Обобщённые интегральные импульсы потоков и сил и потенциалы вязко-упругих тел больцмановско-кельвиновского типа Текст научной статьи по специальности «Физика»

Обобщённые интегральные импульсы потоков и сил и потенциалы вязко-упругих тел больцмановско-кельвиновского типа

к.ф.-м.н. проф. Король Е.З. 8(916)852-30-09, ez_korol@mail.ru

Аннотация. Рассматриваются представления полной группы одномерных или многомерных потенциалов напряжений и деформаций реологических материалов, описываемых линейными и квазилинейными интегральными соотношениями больцмановско-кельвиновского типа, содержащих одну пару временных функций релаксации и ползучести, связанных между собой системой линейных интегральных уравнений взаимности Максвелла. Построенная группа потенциалов как функции интегральных импульсов потоков и сил удовлетворяет преобразованиям Лежандра-Эйлера и образует цепочку Гиббса-Гельмгольца в обобщённой диаграмме Борна. Приведены варианты потенциальных определяющих соотношений.

Ключевые слова: вязко-упругие среды, импульсы потоков и сил, полная группа потенциалов, преобразования Лежандра-Эйлера, соотношения Максвелла, равновесие и устойчивость системы, определяющие соотношения.

Введение

Формы представления определяющих соотношений. Характерной особенностью вязко-упругих тел (ВУТ) больцмановско-кельвиновского типа является линейное взаимно

однозначное соответствие тройки f ~ (u ,u) ~ t или s ~ ( ~) ~ t переменных: внутренних сил f (напряжений s ) - внутренних перемещений u (деформаций ~ ) или скоростей перемещений u (деформаций ~ ) - времени t, представленное двумя линейными интегральными выражениями общего вида:

t

> +

о о

и в частности, для напряжений и деформаций [1 - 7]:

t A t

c(t) = E[s(t)-¡R(t-T)ë(T)dTl 6(t) = - [o(t) + Jn(/-T)o(T)i/T] , (1)

0 ^ 0 где функции последействия (релаксации R(t -t) и ползучести n(t -1) ) связаны (по условию взаимности) двумя линейными интегральными соотношениями-равенствами следующих из

пары соотношений (1):

t t

R(t-t) = П(t-t) + J П(t -X)R(X- t)dx, П(t-t) = R(t-t) + JR(t-Х)П(Х -t)dx, . (2)

t t Каждое из них есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода с двумя переменными пределами. Например, для функции релаксации R(t -1) по первому уравнению (2) ядром является другая, а именно: функция ползучести n(t -1).

Таким образом, определяющие соотношения ВУТ больцмановско-кельвиновского типа задаются двумя линейными интегральными выражениями (1) для напряжений и деформаций и одним из тождеств (2) для ядер интегральных выражений, являющихся материальными (физическими) функциями ВУТ. Соотношения (1) - (2) связывают потоки сил и деформаций и импульсы соответственно деформаций или сил (интегральные слагаемые), т.е. левые и правые части разнородны по порядку производных и кратности интегралов: правые части содержат и сами определяющие функции (например, деформации) и их интегралы (обобщён-

I i

(f,CT)(t) = (и, ë)(t) - { R{t- т)(й, ё)(т) dx, (и, ë)(t) = (/, CT)(t) + Jn(i - т )(/, ст)(т)с/т ,

ные импульсы деформации), а левые - только сами определяющие функции (напряжения).

Эту форму определяющих соотношений ВУТ называют смешанной.

Из двух соотношений (1) следует важная линейная связь только интегральных слагаемых (импульсов напряжений и деформаций):

t t

Е J R(t - t)b(t)î/x = J II(f - t)ct(t)</t . (3)

о 0

Из соотношения интегральных импульсов (3), используя одно из равенств (2) для ядер подынтегральных выражений, приходим к одному из соотношений (1) для напряжений или деформаций. И таким образом, определяющие соотношения ВУТ больцмановско-кельвиновского типа могут быть также однозначно представлены одним чисто интегральным соотношением (3) и одним из соотношений (2), т.е. одной из следующих систем:

t t t

Е ¡R(t - т)е(т)</т =jn(f - т)а(т)</т, R(t-x) = n(t-x) + ju(t - - т

0 0 т

t t t

E J R(t - т)б(т)Л =J П (t - т)а(т) dt, n(t-x) = R( t-т) + J R(t - -i)d% . (4)

0 0 T

Отличия смешанной формы (1) от чисто интегральной (4) состоят в том, что в первой паре присутствуют одновременно и обобщённые силы и перемещения и соответствующее интегральное выражение или обобщённой силы или перемещения, ядро которого удовлетворяет условию (тождествам) взаимности (2), а во второй - только интегральные выражения и обобщённых сил и перемещений, ядра которых подчинены условию (уравнениям) взаимности (2). При этом представления в форме (4) однородные (левая и правая части соотношений) по порядку производных или кратности интегралов. Последнее обстоятельство удобно при формулировке соответствующих потенциалов.

Потенциалы ВУТ больцмановско-кельвиновского типа. Потенциалы внутренних сил (напряжений) и перемещений (деформаций) или скоростей перемещений (скоростей деформаций) как функции соответствующих переменных представляются дифференциальными выражениями типа: • для векторов усилий и перемещений:

7 ÔF(и) 7 _ _ ÔG(f) _ ?

OU OI

G = F(u)-u ^ = F(û)-uî(iï) F = G{f)-f^P~ = G + Mf),

du df

du df '

>2 77/rslj

df = ^ dû = (D(iï)diï, dû = - ^ df = ф (f)df ;

dû df

для тензоров напряжений и деформаций:

dF(s) _ _ _ dG(à) „ a = ——, ст~в; —» с =--, в-a,

дё dà

G=F_~dm=F_ëà ^ F=G_ô?m=G+ôê>

dë dà

„ ôF(s) _ dG(à) в—— = a-,

dë dà

d2F(s) d2G(à) „ _

da =-irLd£ = <S(e)de, dz =--\jLdG = §(à)dG, (5)

de dà

где две функции F(u) и G(f) или F(~) и G(cr) - соответствующие потенциалы, например, свободная энергия Гельмгольца и потенциал Гиббса.

При представлении этих функций обобщённые силы s или f и обобщённые потоки, перемещения ~ или u, выбираются таким образом, чтобы, согласно принципу Кюри, каждая пара (обобщённая сила ~ обобщённое перемещение) равно присутствовала во всех соотношениях, а её компоненты имели одинаковые размерность (скалярную, векторную или тензорную) и порядок производной или кратность интегралов. При этом полная группа потенциалов удовлетворяет условиям взаимности Максвелла (взаимно однозначной определимости), представленным преобразованиями Лежандра-Эйлера [3 - 14], образующими цепочку Гиббса-Гельмгольца вида:

G(a) = F(s)-s = F(ë) - ëô(ë), F(ë) = G(a) - a ^^ = G(ô) + oë(ô),

дё do

.9F MdG л„ dà(ë) U s— = a—, aa = —— as = <P(s)as, as =-aa = ф(а)аст,

дё да дё да

где: <3a(s)/ds = Ф(£) и Эё(а)/Эа = ф(а) - «жёсткость» и «податливость» связей обобщённых потоков и сил соответственно.

Цепочка Гиббса-Гельмгольца, как и мнемоническая диаграмма Борна, позволяет подобно интегральным соотношениям (2) для ядер последействия определять любой потенциал полной группы по известным другим дифференциальным соотношениям (6). Эта связь обеспечивает взаимно однозначное соответствие пар потенциалов F(s{})~G({})~t и их потоков и сил s(t)~a(t)~t, потенциальность и однозначную разрешимость определяющих соотношений связи относительно обобщённых сил и потоков. Система неравенств для детерминантов производных потенциалов (отличны от нуля, положительны их дифференциалы второго порядка и главные миноры гессианов) и коэффициентов «жёсткости» и «податливости» (при 8 = const или a = const ) даёт ряд неравенств типа (таких неравенств 2 n ):

det

d2F(s)

дё

s~2

>0, det

-о.

да2 дг2 да2

и соотношений взаимности Максвелла определяют условия экстремума первого и второго порядков и обеспечивают взаимнооднозначную определимость (разрешимость) потоков и сил, интегрируемость дифференциальных форм первого и второго порядков, а в целом -равновесие и устойчивость системы.

Таким образом, для вязко-упругих тел больцмановско-кельвиновского типа характерным являются: 1) потенциальность связей обобщённых импульсов потоков и сил; 2) полная группа потенциалов, связанных между собой преобразованиями Лежандра-Эйлера, образует цепочку Гиббса-Гельмгольца; 3) каждый из потенциалов есть функции наборов разноимённых обобщённых импульсов потоков и сил; 4) обобщённые импульсы потоков и сил есть линейные функционалы соответствующих потоков и сил; 5) одноимённые импульсы потоков и сил линейно связаны между собой функционально; 6) ядра интегральных операторов одноимённых импульсов потоков и сил связаны между собой взаимно обратимыми линейными интегральными соотношениями.

В существующих (см. [3 - 12] ниже приведенные потенциалы) формах представления потенциалов (функционалов) для ВУТ таких, как свободная энергии и свободная энтальпия, различные потенциалы рассеяния, в качестве потоков и сил традиционно используются смещения (деформации) и напряжения и их интегральные свёртки. Определяющие соотношения между потоками и силами также содержат интегральные свёртки в виде производных. Формы неоднозначны и для их задания требуются дополнительные и независимые условия.

Функции, фигурирующие в определяющих уравнениях, нелегко определимы экспериментально.

Свободная энергия Гельгольца и свободная энтальпия Гиббса [4, 5]. В теории ВУТ часто используются следующие частные представления потенциалов, выражения которых содержат одновременно производные и интегралы обобщённых сил и потоков. Например, потенциал [4] (свободная энергия Гельмгольца) напряжений, содержащий и поток и интеграл от потока с ядром релаксации R(t-т), т.е. интегральный импульс потока (деформации):

F = Е^е2^} + ^(^М)2],

а = = Е(1 - Д*){е} = Е[е -1Щ - т)е(т)^т], Л* {е} ° |Я(Г - т)е(т)^т ,

де 0 0

Б(в) = Р^-РДе}, Г0(е) = -2 Ее2, = ЕгЯ*{г},

и свободная энтальпия Гиббса - потенциал деформаций, содержащий и силу-напряжение, и интеграл от силы с ядром ползучести П(1-т), т.е. интегральный импульс силы (напряжений):

а = ае - Г = V а2 + аП*{а} +1(1 - Л)(П*{а})2], Е 2 2

е = — = (1 + П*){а} ° -[а -1ПЦ -т)а(т)ёт], П*{а} ° |ПЦ-т)а(т)^т,

да Е о о

О(а) = О0(а) + О,{а}, О0(а) = ^а2, О,{а} = -1аП*{а}

ае = 2^)-^} = 2£о(а) + ОД а}. В представленных выражениях указанные потенциалы есть функции, соответственно, не только самих потоков и сил, связаные соотношениями, вытекающими из «неклассических» преобразований Лежандра-Эйлера:

77 дС п ^ дС ^ 77 дЕ 77 дЕ

г = а--О = ае - О, е =—; О = ае-г = е--г, а = —,

да да де де

а не из «классических» (принятых в настоящее время) преобразований Лежандра-Эйлера,

отличающихся знаками:

/7 ^ дО дО дГ дГ

г = О-а— = О + ае, е =--; О = г -е— = г -еа, а = —,

да да де де

и, кроме того, дополнительно слагаемых, зависящих от импульсов потока и силы, а именно: [е^{е},1А(^{е})2] и [аП*{а},1(1 - Л)(П*{а})2].

Как отмечалось в [4, 5], определяющие соотношения не содержат параметра А, фигурирующего в выражениях для потенциалов и отражающего диссипативные характеристики системы, которые должны быть заданы дополнительно и независимо. Отмечая не единственность форм выражений потенциалов и возможность замены выражений типа (Я*{е})2, (П*{а})2 другими, соответствующими принятым моделям или более общими, например, [2 - 12]:

в = -11Д-т2 )Ла(т2), г = — = | П(* - т, О)Лт(т),

| / / г

^ = —)б/е(т2), К(х, у) = К(у, х) = | - х)В.(х - т )ск,

^00 т

F = i J jr(t-^t-x)de(Ode(T)9 ° = = ¡R(t-T90)de(x)9

2 О О о

которые задаются дополнительно и независимо, например, с использованием первого закона термодинамики:

W-ae-Q = О, W = U + TS, U + TS-cre-Q = 0, где: U - внутренняя энергия при обратимом Q = 0 тепле F = U ; F - свободная энергия;

V - дополнительная работа; W - мощность рассеяния;

t

dU = a • ds = osdt = dF, dV = e • da = eaaiif, F = C/, fF(f) = a(t)s(t); U = j W{x)d-z.

0

При этом в качестве параметров состояния (потоков и сил) используются деформации и напряжения [1 - 4].

Потенциалы модели Максвелла [1 - 5]. Модель Максвелла m = h nn, представляющая последовательное двухэлементное простое соединение гуковских и ньютоновских элементов, описывается неполным обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка вида a + ^a = Ee, А, = Е/г|. Мощность и определяющие соотношения для такой модели имеют вид:

1 ] t t

- W* = аё = - a2 = - f f R(t - )R(t - т2 )de(T1 )de(%2) = Л Л о о

л t t

= -( J R(t-T1)de(T1))( J R (t-t2)de( x2)),

h 0

t

1 t t -e = S + - fa(t)dt = in(t-t)ds(t) =(S + -П*{а}), П(t-t) = 0(t-t),

E h о о E h

r 8W*

s = J R(t - t)de(t) = W, R(t -t) = exp {-1(t -1)}.

о

де

Потенциалы модели Фойгхта [2]. Модель Фойгхта б = н и n состоит из параллельно соединённых простейших гуковских и ньютоновских элементов. Дифференциальное уравнение состояния для них - это неполное линейное уравнение а = г\(ё + ¡ле), ¡л = Е/г|. Мощность и соответствующие соотношения для этой модели есть:

t t

V* =аё = г\ё2 = г|||п(^-т1)Г1(^-т2)б/а(т1)б/а(т2) =

о о

t t = л( J n (t -1- )d s(ti))(Jn (t -12) d s(t 2)),

0

8V* 1 i

_ 1Г П^-т)da(т) =1 П*{а}, П (г-т) = ехр{-т(г-т)}.

да л о Л

В обоих случаях потенциалы, соответственно, выражены через потоки (деформации) и силы (напряжения), а определяющие соотношения содержат и сами потоки и силы и их импульсы и при этом в такой неудобной форме, что установить их общность и универсальность затруднительно. Об этом, в частности, свидетельствуют указанные выше неединственность (неоднозначность) форм выражения свободной энергии и неопределённость диссипативных характеристик даже при однозначном выборе определённой формы.

Обобщённые интегральные импульсы потоков и сил ВУТ. Исходя из общих представлений о линейных взаимно обратимых функциональных соотношениях двух функций х(г) и у(г)для вязко-упругих тел больмановско-кельвиновских твёрдых тел:

0

0

у(г) = Е[х(г) - Я*{х}] « х(г) = -ку(г) + П*{у}]

Е

г г

К*{х> ° |Я(1-г)х(т)ёт, П*{у} ° |П(г -т)у(т)/т], (7)

0 0

где функции последействия (ядра релаксации - т) и ползучести П(г - т) разностного типа) удовлетворяют условию взаимно однозначной обратимости операторов - линейным интегральным уравнениям Вольтерра второго рода с двумя переменными пределами:

г г

я(1-т) = П(г-т)+|п(1-ХЖХ-т№ о П(г-т) = Я(г-т)я(1-£)П(£-т)^£, (8)

т т

и сложив первое и второе, умноженное на числовой коэффициент Е, получим линейную алгебраическую связь интегральных слагаемых общего вида:

ЕЯ*{х> = П*{у> о Я» =1 П*{у}. (9)

Е

Формула (9) связывает обобщённые интегральные импульсы, соответственно, потоков Я*{х> (деформаций) и сил П *{ у} (напряжений), поэтому выбор формы представления импульсов следует органично. При этом и связь органично устанавливается алгебраически линейная, а развёрнутые формы типа (7) связей потоков (или сил) с силами и импульсами сил (или потоками и их импульсами) следуют из (9) с использованием (8); в прямой связи (7) соотношения (8) есть следствие, а в обратной (9) соотношения (8) есть необходимое условие.

Потенциалы рассеяния - квадратичные формы обобщённых импульсов. Составив следующие произведения обобщённых импульсов:

Ш(Я*,П*) = 1^{х}П*{у}, Я(Я*) =1 Е(Я»)2, О(П*) ^(ПЧу})2, (10)

2 2 2Е

сравнив их с произведением первого и второго выражений (7), разрешённых относительно

соответствующих импульсов, получаем:

2(х-у)2 = 2у2 +1 х2 -ху = 2я*{х}П*{у},

а с учётом (9) имеем следующие равенства квадратичных форм:

W(R*,П*) = Я (Я*) = О(П*). (11)

Полагая поток х(г) = е(г) деформацией, а силу у(г) =^(г) напряжением, из (11) видим физическую интерпретацию квадратичных форм - удельных энергий:

W(R*,П*) = !^{е}П», Я(Я*) =1 Е(Я*{е})2, О(П*) = -!-(П»)2, 2 2 2Е

и при этом функции - потенциалы импульсов напряжений и деформации, соответственно:

1 1 '

W(R*,П*) = - Ц Я(г-тда-т2)е(т1)^(т2)а т^ т2, 2 0 0

1 1 '

Я (Я*) = - Ц Я(г - т1 )Я(г - т2 )е(т1 )е(т2 )Л^т2,

2 0 0

1 ' '

О(П*) = — Цп(г-т,)П(г-тХтХт^т^т, (12)

2Е 0 0

удовлетворяют соотношениям Гиббса-Гельмгольца и преобразованиям Лежандра-Эйлера:

П» = -4—, о(П*) = я - я* = я - я*п*,

Ж*{е} дЯ

я*{а} =--я(я*) = О-П*-0 = О + П*я*, (13)

г ' дП>} дП* (13)

* ÔF * ÔG К -г — и

1 ÔF 1 ÔG «____— _1

^ ' * * _* л А.,

дЯС дП*' Я* дЯ* П* дП* и по своим свойствам идентичны свойствам свободной энергии Гельмгольца и потенциалу Гиббса. Приведенные выше соотношения, касающиеся одномерных скалярных систем, применимы и для многомерных тензорных.

Линейные соотношения вязко-упругости. В случае изотропных ВУТ имеем для де-виаторной и шаровой частей тензоров напряжений и деформаций следующие соотношения [2, 4, 5, 10]:

1

jt) — 2G0[34(0_Rj « эч(0 — —- [Sj(t) + И {Sj}],

2G0

s(t) — 3K0[e(t)_R*{e}] « e(t) — т^[*(0 + H*{s}],

3A„

(14)

где ядра ползучести и релаксации связаны линейными интегральными уравнениями Воль-терра второго рода:

t t R'{j — J R(t - TfcjCOrfx, P*(Sj ) — JP(t _T)sij(T)dx,

0 0

t t

R(t-t) — P(t-t) + Jn(t-X)R(X-t)^X Û P(t-t) — R(t-t) + JR(t-X)H(X-t№,

t t

t t

R*{e} — J R1(t _x)e(T)dT, P*(s) — Jn(t _т)ст(т)^т, (15)

^м) = П(г-т)+|П(г-ХЖХ-т№ о П(г-т) = Я(г-т)+1я(г-£)П(£-т)^£.

т т

Как видим, этим соотношениям соответствуют импульсы, связанные линейными алгебраическими выражениями, аналогичными закону Гука для линейно упругих тел:

2^*^} = П*{8,}, 3ВД*{е} = П*(а},

2GoR1' = П*, зад*{е} = П*{а}, ^ = ^{эу},П* = П*{зу},

и соответствующие потенциалы

дБ

H*{s4} — R*{3i,} — _

5R*{34} ÔG

G — F _ R

dF

— F _ ЯШ!

i ÔR* 'v v'

F — G _и:

ÔG

ÔP*

— G + H* R

У У;

* ÔF * ÔG RIJ —г — n,v —г Ij ÔR j "" *

y

ÔP*

y

P*{s} —

ÔF

G1 — F _ — f _ R;p* ÔR*(e}' 1 1 1 ÔR* 1 1

R;*{e} — ■—F; — G; _P* ^ — G; + PX, ;l ' ÔP^G} 1 1 1ÔP* ; ; ;

R

ÔF

— и*

ÔG

; ÔR;* ; ÔP*

W(R*,P*) — —- RlP, F (R') — G0 ЯЯ, G(P*) ——Ш Ц

1

1

4G„

6G„

j j '

(16)

(17)

0

0

1 3 1

w1(R;,n;)=-R*n;, ад*)=зад*)2, ^(п*) =-—(п*)2.

2 2 6K0

Соотношения (16) и (17) при условиях (15) определяют потенциальную линейную связь потоков (деформаций) и сил (напряжений) через соответствующие обобщённые импульсы. Здесь свёртки типа sijSj = sU - вторые инварианты тензоров. И таким образом, известные [2,

4, 5, 10] линейные определяющие соотношения вязко-упругости представляются в форме (16) через обобщённые импульсы, аналогичные форме закона Гука для линейно упругих тел.

Для нелинейных систем подобного рода соотношения могут быть представлены в случае, так называемой, квазилинейности свойств, когда выполняются в первую очередь соотношения взаимной разрешимости функций последействия (ядер релаксации и ползучести) типа (15). Ниже приводится вариант таких соотношений.

Квазилинейные соотношения вязко-упругости. В случае изотропных нелинейных ВУТ, считая, что функции последействия не зависят от напряжённо-деформированного состояния, имеем для девиаторной и шаровой частей тензоров напряжений и деформаций следующие соотношения [2, 4, 5, 10]:

2Ц,

à(t) = 3K0[ë{t)-^{ë}] о ë(t) = ^[à(t) + U]{à\l

зк0

sl}(t) = f(su)sl}(t), o(t) = fXo)o(t), э,, (t ) = g(3u )эу (t ), ë(t) = gl(e)e(t),

где ядра ползучести и релаксации связаны линейными интегральными уравнениями Воль-терра второго рода:

= '¡Rit-x^dT = Щ, П* = }п(*-т)гв(т)Л = п;„

о о

t t

R(t-t) = n(t-t) + J n(t-X)R(X-t)^X Û n(t-t) = R(t-t) + j R(t-X)n (£-c)d£,

t t

t t

RÏ {ë} = | R(t- x)ë{x)dx = Д*, ft; {ô} = { - т)5(т )dx = П\,

о 0

t t

R(t-t) = n(t-t) + Jn(t-X)R(X-t)dX û n(t-t) = R(t-t) + j R(t-X)n (£-t)d£.

Этим соотношениям соответствуют импульсы, связанные линейными алгебраическими выражениями, аналогичными закону Гука для нелинейно упругих тел:

20Д*{эа} = П*{зу}, 3^(д;{ё}=п;{а},

2од; =п;, з^д;{ё}=п;{а}, я; =Я{5у},Й; =&{%},

эli=g(эu)э¡¡, е = ёх{е)е, а = /;(а)ст,

и соответствующие потенциалы:

4 ж. {эй> " дя. 9 ,]

у

у

ôF ÔG

R, —^г = П.. —(18)

t

t

оКДе} д^

1 <ЭП* {а} 1 1

^д^Лад, а1(й;)=-^(п;)2.

2 2 6А0

Приведенные выше соотношения при условиях типа (15) определяют потенциальную нелинейную связь потоков (деформаций) и сил (напряжений) через соответствующие обобщённые импульсы. Здесь, как и ранее свёртки типа £ у = ^ - вторые инварианты тензоров,

а потенциалы есть квадратичные функционалы. Могут быть более сложные соотношения, например, тогда когда функционалы - неквадратичные функции соответствующих импульсов потоков и сил - функционалов типа Больцмана-Кельвина:

б = я(*:), п* =^ = Ф(К)я*, с = ср), я* = -дС = Ф(п:)п*,

у дя* у у дП;; у

с = я - я* ^ = я - я*П*, я = С -П* -дС- = с+п;я*, (я:)2 = яУя*.

дя* у У 1 дП* У ч ^ у у

Отметим важное свойство потенциалов типа Р(Я*) и в(П *): они зависят либо только

от импульсов потоков, либо только от импульсов сил. Потенциалы могу содержать только импульсы разнородных потоков и сил.

Таким образом, потенциалы больцмановско-кельвиновских ВУТ могут быть представлены как функции обобщённых импульсов - функционалов потоков, скоростей потоков, сил и, в некоторых случаях, скоростей сил. Ниже приведены соответствующие примеры «модельных» ВУТ, таких как «стандартные» трёхэлементные тела Кельвина и Пойнтинга-Томсона и двухэлементные тела Максвелла и Фойгхта. В первых примерах приводятся основные свойства деформационных кривых ВУТ с экспоненциальными ядрами и иллюстрируются связи потоков и сил и соответствующих импульсов для трёх программ «истории» деформации или нагружения, а в последних двух примерах приведены необходимые преобразования определяющих соотношений, приводящие к больцмановски-кельвиновскому виду.

Импульсы потоков и сил «стандартного» тела Кельвина. Модель линейного вязко-упругого тела, предложенная в 1875 г., представляет собой К = Н1 пБ = Н1 п(Н2 иЫ2) последовательное соединение простого гуковского Н1; а1 = Е1е1 элемента и фойгхтовского Б = Н2 и Ы2 тела, состоящего из параллельного соединения простых гуковского Н2;а2 =Е2£2 и ньютоновского Л^3;а3 элементов. Соответствующее линейное обыкно-

венное дифференциальное уравнение, описывающее напряжённо-деформированное состояние такого тела:

Р +Р

а + ^а = Е(8 + цв), а(0) = в(0) = 0, ^ = ^-= Е = Ег,

Л3 Л3

при нулевых начальных условиях имеет решение:

а© = Б[в(1)-(1-т) | ехр {-1(1>т) }в(т)ёт], 1-ц = Л=1, (19)

0 Лз

в(1) = ~[а(1)+(1-т)} ехр{-т(1-т))ст(т)ёт], 1 > т

Аналогичное справедливо и для «нормального» тела Пойнтинга-Томсона (18901892г.), представляющего собой р = н1 юб = н1 ю(Н2 оЫ2) параллельное соединение простого гуковского Н1 элемента и максвеловского М = Н2 о М2 тела, состоящего из последовательно соединённых простых гуковского Н2 и ньютоновского Ы2 элементов. При этом параметры уравнения Е, 1 и т выражаются через соответствующие модули упругости Юнга гуковских элементов и коэффициенты вязкости ньютоновских элементов:

Е

Е = (Е1 + Е2), 1 = —, т =

Е1Е2

Е

1 >т.

Лз Лз(Е1 + Е2^ ' Лз Е1 + Е2

Ядра релаксации К(1>т) = ехр{-1(1>т)} и ползучести — т) = ехр{—т( — т)} разностного экспоненциального типа, а коэффициенты при них 1 —т>0, соответственно, (Е:/л3) и Е2/(Е1 + Е2)л3 больше нуля. Для модельных численных исследований состояний больцма-

новских реологических тел с функциями последействия с ядрами экспоненциального типа, не связанных с конкретными свойствами гуковских и ньютоновских элементов, величина 1 — т = Р > 0 может выбираться таким образом, чтобы относительное изменение подынтегральных функций не превышало заданной величины на всём интервале времени. Значение параметра Р;« (а(^)/(Е8^))~ехр{-Р1;} «АХ, а параметров 1 и т - по уровню (асимптотам) кривых ползучести или релаксации:

е(1)Е 1 .л 1. . . ■ = —+ (1--)ехр{—т0,

т

т

ЕЙ = 1 + (1 — И )ехр{—М.

Ееп 1 1

На рисунках 1 и 2 приведены графики ядер релаксации и ползучести (при Р = 1 и четырёх значениях 1п = 1.1;3; 5; 10 и, соответственно, /п = 0.1; 2; 4; 9; нумерации кривых на рисунках соответствует номеру 1п ® п = 0,1,2,3), кривые релаксации (рисунок 2) и ползучести (рисунок 3).

, 0, 0) , 0, 1)

, 0,2) , 0, 3)

0.5

0

П(1, 0, 0) П(1, 0,1)

п(1, 0,2) п (1,0, 3)

0.5

0

0

2

12 0 1 1 1 а) б)

Рисунок 1. Ядра релаксации (а) и ползучести (б)

На рисунках 4а и 4б представлены значения, соответственно, импульсов деформаций и напряжений:

Е (1,0)

Ее

0

= 1 — |R(t — т)йт = 1—JR (1,0), JR (1,0) = |R(t — т)Л = 1К (1,0) = |п(* — т)ск (тут,

Е8п (1,0)

I I I

= 1 + |П(* — т)Л = 1 + 1П(Г,0), JП(*,0) = |R(t — т)еП(т)йт = 1П(Г,0) = |П(* — т)йх.

1

1

0

0

0

0

0

1

ст1(1, 0) ст1(1,1) ст1(1,2) 0 5 ст1(1, 3) 0

Л(1, 0)

Л(1, 1)

Л(1,2) 05 Л(1, 3)

0

а)

б)

Рисунок 2. Кривые релаксации (а) и соответствующие импульсы деформации (б)

00(1, 0) 00(1, 1)

00(1, 2) 00(1, 3)

0

2

10(1,0) 10(1, 1)

10(1,2) 10(1, 3)

0

а)

б)

Рисунок 3. Кривые ползучести (а) и соответствующие импульсы (б) деформаций 2 1-1- 1

10(1,0)

1 -

1

10(1,0)

Л(1,0)

а) б)

Рисунок 4. Импульсы деформаций и напряжений при ползучести (а) и релаксации (б)

В качестве пробных «численных экспериментов» приняты следующие «истории» деформации (Д) и нагружения (Н): гармоническая смещённая (ГК1), параболическая (П), гармоническая симметричная (Г1) и гармоническая смещённая с удвоенной частотой (ГК2), заданных на интервале времени 0 < 1 < 2:

ГК1Д: 0(1) = 1 - С°8(р), ПД: ) = 1 - (1 -1)2, Г2Д: ) = б1И(2Р), ГК2Д:0(0 = 1 -С°5(2рГ), ГК1Н: а(1) = ПН: а(0 = 1 -(1 -¿)2.

2

2

1

0

0

0

1

2

0

1

2

1

1

3

2

1

1

0

0

0

1

2

0

1

2

1

1

0

0

0

0

2

На рисунке 5а представлены графики «истории» деформации и «отклика» напряжений для одного из значений параметра 10 = 1.1, а на рисунке 5б - «изохронная деформационная кривая» а~в для «истории» деформаций ГК1Д.

1 -з-г-*--1

8( т) 0(1, 0)

0.5 -

-0.5

о(1, 0) 0.5 0

0

1

т, 1

а)

б)

Рисунок 5. «История» деформации и «отклик» (а) и изохронная кривая (б) по

программе ГК1Д

Для всех указанных значений парам етров /п, пп аналогичные кривые приведены ниже.

о(1, 0) о(1,1)

0(1,2) 0.25 о(1,3)

о(1, 0) о(1,1)

0(1,2) 0.25 о(1, 3)

а)

б)

Рисунок 6. «Отклики» (а) и изохронные кривые (б) по программе ГК1Д

0.6

1(1, 0) 1(1,1)

1(1, 2) 1(1, 3)

0.3 -

0

1(1, 0) 0 0.2

а) б)

Рисунок 7. Импульсы деформации (а) и изохронные импульсы (б) деформации и

напряжений по программе ГК1Д

В рассматриваемых примерах иллюстрируются характерные свойства линейных вязко-

0

0

0

2

1

1

0

0

0

2

0

0

0

1

2

1

упругих тел, проявляющихся в различных режимах («историях») деформации и нагружения, в частности, активного нагружения и разгрузки по гармоническому и параболическому законам и повторное нагружение - разгрузка. Приведены изохорные деформационные кривые а~0 и графики изменения импульсов деформации и напряжений. При этом, если задается «история» деформации, то значения импульса напряжений определяются по значениям вычисленных напряжений; если «история» задаётся по напряжениям, то импульс деформации определяется по значениям вычисленных деформаций. В конце каждой серии графиков приводится изохронная кривая импульсов - прямая (линейная) зависимость.

2

о( т)

0(1, 0)

0.83

0 "0.33

-1.5

0(1, 0) 1.33 0

0.67 -

1

т, 1

а) б)

Рисунок 8. «История» напряжений и «отклик» (а) и изохронная кривая (б) по

программе ГК1Н

0(1, 0) 0(1, 1)

0(1,2) 0(1, 3)

0

0(1, 0) 0(1,1)

0(1,2) 0(1, 3)

0

0.5 о(1)

а)

б)

Рисунок 9. «Отклики» (а) и изохронные кривые (б) по программе ГК1Н

1(1, 0) 1(1,1)

1(1 > 2) 0.5 1(1, 3)

а)

1(1, 0) 0 0.2

0.2 0.4

1(1, 0)

б)

Рисунок 10. Импульс деформации (а) и изохронные импульсы (б) деформации и

напряжений по программе ГК1Н

0

0

2

2

2

1

1

0

0

0

1

0

2

1

0

0

0

0

0

2

е( т) о(1, 0)

0.33

0 -0.33

-1

1

о(1, 0) 0.5 0

0

1

т, 1

а) б)

Рисунок 11. «История» деформации и «отклик» (а) и изохронная кривая (б) по

программе ПД

о(1, 0) о(1, 1)

0(1,2)0.25 о(1, 3)

-0.5

0(1, 0) 0(1,1)

0(1,2) 0.2 5 0(1, 3)

-0.5

1 2 0 0.5

1 е(1)

а) б)

Рисунок 12. «Отклики» (а) и изохронные (б) кривые по программе ПД

0.8

1(1, 0) 1(1, 1)

1(1, 2) 0.4 1(1, 3)

0

1(1, 0)

0 0.2

а) б)

Рисунок 13. Импульс деформации (а) и изохронные (б) импульсы напряжений и

деформаций по программе ПД

0( т ) е(1, 0)

0.83

0 -0.33

-1.5

2

е(1, 0) 1.33 0

0.67 -

0

1 2 0 0.5

т, 1 0(1)

а) б)

Рисунок 14. «История» напряжений и «отклик» (а) и изохронная кривая (б) по

программе ПН

1

1

0

2

1

1

0

0

1

0

0

0

2

2

0(1,0) 0(1,1)

0(1, 2) 0(1, 3)

1 "

0

0(1,0) 0(1,1)

0(1, 2) 0(1, 3)

1 -

0

0.5 о(1)

а)

б)

Рисунок 15. «Истории» напряжений и «отклики» (а) и изохронные (б) кривые по

программе ПД

0.8

1(1,0) 1(1,1)

1(1,2) 0.4 1(1, 3)

0

1(1,0) 0 0.2

0.2 0.4

1(1, 0)

а)

б)

Рисунок 16. Импульсы деформаций (а) и изохронная кривая (б) импульсов по

программе ПН

Импульсы потоков и сил тела Максвелла. Так для модели Максвелла М = НпК, представляющей последовательное двухэлементное простое соединение гуковских и ньютоновских элементов (так что а + А,а = Её, X = Е/г|):

е = 1[а + = —[а + Ш*{а}],

Е 0 Е

г г

П*{а} = |а(т)(Их = |П(7-т)а(т)</т, П(7-т) = 9(7-т)},

о о

/

а = £|ехр{-А,(* - т)}ё(т)б/т,

о

/

а = Е[ё - А,|ехр{-А,(7 - т)}е(т)£/т] = Е[ё - ХЯ*{ё}],

о

Я\ё] = |ехр{-Ц/ - т)}е(т)£/х = | - т)}е(т)</т, Щ - т) = ехр{-Ц/ - т)},

1Г.

2

2

0

0

0

2

0

1

0

0

0

0

2

г

0

0

i i R\è) = Jexpj-^O - x)}é(x)dx = J^O - x)}é(x)dx, R(t - т) = exp{-A,(i - x)},

о 0

ER* {è} = П* {à}, R(t-x) = exp {-Kit - x) }, Yl(t - x) = 0(7 - x), F = F(R*{è}) = ^{R*{è})\ G = G(Il*{à}) = ~(U*{à})2. (Щ

В рассмотренном случае в качестве потока принята скорость деформации, а в качестве силы - скорость напряжений. Соответственно, импульсы скоростей деформации и скоростей напряжений, между которыми определена линейная связь (20), ядро релаксации - экспонента, а ядро ползучести - единичная функция.

Импульсы потоков и сил тела Фойгхта. Для модели Фойгхта F = H è N, состоящей из параллельно соединённых простейших гуковских и ньютоновских элементов (так что s = h(e + me), m = E/h ):

a = E |[1 +—8(i - т)]ё(т)^т = ER{é], R*{è}= f [1+—ô(i - т)]ё(т>/т,

Jo H< Jo H<

t t

a = ее + r|è = е|ё(т)б/т + r|é = r|[é + |lijé(t) dx\ = r|[é + |nR*{è}],

о о

t

R*{è} = Jé(x)dx = J - x)é(x)dx, R(t - x) = G(i - x),

о 0

су 1 ' \ 1

è + \ie = —, e = — [ехр{-ц(/-х)}ст(х)£/х, è = — [-ц,[ехр{-|д(?-х)}ст(х)^х + ст] =

Л ЛЬ Л о

1 г 1 *

= — [s-m|exp{-m(t-х)}ст(х)dt] = — [s-тП (s)],

h % h

t t П*{s} = |exp{-m(t - x)}s(x)dх = |n(t - x)s(x)dх, П(t - x) = exp{-m(t - х)},

о 0

r|R*{é} = П*{ст}, R(t-x) = Q(t-x\ П(/-т) = ехр{-ц(/-т)},

F = F(R*{è}) = G = G(n») = -^(П*{а})2. (21)

Для определяющих соотношений модели Фойгхта в качестве потока принята скорость деформации, а в качестве силы - напряжение. Линейная связь соответствующих импульсов скоростей деформации и импульсов напряжений представлены формулой (21), где ядро ползучести - экспонента, а ядро релаксации - единичная функция. Потенциалы импульсов напряжений и импульсов скоростей деформации - квадратичные формы.

Квазилинейные соотношения импульсов в главной теории вязко-упругости [12]. Для тензорно-линейных уравнений квазилинейной теории вязко-упругости, предложенной А.А. Ильюшиным и П.М. Огибаловым, основанной на постулате изотропии, используем тен-зоры-девиаторы интегрального импульса: деформации - импульс движения, интегрального импульса напряжений - импульс силы:

t t

j) = |R(t-х)эщ(x)dx, Sj(t) = |П(t-x)s1J(x)dx, (22)

n

n

и их интенсивности:

t t

3U(Î) = ,13- (t)3J1(i) = J J R(t -1)R(t - S)3V (т)эi (X)dxdX,

V 0 0

t t

) = =x J Jn(t - t)L(t - (t)s, (X)dtdX.

V 0 0

Из равенства направляющих тензоров импульсов деформации и напряжений:

j) = j) ® j)=Mk(t), Û Sij(t)=M)j),

(23)

3u(t) Su (t)' Su (t) - - 3u(t)

следуют квазилинейные соотношения ВУТ. Полагая универсальной зависимость «жёсткости» 2GQU(t)) = Su (t)/ 3U(t) или «податливости» g (S u (t)) = 3u(t)/ Su (t) при активном

пропорциональном нагружении, т.е. универсальности изохронной импульсно-деформационной кривой:

3u(t) = j(Su (t)) = -^(1-Q(Su (t )))Su(t), Su (t ) = F(3u(t)) = 2G(1 - w(3u(t)))3u(0, (24) 2G

и учитывая уравнения связей ядер действия (деформации) и последействия (релаксации):

t t

R(t -1) = n(t -1) + Jn(t - X)R(X - P(t -1) = R(t -1) + JR(t - Х)П(Х - t)dX, (25) t t квазилинейные связи тензоров деформации и напряжений вязко-упругих тел записываются в формах:

• равное присутствие импульсов:

3--(t ) s,, (t ) t. s, (t) s, , (t ) 3..(t ) t. э..(х)

1jW- yW + fn(t-t)-i—-dt, = -JR(t-t) 1jW

J v 7 Ît\ it\ ^ ft\ j V 7

jt ) =

3u(t) Su (t) 0 Su (t) Su (t) 3u(t) 0

разрешённые относительно импульса деформации: 3u(t)„, Л, f ™ ^ 3u(t) 3u(t )

d t;

Su (t)s.(t)+Jn(t-t)!Ss.(t)Jt, su^--

3u(t)

(t ) = 3j(t ) -J R(t -t)3j(t )d t;

разрешённые относительно импульса напряжений:

j(t= s-(t) + JP(t - t)s-(t)dt, s-(t) = jt- JR(t -1) ^3ij(t)dt.

3u(t) 0 3u(t) 0 3u(t)

(26)

(27)

(28)

Заключение

В рассмотренных примерах линейных модельных представлений вязко-упругих тел наглядно видно, что в качестве потенциалов могут быть использованы импульсы соответствующих потоков (деформаций, скоростей деформаций) и сил (напряжений и скоростей напряжений) с ядрами релаксации и ползучести. Для их выражений используются различные преобразования и подстановки. В частности, для нелинейных (квазилинейных по потокам и силам) и линейных по времени применяются соответствующие подстановки. Таким образом, потенциалы больцмановско-кельвиновских ВУТ могут быть представлены как функции обобщённых импульсов-функционалов потоков, скоростей потоков, сил и, в некоторых случаях, скоростей сил.

0

э

Литература

1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. Ун-та. - 1990. 310 с.

2. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязко-упругости. М.: Наука, 1970. - 280 с.

3. Ильюшин А.А. Труды. Т.3. Теория термовязкоупругости. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 288 с.

4. Работнов Ю.Н.Элементы наследственной механики твёрдых тел.М.: Наука.-1977.-384 с.

5. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука. - 1966. - 752 с.

6. Дэй У.А. Термодинамика простых сред с памятью. (Новости фундаментальной физики).-М., 1974.-С.9-12, 40-44, 123, 163-166.

7. Кристенсен Р. Введение в теорию вязко-упругости. М.: Мир. - 1974. - 338 с.

8. Король Е.З. Термодинамические потенциалы и некоторые соотношения анизотропных сплошных сред. / Сб. Упругость и неупругость. Материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемого твёрдых тел, посвящённого девяностолетию со дня рождения А.А. Ильюшина. Москва. 22-23 января 2001 года. М.: Издательство Московского университета. - 2001 . - 454 с. (С. 93-99).

9. Фрейденталь А., Гейрингер Ч. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Наука. - 1962. - 432 с.

10. Бленд Д. Теория линейной вязко-упругости. М.: Мир, 1965. - 197 с.

11. Москвитин В.В. Сопротивление вязко-упругих материалов (применительно к зарядам ракетных двигателей на твёрдом топливе). М.: Наука. - 1972. - 328 с.

12. Савин Г.М., Рушицький Я.Я. Елементи мехашки спадкових середовищ. К.: Вища школа. -1976. - 252 с. (на украинском языке).

13. Дьятмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. М. : Мир, - 1974. - 304 с.

14. Кубо Р. Термодинамика. М.: Мир. - 1970. - 274 с.

15. Ильюшин А.А. Функционалы и меры необратимости на множествах процессов в механике сплошной среды (МСС) // ДАН СССР, - 1994, № 1. - С. 48-50.

16. Ильюшин А.А., Ильюшина Г.А. Вопросы термодинамики необратимых процессов // Вест. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. - 1983. - № 3. - С. 73-80.

17. Кравчук А.С., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных композитных материалов. М.: Наука. - 1985. - 342 с.

18. Бугаков И.И. Ползучесть полимерных материалов. М.: Наука, - 1979. - 288 с.

19. Король Е.З. Термодинамические потенциалы в механике сплошных сред сложной структуры. Проблемы машиностроения и автоматизации. № 3. 2002, с. 61-66.

20. Король Е.З. К моделированию реономных свойств твёрдых деформируемых тел. Известия МГТУ «МАМИ» № 3 (17), 2013, т. 1. С. 94-110.