CC BY
53
УДК 539.37
Концепция неархимедова многомасштабного пространства и модели пластических сред со структурой
С.В. Лавриков, O.A. Микенина, А.Ф. Ревуженко, Е.И. Шемякин1
Институт горного дела СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия 1 Московский государственный университет им М.В. Ломоносова, Москва, 119991, Россия
Описание процессов деформирования, протекающих на различных масштабных уровнях, требует разработки адекватного математического аппарата. В работе строится многомасштабная (неархимедова) прямая. Используя ее в качестве осей координат, вводятся многомасштабное пространство и время. Формулируются основные понятия неархимедова математического анализа. В рамках сделанных построений рассматриваются пластическая модель горной породы и численное решение задачи о протяженной горной выработке.
Ключевые слова: неархимедовая прямая, нестандартный анализ, математический аппарат, многомасштабность, математическая модель, пластичность, деформирование, горный массив, выработка, разупрочнение
The concept of non-Archimedean multiscale space and models of plastic media with structure
S.V Lavrikov, O.A. Mikenina, A.Ph. Revuzhenko, and E.I. Shemyakin
Institute of Mining SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia 1 M.V. Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991, Russia
The description of deformation processes occurring at different scale levels requires that adequate mathematical tools be developed. We construct a multiscale (non-Archimedean) line. Using it as a coordinate axis, we introduce multiscale space and time. Basic notions of non-Archimedean mathematical analysis are formulated. In the framework of the made constructions we consider a plastic model of rock and numerically solve a problem on a long mine opening.
Keywords: non-Archimedean line, non-standard analysis, mathematical tools, multiscale, mathematical model, plasticity, deformation, rock mass, mine opening, weakening
1. Введение
Процессы деформирования пластических тел происходят на различных масштабных уровнях, которые образуют определенную иерархию. Их изучению посвящена новая научная дисциплина — мезомеханика, становление и развитие которой во многом связано с трудами научной школы академика В.Е. Панина [1, 2]. В механике геосреды концепция иерархии структурных уровней развивается в работах [3-7 и др]. Наличие многих масштабных уровней необходимо учитывать в математических моделях деформирования. Как правило, для этого используются модели, содержащие внутренние переменные. Внутренние переменные описы-
вают дополнительные степени свободы, которые появляются на различных уровнях деформируемой среды. В целом такой подход соответствует тому, что обычные гладкие поля скоростей, которые характерны для классических моделей, заменяются негладкими полями [6, 8].
Последовательное развитие подобных моделей приводит к выводу о том, что необходимо более радикальное изменение классического подхода, а именно: внутренней структурой необходимо наделять независимые переменные, а значит, и само пространство и время, в которых разыгрываются те или иные процессы деформирования. Действительно, в механике используется концепция арифметического пространства и времени.
© Лавриков С.В., Микенина O.A., Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И., 2008
Поэтому точка пространства отождествляется с тройкой вещественных чисел, а момент времени — с одним вещественным числом. Следовательно, концепция вещественной прямой определяет и основные свойства пространства и времени. Одно из свойств вещественной прямой состоит в ее одномасштабности: если выбирать любой, отличный от нуля, шаг длины (масштаб), то, двигаясь с этим шагом вдоль прямой, через конечное число шагов можно достичь любой другой точки на прямой. Этот факт и составляет содержание аксиомы Архимеда. Можно сказать так: аксиома Архимеда — это и есть утверждение о свойстве одномасштабности вещественной прямой (исключая точки 0 и ^). Поэтому введение многомасштабной прямой означает и снятие ограничений, диктуемых аксиомой Архимеда. Иными словами, это означает введение неархимедовой прямой, а значит, и неархимедова пространства и времени. При этом соответствующие числовые системы должны содержать в себе актуальные бесконечно малые числа. Необходимо отметить, что потребность в таких числовых системах возникает во многих разделах теоретической и прикладной математики. В этом направлении выполнено значительное число исследований. Ограничимся ссылками на [9-12], в которых содержится обширная библиография. Ниже будем опираться на результаты [12].
Если обратиться к основам математического анализа, то нетрудно убедиться в том, что фундаментальное понятие анализа — понятие предела — однозначно определяется концепцией вещественного числа. Более того, можно сказать, что понятие предела — это только повторение определения вещественного числа на новом языке. Следовательно, изменение концепции числа и переход к неархимедовой прямой повлечет за собой и изменение основных понятий математического анализа. При этом разрешающая способность теории возрастет.
Действительно, разрешающая способность классического анализа определяется следующим свойством вещественной прямой: если относительно двух чисел а и в, принадлежащих прямой, известно, что
|а-р|<1/ п (1)
для
п = 1, 2, 3, ..., (2)
то данные числа различить между собой невозможно, то есть а = р. Приведенное утверждение будем называть первой аксиомой разрешения (ей соответствует степень разрешения 1). Если же теперь а и Р — это числа на неархимедовой прямой, то найдется сколько угодно пар, для которых условия (1), (2) имеют место, но тем не менее теория эти числа различает, то есть а ф Р [12]. (Разрешающая способность прибора для физических наблюдений определяется аналогично, т.е. через описание объектов, которые с помощью данного прибора невозможно различить.)
Таким образом, переход к неархимедовой прямой означает не только введение иерархии масштабных уровней, но и повышение разрешающей способности теории в целом.
Изложим вначале концепцию обычного (архимедова) пространства и соответствующую схему построения математического анализа. Данную схему будем использовать как образец для дальнейших построений.
2. Концепция архимедова арифметического пространства и математический анализ
В руководствах даются различные способы построения вещественной прямой. Для наших целей удобнее всего исходить из концепции вещественного числа по Кантору [13].
Следуя Кронекеру, примем, что натуральные числа (2) заданы изначально. Примем также, что изначально заданы и арифметические операции над ними. Поэтому можно считать, что рациональные числа заданы. В этом смысле данные числа будем считать абсолютными и записывать их с индексом abs. Абсолютные числа будут служить материалом для дальнейших построений.
Введем понятие соединения математических объектов. В реальной жизни понятие соединения в комментариях не нуждается. Определенные соединения атомов и молекул образуют материалы. Соединение различных деталей, изготовленных из этих материалов, позволяет изготавливать различные механизмы и т.д. При создании соединений важными являются не только исходные соединяемые элементы, но также порядок и способ их соединения. Главным результатом является то, что при соединении получается именно один, единый объект. И второе очевидное обстоятельство состоит в том, что, как правило, полученный объект состоит из элементов, каждый из которых представляет собой соединение более мелких элементов. То есть налицо иерархия соединяемых объектов, которая простирается либо до бесконечности либо до праэлементов, если они так или иначе обозначены. В последнем случае число иерархических уровней в структуре данного объекта будем называть числом уровней сложности. Праэлементу будем приписывать первый уровень сложности.
Таким образом, соединение предполагает установление определенных отношений между его элементами. (Например, если задать перемещение одного звена цепи, то всегда можно дать оценку смещений других ее звеньев.) В этом состоит отличие понятий «соединения» и «множества».
Перейдем к конструированию соединений из мате-магических объектов. В качестве праэлементов заданы рациональные числа. Возьмем их последовательность г1, г2,..., гп = г(п),... и будем рассматривать ее как соединение указанных чисел в указанном порядке (объект второго уровня сложности). Далее будем соединять
различные последовательности и получать новые объекты. Вначале образуем соединение последовательностей rn, каждая из которых обладает следующим свойством: для любого натурального числа M найдется другое натуральное число Лтакое, что для любых n > N будут иметь место неравенства | rn| < 1/M. Соединение данных последовательностей будем называть вещественным числом нуль 0Г. Как видим, вещественное число нуль принципиально отличается от числа 0, которое стоит в ряде
0, 1, 2, ... . Число 0abs из данного ряда имеет первый уровень сложности, а 0Г — это уже конструкция третьего уровня сложности. Тот факт, что некоторая последовательность rn входит в состав числа 0Г, будем отмечать записью lim rn = 0Г (индекс r будем, как правило,
ч П—ж
опускать).
Выделим из состава числа 0Г последовательности rn, в которых rn ф 0 для любого n. Образуем обратные последовательности 1/rn и соединим их в один объект. Данный объект будем рассматривать как число, обратное числу 0Г, и называть бесконечностью жг. факт принадлежности последовательности к жг будем обозначать записью:
lim1/ rn = Ж =1/°г-
П—ж
Последовательность pn называется ограниченной, если для некоторого натурального Mимеем: | pn | < M для любых n. Соединим pn с другими последовательностями p'n такими, что lim(pn - p'n) = 0Г. Получен-
n——ж
ный объект назовем неординарным вещественным числом и обозначим как
P = lim Pn. (3)
П—ж
Примем по определению, что p является пределом последовательности pn, а числа pn — приближениями p. фактически это только перефразировка определения числа (3). Значит, концепция числа однозначно фиксирует и понятие предела. Действия и частичный порядок в области (3) введем через приближения.
Трактовка равенства (3) как предела позволяет перенести в область неординарных вещественных чисел практически все результаты классического анализа. В области (3) действует аксиома Архимеда в форме (1). С другой стороны, данная область является гораздо более богатой, чем область обычных вещественных чисел. В ней нет линейного порядка (поэтому числа названы неординарными) и есть делители нуля. Например, если j = lim(-1)n+1, то числа 0Г и j между собой несравнимы и, кроме того, (j +1)( j -1) = 0Г. Неординарное ве-
„ „ „.2 т
щественное число j является двойной единицей: j = 1. Присоединим к области (3) мнимую единицу. В результате придем к области гиперкомплексных чисел, содержащей в себе сколько угодно двойных единиц. Такие числовые системы представляют большой интерес в связи с их приложениями, в том числе и к механике [6, 14].
Делители нуля — это во многих отношениях особые элементы. С одной стороны, они обладают свойствами числа 0Г (на них нельзя сокращать равенства), с другой стороны, обладают свойствами конечных, отличных от 0Г чисел (3). Поэтому и числа, обратные к делителям нуля, являются особыми. Природа их такова, что, с одной стороны, они принадлежат сфере бесконечного, а с другой — неразрывно связаны с областью конечных чисел. Пусть а = lim rn — делитель нуля. Выберем
П—ж _
последовательности из состава а, в которых rn ф 0. Перейдем к обратным последовательностям 1/rn и соединим их в один объект. Данное соединение будем считать числом, обратным к а, и обозначать как 1/ а = = lim 1/rn. Последовательность 1/rn устроена таким образ— м, что в ней обязательно есть две подпоследовательности, одна из которых входит в состав бесконечности, а другая — в состав одного из конечных чисел (3).
Таким образом, в целом область неординарных вещественных чисел представляет собой бесконечномерное непрерывное пространство, включающее в себя число 0Г, конечные числа, бесконечность и числа двойственной природы, которые обратны делителям нуля. В данном пространстве легко выделить линейно упорядоченную подобласть — вещественную прямую. Для этого достаточно потребовать, чтобы последовательности rn, которые фигурируют в определении (3), были фундаментальными. Вещественные прямые служат осями координат архимедова пространства.
Итак, основные этапы построения архимедова пространства и математического анализа сводятся к следующему:
1. Изначально задаются натуральные числа (2) и арифметические операции над ними, т.е. рациональные числа.
2. Образуются последовательности рациональных чисел, члены которых занумерованы числами из ряда (2), — последовательности типа 1, или короткие последовательности.
3. Вводится вещественное число 0Г.
4. Из ограниченных (не обязательно фундаментальных) последовательностей формируются конечные неординарные вещественные числа.
5. Вводятся понятия бесконечности и чисел, обратных к делителям нуля.
6. Выделяются классы фундаментальных последовательностей и соответствующая им числовая область — вещественная прямая. Вещественные прямые служат осями координат арифметического пространства.
7. Определение вещественного числа дается на языке теории пределов. На этой основе строится дифференциальное и интегральное исчисление.
Если посмотреть на данную схему неформально, то можно сказать, что процесс построения математического анализа похож на строительство реальных соору-
жений. Вначале на площадку доставляются необходимые элементы (согласно пункту 1 это натуральные числа, представленные в необходимом количестве экземпляров). Далее, элементы по определенному плану (пункты 2-7) соединяются в различные сооружения.
В исходном материале (2) фигурируют только конечные натуральные числа. Именно поэтому в результате получается одномасштабное архимедово пространство. Идея данной работы состоит в том, чтобы продолжить натуральный ряд в область бесконечно больших чисел и затем воспользоваться прежним планом 2-7 для построения многомасштабного пространства и соответствующего ему математического анализа.
3. Неархимедово многомасштабное пространство
Обратимся к объектам (3) и снимем условие ограниченности последовательностей rn. Кроме того, введем более жесткое условие на отбор соединяемых последовательностей: если rn — произвольная исходная последовательность, то будем присоединять к ней только те последовательности, которые отличаются от rn конечным числом членов. Данное соединение обозначим как
P = Lim Pn = LimPn. (4)
n
Объект P будем называть кофинитным числом, или ко-финитным пределом последовательности pn, а рациональные числа pn — приближениями P. Если в состав числа (4) входит стационарная последовательность, то будем использовать обозначения вида 1cof = Lim1abs. Индексы будем опускать. Частичный порядок и о пера-ции в области (4) введем через приближения. Числа Е = 1/ю и ю = Lim n будем считать эталонами в области
n
(4). Последнее равенство можно трактовать как ответ на вопрос: куда же стремится переменная n в смысле предела Lim? Видно, что в смысле Lim она стремится к актуальному бесконечно большому числу ю. Поэтому можно запись (4) уточнить так: P = Lim pn.
n—ю
Далее, натуральный ряд (2) обладает свойствами, которые позволяют на его основе построить вещественные числа и затем классический анализ. Именно данные свойства перенесем на продолженный ряд, имея в виду, что он должен послужить основой неархимедова математического анализа. Примем: 1) все члены продолженного натурального ряда положительны, сравнимы между собой и между ними есть линейный порядок; 2) число ю принадлежит продолженному ряду; 3) если ряду принадлежат числа ц и V, то данному ряду принадлежат и числа ц + V, ц -v; 4) ряд должен быть таким, чтобы в нем всегда нашлось число, превосходящее любое фиксированное число из области (4); 5) если ряду принадлежат три числа ц, V и Г, то ему должны принадлежать еще два числа а, т такие, что
Перечисленные условия еще оставляют произвол в конструкции ряда. Однако для дальнейших построений данный произвол значения не имеет. Остановимся на следующей конструкции ряда:
1, 2,3,..., n,..., ю, ю +1,..., 2ю,..., ю2,...,
ю2 + ю,...,юю,...,юю ,...,V,..., ц,.... (5)
Последовательности чисел из области (4), члены которых занумерованы индексами (5), например
A1, A2, ..., An, ..., Аю, Дю+1, ..., Av , ..., , ..., (6)
будем называть последовательностями типа 2, или длинными последовательностями, или, если возможно, просто последовательностями. Соединим теперь в один объект последовательности AV, которые обладают следующим свойством: для любого Г из ряда (5) найдется Л из (5) такое, что при V > Л |AV | < 1/Г. Данный объект будем называть существенным числом 0ess. Обозначение следующее:
0ess = limit AV = limit 0cof. (7)
V V
Если ясно о чем идет речь, индексы будем опускать. Объект бесконечность (^ess, или го) вводится по аналогии с объектом гог; roess = limit1/AV, AV Ф 0. Последовательность AV будем считать ограниченной, если существует число Г из ряда (5) такое, что |AV| <Г для любого V. Соединим некоторую ограниченную последовательность AV с другими последовательностями AV такими, что limit(AV - AV) = 0. Полученный объект обозначим через V
а = limit AV. (8)
V
Объект а будем считать пределом последовательности AV, AV — приближениями а. Частичный порядок и операции в области (8) введем через приближения. Числовая область (8) содержит двойные единицы и делители нуля. Если а — делитель нуля, то под обратным числом будем понимать соединение последовательностей 1/ AV, AV Ф 0 :
1/ а = limit! AV.
V
Числовая область (8) является чрезвычайно обширной. В настоящее время не видно необходимости изучения ее в полном объеме. Сузим данную область, наложив условие фундаментальности последовательностей (6). Последовательность называется фундаментальной, если для любого Г из ряда (5) найдется число Л из этого же ряда, что при V, ц > Л будут иметь место условия | AV - A^|< 1/Г. Числовую область (8), построенную из фундаментальных последовательностей, будем называть областью неординарных существенных чисел. Данная область является частично упорядоченной, бесконечномерной, непрерывной и содержит делители нуля и двойные единицы. Через стационарные последовательности в область (8) входят и кофинитные числа (4).
Присоединяя к ней мнимую единицу, мы приходим к неархимедовой области гиперкомплексных чисел. Это промежуточный и также еще весьма общий случай. Основной же целью данной работы является построение неархимедовой прямой. Поэтому рассмотрим дальнейшее сужение числовой области (8).
Для того чтобы числовую область можно было назвать прямой, прежде всего, необходима линейная упорядоченность ее элементов. Линейная упорядоченность вещественных чисел следует из линейной упорядоченности чисел рациональных. Последнее свойство есть следствие линейной упорядоченности натурального ряда (2). Данные элементарные факты подсказывают ход дальнейших построений. Ясно, что необходимо ввести аналог рациональных чисел на основе продолженного натурального ряда. Это должны быть числа, получаемые из (5) конечным числом арифметических операций. Такие числа будем называть «рациональными». (Например, Е = 1/ ю — это «рациональное» число.) Кавычки, где можно, будем опускать.
Возьмем теперь в качестве исходного материала длинные фундаментальные последовательности, составленные из рациональных чисел. Образуем из них числа вида (8). В результате получим линейно упорядоченную числовую область, которую назовем существенной (неархимедовой) прямой. Числа из данной области будем называть существенными числами, или точками существенной прямой.
Дадим теперь сравнение построенной области с областью вещественных чисел. Прежде всего, нетрудно доказать, что в области существенных чисел выполняются все аксиомы поля вещественных чисел за исключением аксиомы Архимеда. Последнее следует из того факта, что число ю больше любого натурального числа из ряда (2). Значит, число Е = 1/ю< 1/п для любого п. Иными словами, Е — это актуальное бесконечно малое число. Взамен аксиомы Архимеда в области существенных чисел действует следующая аксиома, которую можно назвать второй аксиомой разрешения: если относительно двух существенных чисел а и т известно, что
|а-т|< 1/Г
для любого Г, принадлежащего продолженному натуральному ряду (5), то числа а, т между собой не различаются: а = т (имеем степень разрешения 2).
Для чисел, принадлежащих существенной прямой, имеет место формулировка, аналогичная аксиоме Архимеда: если заданы два положительных числа 0 < а < т, то всегда найдется такое число Л из ряда (5), что Ла > >т.
Вернемся теперь к архимедову пространству и попытаемся «заглянуть вовнутрь» его точки. Пусть точка находится на оси координат. Вопрос о внутреннем устройстве точки — это вопрос о структуре вещественного числа. Возьмем для примера неперово число ег.
Согласно концепции Кантора данное число представляет собой класс эквивалентности (соединение) последовательностей:
= 1 1 + -
1
(-1)" 1
> Єп + > Єп + 2
и т.д.
п ) п п
Сюда, очевидно, входят и последовательности, отличающиеся от еп конечным числом членов. Образуем их соединение Lim еп. Аналогично образуем и другие соединения. Теперь можно сказать, что вещественное число ег представляет собой соединение кофинитных чисел
Lim| 1 + — I , Lim п
+
(-1)п
Элементы данного соединения упорядочены только частично и разность любой их пары есть число бесконечно малое. Таким образом, точка на вещественной оси при ближайшем рассмотрении превратилась в скопление кофинитных чисел. Применим теперь ко всем числам оператор limit. Например,
limit Lim 11 + —
v n I n
Число под знаком limit от индекса v не зависит. Таким образом, мы поместили всю конструкцию вещественного числа в область неординарных существенных чисел. Возьмем теперь произвольное кофинитное число из состава ег, например
Liml 1 + 1
и построим длинную последовательность по следующему правилу:
A = 2,.
., Ап -| 1 + —
п
., Am = Lim| 1 + -
п
A 2 - Liml 1 +
,...,Av - Lim
v( п)
1+
Данная последовательность является фундаментальной и приводит к существенному числу
е - limit Lim
v п
1+
1
v( п)
vW
(9)
Если теперь в качестве стартового взять любое другое число из состава ег, то мы опять придем к тому же самому пределу (9). Это дает основание для того, чтобы предел е назвать ядром вещественного числа ег.
Аналогично можно построить ядро а* любого вещественного числа а. Нетрудно доказать, что ядра вещественных чисел образуют поле, изоморфное полю вещественных чисел, то есть (а + в)* =а* + в , (ав) = = а в и т.д. Можно также доказать, что ядра вещественных чисел лежат на существенной прямой. Таким образом, на существенной прямой располагаются точки, которые можно отождествлять с вещественными числа-
ми. Совокупность ядер вещественных чисел удовлетворяет аксиоме Архимеда. На этом основании будем считать, что ядра вещественных чисел (кроме 0 и ^) принадлежат к одному и тому же масштабному уровню неархимедовой прямой. Данный уровень будем называть вещественным масштабным уровнем прямой. Пусть к данному уровню принадлежат переменные х, £, П. Тогда примем, что числа хш принадлежат к первому мегауровню, числа ^Е — к первому микроуровню и т.д. Уровни типа х + ^Е отнесем к промежуточным.
Таким образом, основное отличие неархимедовой прямой от обычной вещественной прямой состоит в том, что эта прямая является многомасштабной. Сравнение неархимедовой (существенной) прямой с обычной архимедовой (вещественной) прямой можно сделать, используя следующие образы. Пусть вещественной прямой соответствует ряд шарообразных тел, которые соприкасаются друг с другом в диаметрально противоположных точках (рис. 1). Между шарами никаких зазоров нет, поэтому вставить между ними (в точке контакта) ничего невозможно. На этом основании будем считать, что данное свойство соответствует свойству непрерывности, сплошности вещественной прямой. Каждый шар имеет свое индивидуальное имя. Такую конструкцию назовем линейкой 1. Если при измерении некоторого отрезка левый его конец помещается в пределах шара 0Г, а правый — в пределах шара под именем а, то мы говорим, что длина отрезка равна а. Линейка 2 представляет собой такую же конструкцию, но только с шарами меньшего диаметра. Данной линейке соответствует существенная прямая. Тот факт, что малые шары также контактируют между собой, соответствует непрерывности существенной прямой. Один из шаров линейки 2 назовем именем 0е88. Совместим теперь две линейки так, чтобы малый шар 0е88 попал точно в центр большого шара 0Г, а остальные расположились, как показано на рис. 1, т.е. контакт между большими шарами совпал бы с одним из контактов между малыми шарами. (Значит, отношение диаметров шаров должно быть числом нечетным.) Маленьким шарам мы будем давать уже два имени: первое — это индивидуальное имя, причем малый шар, который находится точно в центре большого шара а, будем называть а* — ядром вещественного числа а. Второе имя — неиндивидуальное: если малые шары попадают в большой шар а, то всем им присваивается одно и то же имя а.
Рис. 1. Структура вещественной и неархимедовой прямых
Будем теперь измерять некоторый отрезок линейкой 2. Если мы будем пользоваться индивидуальными именами, то получим результат, более точный, чем при измерении линейкой 1. Однако если пользоваться неиндивидуальными именами, то результат будет, очевидно, тем же, что и при измерении линейкой 1.
Теперь естественно взять линейку номер 2 и удалить из нее все шары, которые оказались не в центре больших шаров. Такую конструкцию можно назвать линейкой 1. Функционально она ничем не отличается от линейки
1. Однако теперь у нее шары между собой не контактируют. Поэтому между ними можно помещать другие такие же шары и постепенно идти к линейке 2. Ясно, что линейка 1 соответствует подобласти области существенных чисел, изоморфной полю вещественных чисел.
Таким образом, если концепцию Кантора считать именно определением, а не моделью вещественного числа, то о существенных числах можно сказать, что они помещаются «внутри» вещественных чисел. При этом обе прямые — и вещественная, и существенная — являются непрерывными. Если же исходить из аксиоматического определения вещественного числового поля, а построение ядер вещественных чисел рассматривать только как модель для данной системы аксиом, то можно утверждать, что «на самом» деле вещественная прямая непрерывной не является (линейка 1), но кажется нам такой только в силу степени разрешения, с которой мы на нее смотрим. (Как отмечалось, степень разрешения определяется аксиомой Архимеда и равносильной ей первой аксиомой разрешения.)
Таким образом, можно поставить вопрос о диаметре вещественного числа. Ясно, что при разрешении степени 1 диаметр вещественного числа равен нулю, точнее он равен вещественному числу нуль — 0Г. При разрешении же степени 2 диаметр вещественного числа можно оценить любым бесконечно малым числом. Например, можно утверждать, что диаметр вещественного числа больше, чем Е = 1/ш. Отсюда в определенном смысле можно заключить, что число самих вещественных чисел на отрезке [0, 1] оценивается величиной 1/Е = ш. Вопрос о том, в каком смысле эта оценка может быть согласована с утверждением о несчетности континуума, является предметом отдельного исследования.
Теперь все готово для построения неархимедова математического анализа. Будем использовать схему 2-7.
4. Пределы последовательностей
Если последовательность служит материалом для создания определенного числа, то понятие ее предела — это только перефразировка определения числа. Открытыми остаются вопросы о повторных пределах. В классическом анализе пределом последовательности рациональных чисел является объект более сложной
природы, чем само рациональное число, т.е. вещественное число. В принципе, пределом последовательности вещественных чисел ak = lim k можно было бы
Н—ж
объявить соединение матриц, содержащее матрицу r•¡п (с покомпонентным умножением). Этот путь, однако, бесперспективен. В содержательной теории усложнение природы предела происходит только один раз и только на первом шаге. Следовательно, пределом последовательности вещественных чисел должно быть только вещественное число. Нам удобно определить его через диагональ указанной матрицы:
lim lim rkn = lim Г„„.
k—го n—го n—го
Данное определение корректно, если последовательности rсходятся достаточно быстро. Будем считать, что здесь и ниже подобные условия всегда выполняются.
Рассмотрим вопрос о пределе Lim короткой последовательности кофинитных чисел Ak. Для каждого числа Ak выберем произвольную последовательность r, которая характеризует его, и зафиксируем ее. Данную последовательность будем называть базовой. По определению положим:
LimLim Гкп = Lim rnn, kn n
где Tpn — базовые последовательности.
При выполнении некоторых ограничений пределы последовательностей существенных чисел равны
Limlimit Ak (v) = limit Lim Ak (v),
k v v k
limit limit Av (ц) = limit Av (v).
v ц v
5. Ряды в области существенных чисел
Теория рядов — это теория пределов последовательностей, изложенная на языке бесконечных сумм. В неархимедовом анализе есть актуальные бесконечно большие числа и есть собственно бесконечность roess. В соответствии с этим можно рассматривать либо суммы с числом слагаемых, равным актуальному бесконечно большому числу (ряды типа 1, или короткие ряды), либо суммы с неограниченным числом слагаемых (ряды типа 2, или длинные ряды).
Примем следующее определение: пусть v = Limv(w) и записан символ
s = S Р(0 =Р(1) + P(2) + ... + p(v-1) + p(v), (10)
i=1
где слагаемые с конечными номерами — это заданные рациональные числа, а любое из слагаемых с бесконечным номером представляет собой непрерывное продолжение последовательностей слагаемых с конечными номерами, т.е.
p (v) = Lim p(v(n)),
n (11)
p(v -1) = Limp(v(n) -1),..., pw = Limpn.
n n
Тогда символ s будем называть суммой ряда (10) и под s будем понимать следующий предел: s = Lim[p (1) + p (2) +... + p (v(n))].
n
Принятое определение легко распространяется на суммы существенных чисел. Кроме того, требования непрерывной продолжимости (11) могут быть ослаблены. Например, пусть требуется найти сумму 2ю слагаемых, причем, начиная с номера ю + 1, непрерывность нарушается. Выделим непрерывную часть ряда и предположим, что для разрывов выполняются свои условия непрерывности, то есть
s = px + ... + pw + (paM + + ... + (p2w + gw X (12)
где
p(ю + k) = Lim p(n + k),
n—“ (13)
g(ю - k) = Lim g(n - k).
n——ю
Тогда
S = Lim^^j + ... + p2n ) + Lim(g1 + ... + gn ). (14)
n—ю n—ю
Обратимся к сумме (10) и предположим, что существует ее предел limit при v — го Тогда под суммой ряда будем понимать именно этот предел:
S p(v) = p(1)+...+p(ю)+...p(v)+... =
v=1
= limit Lim[ p (1) + ... + p (v (n))].
v—го n—ю
Если на каком-то шаге условия непрерывности (13) нарушаются, но для величин разрывов непрерывность сохраняется, то процедура типа (12)-(14) позволяет свести этот случай к предыдущему. Аналогично можно рассмотреть случаи, когда непрерывность нарушается для самих разрывов и т.д.
6. Продолжение функций с одного масштабного уровня неархимедовой прямой на другие ее уровни
Итак, одной из главных особенностей неархимедовой числовой области является ее многомасштабность. Рассматривая неархимедовые числовые системы в качестве осей координат и оси времени, мы приходим к представлению о том, что само пространство и время обладают иерархией масштабных уровней. Такое представление открывает новые возможности для описания различных явлений и процессов, которые управляются скрытыми законами, действующими на различных уровнях пространства и времени. Главным здесь становится вопрос о том, как процессы на микро- и мегауровнях проявляются на вещественном масштабном уровне. Иными словами, основной вопрос сводится к тому, чтобы понять, как процессы, происходящие на различных уровнях, связаны между собой.
Для описания таких связей необходимо выработать специальные понятия. Основным инструментом для
выработки таких понятий будет операция предельного перехода в смысле Lim. Аналога данной операции в классическом анализе нет. Теперь ясно, что это обстоятельство связано именно с одномасштабностью вещественной прямой. С другой стороны, неархимедова числовая область характеризуется иерархией масштабных уровней и именно поэтому здесь появляется операция кофинитного предельного перехода Lim. Если исключить тривиальные случаи, то можно утверждать, что значения Xn и предела X = LimXn всегда принадлежат к различным масштабным уровням прямой. Условие непрерывности вида (11) является самым простым вариантом связи различных уровней. Если Y = F(X) — функция и
AXn = Xn - X, A7n = F(X + AXn) - F(X), то кофинитная непрерывность означает, что первое из равенств
Lim AXn = 0, Lim A7n = 0 (15)
влечет за собой второе. В классическом анализе условие непрерывности имеет тот же вид с заменой Lim на lim. При этом для непрерывных функций вводится более тонкая характеристика ее поведения — производная. Аналогичную характеристику можно ввести и здесь:
P( X; Xn) =
DF (X)
DX
= Lim
AF»
Xn n AXn
Функцию P по отношению к F можно назвать кофи-нитной производной на пути Xn, а функцию F по отношению к P — кофинитной первообразной от F по пути Xn. Совокупность первообразных можно назвать кофи-нитным неопределенным интегралом.
В классическом анализе при доказательстве многих формул используются только равенства вида (15) и арифметические свойства предела lim. Предел Lim обладает теми же свойствами. Поэтому на кофинитные производные и интегралы можно распространить все основные формулы классического анализа.
7. Пределы, производные и неопределенные интегралы
Для функций вещественной переменной понятие предела функции вводится либо на языке е-ст (по Коши), либо на языке последовательностей (по Гейне) [15]. Ниже в качестве образца будем использовать только определение по Гейне.
Пусть функция Y = F(X) определена на существенной прямой и последовательность
X1, X 2,..., Xn,..., Xro,..., Xv ... (16)
сходится к точке X0, т.е. limitXv = X0. О такой последовательности будем говорить как о пути Xv, ведущем в точку X0. Примем, что у F(X) предел при X — X0 существует, если для каждого из путей, ведущих в точку X0, предел limit F(Xv) существует и его величина от пути не завиотт. Если значение предела совпадает с
F(X0), то функцию в точке X0 будем считать непрерывной.
Перечисленные условия являются весьма обременительными и во многих случаях должны быть ослаблены. Отсутствие предела в точке X0 означает, что такая функция устроена более сложным образом, чем функция, имеющая предел, и тем более, чем непрерывная функция.
Далее, принятые выше определения предела предполагают, что функция задана во всех точках (16). Например, для X0 = 0, Xv = 1/ v имеем:
Xv =..., V ю,...,1/ ю2,..., то есть функция должна быть известна на микроуровнях с неограниченно большими номерами. Можно сказать и по-другому: фундаментальные последовательности (16) являются настолько длинными, что могут разместиться только на неограниченном числе масштабных уровней прямой.
Практически функции будут заданы только на весьма ограниченном числе масштабных уровней: как правило, на вещественном уровне и нескольких микроуровнях. Например, пусть функция задана только на вещественном масштабном уровне X = x и требуется дать определение предела выражения x + Ею при x — 0. Ясно, что корректное определение должно давать в качестве результата число Ею. Однако какое бы малое ядро вещественного числа x Ф 0 мы ни брали, оно всегда будет больше не только Ею, но и E. Виден только один путь решения данной проблемы: непрерывно продолжить функцию с вещественного уровня на микроуровни и затем использовать уже принятые определения.
Рассмотрим эту идею в общем случае. Пусть X1, X2,..., Xn,... — короткая последовательность существенных чисел. Подберем ее так, чтобы полученная по непрерывности длинная последовательность сходилась к точке X0, т.е.
X0 = limit Lim X (v(w)).
vn
Необходимо ограничиться только такими X0, для которых это возможно.
Точно также продолжим и короткую последовательность F (Xn). Если существует предел
limitLimF(X(v(m))) = Q[X0,*1,Хг,..., Xn,...],
v m
то данный предел будем называть частным пределом функции F(X) при X — X0 по пути со стартовой последовательностью X(n).
Будем использовать также различные вариации и сокращения данного названия. Типичной является ситуация, когда частные пределы будут одинаковыми для различных стартовых последовательностей из некоторого класса. В этом случае будем говорить о частном пределе с тем или иным указанием на данный класс. Например, можно говорить о пределе при старте с вещественного масштабного уровня, либо о пределе со
стартом с первого микроуровня и т.д. Короче в подобных случаях будем говорить о пределе на вещественном уровне области, либо о пределе на первом микроуровне области и т.д.
Ясно, что вопрос о частных пределах можно ставить также и в тех случаях, когда область определения функции содержит в себе длинные последовательности, сходящиеся к X0. Здесь открывается множество самых разнообразных вариантов, когда для некоторых стартовых последовательностей частный предел совпадает с limit F(Xv), для других стартовых последовательнос-
X ^х0
тей не совпадает и т.д.
Понятия пределов позволяют сформулировать соответствующие понятия производных, первообразных и неопределенных интегралов.
8. Концепция определенного интеграла
Начнем с концепции интеграла по Риману, согласно которой определенный интеграл вводится как предел специальных сумм. В результате показывается, что данный предел сводится к разнице значений первообразной от заданной функции в двух точках, соответствующих границам отрезка интегрирования (формула Ньютона-Лейбница).
Указанную цепь рассуждений можно обратить. Можно взять формулу Ньютона-Лейбница в качестве исходной посылки. Затем интерпретировать ее как формулу для вычисления пределов сумм. Именно в таком обращенном виде классическую концепцию интеграла можно перенести на многомасштабную неархимедову область существенных чисел.
Итак, пусть X и Y — переменные, принадлежащие существенной прямой, а Y = Ф(Х) — некоторая функция. Наряду с функцией Ф(Х) будем использовать функцию, зависящую от двух переменных
J(X, X') = Ф(Х') -Ф(Х).
Пусть X = а, в — две фиксированные точки в области определения функции. Разбиением Ж (n) назовем совокупность n точек
И(п) = {(n), X2(n),..., Xn(n)} (17)
таких, что для любого n = 2, 3, ... все точки принадлежат области определения функции и, кроме того, для любого n
X1(n) = а, Xn (n) = в Запишем тождество
J (а, р) = Ф(р) -Ф(а) =
Ф( Xn) -Ф( Xn-1)i
Xn - X,
-(Xn - Xn-1) + ... +
-1
+ Ф(Xx+1) X(X) (X+1 -X) +... + Xi+1 Xi
, Ф(X2) -Ф(X1)
X 2 - X1
(X2 - X1).
(18)
Левая часть от числа п и от вида разбиения (17) не зависит. Поэтому ее предел — это всегда предел стационарной последовательности. Значит, в любых смыслах предел всегда равен Ф (в) -Ф (а).
Некоторые слагаемые в тождестве (18) можно записать в виде:
Ф(Хт) - Ф(Х,-) = J(X, Хг+1) = R(X, Хг+1). (19)
Тогда при
|Хг+1 - Х¡\ ^ 0, Х1 Хг+1 ^ У
данное слагаемое будет стремиться к разрыву (скачку) функции Ф в точке X = у. Имеет смысл также случай, когда слагаемое записано в форме (19), но разность Х+1 - х| к 0 не стремится. Например,
Х ^ Т, Хг+1 у Ф 8.
В этом случае слагаемое в (18) будет стремиться к скачку функции Ф при переходе аргумента от точки у к точке 8:
Ф(8) -Ф( у) = J (у, 8) = R (у, 8).
В промежуточных точках функция может быть и не определена. Главным здесь является то обстоятельство, что тождество (18) будет верным во всех случаях.
Определенным интегралом будем называть тождества вида (18) при условии, что количество слагаемых в правой части либо задано, либо неограниченно увеличивается. При этом каждое из слагаемых стремится либо к производной в том или ином смысле, либо к некоторому скачку (разрыву) функции. Выбор типов предельных переходов и свободных параметров, фигурирующих в тождествах, определяется из дополнительных соображений.
Принятая концепция означает, что при построении определенных интегралов мы всегда будем стоять на твердой почве заведомо верных тождеств и, значит, всегда будет выполняться формула, аналогичная формуле Ньютона-Лейбница.
В заключение сделаем одно замечание общего характера. Обратимся к исходному и продолженному натуральному ряду (2), (5). Неформально можно сказать, что принципиальное их отличие состоит в наличии многоточий в ряде (5). Двигаясь вдоль этого ряда, мы всегда будем вынуждены совершать прыжки через пропасти, обозначенные многоточиями. Причем это обстоятельство будет иметь место и для большинства других «рабочих» областей, в которых заданы те или иные функции. Например, пусть функция задана при
X = +... + х + Х1Е +... + ХшЕ +..., (20)
где все координаты ,...,х, х1,..., хш,... — это ядра вещественных чисел; |х — конкретное натуральное (возможно, бесконечно большое) число. Область определения (20) удобна для приложений, но всей неархимедовой прямой данная область не охватывает. Во-первых, она не простирается до бесконечно удаленной точки, так как X < ю^+1. Кроме того, область не является сплошной, непрерывной. Она содержит купюры.
Проблемы, которые возникают в связи с «многоточиями», можно пояснить на следующем примере. Пусть X = уш + х, где X — это неархимедовое время. Тогда мегапеременную п = У^ можно представить себе как номер геологической эпохи, а переменную х — как непосредственно наблюдаемое нами время на вещественном масштабном уровне. Для любых сколь угодно малых значений Ду > 0 и любых сколь угодно больших х всегда имеет место неравенство Дп = ^Ду > х. Данное неравенство означает следующее: переход в новую геологическую эпоху с номером п + Дп путем движения только на вещественном уровне времени х невозможен. Для такого перехода всегда необходим какой-то качественно новый скачок. Вопрос состоит в том, что происходит во время этого перехода, какими законами можно его описать?
Поведение функции на вещественном уровне диктуется физическими и иными законами, которые проявляются на этом уровне. Переход на мегауровень управляется своими законами. Какими именно? Этот вопрос должен исследоваться отдельно, исходя из физического или иного смысла задачи. На другом языке данный вопрос — это вопрос о сопряжении разных масштабных уровней.
Рассматривая неархимедовы прямые в качестве осей координат, мы приходим к неархимедову пространству и времени. Число мега- и микроуровней в таком пространстве превосходит любое наперед заданное бесконечно большое число, т.е. в этом плане возможности теоретического аппарата не ограничены. Практически мы располагаем информацией о поведении среды только на конечном числе масштабных уровней. Это, как правило, вещественный и первые микроуровни. Здесь особых проблем не возникает, так как на оставшиеся микроуровни все функции можно продолжить по непрерывности. Последнее позволяет пользоваться всеми возможностями соответствующего математического аппарата.
Перейдем теперь к моделям пластических сред.
9. Деформирование сред с внутренней структурой
Пусть деформирование осуществляется в плоскости ОХ1Х2, где ОХ1, ОХ2 — неархимедовы прямые. Предположим, что среда занимает определенную область на вещественном и последующих микроуровнях данной плоскости, т.е.
X1 = X! + £1 + ..., X 2 = Х2 + £ 2 + ••• • (21)
Здесь индекс указывает на номер пространственной координаты. Иными словами, в (21) и ниже х1? х2 — это числа вещественного уровня, а £, £2 — числа первого микроуровня, т.е. оба числа Е, £ 2/ Е принадлежат к вещественному масштабному уровню. Предположим, что при описании процесса деформирования масштабные уровни с номерами 2, 3, ... можно не учитывать. Поэтому невыписанные аргументы включим в
аргументы £1 и £2 и будем считать, что переход на микроуровни 2, 3, ... можно осуществлять по непрерывности с микроуровня 1.
Пусть и — вектор перемещений. В одномасштабной архимедовой плоскости вектор и мог зависеть только от двух вещественных переменных. Производные от компонент вектора определяли тензор деформаций и поворот. Теперь вектор перемещений зависит от четырех пространственных координат (и это, по-прежнему, в плоском случае):
и = и(х!, х2, £1, £2). (22)
Производные по переменным £1, £2 определяют компоненты микродеформаций, а производные по х1, х2 — компоненты макродеформаций. Из множества возможных вариантов остановимся на самом простом, когда переход с микроуровня на вещественный уровень можно описать с помощью производных от функций. Согласно (22) деформации среды на вещественном уровне и последующих микроуровнях описываются тензорами с компонентами
1 дщ du і ] 1 дщ du. ^ _l_ j
2 Эх, \ J dx J ’ Є ~ 2 V J
Их разности (наряду с разностью поворотов) дают описание кинематики процессов, которые происходят на стыке разных уровней.
Вопрос о напряжениях гораздо сложнее. Ряд трудностей удается снять, если вместо тензора напряжений ввести функцию, имеющую смысл вектора внутренних усилий.
Процедуру введения данной функции можно пояснить, рассматривая деформирование в обычной архимедовой плоскости.
Пусть некоторое тело деформируется в плоскости Ох1 х2 (рис. 2). Зафиксируем точку О, принадлежащую телу, и соединим ее с точкой А произвольной кривой ОБА, также принадлежащей телу. Обозначим через f = = {/1,/2} усилие, которое действует на контур ОБА со
Рис. 2. Вектор внутренних усилий как альтернатива тензору напряжений
стороны нормали, показанной на рис. 2. Если взять другой контур ОБ'А, то усилие будет таким же. (Нагружение является квазистатическим, массовые силы отсутствуют.) Таким образом, функция f зависит только от координат точки А. Связь функции f с напряжениями дается формулами:
а _ Э/ а _ Э/2 а _ Э/ а
Эх2
12
Эх2
21
Эх.
22 ■
Э/2
■д2- (23)
Эх
Условие парности касательных напряжений приводит к уравнению
(24)
Эх1 Эх2
Таким образом, во всех построениях вектор f может заменить тензор напряжений. При этом два уравнения равновесия относительно напряжений переходят в одно уравнение (24).
Предположим, что определяющие уравнения связывают компоненты напряжений с компонентами деформаций. Сделаем замену (23). В результате получим четыре уравнения первого порядка относительно компонент векторов и и f. Во многих отношениях такая система является более удобной и естественной, чем та, которая обычно используется, то есть система из пяти уравнений относительно смещений и напряжений: два уравнения равновесия плюс три определяющих уравнения. В определенном смысле последняя система является патологической. Действительно, формально она представляет собой пять дифференциальных уравнений первого порядка, однако сводится к уравнению только четвертого порядка (в упругости — к бигармони-ческому уравнению относительно функции Эри). Далее, условия Коши для такой системы всегда будут зависимыми между собой и т.д. [6]. Система же относительно и и f от указанных недостатков свободна. Следует также отметить, что функция f с необходимостью появляется в формулах Колосова-Мусхелишвили. Причем ясно видна равноправность векторов и и £ структура формул относительно и1 + ¡и 2 и /1 + /2 одинакова [16].
Вернемся теперь к неархимедовой плоскости (21). Здесь функция f зависит от четырех переменных: /1 =
= /(х1, х2, £„ £2 X /2 = /2 (х1 > х2 > £1 > £2 ). Ее ПрОШВОД-
ные по х1, х2 — это напряжения (23) вещественного масштабного уровня, производные по £1, £2 — напряжения микроуровня:
д/1
= д/2 = Э/1
‘11_ э£^’ ‘12 =д£2 ’ = - э£/ э£1'
Отсюда сразу следуют условия совместности напряжений, которые получить другим способом было бы весьма затруднительно:
діп _ 9а11 ді12 _ 90]
12
Эх2
ді
21
д£ 2 да
21
дх2
ді
22
д£2
да
Перейдем к определяющим уравнениям. Известно, что для их формулировки необходимо привлечение экспериментальных данных, гипотез о механизме деформирования среды и т.д. Будем исходить из упругопластической модели горной породы [6]. Пусть эффективная регулярная упаковка несущих зерен ориентирована вдоль координатных осей (рис. 3). В неархимедовой плоскости (21) производным по координатам х1, х2 соответствуют осредненные деформации, взятые на базе, относящейся к центрам частиц. Производным по переменным £1, £2 соответствуют деформации самих частиц (микродеформации). Различия в данных производных описывают проскальзывания на контактах между частицами.
Рассмотрим структуру определяющих уравнений. Влиянием поровой среды пренебрежем. Отсюда следует, что і л _ а л, или / _/
Э£ л Эх/
Не видно большого смысла учитывать неоднородность деформаций и напряжений в пределах отдельных частиц. В [6] используются осредненные характеристики частиц и предположение об их упругом поведении. С учетом (23), (25) закон Гука для плоской деформации можно записать в следующем виде:
ди _ е _ 1—V э/1(хх,х2,0,0) + V э/2 д£1 11 2|а Э£ 2 2|а Э£1 ’
(25)
Эи2 _е _— 1-VЭ/2 у Э/
Э£2 22 2|а Э£ 2|а Э£2 ’
(26)
Эи1 + Эи2 _ 2е _^Ч/2
Э£ 2 Э£ 12
1 Э/2 12, ^ Э£ 2
где V, ц — упругие постоянные.
Перейдем теперь к вопросу об уравнениях для описания перехода с одного масштабного уровня на другой. Рассмотрим форму типичного уравнения для одномерного случая. Пусть и = и(Х) = и(х, £) — некоторая функ-
Эх1 Э£1 5 Эх1 Э£1
О х1
Рис. 3. Зеренная структура горной породы
ция, зависящая от неархимедовой переменной, и р — известный актуально бесконечно малый размер, который управляет переходом с одного масштабного уровня на другой. Предположим, что разрыв в точке X = х + р известен:
и(х + р, 0) — и(х, р) _
Из (27) заключаем, что
и(х + р, 0) —и(х, 0) _ | —(^ , £) ё£ +R.
о Э£
(27)
(28)
Правая часть должна быть задана как функция от искомых переменных и координат. Поэтому (28) представляет собой уравнение в бесконечно малых разностях. В качестве первого приближения рассмотрим уравнение, которое получается из (28) предельным переходом при р ^ 0. Данное уравнение относится уже к дифференциальным относительно производной ди (х,0)/дх.
Аналогичные уравнения для проскальзываний между зернами [6] имеют вид:
ди1(х1, х2, 0, 0) = ди1(х1, х2, 0, 0) ди2 = ди2 дх1 д£1 , дх2 д£2,
ди2 ди2 = 1 д/1( х1, х2,0,0)
дх1 д£1
Эх
(29)
ди1 ди1 = 1 д/1
дх2 д£2 G2 дх1 ’
где G1, G2 — пластические модули. Первые два уравнения констатируют отсутствие дилатансии, последние два описывают независимые проскальзывания на контактах из различных семейств (рис. 3).
Подведем итог. Получена система, которая включает в себя одно уравнение вида (24), четыре уравнения (25), три уравнения (26) и четыре уравнения (29), т.е. получено 12 уравнений относительно четырех неизвестных функций /, щ, i = 1, 2. Система, тем не менее, переопределенной не является. Все дело в том, что каждая из функций зависит не от двух, а от четырех аргументов:
Л = Л (х1, х2, £1, £2 ), ui = ui(х1, х2, £1, £2 ).Природа «дополнительных» уравнений связана именно с новыми пространственными переменными, которые появляются в неархимедовом случае. Эту ситуацию проще всего пояснить на самом простом примере линейно-упругого тела. Пусть тело является линейно-упругим на вещественном масштабном уровне. Этот факт описывается четырьмя уравнениями относительно и1, и2, /1, /2. Пусть, кроме того, известно, что имеет место непрерывность между вещественным и первым микроуровнем. Для описания этого факта требуется уже восемь уравнений:
д/(х1 х2, £1£2) = д/ М = ди, (30)
Эх/ Э£ / Эх/ Э£ /
Решение данных уравнений имеет вид:
Л Л (х1 +£1, х2 +£2),
и = и{ (х1 +£1; х 2 +£ 2). (31)
Таким образом, восемь уравнений (30) содержат только ту информацию, что компоненты векторов f и и в действительности зависят не от четырех, а только от двух пространственных переменных. В результате приходим к четырем уравнениям упругости относительно четырех функций (31). Каждая из функций зависит только от двух пространственных координат. Система замкнута, задача корректна.
В рассматриваемой пластической модели ситуация будет аналогичной. Из уравнений (26) следует, что
и1 = еп(х1, х2)£1 + е12(х1> х2)£2 -- х1, х2)£2 + и 1(х1? х2)’ и2 = ^(^ х2)£2 + ^(х^ х2)£1 + (32)
+ х1, х2)£1 + и2(х1, х2).
Здесь и— произвольные функции своих аргументов: ^ имеет смысл собственного вращения зерен, и— компонент перемещений центров зерен. Подстановка (32) в (29) с учетом (24) приводит к системе (при £1 = 0, £ 2 = 0)
э/1( х1, х2,0,0) + д/2(х1, х2,0,0) = 0
дх1
дх2
ЭЦ]
дх1
ди
11,
дх2
2 _ е Є'
22,
ди2 — ^_ 1 Э/1(Х„ х2,0,0)
Эх, 12 '
(33)
ди,
дх0
Є1 дх1
_— 1 Э/1( ^2,0,0)
дх1
где е11, е22, е12 заданы через /1, /2 равенствами (26).
Таким образом, в результате получена система пяти уравнений относительно следующих пяти неизвестных функций: /, /2, и 1, и2, Система замкнута. На части
границы задается вектор и (х1, х2, 0, 0), на другой части — вектор f (х1, х2, 0, 0). Последнее соответствует заданным граничным напряжениям.
Конкретизируем теперь условия скольжения между зернами. Предположим, что эти условия представляют собой нелинейные зависимости касательных напряже-
Рис. 4. Условие межзеренных проскальзываний
ний (у и величин проскальзывания уг =ди//дх¡ --ди/1д£ вдоль контактов, г, j = 1, 2; г Ф j, г — номер контакта из двух различных семейств. Скольжение включает в себя три стадии: упрочнение, разупрочнение и стадию остаточной прочности. Следует отметить, что проскальзывания вдоль контактов из различных семейств независимы, т.е. в общем случае у1 Ф у2. Диаграмма, характеризующая указанные условия, показана на рис. 4. В силу нелинейности диаграммы уравнения необходимо записать в приращениях:
(
ЭДи ЭДи
Л
Эх1 Э£
ЭДи ЭДи
Эх2 Э£2
(34)
где пластические модули определяются через заданные константы у*, у* , Ge, Gp (рис. 4) следующим образом:
^е, 0 <уг.<у*,
^ = - -Gp, у* < уг < у**, г = 1, 2.
0, у** <ъ,
Следовательно, используя систему (33), переписанную в приращениях, условия (34) и (25), можно выписать определяющие уравнения модели: дДи1 1 — V дД/ + V дД/2
Эх1 2ц Эх2 2ц Эх1
ЭДи2 1 — уЭД/2 V ЭД/
Эх2 2ц Эх1 2ц Эх2
(35)
ЭДи1 ЭДи 2
(
Эх2
Эх1
Л
ЭД/2
Эх2
1+.1+ ц G, G2
V 1 2 У
Уравнения (35) записаны в системе координат, связанной с эффективной регулярной упаковкой зерен. В этой системе определяющие уравнения (35) имеют структуру обычных уравнений линейно-упругого тела с коэффициентами
V*, Е*, ц*, где V* = V; Е* = 2ц(1 + V);
1
ц*
(
1 1 1
--+------+-----
ц 6 62
Л
которым можно придать смысл соответственно макрокоэффициента Пуассона, макромодуля Юнга и макромодуля сдвига. Однако в отличие от классической упругости данные величины не являются связанными между собой, т.е. Е* Ф 2ц*(1 + V*). Здесь V*, Е* являются постоянными, зависящими от микропараметров зерен, а ц* является функцией напряженного состояния и зависит от величин сдвигов вдоль контактов между зернами у і . Иными словами, приведенная модель описывает анизотропную среду. В произвольной системе координат, повернутой относительно исходной на угол а, уравнения имеют следующий вид:
ЭД/1 + ЭД/2 _ 0 Эх1 Эх2
ЭДи _ ЭД/ дД/2 + дД/2
_ ЛИ^~ Л12 ъ.. А13^ ,
Эх2 ЭД/2 Эх2 ’
'ч 11 'ч 12 'ч
Эх1 Эх2 Эх1
ЭДи2 _ А ЭД/к — А дД/2
Эх-,
А21
Эх0
22
Эх1
+ А
(36)
-23 '
эд^ , ЭДи2 _ А ЭД/ А ЭД/2 , А ЭД/2
- + — _ А3^ А32^ + А33‘
Эх0
Эх1
Эх0
Эх1
Эх0
Здесь Ди1, Ди 2 — приращения компонент вектора перемещений центров зерен; Д/1, Д/2 — приращения компонент вектора внутренних усилий. Коэффициенты Ал зависят от напряжений и деформаций на предыдущем шаге нагружения:
Ап _
1—— — sin2(2а), 2ц 2
А12 _ —+ — 5Іп2(2а),
12 2ц 2
А13 _ — 5Іп(2а)со5(2а),
А21 _ —+ — 5Іп2(2а),
21 2ц 2
А22 _1—— — эт2(2а),
22 2ц 2
(37)
А23 _ —— sin(2а)cos(2а),
А31 _ — 5Іп(2а)со5(2а),
А32 _ —— sin(2а)cos(2а),
А33 _ 1/ц — 2— со82 (2а),
где — _ — 0.5(1/ 1Є2); а — угол естественного на-
пластования горных пород. В дальнейшем он считается известным из данных натурных наблюдений.
Таким образом, уравнения (36), (37) образуют замкнутую систему для расчета одного шага по приращению параметра нагружения.
10. Постановка краевой задачи
На основе описанной модели разработаны конечноэлементный алгоритм и компьютерная программа, позволяющие численно исследовать напряженно-деформированное состояние массива горных пород. Рассмотрим задачу о деформировании массива вокруг протяженной горизонтальной выработки. В качестве расчетной области рассмотрим зону, окружающую выработку г < Я, как показано на рис. 5. Параметр нагружения выберем в виде радиального перемещения V, заданного на внешней границе области деформирования г = R, V> 0 соответствует направлению к центру выработки. Внутреннюю границу выработки будем считать свободной. Таким образом, краевые условия примут вид:
\г _Я
_ 0,
Дап |г_ 0
ДТп |Г_ 0
Рис. 5. Расчетная область вокруг горизонтальной протяженной выработки
где Диг, Ди0 — приращения компонент вектора перемещений в полярных координатах; Дап, Дтп — приращения соответственно нормального и касательного напряжений; Г — внутренняя граница расчетной области, геометрия которой определяется заданными постоянными а, Ь в соответствии с рис. 5.
Наряду с краевыми условиями (38) необходимо задать начальные условия: напряжения, смещения и величины межзеренных проскальзываний в начальный момент времени. Примем, что в начальный момент
а° = 0, щ0 = 0, у 0 = 0.
(39)
"■П+1 _П . а _П ТТП+1 ттП , \ТТП
\ = ау + Дау’ и* = и* +Диi ,
'п+1 “ У П + ДУ П. Такова общая схема численного реше-
Здесь и ниже верхний индекс означает номер итерации.
Итак, задача (36), (37) с краевыми условиями (38) и начальным состоянием (39) позволяет рассчитать для каждого шага нагружения приращения напряжений ДаП и смещений ДиП, где п — номер итерации (шага нагружения). Общее решение будем строить в виде итерационного процесса аП
^п+1 п „ п ™
ния задачи.
Опыт [17] решения задач с учетом разупрочнения показывает, что напряженное состояние существенно будет зависеть от величины модуля разупрочнения (тангенса угла наклона ниспадающей ветви диаграммы контактного взаимодействия Gр). Анализ модели (36), (37) позволяет еще до решения задачи сделать вывод о том, будет ли деформирование протекать устойчиво или же в среде в процессе нагружения будет происходить динамическое неконтролируемое высвобождение накопленной упругой энергии. В силу возможности несимметричного функционирования двух семейств межзерен-ных контактов необходимо рассмотреть различные ситуации. Если ситуация такова, что, например, на первом контакте диаграмма вышла на ниспадающую ветвь, а на втором — находится еще на восходящем участке, т.е. у1 < у1 < у1 и у2 < у2, то устойчивое деформирование будет происходить при условии
В случае, если диаграмма на первом контакте находится на восходящем участке, а на втором — вышла на разупрочнение, соотношение останется прежним с перестановкой нижних индексов 1 и 2. Если же диаграмма на обоих контактах вышла на ниспадающую ветвь, тогда устойчивость обеспечивается условием
^р Gp
<ц.
(40)
G1 + G2p
Следовательно, наклон ниспадающей ветви диаграммы (см. рис. 3) не должен превышать некоторое критическое значение. В противном случае устойчивость нарушается.
11. Результаты расчетов
Рассмотрим примеры расчетов. Выберем следующие параметры задачи:
ЦЬ = 3.5; а/Ь = 1; V = 0.2; ц = 5-104 МПа; у* =у2 = 0.001; уГ =У 2* = 0.01; ттах = 50 МПа; тге8 = 0 МПа; а = 0°.
В этом случае условия устойчивости выполняются и деформирование будет протекать устойчиво. Численное решение дает картину деформирования, показанную на рис. 6. Здесь незакрашенные зоны соответствуют ситуации, когда диаграмма контактного взаимодействия зерен находится на восходящем участке (упрочнение), серым цветом отмечены области массива, в которых диаграмма вышла на ниспадающий участок (разупрочнение), черным цветом показаны области, соответствующие горизонтальному участку диаграммы (остаточная прочность). В результате нагружения зоны разупрочнения и остаточной прочности зарождаются на поверхности выработки, причем вначале зарождаются сразу четыре зоны в направлениях анизотропии массива. При дальнейшем нагружении эти зоны последовательно развиваются вглубь массива, окружающего выработку, имея тенденцию к объединению на поверхности выработки.
Gp <
_ц&е_
ц + G2e
Рис. 6. Развитие зон разупрочнения и потери прочности на сдвиг в процессе нагружения при угле напластования пород а = 0°
Рассмотрим еще один пример. Выберем все параметры, как и в предыдущем примере (40), за исключением величин у- , которые положим равными у1 = у 2 = = 0.0012. Теперь условия устойчивости не выполняются. Расчеты показали, что в этом случае деформирование протекает устойчиво только до определенного момента, а именно до выхода хотя бы одного контакта на ниспадающий участок диаграммы. С физической точки зрения в этот момент в массиве должно происходить динамическое неконтролируемое высвобождение энергии. Однако в линейной (для приращений) схеме расчета учет такой ситуации явно не предусмотрен, и дальнейшие расчеты приводят к парадоксу. Оказывается, что после того, как на каком-либо контакте модуль контактного взаимодействия станет равным Gi = —Gр, дальнейшее увеличение параметра нагружения ДV > 0 приводит к скольжению вдоль данного контакта в противоположном направлении: Ду- < 0. Иными словами, решение в классе Д V > 0 и на всех контактах Ду- > 0 не существует.
Рассмотренный в [17] искусственный алгоритмический прием позволяет при пошаговом нагружении осуществить численное моделирование нагружения с запредельным модулем разупрочнения вдоль межзерен-ных контактов, т.е. построить решение динамической задачи в квазистатической постановке. Поступим здесь также как и в [17]. Дадим не положительное, а отрицательное приращение параметру нагружения Д V < 0 и будем искать решение в классе: на контактах, где О = = -Ор, потребуем выполнения неравенства Ду- > 0 (дальнейшее разупрочнение), а там, где О = Ое, — выполнения неравенства Ду- < 0 (разгрузка). На тех контактах, где материал потерял прочность на сдвиг (О = = 0), в силу условия тге8 = 0 знак приращения Ду- может быть любым (безразличное деформирование). Оказывается, решение задачи в этом классе существует и оно единственно. Причем, с точки зрения разномодуль-ности активного нагружения и разгрузки здесь все корректно. Решение с отрицательным приращением Д V < 0 строится до тех пор, пока разупрочняющийся контакт не выйдет на горизонтальный участок диаграммы. С физической точки зрения присвоение параметру нагружения отрицательной величины означает, что мы искусственно «придерживаем» динамический перескок и «стравливаем» его путем статического перемещения вдоль контакта на ту же самую величину сдвига, на которую должен был бы произойти динамический скачок. После того, как разупрочняющийся контакт выйдет на горизонтальный участок диаграммы (потеря прочности на сдвиг), снова полагаем ДУ > 0, и процесс нагружения опять пошел «вперед». Расчеты, проведенные по описанной схеме, приводят к следующему. Области разупрочнения (ранее они выделялись серым цветом) не присутствуют. Образуясь в процессе нагружения, эти области скачком превращаются в области оста-
точной прочности (на рис. 6 выделены черным цветом). В целом же геометрия областей потери прочности на сдвиг качественно остается такой же, как и при устойчивом поведении.
Напряженное состояние вблизи выработки можно проанализировать с помощью линий постоянного уровня напряжений. Построим эти линии для величины касательного напряжения
т = 0.57(аи — а22)2 + 4а122.
На рис. 7 показаны изолинии напряжения т для развитого деформирования, соответствующего картине, показанной на рис. 6. При этом максимальные значения
Рис. 7. Изолинии максимального касательного напряжения в нагруженном массиве при а = 0°
Рис. 8. Развитие зон разупрочнения и потери прочности на сдвиг в процессе нагружения при угле напластования пород а = 45°
Рис. 9. Изолинии максимального касательного напряжения в нагруженном массиве при а = 45°
т достигаются на поверхности выработки в угловых точках (концентраторы напряжений) и уменьшаются по мере удаления от поверхности выработки вглубь массива.
Анализ полученных результатов показывает, что если в начальный момент времени напряженное состояние определяется в основном геометрией выработки, то в дальнейшем существенное влияние на него оказывает анизотропия массива: области разупрочнения и остаточной прочности развиваются в виде полос, наклоненных к оси Ох1 под углом напластования пород а и в ортогональном ему направлении. В рассмотренных примерах расчета угол напластования массива был принят равным а = 0 °. Такие же картины будут наблюдаться в случае а = 90° в силу взаимной ортогональности различных семейств контактов. В этом смысле противоположная ситуация будет иметь место при значении а = 45°. На рис. 8 показаны результаты расчетов для а = = 45° для устойчивого поведения. Если снова построить изолинии величины т, то они примут вид, показанный на рис. 9.
12. Выводы
Описание процессов деформирования сложных сред, обладающих иерархией масштабных уровней, требует адекватного математического аппарата, именно аппарата, в котором само пространство и время будут иметь иерархию масштабных уровней.
Классическая вещественная прямая является одномасштабной в силу аксиомы Архимеда. Следовательно, построение многомасштабной прямой возможно только на пути обобщения аксиомы Архимеда. Последнее приводит к появлению в числовой системе актуальных бесконечно малых величин.
Используя неархимедовы прямые в качестве осей координат, можно ввести пространство и время, обладающие иерархией масштабных уровней.
Концепция неархимедовой числовой системы определяет и основные понятия неархимедова математического анализа.
В рамках сделанных построений возможны формулировка замкнутых пластических моделей и численное
решение краевых задач. При этом вместо тензора напряжений удобнее рассматривать векторную функцию внутренних усилий.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 08-05-00543) и Сибирского отделения РАН (интеграционный проект № 18).
Литература
1. Панин В.Е., Гриняев Ю.В. Физическая мезомеханика — новая парадигма на стыке физики и механики деформируемого твердого тела // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - C. 9-36.
2. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.
3. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. О механизме деформирования сыпучего материала при больших сдвигах // ФТПРПИ. - 1974. - № 3. - С. 130-133.
4. Shemyakin E.I. New problems in rock mechanics // Modelling of Mine
Structures / Ed. by A. Kidybinski and M. Kwasniewski. - Rotterdam: A.A. Balkema, 1988. - P. 17-24.
5. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. О свойстве дискретности горных пород // Изв. АН СССР. Физика Земли. -1982. - № 12. - C. 3-18.
6. РевуженкоА.Ф. Механика упруго-пластических сред и нестандарт-
ный анализ. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2000. - 423 с.
7. Булат А.Ф., Дырда В.И. Фракталы в геомеханике. - Киев: Наукова
думка, 2005. - 357 с.
8. Онами М., Гэнка К., Ивасимиадзу С. и др. Введение в микромеханику / Под ред. М. Онами. - М.: Металлургия, 1987. - 280 с.
9. Альбеверио С., Фенстад Й., Хеэг-Крон Р., Линдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике. - М.: Мир, 1990. - 616 с.
10. Девис М. Прикладной нестандартный анализ. - М.: Мир, 1980. -236 с.
11. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 2. Геометрия. - М.: Наука, 1987. - 416 с.
12. Ревуженко А.Ф. Неархимедово пространство как основа математического аппарата геомеханики / Под ред. Д.Д. Ивлева, Н.Ф. Морозова. - М.: Физмат-лит, 2006. - С. 605-626.
13. Немыгцкий В., Слудская М., Черкасов А. Курс математического анализа. Т. 1. - М.-Л.: Гос. изд-во техн.-теорет. литер., 1940. -459 с.
14. Гиперкомплексныге числа в геометрии и физике. - 2004. - № 1. -155 с.
15. ЛузинН.Н. Теория функций действительного переменного. - М.: Учпедгиз, 1948. - 318 с.
16. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 707 с.
17. Лавриков С.В., Ревуженко А.Ф. О модели деформирования целиков с учетом эффектов аккумулирования энергии и разупрочнения материала // ФТПРПИ. - 1994. - № 6. - С. 12-23.
Поступила в редакцию 26.02.2008 г.
Сведения об авторах
Лавриков Сергей Владимирович, к.ф.-м.н., старший научный сотрудник ИГД СО РАН, lvk64@mail.ru Микенина Ольга Александровна, к.ф.-м.н., младший научный сотрудник ИГД СО РАН, olgarev@yandex.ru Ревуженко Александр Филиппович, д.ф.-м.н., профессор, зав. лабораторией ИГД СО РАН, revuzhenko@yandex.ru Шемякин Евгений Иванович, академик РАН, д.т.н., профессор, заведующий кафедрой МГУ им. М.В. Ломоносова
