CC BY
113
2008
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика и прочность, поддержание летной годности ВС
№ 130
УДК 629.7.023:539.319
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ С УЧЕТОМ ФАКТОРОВ ДЛИТЕЛЬНОЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ
В.В. БЕНДЮКОВ, М.М. ЛУРЬЕ, А.В. ОСТАПЕНКО, О.Г. ОСЯЕВ, П.Л. ХАЛЯВКО Статья представлена доктором технических наук, профессором Ципенко В.Г.
Получена математическая модель трехмерного напряженно- деформированного состояния несущих конструкций корпусов летательных аппаратов, учитывающая изменения свойств материалов в процессе длительной эксплуатации.
Для оценки технического состояния конструкций летательных аппаратов, имеющих длительные сроки эксплуатации и определения возможности их использования по назначению, необходимо учитывать влияние вредных факторов, оказывающих воздействие на конструкции в течение всего периода эксплуатации. К таким факторам относятся: эксплуатационные нагрузки, техногенные катастрофы и аварии на военной технике, природные катаклизмы и состояние воздушной среды, воздействие средств поражения противника. Последнюю категорию факторов можно отнести к поражающим факторам. К числу неблагоприятных относится так же фактор старения материалов и составляющих элементов конструкций летательных аппаратов.
Влияние указанных факторов на состояние конструкций летательных аппаратов сводится к накоплению повреждений и, в конечном итоге, к изменению физико-механических, теплофизических характеристик материалов и параметров напряженно-деформированного состояния элементов конструкций. В ряде случаев возможно изменение теплонапряженного состояния конструкций летательных аппаратов, обусловленное воздействием мощных источников тепла как поверхностного, так и объемного действия. Поверхностные источники характеризуются выделением тепловой энергии в тонком приповерхностном слое материала конструкции (например, конвективные и лучистые фотонные потоки в случаях пожаров на технике). Объемные источники тепла возникают при воздействии проникающих излучений, например, в случаях техногенных катастроф и аварий на ядерных объектах, сопровождающихся появлением таких видов излучений. В последнем случае возможно накопление радиационных повреждений в материалах конструкций летательных аппаратов.
Для моделирования состояния конструкций летательных аппаратов при воздействии указанных факторов использованы методы определения объемного энерговыделения, полей температур и параметров напряженно-деформированного состояния многослойных неоднородных оболочек.
В качестве несущих конструкций в технике все чаще используются тонкостенные оболочки сложной геометрии из металлов и композиционных материалов. При этом последние являются наиболее перспективными, поскольку отличаются высокими прочностными характеристиками при малом удельном весе. Особенность конструкций из композитов состоит в их многослойно-сти, неоднородности и анизотропии свойств применяемых конструкционных материалов. Эти особенности учитываются в рассматриваемой математической модели.
Эксплуатационные нагрузки представляются в виде вектора распределений на внутренней и наружной поверхностях полей температур, напряжений и деформаций, обусловленных действием внешних статических или динамических сил и тепловых источников
± Г ± ± ± ±±±"1
(Г = { <713 5 723 , &33 , ^1 , ^2 , Щ }
Модель позволяет численными методами определять значения параметров трехмерного напряженно-деформированного состояния (НДС) силовых конструкций из неоднородных материалов с переменными физико-механическими свойствами при воздействии факторов внешней среды.
В качестве исходных уравнений для расчета НДС многослойной оболочки принимаются трехмерные уравнения движения, соотношения Коши для деформаций и закона Гука, полученные из известных нелинейных уравнений [1], при допущении, что деформации 813 , 823 , 633 являются линейными функциями перемещений.
Из исходной линейной системы уравнений получаем линеаризованную систему уравнений, разрешенную относительно шести функций параметров НДС
7 = { <713 , &23 , &33 , М— , ^2 , М3 }
и характеризующую поведение предварительно нагруженной цилиндрической оболочки, находящейся в отклоненном состоянии в результате термосилового нагружения. Поскольку полученные уравнения, описывающие дополнительное напряженно-деформированное состояние предварительно нагруженных оболочек, имеют такую же структуру, как и уравнения без предварительного нагружения [2] , то для их решения используются одинаковые методы.
Рассмотрим многослойную оболочку, отнесенную к криволинейной ортогональной системе координат х 1, х 2, х3.
Для каждого слоя оболочки считаем справедливыми: уравнения движения:
“— [ О11 (1 + е11 )Н2 Н3] + О11 (— е12 + Ю3) 1Н3 + О11 (— е13- ©2) 1Н2 + “------[ О22 *( — е12 -
дх1 2 дх2 2 дх3 дх2 2
Ю3) Н1 Н3 ] — О22 (1 + е22) 2 Н3 + -—[ О12 (— е12 — Ю?) Н2 Н3 ] + -—[ О—2 *(1 +е—1 )Н1 Н3 ] +
Эх— Эх— 2 Эх2
ч Э— тт ,1 . ЭН, тт , 1 ч _ ЭН, тт Э тт тт ч
О12 (1 + е22) “Т-----------Н3 - О12 ( — е12 + Ю3) "Г------Н3 + О12 (~ е23 + Ю1) “Г-Н2 + “— (о13 Н1 Н2) + О13
Эх1 2 Эх2 2 Эх3 Эх3
1Н2 - О33 3 Н2 + (Б1 - р ^ ) Н1 Н2 Н3 = 0 ( 1 ® 2 );
Эх3 Эх1 Эt
^— [ О11 ( ~ е13--- Ю2) Н2 Н3 ] ----- О11 (1 + е11) 1 Н2 + —------[ О22 (~ е23 + Ю1) Н1 Н3 ] - О22 (1
Эх1 2 Эх3 Эх2 2
+ е22) 2 Н1 + —— [ О12 ( — е23 + Ю1) Н2 Н3 ] + —— [ О12 ( — е13 — Ю2) Н1 Н3 ] -О12 (— е12 —
Эх3 Эх— 2 Эх2 2 2
ч ЭН, тт , 1 ч Э— тт Э , тт тт ч Э— тт Э , тт тт ч
Ю3) —-----Н2 - О12 (~ е12 + Ю3) “Г-Н1 + ——( О13 Н2 Н3) + О13 “Г- Н2 + “-( О23 Н1 Н3) + О23
Эх3 2 Эх3 Эх— Эх— Эх2
Э—3 Н1 + (Р3 - р ^
Эх Эt2
3 Ні + (Бз - р —^ ) Ні Н2 Нз = 0 ; (1)
2
соотношения для деформации:
811 = е11 + 1 [е21 + (~ е12 + ^3 )2 + (~ е13 + К>2 )2 ]; (1 — 2 );
2 2 2
812 = е—2 + е11(2 е12 + Ю3 ) + е22(^ е12 + Ю ) + (^ е13 + ®2 ) (^ е23 + Ю— ) ; (2)
833 = е33 ; 813 = е—3 ; 823 = е23 ,
где ®
1 Эиз 1 ЭН,
еп =------------3 +---------------1и2 +
Н1 Эх1 И1И2 Эх2
1 ЭН
И1И 3 Эх3
из
(1,2,3);
2Ю1 +
1 Э Э
[ — ( Нз из ) - — ( Нз из )] .
И1И з Эх2
Эх,
выражения закона Гука (слои являются ортотропными):
8п = ПцОц +^12^22 +а1з^зз + «16^12
(1,2,з); (з) (1 - 2,з );
81з = а45^2з +а56^1з (4)
Систему уравнений (1) - (4) дополним: условиями на граничных поверхностях оболочки
*
при х1 = х1 :
Оц (1 + е11) + 012 (~ е12 + Юз) = 0ц;
812 «16^11 + ^26^22 + «зб^зз + ^66^1
12
2
1
011 (- е12 + Юз) + 012 (1 + е22) = О
2
12
1
1
(1 ® 2 ) ; (5)
и1 = и1
(6)
(1 - 2,з ); (7)
011 (^ е1з + Ю2) + 012 (^ е2з + Ю1) + 01з = 01з ; и1 = и* , и2 = и 2 , из = из ,
+ + + + ± ± ± и при хз = х з; 01з = 01з; 02з = 0 2з; 0зз = 0 зз; и1 = и ; и2 = и2 ; из = из ;
условиями идеального механического контакта слоев при
хз = хз,1 : 01з,1 = 01з,1+1 ; 02з,г = 02з,г+1 ; 0вд = 0ззд+1 ;
и1з,1 = и1з,1+1 ; и2,1 = и2,1+1 ; из,1 = из,1+1 ; а также начальными условиями:
Эи1 _ Эи1 Э^ Эг1
1 = 0 1 = 0 В формулах (1) — (7) ( 011, ... 0зз) , ( 8Ш ... 8зз) , ( и , и2 , из ) , ( Б1 , Б2 , Рз ) , ( а 11, ... а66), р— соответственно, напряжения, деформации, перемещения, объемные нагрузки, коэффициенты податливости, плотность, Н1 , Н2 , Нз — коэффициенты Ляме.
Уравнения (1) — (з) , (5) получены из известных нелинейных уравнений [1] при допущении о том, что деформации 81з , 82з ,8зз являются линейными функциями перемещений.
Считаем, что оболочка имеет предварительное НДС, возникающее под действием статических нагрузок. В результате приложения дополнительных импульсных нагрузок, тепловых потоков оболочка получает отклонение от предварительного напряженно-деформированного состояния.
Полное НДС оболочки представим в виде
х£ = хо +х (1) ,
(х = |(^"11,^"12,^"1з,^22,^2з,^зз),(^12,^'12,^1з,^22,^2з,^'зз),(и1, и2 , из )}) , (8)
где х0 — вектор компонент предварительного НДС;
х (1) — вектор компонент дополнительного НДС, возникающего при отклонении от предварительного состояния в результате действия импульсных нагрузок и тепловых потоков.
*
Подставив выражения (8) в уравнения (1) — (7), вычтя из полученных выражений для суммарного НДС уравнения, описывающие предварительное напряженно -деформированное состояние и, следовательно, тождественно удовлетворяющиеся, получим соотношения, описывающие поведение оболочки в отклоненном состоянии .
В отклоненных состояниях, достаточно близких к предварительному, дополнительные перемещения, деформации, напряжения в оболочке малы, поэтому нелинейными слагаемыми можно пренебречь и ограничиться линейными. Полагая, кроме того, перемещения и деформации оболочки в предварительном состоянии равными нулю и разрешив полученную систему уравнений относительно шести функций s = { s13, s23 , s33 , u1, u2, u3 } , используя преобразования, приведенные в работе [ 2 ] , приходим для каждого слоя оболочки к системе уравнений:
S = Li--------L ± [ HLЯпо( ^ ± ЭН, + 3Hi — ЭН, +
dx3 H1H2 Эх, И1 , Эх, И2 Эх2 Эх3 H,2 И2 Эх2 , И2
ЭН Эи . 1 ЭН , ЭН Эи, . 1 ЭН ,Эщ 1 ЭН ЭН,,
+ LU1 + —Ч------------ ----1 G110 (--1U1 + —Ч + —-2 G110 (—^ +---------------------U1 + +—2
Эх2 Эх1 И1 Эх3 Эх3 Эх1 И1И 2 Эх1 Эх2 И1 Эх1 Эх3
1 Э Эи2 1 ЭН1 ЭН^ 1 ЭН 2 1 ЭН
[012,0 (^ + — “Г “U2 + “Г 1U3 )] + —^ 012,0 (- — “Г “Ui +
H,H2 Эх2 L ’ v Эх, H2 Эх2 Эх3 H,2H2 Эх, ’ v H2 Эх2
Эм^. 1 ЭН ,Эип 1 ЭН ЭН 1 ЭН , ЭН Эи .
+ ------)----------------7 ----1 0,2 0 (-2-------U, + ----------2 U3 +---------------1 0,2 0 (------------2 U3 + —3 )
Эх, H,H 2 Эх2 ’ Эх2 H, Эх, Эх3 H,H 2 Эх3 ’ Эх3 Эх2
( , ® 2) ;
S = L3 + ^ 0,,,0 (^ ^ ^ H 0,,,0 X ( - ^ )] +
Эх3 H, Эх3 Эх, H 2 Эх2 Эх3 H,H 2 Эх, H, Эх3 Эх,
, ЭН гЭщ , ЭН ЭН ч , Э г H , ЭН Эм3
—Т 2 0220 (—2 +--------------------------и, + —2 и3 )-----------------------------[ — 0220 X (-----------и2 + —3)] +
H 2 Эх3 , Эх2 H 2 Эх, Эх3 H,H 2 Эх2 H 2 , Эх3 Эх2
1 ЭИ, Эм, 1 ЭИ 2 1 ЭИ 2 1 ЭИ, Эм2 1 Э
1 012,0 (т—L — — “ZT 2 U2 ) + тт тт —— 012,0 ( - — LU1 + —-) - —— — [ 012,0 (-
Н,Н 2 Эх3 Эх2 Н, Эх, Н,Н 2 Эх3 Н 2 Эх2 Эх, Н,Н 2 Эх,
ЭИ 2 Э“ ! Э , ЭН, Эиз
Эх3 “2 Эх2 Н,Н2 Эх, °‘2'“ И, ( Эх3 “3 Эх, )] '
Э“ =ь4 ' =ь, ' Эи3 =и ' (9)
Эх3 Эх3 Эх3
Здесь Ьг- ( г = I 6 ) - комплексы^ имеющие вид правых частей в системе уравнений (4) [3]; ОЦ'0 ' О12'0 ' о22'0 — напряжения в оболочке' вызванные ее предварительным нагружением.
Напряжения о,, ' о,2 ' о22 определяются с использованием соотношений Коши и закона Гука
Э“ , Э“
О22 = Ли, + А2'Ц ---( —— + и3) + О^^ав Д^ц -^23 А2'Ц) + А2Д,Т.
Эх1 ’ х3 Эх2
, 1 Эм Эм,,.
012 = Дз,12 (~ ^ + —-);
х3 Эх2 Эх1
Э“ , Э“
О22 = Ди2 + Д2'22 --( 1Т-2 + и3) + О33 (-аВ Ди2 -а23 Д2'22) + А2'22Т . (,0)
Эх, х3 Эх2
Коэффициенты при производных в уравнениях (Ю) определяются физико-механическими параметрами слоев
aa^ . aa^ . aa^
д ___ 22 66 . л _ 12 66 . л _ 12 66 .
A1,11-:—; A2,11-----------:— , A1,22----:— ,
D D А
aa^ a a, — a2 2 ч
д2,22---- —; Аэ,12--------- ----; А - ( ana22 - a12) a66;
DD А2,11 - -a 11 A1,11 a 22 A2,11 ; А2,22 - -a 11 A1,22-a 22 A2,22 ;
1 П П V32
где a11 - —; a12- a13- -^; a23 - --f2;
E11 E22 E33 E33
- 1 - 1 - 1 - 1 nn
a33 - E~ ’ a44 - ’ a55- ’ a66 - ^ ^
E33 ^23 ^13 ^12
Полное напряженно-деформированное состояние многослойной оболочки является суммой предварительного и дополнительного, определяемого из решения систем уравнений (9) и (10).
В уравнениях (10) — (11) (Е11 , Е22 , Е33), (а 11 , а22 , а33) , соответственно модули упругости, коэффициенты линейного температурного расширения для направлений х1 , х2 , х3 ; (G12 , G13 , G23) , (n 12 , n 13 , n 23) - модули сдвига и коэффициенты Пуассона.
Для распространенных в практике цилиндрических оболочек силовых конструкций компоненты, действующих на оболочку нагрузок, полей температур и функции параметров НДС, раскладываются в двойные тригонометрические ряды по продольной и окружной координатам
{u1, O13 , Oj3 } {u1,mn G^mn Oj3,mn} COS ^ х1 COS ПХ2 ;
{U2, G23 , О±3 } - ^ ^ {U2,mn, C23,mn, О±3 ,т11} SÍn^1 х1 sin ПХ2 ;
mp
I
mp
I
{u3, G33 , G ±3 T } = ^ ^ {U3,mn, G33,mn, G ±3 ,mn} sin ^ Xi COS ПХ2,
m=1 n=0 1
а производные по времени - в конечные разности
dV 2s(ts) - 5 sfc-i) + 4g(ts_2) - g{ts_3) .
dt2 t ’
ds = 3s(ts)-4s(ts-i)+ods 2) dt 2t ’
После подстановки результатов разложения в исходную систему уравнений для расчета полного НДС многослойных оболочек, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для пары волновых чисел m и n для каждого шага по времени. Осуществляя интегрирование полученной системы уравнений с использованием метода дискретной ортогонализа-ции, позволяющего автоматически удовлетворять условиям идеального механического контакта слоев, а также, суммируя тригонометрические ряды разложения напряжений Gii, g12, g22, g13, g23, g33 , получаем решение задачи о трехмерном НДС многослойной оболочки с высокой степенью точности.
m=1 n=0
m=1 n=0
ЛИТЕРАТУРА
1. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. - Л.: Гостехиздат, 1984.
2. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Статика анизотропных толстостенных оболочек. Киев.: Вища школа, 1985.
3. Бакулин В.Н. Использование уравнений трехмерной теории упругости для решения задач динамики многослойных оболочек. /Известия вузов. Авиационная техника. 1985, № 3.
MATHEMATICAL MODEL TENSE-DEFORMED CONDITIONS DESIGN FLYING MACHINE WITH PROVISION FOR FACTOR OF THE LONG USAGE
Bendukov V.V., Lurje М.М., Оstapenko А.V., Оsyaev О.G., Halyavko P.L.
It Is Received mathematical model three-dimensional tense- deformed conditions carrying design body flying machines, taking into account change characteristic material in process of the long usage.
Сведения об авторах
Бендюков Вячеслав Валентинович, 1960 г.р., окончил Ростовское высшее военное командноинженерное училище ракетных войск (1982), кандидат технических наук, заведующий лабораторией Ростовского филиала МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - конструкция и прочность летательных аппаратов.
Лурье Михаил Маркович, 1953г.р., окончил РГУ (1976), заместитель директора по учебной работе Ростовского филиала МГТУ ГА, доцент, автор более 30 научных работ, область научных интересов -конструкция и прочность летательных аппаратов.
Остапенко Александр Владимирович, 1982 г.р., окончил Ростовский военный институт ракетных войск (2004), адъюнкт РВИРВ имени М.И. Неделина, автор более 10 научных работ, область научных интересов - численные и экспериментальные методы исследования прочностной надежности несущих конструкций летательных аппаратов.
Осяев Олег Геннадьевич, 1963 г.р., окончил Ростовское высшее военное командно-инженерное училище ракетных войск (1985), кандидат технических наук, доцент, старший научный сотрудник НИО РВИРВ, автор более 70 научных работ, область научных интересов - численные и экспериментальные методы исследования прочностной надежности несущих конструкций летательных аппаратов.
Халявко Павел Леонидович, 1946 г.р., окончил Харьковский авиационный институт (1970), доцент, кандидат технических наук, директор Ростовского филиала МГТУ ГА, автор более 30 научных работ, область научных интересов - конструкция и прочность летательных аппаратов.
