Ес +

а составляющие комлексного модуля, зависящие от частоты даются выражениями:

Е = Е 1 + Кс ■ Е = Е Ks ■

с (1 + кс )2 + Kl' s (i + кс )2 + к2:

Накопление энергии

1'' 200 W = ÖÍÍGvkl(S ~ ^ = I G*kl~ = "í~

^00 [ л о

J СО í Í

= -JG°k[AlJAkl + ByBkl]d<x>; Ay =Jcos&sdeij (s), BtJ =Jsin&sdeij (s), G¡klAl}Akl > 0

л о о о

Все материальные функции и константы определяются экспериментально из «стандартной» системы опытов, которая включает: опыт на релаксацию 8(t) = const = 80 => <j{t) , опыт на ползучесть <j{t) = const = G0 => 8(t,Gо) , опыт линейные деформирование a(t) = G0t => 8(t,G0) и нагружение s(t) = 80t => a(t,80), циклическое деформирование s(t) -sa sin® t => cr(t,cq,sa) и циклическое нагружение o(t) = g a SÍnC0 t =>s(t,C0, g a ).

Литература

1. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций.-М: Наука.-1966,- 752 с.

2. Работнов Ю.Н. Механика твердого деформируемого тела. -М.: Наука, -1979. -744 с.

3. Ильюшин A.A.. Механика сплошной среды. —М.: Изд-воМоск. ун-та. -1990. 310 е..

4. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязко-упругости. -М.: Наука. -1970. -280 с.

5. Ильюшин A.A. Труды. Т.З. Теория термоупругости. Составители: Ильюшина Е.А., Тун-гускова В.Г. М.: ФИЗМАТЛИТ.-2007.-288 с.

6. Бленд Д., Теория линейной вязко-упругости. М.: Мир, -1965. -200 с.

7. Фрейденталь А., Гейрингер X., Математические теории неупругой сплошной среды. -М.: Наука, -1962.-432 е..

8. Король Е.З. Термодинамические потенциалы и некоторые соотношения анизотропных сплошных сред. / Сб. Упругость и неупругость. Материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемого твёрдых тел, посвящённого девяностолетию со дня рождения A.A. Ильюшина. Москва. 22-23 января 2001 года. М.: Изд-во Московского университета. -2011. -454 с. (с. 93-99).

9. Король Е.З. Новые методы операторного интегрирования обобщённых эйлеровых и бесселевых уравнений (N + 2М)-ого порядка. Проблемы машиностроения и надёжности машин. № 6, 2003.-С.8-21.

Ю.Кубо Р. Термодинамика. М.: Мир. 1970.-274 с.

11. Дьяртмати И. Неравновесная термодинамика. М.: Мир.-1974,- 304 с.

12. Кравчук A.C., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных композиционных материалов. М.: Наука.-1985.-342 с.

13. Бугаков И.И. Ползучесть полимерных материалов. М.: Наука. -1973,- 287 с.