Инфинитезимальный метод построения определяющих соотношений для структурно-неоднородных сред с повреждаемой структурой. Часть I Текст научной статьи по специальности «Математика»

Инфинитезимальный метод построения определяющих соотношений для структурно-неоднородных сред с повреждаемой структурой.

Часть I

С.В. Мельников

Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, 614013, Россия

Предложен подход, позволяющий формализовать построение определяющих соотношений для структурно-неоднородной среды с повреждаемой структурой. В подходе используются идеи развивающегося нестандартного анализа, в соответствии с которым для описания физических явлений со многими масштабами математически корректно можно применять актуальные бесконечно малые или инфинитезимали. В данной работе для генерации повреждений на микромасштабе в качестве “структурной” инфинитезимали используется структурная модель Фойгта.

1. Введение

Г.В. Лейбниц при создании дифференциального исчисления под бесконечно малой понимал «статическую», т.е. неизменяющуюся величину, не равную нулю и в то же время (абсолютно) меньшую всякой конечной величины. Это понятие «актуально» бесконечно малой — при нашей концепции числа и пространства — третировалось как нестрогое или бессмысленное. Ему противопоставлялось — привычное сегодня — понятие «потенциально» бесконечно малой И. Ньютона как переменной величины, которая лишь в процессе своего изменения становится (абсолютно) меньше любой конечной величины.

В 1960 году Абрахам Робинсон в развитие новых средств внутри стандартной (теоретико-множественной) математики придал абсолютно строгий математический смысл понятию актуально бесконечно малой (инфинитезимали), назвав свой подход нестандартным анализом [1]. И этот подход как удобное средство для построения математических моделей физических явлений уже нашел применение в решении различных задач математической физики [2, 3]. Идеи нестандартного анализа хорошо сочетаются с предлагаемым ниже инфини-тезимальным методом построения определяющих соотношений для структурно-неоднородной среды [4, 5].

2. Идея метода (элементарные соображения)

Существует два типа физических величин. Первый тип — аддитивные величины, которые распределены («размазаны») в пространстве. При этом требуется вы-

полнение закона аддитивности (1), состоящего в том, что значение величины тп, соответствующей целому объекту П пространства, равно сумме величин тп , соответствующим его частям П, при любом разбиении объекта на части (2):

тп=Х тЦ, (1)

(2)

Примерами такого рода величин могут быть масса, электрический заряд, энергия, энтропия, абсолютное удлинение, распределенная нагрузка и т.п. Для анализа этого типа величин необходимо описание «геометрии»

(2) каждого объекта П.

Для исключения этого «неудобного момента» вводят другой тип — полевые величины, являющиеся функциями точки М пространства, полагая, что множество таких «геометрических» точек изоморфно множеству действительных чисел мощности континуум:

р(М) = Пт —,

дп^о ДП

ДF

ст(М) = Нт -------.

4 7 Д8

(3)

(4)

При этом гипотеза континуальности среды предполагает существование и единственность предела в выражениях типа (3), (4), что эквивалентно однородности или равномерности распределения аддитивных величин в пределе. Осуществляя мысленный предельный переход ДП ^ 0, считают, что неравномерность распре-

© Мельников С.В., 2002

деления величины в пространстве с уменьшением уменьшается и в пределе обращается в нуль. В результате свойства среды становятся независимыми по отношению к геометрическим свойствам системы (из рассмотрения выпадают пространственные координаты) и основные законы приобретают наибольшую общность.

Наиболее существенными характеристиками реальных материалов являются их дискретность (структурная неоднородность) и эффекты взаимодействия между элементами структуры в процессе деформирования. Поэтому для такой среды важным стало введение представительного объема, заменяющего математическую точку в модели классически однородной в пределе среды. Исторически в механике деформируемого твердого тела понятие представительных объемов различных порядков малости А V, А V, А V,... для таких сред было введено в работах С.Д. Волкова [6, 7]. По Волкову характерные размеры объемов Ау и А2К связаны с помощью малой положительной величины:

А2V = є*АУ, 0 <є*<< 1.

Интересно отметить, что работа [6] была издана в 1960 году, а появление нестандартного анализа связывают с докладом А. Робинсона в Принстоне осенью того же года. При этом множество физических точек Волкова (представительных объемов различных порядков малости) становится изоморфным множеству гипердейст-вительных чисел нестандартного анализа и тем самым математически строго оправданным становится использование стандартного математического аппарата для негладких полей структурного уровня.

Кроме использования полевых величин для анализа неоднородного распределения аддитивных величин в пространстве, наибольший интерес в рамках данной работы представляет использование их для анализа нелинейности. Пусть дана нелинейная зависимость

и = и(и), (5)

где и — энергия (аддитивная величина) и и — перемещение (аддитивная величина). В линейном дифференциале

&и

dU = |---------| du

du

(6)

вся нелинейность «сосредотачивается» в сопряженной полевой величине Р = йи/du, но «платой» за переход к линейности является появление новой независимой переменной Р = Р(и) и, переходя в (6) к новым обозначениям,

dU = Pdu, (7)

замечаем, что (7) имеет вид закона сохранения энергии. Поэтому этот уровень описания нелинейности будем называть энергетическим. Далее для анализа степени нелинейности силы Р от перемещения поступаем аналогично:

аР = Cdu, (9)

где (8) представляет определяющее соотношение в ин-финитезимальной форме, а появившаяся новая переменная С = йР/Ли = й2и/Ли2 обычно определяется из эксперимента (феноменологический подход). Этот уровень описания нелинейности будем называть феноменологическим. Поступая аналогично, имеем:

dC =| — | du, du

(10)

ас = Fdu, (1)

где F = йС/йи = й2Р/йи2 = й3и/йи3 Поскольку этот уровень описания возникает в случае структурной неоднородности свойства С, то этот уровень назовем структурным. Такую иерархию в описании можно прервать путем выдвижения гипотезы относительно «однородности свойства нелинейности» на соответствующем уровне и затем «обратным ходом» восстановить первообразный закон (5) и определяющие соотношения (7).

В классической механике деформируемого тела выдвигается гипотеза об однородности в физической точке на уровне свойств (10) и тогда первообразный закон имеет квадратичную форму (рис. 1). Заметим, что положительно определенная квадратичная форма (в изотропном трехмерном случае) определяется двумя константами, которые на уровне определяющих соотношений называются постоянными Лямэ.

Если выдвинуть гипотезу о линейности на уровне свойств (характеристика С уменьшается линейным образом), тогда первообразный закон имеет положительно определенную кубическую форму (рис. 2), а определяющие соотношения имеют ниспадающую ветвь. Определяющие соотношения такого вида исследуются в работах [7-9].

Отметим следующие особенности излагаемого подхода.

Обычно неизвестную нелинейную зависимость анализируют путем ее аппроксимации, например разложением в ряд Тейлора:

йи =(йи/йи)ио йи + — (й2и/йи2) йи2 +

2!

+ 3(и / du3) гіи3

+....

dP =| ^ | du, du

При этом в приближении неизвестная зависимость заменяется «известной» нелинейной, но количество независимых аргументов не меняется. В излагаемом ин-финитезимальном многоуровневом подходе мы все время остаемся в линейной области, но возрастает количество дифференциальных соотношений и независимых (но взаимосвязанных) аргументов. Причем все соотношения и новые аргументы отражают физический смысл исследования поведения системы на соответствующих уровнях.

Рис. 1. Однородность на уровне свойств определяет линейность определяющих соотношений

Предполагается, что основной аргумент — аддитивная величина и — распределена в пространстве и времени, т.е. и = и (г, t), но в силу инвариантности формы линейного дифференциала это на данном этапе исследования можно не учитывать.

Величина &и на каждом уровне описания может иметь свой масштаб в смысле нестандартного анализа, но для установления взаимосвязи между уровнями необходимо знать зависимость между глобальными (мак-ро) и локальными (микро) производными.

3. Разделение основного параметра на «неподвижную» и «подвижную» части. Использование структурных моделей Фойгта и Рейсса в качестве базовых

Определяющее уравнение (9) описывает поведение объекта П с помощью аддитивной инфинитезимали &и, распределенной в пространстве и времени, а для решения краевых задач необходимо связать это уравнение

Рис. 2. Неоднородность на уровне свойств определяет нелинейность (появление ниспадающей ветви) определяющих соотношений

с точкой М пространства, задаваемой эйлеровыми х или лагранжевыми X координатами. При этом инфинитези-маль ^ ассоциируется с подходом Ньютона, а инфини-тезималь dX — с подходом Лейбница.

При формулировке физических законов подразумевается использование точки зрения Лагранжа, т.е. и = = и(Х, і), тогда

&и =

ди

дХ

Ж +

ди

дї

(12)

Полевые величины 8 = ди/дХ и V = ди/дt, вводимые как «плотности» типа выражения (3), «уничтожают в пределе» геометрические и временные свойства объекта П и становятся независимыми параметрами. Выражение (12) аддитивным образом разделяет основной

параметр и на «неподвижную» и «подвижную» части, что справедливо и для любых других основных параметров определяющих соотношений (см. п. 4).

Поступая далее аналогично подходу, изложенному в п. 2, получим

&и =

или, что то же,

дє

ёХ +

ёХ +

дє у ді;

(13)

УX'

[й8 = а(х, t) + 8(X, t),

= 8 (X, t) + а (X, t), (14)

где величину а = д^дХ обычно полагают равной нулю, что соответствует однородности по деформации или аффинному преобразованию; а = д^ дt — ускорение «подвижной» части; а скорость деформационного процесса 8 записывается в виде

дє д 2 и

д 2 и

дг дХдг дгдХ ёХ ’

(15)

Зададим на структурном уровне (13) два масштаба инфинитезималей: й1 X, при которой а = 0 (имеет место макрооднородность), и й11 X, при которой а = а(^). Пусть микродеформация 811 — аддитивная величина (что имеет место только при малых деформациях) и v(X, О = 0, тогда макродеформация

8’ =/*" =/^Й"X. <16>

й1 X

Такая процедура установления взаимосвязи между пространственными уровнями называется сглаживанием, гомогенизацией или осреднением.

Широкое применение получила гипотеза о статистически однородном случайном поле 8(X ). Тогда из ус-

ловия эргодичности интегральный оператор в (16) заменяют на оператор статистического осреднения, т.е.

є1 =(є(Х")). (17)

При условии существования двух масштабов в «геометрическом» пространстве, подействовав оператором статистического осреднения на уравнение (7) энергетического уровня, получим

(аи) = (р) (ёи)+/ Р а и\,

(18)

где Р = Р - (р, й и = йи - (йи) — пульсации случайных полей Р (Xп) и йи (X11). В результате геометрические особенности термодинамической системы п, связанные с пространственной координатой Xп, выпадают из рассмотрения и физическое поведение материальной точки масштаба й1 X, определяемое уравнениями (7), (9) и (11), зависит только от времени (физическое время не входит непосредственно в уравнения в силу инвариантности линейного дифференциала).

Уравнение (18) содержит дополнительный пульса-ционный член, вызванный неоднородностью на структурном уровне. В процессе деформирования термодинамическая система будет стремиться к структуре, обеспечивающей минимум «нерационального» расхода энергии. Такие структуры должны соответствовать трем случаям: Р й и = 0 — полностью однородное бесструктурное состояние; Р = 0 — однородное напряженное состояние; йи = 0 — однородное деформированное состояние. Последним двум случаям отвечают структурные модели Рейсса (рис. 3) и Фойгта (рис. 4), которые и выбраны в качестве базовых для исследования.

Отметим, излагаемый результат анализа уравнения (18) полностью соответствует границам эффективного модуля, определяемым так называемой «вилкой Хилла» [7, 9].

4. Двухпараметрическая модель среды с повреждаемой структурой

Зададим физическую точку й1 X в виде структурной модели Фойгта объемом V = ^ (рис. 5), и пусть точка выполняет две функции: служит накопителем упругой энергии, характеризуемой изменением аддитивной величины I, и элементом для передачи энергии из одной точки пространства в другую. Вторая функция характеризуется изменением аддитивной величины S (по поводу второй функции напомним два классических примера: закон Паскаля, когда давление жидкости передается во всех направлениях без изменения, и классический механизм — рычаг Архимеда).

Энергию дифференциального объема определим как функцию двух аддитивных параметров I и S, т.е.

и = и(1, S). (19)

4.1. Энергетический уровень описания нелинейности

Линейный дифференциал от выражения (19) дает закон сохранения энергии при изменении двух параметров состояния

dU =

dU

dl

dl +

dU

dS

dS, (20)

Jl=const

JS=const

где первый потенциал 3U/dl есть деформирующая сила, равная изменению энергии в единицу удлинения при постоянной площади S, второй потенциал dU/dS есть когезионная сила или сила поверхностного натяжения, равная изменению энергии в единицу изменения площади при постоянной длине (в общем случае dl и dS— векторные величины и изменение энергии по различным направлениям изменения этих величин различно, но в нашей модели симметрия внешнего воздействия и симметрия структуры физической точки обеспечивают скалярный вариант).

Разделив правую и левую часть уравнения (20) на объем физической точки V = IS, получим уравнение сохранения энергии при изменении удельных параметров состояния

dU

V

3U

dl 1

---1—

ll

dU

IS

dS

S

(21)

или после предельного перехода (V ^ 0, следовательно, I ^ 0, S ^ 0)

&и = а(8, ш)ё8 + Р(8, ш)ёш, (22)

где й8 = Иш(й///) — инфинитезималь деформации; йш = Иш(й£/£) — инфинитезималь поврежденности (в данной модели характеризует относительную долю разрушенных стержней); а(8, ш) = Иш1/£ (ди/д/) — напряжение; Р(8, ш) = Иш1// (ди/д£) — поверхностное натяжение.

В зависимости (22) после предельного перехода появились полевые величины: й8 = й8(X, t) и йш =

Рис. 5. Структурная модель Фойгта (V, I, S — инфинитезимали 1-ого порядка)

= йш(X1, t), а также а и Р. При выводе выражений (21), (22) учтена предоставляемая нестандартным анализом возможность оперировать с актуальными бесконечно малыми как с числами (но с учетом их малости).

4.2. Феноменологический уровень описания нелинейности

Линейные дифференциалы потенциалов а и 8 дают определяющие уравнения

da = dP =

Эа

Зє

3P

Зє

de +

)ю

de +

Зє

Зю

3P

Зю

dw,

dю

(23)

или, введя обозначения соответствующих модулей, получим

da = Cee de + Cгюdю,

dP = Cює ^ + Cmrodw,

(24)

(25)

где

C££ -

За

Зє

C -dP

юю

Зю

C

єю _ ^

Зю

l_ dTU_ S dl2

S d 2U l dS2

d 2U d 2U 3l3S 3S3l

(26)

3P

Зє

.C

Здесь выражения в скобках приведены для коэффициентов до предельного перехода. Последнее соотношение в (26) является аналогом соотношений Онзагера в термодинамике.

а

ю

а

В предположении, что на определенном интервале изменения параметров состояния матрица модулей невырожденная, т.е.

C C

C88 C8(

C C

П1Р I'll,

* 0,

имеем

Jde = K *cda+ K *р dP,

I dm = Kpcda + K*PPdP.

(27)

(28)

Уравнение (24) можно использовать для исследования процесса деформирования, а (28) — для исследования процесса разрушения.

Пусть система обладает реологическими свойствами. Тогда для обеспечения процесса релаксации (т.е., когда d8 = 0) из уравнения (24) следует, что модуль С8ш Ф 0, а для обеспечения процесса ползучести (т.е., когда dа = 0) из уравнения (27) — К*Р Ф 0. Таким образом, в этом случае деформационный процесс протекает за счет изменения структуры системы.

При отсутствии у системы реологических свойств уравнения (24) и (28) приобретают наиболее простой вид:

йа = С88 (29)

(30)

Уравнение (29) в случае однородности величины С88 легко интегрируется и используется в линейной теории упругости. Уравнение (30) может служить исходным уравнением для разработки критериев разрушения. При этом важным является не только достижение параметром ш своего предельного значения в точке, но и скорость его изменения дш/дt. Причем эта «подвижная» часть параметра ш определяется «проводимостью» окружения.

4.3. Структурный уровень описания нелинейности

Пусть в системе отсутствуют реологические свойства. Для такой хрупкой системы для уравнения (29), когда С88 = С88(8, ш), имеем:

0йш, (31)

dm = K*P dP.

dC88 F888d8 + F88m“

где

F = .dCEE

F =

± 88ю

Эе

dC88

dm

Э 2 a

d 2 8 ”

d2 a

Э 3u f d 38

d 3u

S dl3

1 Э U S dl 2dS

д8дш д82дш

Для уравнения, описывающего накопление повреждений (30), когда КРР = КРР (а, Р), имеем:

йК*РР = Gрраdа + Gррр йР, (32)

где 0РРа=дК*РР/да, 0РРР =дК*РР/дР (взаимосвязь этих величин с другими уровнями описания нелиней-

ности будет дана в разделе, посвященном термодинамической аналогии рассматриваемого метода).

4.4. Этап восстановления («обратный ход»)

а) Для восстановления уравнения, определяющего процесс деформирования выдвигаем следующие гипотезы для интегрирования уравнения (31):

- гипотезу о геометрически линейной среде, которая эквивалентна соотношению F888 = 0 (однородность по деформации на структурном уровне описания нелинейности);

- гипотезу о линейном накоплении повреждений, которая эквивалентна соотношению F88m = C1 = const (однородность на следующем уровне описания нелинейности).

Кроме того, принимаем гипотезы Качанова относительно «граничных» условий:

- изначально «девственному» состоянию соответствует C88 (8, 0) = E;

- полностью разрушенному состоянию соответствует C88 (8 j) = 0

Тогда интегрирование уравнения (31) дает

C88 = Cim + C2 или с учетом граничных условий

C88 = E (1 -Ю)-

И, наконец, подстановка этого выражения в (29) с последующим интегрированием по геометрическому пространству дает определяющее соотношение для процесса деформирования:

a = E (1 -ю) 8.

(33)

б) Для восстановления уравнения, определяющего процесс разрушения, отметим следующие особенности. Величина а в рассматриваемой модели Фойгта является функцией только времени, т.е. а = а(г). Величина Р (случайный предел прочности) равномерно «размазана» в дифференциальном объеме й'У, образуя статистически однородное поле, и не зависит от времени, т.е. Р = Р(X2). Критерием разрушения в точке X определим выполнение соотношения а(/) > Р(X ).

Тогда коэффициенты в (32) как функции параметров а, Р можно задать следующим образом:

dKPP

Эа

= 8 (P -а), (34)

где 8(х) — дельта-функция Дирака (физически это означает, что величина а при своем изменении во времени «нашла» в геометрическом пространстве тот стерженек, предел прочности которого Р = а);

PPP

dK

PP

dP

= h (P -a), (35)

a=const

|0, х < 0,

где Ы х) = -{ — единичная функция или функ-

[1, х > 0

ция Хевисайда (физически это означает, что величина Р при своем изменении в геометрическом пространстве присваивает тем точкам X2, где Р < а, значение 0, а где Р > а — значение 1; при этом то и другое числовое множество имеет мощность континуум).

Подставляя (34) и (35) в (32), имеем

dKPP =8 (P-a) da+ h (P-a)dP,

(36)

где первый коэффициент 8 (Р - а) говорит о том, что была выдвинута гипотеза об однородности для первого слагаемого (за исключением конечного числа точек, где а = Р), а второй коэффициент (с учетом того, что дh (Р -а)/дР = 8 (Р - К)) говорит о том, что относительно второго слагаемого выдвинута аналогичная гипотеза, но для следующего уровня описания нелинейности.

Интегрируя выражение (36) (второе слагаемое при условии эргодичности интегрируем в вероятностном пространстве) и подставляя результат в (30), получаем

dm = (h (P - a) + f (P - a)) dP,

(37)

где Д(х) — плотность распределения предела прочности. И, наконец, интегрируя (37) в вероятностном пространстве, получаем определяющее соотношение для процесса разрушения на феноменологическом уровне

ю =

|f (x)dx.

(38)

При интегральном переходе под бесконечно малыми da и 4Р понимались «потенциально» бесконечно малые И. Ньютона, что обеспечило «уничтожение» первого слагаемого в конечном выражении (38). Однако при компьютерном моделировании временной интервал (т.е. da) не может быть сделан «потенциально» бесконечно малым, не может быть сделано бесконечным и число структурных элементов как необходимое условие создания вероятностного пространства. Реальные деформируемые тела обладают конечной дискретной структурой на каждом уровне, создающей такие условия, что деформирование разыгрывается на ряде структурных уровней, которые образуют определенную иерархию, дискретным образом.

Наличие масштабных уровней затрагивает один из основных постулатов, обеспечивающий применение стандартного математического анализа, — постулат о гладкости полей, которые описывают исследуемый процесс. Все это заставляет обратиться к разрабатываемому сейчас нестандартному (неархимедову) анализу, в котором разрывы являются типичным явлением и могут реализовываться всюду в области определения того или иного поля. Причем для работы с нигде недифференцируемыми разрывными полями можно использовать

стандартные методы теории уравнений в частных производных.

Отметим следующие особенности предлагаемого инфинитезимального подхода.

- Подход может быть применен к другим двух параметрическим моделям (термоупругости, электроупругости и т.п.). Причем все параметры учитываются аддитивным образом, что особенно хорошо будет видно при применении подхода к построению многопараметрических моделей.

- В подходе использовалось осреднение, позволяющее «уничтожить» геометрические особенности (пространственные координаты) и нелинейность (временную координату) путем введения гипотезы об однородности на соответствующем уровне описания. Причем такие понятия как однородность, нелинейность, стационарность становятся в определенном смысле математически эквивалентными.

- Подход позволяет произвести классификацию моделей, применяемых в механике сплошных сред.

5. Термодинамическая аналогия

Уравнения (7), (20) предлагаемого подхода являются законами сохранения энергии, т.е. адекватны первому основному закону термодинамики. Возникает вопрос: насколько предлагаемый подход соответствует термодинамическим представлениям?

В термодинамике (как системной теории) физические величины ставятся в соответствие не точкам, а пространственно-протяженным (термодинамическим) системам, мысленно отделенным от окружающей среды контрольной поверхностью (т.е. величины являются функциями одного лишь времени).

В первом законе термодинамики, который, как известно, применим к обратимым (равновесным) и к необратимым (неравновесным) состояниям,

dU = pdV + TdS, (39)

где U — внутренняя энергия системы; p = (Эи/Э V )S — давление (термодинамический потенциал); T = = (3U/dS )v — температура (термодинамический потенциал); V — объем; S — энтропия. Здесь V и S — аддитивные величины (т.е. они «размазаны» по геометрическому пространству), а потенциалыp и T, которые в соответствии с излагаемым выше подходом являются нелинейными функциями точек V0 (при S = const) и S0 (при V = const), также предполагаются равномерно «размазанными» по геометрическому пространству (в пределах объема, ограниченного контрольной поверхностью). Эта гипотеза об однородности (т.е. dp(X, t)/dX = 0 и dT (X, t)/dX = 0) вполне физична, т. к. количество структурных элементов (атомов и молекул) статистически велико и они, находясь в непрерывном хаотическом движении обеспечивают правомочность этой гипотезы. Следует отметить, что в раз-

Таблица 1

Уравнения сохранения Определяющие соотношения Основные потенциалы

Внутренняя энергия аи = аёе + Рёю Гаа = Сее ае+Сетат, 1аР = Стеае + Сттат )т р

Свободная энтальпия Ф* = и -ае-Ра>, аФ* = -еаа - тар |ае = К „„аа + К арйР, |ат = крааа+крр ар ”М

Энтальпия Ф = и - ае, аФ = -еаа+рат |ае = к :„аа+ка»ат> 1ат=к ;*оаа+к т»ат р=ш

Свободная энергия F = и - Рт, dF = аае-таР Гаа = Аееав+АР ар, [ат = АРе + Арр ар а=(£) р ‘=-(1р)е

виваемой сейчас термодинамике необратимых процессов [10], где для необратимых химических реакций вводятся химические потенциалы, эта гипотеза также правомочна, т.к. феноменологический уровень описания непосредственно связан с атомно-молекулярным.

В механике структурно-неоднородных сред количество структурных элементов намного меньше, чем количество элементов, рассматриваемых в термодинамике, и они не находятся в непрерывном хаотическом движении. Кроме того, в механике структурно-неоднородных сред, как континуальной теории, физические величины определены в каждой точке пространства (они являются функциями времени и координат, причем последние представляют собой независимые переменные). Понятие движения обычно существует в классической механике деформируемого твердого тела лишь формально (например распространение упругих волн). Однако для структурно-неоднородных сред с повреждаемой структурой движение на структурном уровне нельзя игнорировать даже в условиях равновесного состояния на макроуровне.

В термодинамике имеется подход, когда кроме обобщенного свойства, характеризующего состояние системы, каким является внутренняя энергия и, вводятся ряд других (для двухпараметрической системы (39) это: Ф* — свободная энтальпия (энергия Гиббса); Ф — энтальпия; F — свободная энергия (энергия Гельмгольца)).

Эти величины строятся на базе внутренней энергии и как первоосновы с помощью преобразования Лежандра, позволяющего осуществлять переход от функции и, заданной на линейном пространстве X, к функциям Ф г на сопряженном пространстве Y. При этом предполагается, что Щ(х) — выпуклая функция (т. е.

а2и/ах2 > 0 [12]).

При наличии п степеней свободы внутренняя энергия системы определяется уравнением

аи = Х YidXi, (40)

г =1

где Хг — обобщенные основные параметры системы; Yi = аи / ахг — термодинамические потенциалы в основном пространстве.

Метод построения свойств Ф г (аналогичных внутренней энергии) в сопряженном пространстве состоит в комбинировании внутренней энергии с основными параметрами Хг и потенциалами Yi:

Ф г = и-£ YkXk, 0 < г < п. (41)

к=1

Полный дифференциал от выражения (41) с учетом (40) дает уравнения для свойств в сопряженных пространствах

аФ г =-£ Хк dYk +Х YkdXk. (42)

к=1 k +1

В частности, при г = 0 получаем Ф г = и, а при г =

п

= п имеем аФ г = -^ ХкdYk.

k=1

Следует отметить, что для случая, изображенного на рис. 2, в точке перегиба (когда выпуклость меняется на вогнутость) условия выпуклости нарушаются. Возникающую сингулярность в этой особой точке можно исследовать в рамках нестандартного анализа с помощью перехода на другой масштаб описания.

Для двухпараметрической модели, рассмотренной в п. 4, построенные в соответствии с выражением (42) соотношения сведены в табл. 1.

Необходимо сделать следующие комментарии к приводимой таблице.

Положительная работа сопровождается увеличением внутренней энергии системы (внутренняя энергия возрастает, если работу совершает окружающая среда над системой). В этом заключается правило знаков, выбираемых для потенциалов (последние два столбца в таблице). В классическом варианте положительной работе соответствует положительное значение основного параметра. Однако для нашей двухпараметрической модели на ниспадающей ветви характерен случай, когда положительная работа сопровождается уменьшением основного параметра (напряжение а уменьшается).

В п. 4 уравнения (27) и (28), полученные из условия сохранения внутренней энергии и невырожденности матрицы коэффициентов Су, совпадают по своему виду с определяющими соотношениями при выборе в качестве основного свойства свободной энтальпии. Однако коэффициенты K j (найденные по коэффициентам Су) получены при условии e = const или m = const, а коэффициенты Kmn в определяющем соотношении, соответствующем свободной энтальпии, получены при условии а = const или P = const.

Физический смысл термина «свободная энергия», введенного в термодинамику Гельмгольцем, легко установить, если рассмотреть взаимодействия системы и окружающей среды в условиях, когда P = const (dP = = 0). При этом dF = ade. В противоположность свободной энергии F произведение Pm можно рассматривать как связанную энергию, причем Pm = U - F.

6. Заключение

Разработан метод построения определяющих соотношений в приложении к задачам механики структурно-неоднородных сред. Показано, что степень нелинейности определяющих соотношений математически эквивалентна гипотезе об однородности среды при ее многомасштабном описании.

Показано, что в процессе деформирования структурно-неоднородная среда как термодинамическая система будет стремиться к структуре, обеспечивающей минимум «нерационального» расхода энергии. Такие структуры должны соответствовать трем случаям: полностью однородному бесструктурному состоянию классической механики деформируемого твердого тела, однородному деформированному состоянию (модель Фойгта) и однородному напряженному состоянию (модель Рейсса).

В данной работе в качестве элемента наименьшего масштабного уровня выбирается модель Фойгта (структура — система параллельных стержней, обеспечивающая однородность деформаций, а неоднородность напряжений обеспечивается случайным пределом прочности стержней и тем самым обеспечивается зарождение повреждений на малом масштабе). В качестве элемента следующего масштабного уровня будет выбрана модель Рейсса (слоистая структура обеспечивает одно-

родность поля напряжений, а неоднородность поля деформаций определяется неоднородностью модуля упругости слоев — следствие зарождения повреждений в модели Фойгта).

Вне обсуждения в данной работе остались вопросы, связанные с процессом самоорганизации в такой двухмасштабной модели Фойгта-Рейсса (и, как следствие, локализацией процесса «деформирование-разрушение»), а также проблемы, связанные с потерей устойчивости процесса. Все эти вопросы будут рассмотрены в отдельной статье.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 01-01-96479) и Департамента образования и науки Администрации Пермской области.

Литература

1. Robinson A. Non-standard analysis. - Amsterdam: North-Holland, 1966. - 293 p.

2. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? - М.: Наука, 1987. - 128 с.

3. Альбеверио С., Фенстад Й., Хуэг-Крон Р., Линдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике. - М.: Мир, 1990. - 616 с.

4. Мельников С.В., Пантелеев И.А. О построении определяющих со-

отношений для среды с повреждаемой структурой // Аннотации докладов VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. - Екатеринбург: УрО РАН, 2001. - С. 426.

5. Мельников С.В. Об одном подходе к построению определяющих соотношений, имеющих ниспадающую ветвь полной диаграммы деформирования // Тезисы докладов 1-ой Всероссийской конференции «Механика микронеоднородных материалов и разрушение», Екатеринбург, 26-27 марта 1999. - С. 28.

6. Волков С.Д. Статистическая теория прочности. - М. - Свердловск:

Машгиз, 1960. - 176 с.

7. Волков С.Д., СтавровВ.П. Статистическая механика композитных

материалов. - Минск: Изд-во БГУ, 1978. - 208 с.

8. Стружанов В.В., Миронов В.И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. - Екатеринбург: УрО РАН, 1995. - 191 с.

9. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. - М.: Наука-Физматлит, 1997. - 288 с.

10. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. -160 с.

11. Ревуженко А.Ф. Механика упругопластических сред и нестандартный анализ. - Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. -428 с.

12. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. -М.: Наука, 1974. - 432 с.