CC BY
27
Компьютерное моделирование процессов самоорганизации в структурно-неоднородных материалах в рамках концепции неархимедового пространства
С.В. Мельников, И.А. Пантелеев1
Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, 614013, Россия 1 Пермский государственный технический университет, Пермь, 614013, Россия
В рамках инфинитезимального метода построения определяющих соотношений рассматривается структурная модель неархимедовой точки, внутренняя структура которой учитывает объемное и поверхностное состояния. На основе этой модели получена аналитическая зависимость состояния неархимедовой точки в процессе ее взаимодействия с неповреждаемой нагружающей системой, что дает возможность исследовать вклад поверхностных и объемных состояний в формирование ее свойств.
С этой целью было проведено компьютерное моделирование процессов самоорганизации на основе многоточечной модели среды, структура неархимедовых точек которой изменяется при их деформационном взаимодействии. При моделировании варьировались: размеры зерна, плотность межзеренного слоя (что эквивалентно наличию начальной поврежденности слоя), а также количество точек в модели и количество структурных элементов в точке. Компьютерное моделирование позволило выдвинуть гипотезу о существовании резкой отчетливой границы изменения макросвойств при уменьшении размера зерна до уровня, характерного для наноматериалов.
Computer simulation of self-organization processes in heterogeneous materials within the concept of non-Archimedean space
S.V. Melnikov and I.A. Panteleev
The structural model of non-Archimedean point, the internal structure of which allows for the volumetric and surface state, is considered in the framework of an infinitesimal method for constructing constitutive relations. The model is used to derive the analytical relationship describing the state of non-Archimedean point in the process of its interaction with undeformable loading system, which enables one to investigate the contribution of the surface and volumetric states in formation of its properties.
To this end a computer simulation of self-organization processes has been carried out based on the multipoint model of a medium, in which the structure of non-Archimedean points change during their deformation interaction. The simulation has been made for the following variable problem parameters: grain size, density of intergrain layer (which is equivalent to the existence of initial layer damage), the number of points in the model and the number of structure elements in the point. The results of computer simulation allowed us to set forth the hypothesis for the existence of the well-defined boundary of macroproperties variation due to decrease of the grain dimensions to the level characteristic of nanomaterials.
1. Введение
Модели структурно-неоднородных материалов можно классифицировать по используемому характеру соотношений между размерами описываемого объекта и размерами и количеством его структурных элементов. К первому типу относятся неограничено большие тела с конечными размерами структурных элементов. Эта модель используется в физике твердого тела и статистической физике, где используется термодинамический предел (при безграничном увеличении размеров объекта и количества его частиц их концентрация постоянна) [1]. Ко второму типу относятся конечные тела с беско-
нечно малыми размерами структурных элементов. Эта модель используется в статистической механике композитов [2], где вводятся дифференциальные объемы различных порядков малости, а при стандартном (математическом) предельном переходе количество структурных элементов становится бесконечным. Во всех этих моделях определенным образом вводится масштабный инвариант, связанный с радиусом корреляции распределения структурных элементов в пространстве. В физике по утверждению И. Имри [1] мезоскопический размер был введен Ван Кампеном в 1981 году, а в микромеханике материалов, наверное, А.Д. Аксельрадом в 1976 году [3].
© Мельников С.В., Пантелеев И.А., 2004
В эстафетной цепочке развития материалов (естественные материалы - сплавы - полимеры - композиты -наноматериалы) наибольший научный интерес в настоящее время представляют материалы, имеющие композитную и наномасштабную гетероструктуру. В этом плане актуальной становится разработка моделей тел конечных размеров с характерными конечными размерами структурных элементов и конечным их числом. Такие модели имеют наиболее близкую к реальности структуру, но их сложно использовать в расчетах в рамках классического математического анализа, применяемого для сплошной непрерывной среды. Для исключения имеющихся (в смысле сложности расчетов) затруднений в данной работе используется гипотеза о существовании иерархического ряда промежуточных областей (мезо-элементов), содержащих конечное число дискретных элементов структуры. Соотношение размеров промежуточных областей соответствует неархимедовому числовому полю (в смысле работы [4]), а свойства структурных (дискретных) элементов в мезобластях случайны (т.е. заданы в виртуальном бесконечном пространстве реализаций, которое соответствует неархимедовому числовому полю (в смысле работы [5])).
2. Модель неархимедовой точки, внутренняя структура которой учитывает объемное и поверхостное состояние
В рамках инфинитезимального метода построения определяющих соотношений [6] рассматривается структурная модель неархимедовой точки (рис. 1).
Упругая энергия точки рассматривается как функция двух структурных параметров
и = и (I, £).
Закон сохранения удельной энергии
dU = 1 (ди Л dl 1 (ди = £ I д1 I I I д£ ) £
V
(1)
(2)
после предельного перехода (V ^ 0*, ^ I ^ 0*, £ ^ ^ 0*) имеет следующий вид:
dм = аdе + Pdш, (3)
в котором учитывается не только накопление энергии в точке, но и возможность передачи энергии от точки к точке. Здесь предел прочности структурных элементов Р, хотя и имеет размерность напряжения а, но получен в результате предельного перехода (I ^ 0*) от объема к поверхности, а ш — локальная поврежденность этой поверхности.
3. Аналитическое описание взаимодействия неархимедовой точки с неповреждаемым окружением
В 1995 г. в докладе [7] на основе двухмасштабной модели Фойгта-Рейсса было рассмотрено влияние на процесс разрушения не только жесткости окружения, но и влияние соотношения размеров деформируемой системы и окружения.
Здесь в макромасштабе элементы 1 и 2 (рис. 2) являются структурными элементами модели Рейсса (однородность напряжений); в микромасштабе элементы 1 не имеют структуры и описываются классической моделью Гука, а элемент 2 является структурной моделью Фойгта (однородность деформаций).
В координатах а-е-ш диаграмма деформирования изображена на рис. 3.
Для такой схемы нагружения получена аналитическая зависимость состояния неархимедовой точки в процессе ее взаимодействия с неповреждаемой нагружающей системой, что дает возможность исследовать вклад поверхностных и объемных состояний в формирование ее свойств. Разрушающее напряжение ар на ниспадающей ветви диаграммы а-е в соответствии с этой зависимостью имеет следующий вид:
ар = ав --
1 ( 1 Л 2 ( С Л
4 ,Е ,
(52 -
(4)
Рис. 1. Модель неархимедовой точки. Здесь V, I, £ — инфинитезима-ли — актуальные бесконечно малые
Рис. 2. Двухмасштабная модель Фойгта-Рейсса
Рис. 3. Диаграмма деформирования элемента 2
где ав
s1, ^2
характеристики закона
4(-*)'
равномерного распределения предела прочности. Характер взаимодействия неархимедовой точки с окружением отражен в зависимости для ар, где C/E — соотношение жесткостных характеристик окружения и точки, а l/L — соотношение линейных размеров точки и окружения. Если размер l = const интерпретировать как толщину межзеренного слоя нанокомпозита (-1 нм), а размер зерна L уменьшать до наноразмеров (<100 нм), то можно исследовать вклад поверхностных и объемных состояний в формирование свойств наноматериалов.
4. Компьютерное моделирование процесса самоорганизации с возможным приложением к описанию свойств наноматериалов
На макроуровне каждый одноосно деформируемый компьютерный «образец» композита будем моделировать периодически чередующимися элементами Рейсса с
Z = nL + (n - 1)l, (5)
где Z — постоянный для всех компьютерных «образцов» размер; L — размер «зерна» композита (в «экспериментах» изменяется от размеров, характерных для традиционных поликристаллических тел, до наноразмеров). В работе [8] L = 100 нм; l — размер межзеренного слоя (в «экспериментах» полагается постоянным, по данным работы [8] l = 1 нм); n = n(L) — количество зерен в образце.
Из (4) видно, что с уменьшением L возрастает роль второго слагаемого, которое имеет в нанокомпозите порядок (по данным [8]) l/L = 0.01.
На микроуровне как зерна, так и межзеренные слои моделировались структурной моделью Фойгта с конечным числом стержней. Жесткостные свойства стержней принимались одинаковыми в зерне и межзеренном слое, и равными их свойствам на макроуровне.
На субмикромасштабном уровне процесс деформирования отдельного стержня прерывался при выполнении критерия разрушения вида а(£) > Р, где Р — случайный предел прочности, который определялся из закона нормального распределения с соответствующими характеристиками для стержней, моделирующих зерно и межзеренный слой.
Такое моделирование процесса деформирования-разрушения (когда на макроуровне процесс неоднороден за счет неоднородности модулей упругости и размеров элементов Рейсса, а на микроуровне — за счет неоднородности жесткостных свойств вследствие неоднородности прочностных свойств на субмикроуровне) обеспечивает появление процесса самоорганизации, когда накопленная в элементах Рейсса деформация «на конкурентной основе» перераспределяется в соответствии со случайным во времени изменением их жесткостных свойств.
На рис. 4 крайние и средняя точки моделируют зерна нанокомпозита, а точки между ними — межзеренные слои. Справа на рис. 4 изображены состояния точек в координатах а-е в процессе нагружения, из которых наглядно видно, как накопленная энергия в результате «конкуренции» из 4-х точек «перетекает» во 2-ю сверху точку.
Рис. 4. Иллюстрация процесса самоорганизации (5 неархимедовых точек)
О 2 4 6 8 10
// L
Рис. 5. Экспоненциальная зависимость в p(l/L)
В результате компьютерного моделирования влияния размера зерна на живучесть системы получена экспоненциальная зависимость вр = вр (l/L) при l = const (рис. 5).
Полученная зависимость качественно соответствует аналитическому выражению (4), но при ее получении путем компьютерного моделирования отсутствуют те жесткие ограничения, которые были сделаны при выводе формулы (4). Ее экспоненциальный характер позволяет выдвинуть гипотезу о том, что при уменьшении размеров структурного элемента, существует «наноразмер», когда живучесть материала резко возрастает. Как
при выводе формулы (4), так и при компьютерном моделировании используется как многомасштабность структуры материала, так и неоднородность (гетерогенность) структуры на различных масштабных уровнях, т.е. свойства становятся уникальными для материалов, имеющих наномасштабную гетероструктуру.
Литература
1. Имри Й. Введение в мезоскопическую физику. - М.: Физматлит, 2002. - 304 с.
2. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных
материалов. - Минск: Изд-во БГУ, 1978. - 207 с.
3. AxelradD.R. Micromechanics of solids. - Amsterdam: PWN-Elservier
Publishing Co., 1976.
4. Ревуженко А. Ф. Механика упругопластических сред и нестандарт-
ный анализ. - Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. - 428 с.
5.Хренников А.Ю. Неархимедов анализ и его приложения. - М.: Физматлит, 2003. - 216 с.
6. Мельников С.В. Инфинитеземальный метод построения определяю-
щих соотношений для структурно-неоднородных сред с повреждаемой структурой. Часть 1 // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 3.-С. 53-61.
7. Мельников С.В. О механизме торможения процесса разрушения наполненного композита // Тезисы докл. 10-й Зимней школы по механике сплошных сред. - Пермь, 1995. - С. 167.
8. Валиев Р.З., Александров И.В. Наноструктурные материалы, полученные интенсивной пластической деформацией. - М.: Логос, 2000. - 272 с.
