Модель для анализа технического состояния многослойных несущих конструкций Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 593.3

О.Г. Осяев, Р.А. Нейдорф

МОДЕЛЬ ДЛЯ АНАЛИЗА ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ НЕСУЩИХ КОНСТРУКЦИЙ

На основе исходных соотношений нелинейной теории упругости и теории многослойных оболочек получена математическая модель трехмерного напряженно-деформированного состояния несущих конструкций корпусов летательных аппаратов, учитывающая изменения свойств

материалов в процессе эксплуатации. Для каждого слоя

рассматривается упругая постановка задачи с разложением функций всех параметров

в тригонометрические ряды Фурье и конечные разности по времени в условиях идеального теплового и механического контакта слоёв. Приведен алгоритм решения задачи анализа технического состояния конструкции при изменении внешних нагрузок.

Многослойная оболочка, несущая конструкция, математическая модель, трёхмерное уравнение движения

O.G. Osiaev, R.A. Neydorf

MODEL TO ANALYZE THE TECHNICAL CONDITION OF MULTILAYER STRUCTURE

Based on the original ratio of nonlinear elasticity theory and the theory of layered membranes mathematical model 3D deflected bearing structures airframe, change the properties of materials during operation. For each layer is considered tough problem statement from functions all parameters in trigonometric Fourier series and finite difference time in perfect thermal and mechanical

contact layers. Algorithm solving analysis technical condition of the construction of changing external loads.

Multi-layer shell, bearing structure, mathematical model, threedimensional equation of motion

Введение

Для оценки технического состояния несущих конструкций, имеющих длительные сроки эксплуатации, и определения возможности их дальнейшего использования по назначению необходимо учитывать влияние вредных факторов на прочностные свойства таких конструкций. К таким факторам относятся: эксплуатационные нагрузки,

техногенные катастрофы и аварии на технике, природные катаклизмы и состояние воздушной среды. К числу неблагоприятных относится также фактор старения материалов конструкции.

Влияние указанных факторов на состояние силовых конструкций сводится к накоплению повреждений, к изменению физико-механических, теплофизических характеристик материалов и параметров напряженно-деформированного состояния элементов конструкции.

В качестве несущих конструкций в технике все чаще используются тонкостенные оболочки сложной геометрии из металлов и композиционных материалов. При этом последние являются наиболее перспективными, т.к. отличаются высокими прочностными характеристиками при малом удельном весе. Особенности конструкций из композитов состоят в их многослойности, неоднородности и анизотропии свойств, применяемых конструкционных материалов. Эти особенности учитываются в рассматриваемой математической модели.

Эксплуатационные нагрузки представляются в виде вектора распределений на внутренней и наружной поверхностях полей температур, напряжений и деформаций, обусловленных действием внешних статических или динамических сил и тепловых источников.

—± Г ± ± ± ±±±1

(Г — ^13, Г23, , U2 , Щ],

Модель позволяет численными методами определять значения параметров трехмерного напряженно-деформированного состояния (НДС) силовых конструкций из неоднородных материалов с переменными физико-механическими свойствами при воздействии факторов внешней среды.

В качестве исходных уравнений для расчета НДС многослойной оболочки принимаются трехмерные уравнения движения, соотношения Коши для деформаций и закона Гука, полученные из известных нелинейных уравнений [1] при допущении, что деформации е13, е23, е33 являются линейными функциями перемещений.

Из исходной линейной системы уравнений получаем линеаризованную, разрешенную относительно шести функций параметров НДС Г — {г13,г23,г33, щ, и2, и3}, и характеризующую поведение предварительно нагруженной цилиндрической оболочки, находящейся в отклоненном состоянии в результате термосилового нагружения. Поскольку полученные уравнения, описывающие дополнительное напряженно-деформированное состояние предварительно нагруженных оболочек, имеют такую же структуру, как и уравнения без предварительного нагружения [2], то для их решения используются аналогичные методы. Рассмотрим многослойную оболочку, отнесенную к криволинейной ортогональной системе координат х1, x2, x3.

Для каждого слоя оболочки считаем справедливыми следующие модели:

1) уравнения движения:

“--[011(1 + е11 )Н2 Н3]+Оц(— е12+ Ю3) 1 Н3 + °11(~ е13 - ©2) 1 Н2 +

Эх1 2 Эх2 2 Эх3

[ °22(— е12 - Ю?)Н1Н3] - 022(1 + е22) 2 Н3 + — [ 012 (— е12 - Ю3) Н2 Н3 ] +

Эx2 2 Эx1 Эx1 2

+ -----[ 012(1 +е11 )Н1 Н3 ] + 012(1 + е22) х 2 Н3 - 012 (— е12 + Ю3) 1Н3 +

Эx2 Эx1 2 Эx2

+012 (— е23 + Ю1)——1Н2 + ------- (013 Н1 Н2) + 013 Т—LН2 - 033 X —3Н2

2 Эx3 Эx3 Эx3 Эx1 (1

Э 2 и ®

+ (Б1 - р—^ ) Н1 Н2 Н3 = 0; -

Эt 2)

——[ 0ц(— е13 - ®2)Н2 Н3] - 011 (1+ ец) _ 1 Н2 +—---[ 022 (~ е23 + Ю^Н— Н3 ] -

Эх, 2 Эх, Эх 2

Э—

Э

1

Э

1

- 022 (1+ е22)х —-Н—+- [ 0—2^ е23 + ©ОН Н3] + ----------------------------------[ 0—2 (— е—3 - Ю^Н— Н3] -

1

Эх3 Эх1

Э—

2

Эх,

2

1

Э—

Э

-012( “ е12 - ФО”-Н2 - 012х (— е12 + ю3)~---------Н1 + “---(°13Н2Н3) +

2

Эх

+

Э—

Э

2

Э—

Эх3 Эх1

Э 2 и

13

Н2 + — (023 Н—Н3)+ 023—^ Н1 + (Б3 - р —^)хН— Н2 Н3 = 0;

Эх1 Эх2

Эх

2) соотношения для деформации:

1 ч2 , 1 2 е12 + ю ) + (2

811 — е11 + 1 [е121 + (~ е12 + Ю )2 + ( ~ е13 + Ю )2];

(1

2

2)

1

1

1

1

812 — е12 + е11(~ е12 + Ю ) + е22(“Т е12 + Ю ) + (~ е13 + Ю2 ) (Т е23 + Ю1

2

2

2

2

);

£33 - е33 ; 813 - е—3 ; 823 - е23 .

(2)

где

е11 -

1 Эи3 1 ЭЯ, 1 ЭЯ,

------------+ ------------- —1 и2 +--------------------------— и3;

Я1 Эх1 Я1Я 2 Эх2 Я1Я 3 Эх3

1 Э Э

2ю1 + 1ПГ[Т~(Я3 и3 ) - Т"(Я3 и3 )]. ЯЯ Эх0 Эх.

(1

2.3) (1

2.3)

(3)

1 3 2 3

3) выражения закона Гука (слои являются ортотропными):

811 — апГП + «12Г22 +а13Г33 +а16Г12 ;

812 — а16Г11 + «26Г22 +«36^33 +^66^12;

£]3 «45Г23 + а56Г13 .

Систему уравнений (1) - (4) дополним: условиями на граничных поверхностях оболочки при х— = х*:

0—1 (1 + еп) + 012 (— е—2 + ю?) — 0 *!;

(1

2,3)

(4)

2

1

011 (-е—2 + Ю3) + 012 (1 + е22) — 012;

2

1

1

011 (- е—3 + Ю2) + 012 (- е23 + Ю—) + 013 — 013 ;

2

2

* * и— — и1 , и2 — и 2 , и3 — и 3

и при х3 — х 3; 013 — 013; 023 — 0 23; 033 — 0 33; и— — и— ; и2 — и2 ; и3 — и3 ;

условиями идеального механического контакта слоев, при

х3 — х3,г : 013,1 — 013,1+1 ; 023,1 — 023,1+1; 013,1 — 033,1+1; и13,1 — и13,1+1 ; и2,1 — и2,1+1 ; и3,1 — и3,«+Ь

а также начальными условиями:

(1 ® 2 ); (5)

(1 ® 2 ); (6)

011 (1 + е11) + 012 (~ е12 + ю3) — 0п ;

2

1

011 (— е12 + Ю3) + 012 (1 + е22) — 012;

2

(1 ® 2 ); (7)

3

2

*

г = о

Эм1 Э^ =

Эм1

Э?Т ; ® 2,3 ) (8)

г = 0

В формулах (1) - (8) (оц, ... оээ), (вц,..., 8зэ), (и1, и2, из ), ^1 , Бз ), (а п, ... «бб), р - соответственно, напряжения, деформации, перемещения, объемные нагрузки, коэффициенты податливости, плотность, Н,, Н2, Н3 - коэффициенты Ляме.

Уравнения (1) - (3), (5) получены из известных нелинейных уравнений [1] при допущении о том, что деформации в13, в23, в33 являются линейными функциями перемещений.

Считаем, что оболочка имеет предварительное НДС, возникающее под действием статических нагрузок. В результате приложения дополнительных импульсных нагрузок, тепловых потоков оболочка получает отклонение от предварительного напряженно-деформированного состояния.

Полное НДС оболочки представим в виде

х^ = Хо +х (г),

I I (9)

Х = \(^11, а12 , а13 , а22 , а23 , °33 ),(е11, е12 , £13 ,е22 ,е23 , £33 ),(и1, и2 , и3 Я,

где Х0 - вектор компонент предварительного НДС; Х(г) - вектор компонент

дополнительного НДС, возникающего при отклонении конструкции от предварительного состояния в результате действия импульсных нагрузок и тепловых потоков.

Подставив выражения (9) в уравнения (1) - (8) , вычтя из полученных выражений для суммарного НДС уравнения, описывающие предварительное напряженно-деформированное состояние и, следовательно, тождественно удовлетворяющиеся, получим соотношения, описывающие поведение оболочки в отклоненном состоянии.

В отклоненных состояниях, достаточно близких к предварительному НДС,

дополнительные перемещения, деформации, напряжения в оболочке малы, поэтому нелинейными слагаемыми можно пренебречь и ограничиться линейными. Полагая, кроме того, перемещения и деформации оболочки в предварительном состоянии равными нулю

и разрешив полученную систему уравнений относительно шести функций а = { <713, <г23 ,

<733 , м1 , м2, м3 }, используя преобразования, приведенные в [2], приходим для каждого

слоя оболочки к системе уравнений:

Эа13 1 Э Н 2 Эм1 1 ЭН1 ЭН1

— = Ь1 - ТПТ Ч-[ ТГ°11,о (~Г~ +------------------------- "Ч—и2 + -—и3)]

Эх3 Н1Н2 Эхх Н1 Эх1 Н 2 Эх2 Эх3

1 ЭН1 О Х ( ЭН1и , Эм2 1 Л 1 ЭН! о ( Эм3 ЭН1и) ,

- и2„ ~\--°22,0Х (-----и1 + —------— ) - -Г77 —---0П,о (“---и1) +

Н1Н 2 Эх2 Эх2 Эх1 Н 2 Н1 Эх3 Эх1 Эх3

+ 1 ЭН2 _ ( Эм2 ь 1 ЭН2и , ЭН2 1 Э ^ (Эм2 , 1 ЭН1

+ ---;---------Оп о (---+----------и1 +---------------------------—-|012о(-+---

Н1Н2 Эх1 , Эх2 Н1 Эх1 Эх3 Н1Н2 Эх2 , Эх1 Н 2 Эх2

и , ЭН1и У|+ 1 ЭН2 _ (___L ЭН1и ) _ 1 ЭН1 _ (ЭМ2 _1_

2 Эх3 ^ Н12Н2 Эх1 12,0 (Эх! Н 2 Эх2 ^ Н1Н22 Эх2 12,°( Эх2 Н1

^и + ^2.и3 + ^ О12о(^ ^и^-Ц ^0120(

Эх1 Эх3 Н1Н 2 Эх3 Эх2 Эх3 Н1Н 2 Эх2 ’ Эх2 Н1

ЭН2 ЭН2 1 ЭН1 Эм3 ЭН2

—2и1 + —-и3 +------------L О120(—3---------------и3) ®

Эх1 Эх3 Н1Н 2 Эх3 ’ Эх2 Эх3 (1 ^ 2);

м1 =

и1

Эс33 1 ЭИ, Эы, 1 ЭН, ЭН, 1 Э г Н 2 . Эы3 ЭН,

—— = Ьэ + —---------3 Оно (— +-----------3 +----,из----------— [ — Оно (— -----------3

Эх3 Н, Эх3 Эх, Н 2 Эх2 Эх3 Н, Н 2 Эх, Н, Эх, Эх3

1 ЭН 2 Эы2 1 ЭН 2 ЭН 2 1 Э Н,

и1)] + + 772 022,0 (— + — — и1 + — и3 ) - —— — [— 022,0

Н 2 Эх3 Эх2 Н 2 Эх, Эх3 Н, Н 2 Эх2 Н 2

ЭН 2 Эы, 1 ЭН, „ Эы, 1 ЭН 2 1 ЭН 2 „ Эы2 1

( - Т^и2 + -^)] + + ^— —^0,2,0 (т^-—ТТ-^) + ^— —^ 0,2,0 (' 2

Эх3 Эх2 Н, Н 2 Эх3 ’ Эх2 Н, Эх, Н, Н 2 Эх3 ’Эх, Н 2

ЭН, 1 Э Эы3 ЭН 2 1 Э 1 Эы3 ЭН,

"Э и,) - и и Т“ [012,0Х х (^-------Э и2)] - ТПГ ~ЭГ~ [0,2,0 ТТ ("Э----------Э и3)];

Эх2 Н, Н 2 Эх, Эх2 Эх3 Н, Н 2 Эх2 Н, Эх, Эх3

Эы, Эы2 Эы3

Эх,= 4; ЭхГ= 5; Эх3= 6' (10)

Здесь Ц, / = 1,..., 6- комплексы, имеющие вид правых частей в системе уравнений (4) [3];

(Г,, 0, Г,2 0, <Г22 0 - напряжения в оболочке, вызванные ее предварительным нагружением.

Напряжения Г,,, Г12, Г22 определяются с использованием соотношений Коши и закона

Гука:

Эы, 1 Эы2

о— = А,,,, —— + Д2,ц —( —— + и3) + 033(- а,3 Д,,11 - а23 Д2,п) + Л2,цТ;

Эх, х3 Эх2

. 1 Эы, Эы2 ч

о12 = Д3,12 (--------- ~- + —-); (11)

х3 Эх2 Эх,

Эы, 1 / Эы2

022 = Д1,22 7- + Д2,22 -(~-- + Щ) + О33 (- а,3 Д,,22 - а23 Д2,22) + А2,—Т.

Эх, х3 Эх2

Коэффициенты при производных в уравнениях (11) определяются физико-

механическими параметрами слоев:

2

Л _ а22аб6 . Л — а,2аб6 . Л — а,2^66 . Л — а11аб6 . Л _ а,,а22 — а12 .

Д1,11-------:-; Д2,11---:-; Д1,22---:----------; Д2,22-Т-; Д3,12- ------;

ДАДД Д

Д = ( а11а22 - а122) а66 ; А2,11 = -а 11 Д1,11 а 22 Д2,11 ; А2,22 = — а 11 Д1,22 а 22 Д2,22,

1 ^21 ^31 У32 1 (12)

а11 = —; а12 = а1з = —; а2з = -—; азз = —;

Е11 Е22 Е33 Е33 Е33

а44 = ; а55= ; а66 = ;

С23 0,3 о,2

Полное напряженно-деформированное состояние многослойной оболочки является суммой предварительного и дополнительного, определяемого из решения систем уравнений (10), (11).

В уравнениях (11) - (12) (Е,,, Е22 ,Е33), (а,,, а22, а33) - соответственно, модули упругости, коэффициенты линейного температурного расширения для направлений х1, х2, х3;

(012, 013, 023), (п12, V 13, V 23) - модули сдвига и коэффициенты Пуассона.

Для распространенных в практике цилиндрических оболочек силовых конструкций компоненты действующих на оболочку нагрузок, полей температур и функции параметров НДС раскладываются в двойные тригонометрические ряды по продольной и окружной координатам:

{ы1, Г13 , Г1 3 } Е Е {ы1,тп ,Г13,тп ,Г13,тп } С08 ^

т =1 п = 0

¥ тп

{ы 2 , Г23 , Г2±3 } = ЕЕ {ы 2,тп , Г 23,.тп , Г±23,тп } ^ ~Г~ х1 ^ П*2 ; (13)

т = 1 п = 0 1

{ы3 , Г33 , Г3±3 } = ЕЕ {ы3,тп, Г33,тп , Г3±3,тп } ^ х, С08 пх2 ,

т=1 п=0 1

т=1 п=0

а производные по времени - в конечные разности

х, СО й пх2 5

dS = 2g(ts)-5q(ts_1) + 4g(ts_2)-a(ts_3). Э£= 3g(ts)-4a(ts_1) + g(ts_2) (14)

Эг2 t2 ^ 2t '

После подстановки результатов разложения в исходную систему уравнений для расчета полного НДС многослойных оболочек получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для пары волновых чисел m и n для каждого шага по времени. Осуществляя интегрирование полученной системы уравнений с использованием метода дискретной ортогонализации, позволяющего автоматически удовлетворять условиям идеального механического контакта слоев, а также суммируя тригонометрические ряды разложения напряжений s11, S12, S22, S13, S23, S33, получаем

решение задачи о трехмерном НДС многослойной оболочки с высокой степенью точности.

Блок-схема расчета НДС многослойных оболочек при действии статических, динамических нагрузок, высокоинтенсивных тепловых потоков приведена на рисунке.

Для ее реализации выполняются следующие операции.

1. Задаются параметры конструкции:

а) физико-механического свойства каждого слоя:

(Е1Ь Е22, ^ G23, n12, П13 , У23-, P, Cp)b (au,a22,a33 )k.

б) геометрические параметры - (£, R _, R+ , hk).

2. По известным параметрам конструкции определяются необходимые постоянные коэффициенты при производных: Ду, Ay, Шу, n;j.

3. Задаются параметры нагрузок, действующих на оболочку:

+ + + ± ± ± -т±

013 , ° 23 , ° 33 , u1 , u2 , u3 , T

4. По заданным параметрам нагрузок находятся функции:

+ + + ± ± ±t ±

013, mn , 0 23, mn , 0 33,mn , U 1, mn , U 2, mn , U 3, mn , mn

Блок-схема решения задачи

5. Задается шаг интегрирования по времени т, число шагов интегрирования по времени, диапазоны изменения чисел ш и n (ш = 1 ^ ш0, n = 0 ^ no), число точек интегрирования по толщине каждого слоя Нк , число точек ортогонализации для каждого слоя Н-к.

6. Проводится интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений для каждого слоя оболочки, в результате которого находятся функции:

0 13,mn , 0 23,mn , 0 33,mn , U1,mn , U2,mn , U 3,mn , (Ш = 1 ' Ш0 , n = 1 ' n0).

7. В заданных точках многослойной конструкции находятся функции 013, 023, 033, u1, u2, u3, а также 011, 012, 022, путем суммирования соответствующих рядов Фурье.

Таким образом, предложенная модель и алгоритм ее реализации на ЭВМ позволяют определять и анализировать техническое состояние многослойных несущих конструкций летательных аппаратов и других объектов машиностроения по параметрам трехмерного напряженно-деформированного состояния при различных пространственновременных законах распределения внешней нагрузки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1984. 212 с.

2. Григоренко Я.М. Статика анизотропных толстостенных оболочек / Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко, Н.Д. Панкратова. Киев: Вища школа, 1985. 190 с.

3. Бакулин В.Н. Использование уравнений трехмерной теории упругости для решения задач динамики многослойных оболочек / В. Н. Бакулин // Известия вузов. Авиационная техника. 1985. № 3. С.7-12.

Осяев Олег Геннадьевич -

кандидат технических наук, доцент, старший преподаватель кафедры материаловедения Ростовского военного института ракетных войск

Нейдорф Рудольф Анатольевич -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Донского государственного технического университета

Статья поступила в редакцию 11.10.10, принята к опубликованию 27.10.10