CC BY
51
УДК 539.3
О расчете напряженно-деформированного состояния разупрочняющегося блочного массива вблизи выработки
С.В. Лавриков
Институт горного дела СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
На основе общей концепции горной породы как среды с внутренними источниками и стоками энергии строится плоская математическая модель горного массива, учитывающая его блочную внутреннюю структуру, анизотропию свойств и межблочное проскальзывание с учетом разупрочнения. Формулируется замкнутая система уравнений, позволяющая строить численное решение краевой задачи в квазистатической постановке.
На основе метода конечных элементов получено решение задачи о деформировании тяжелого горного массива вблизи горизонтальной протяженной выработки. Приведены картины развития зон разупрочнения и остаточной сдвиговой прочности на различных стадиях нагружения при устойчивом и неустойчивом режимах. Последние сопровождаются неконтролируемым динамическим высвобождением накопленной упругой энергии.
Ключевые слова: горный массив, выработка, разупрочнение, неустойчивость, динамический скачок, анизотропия, внутренние переменные, численное моделирование
On calculation of the stress-strain state of a softened block massif near mine working
S.V. Lavrikov
Institute of Mining SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
In the framework of the general concept of a rock as a medium with internal energy sources and sinks, a two-dimensional mathematical model of a rock massif is developed with regard to its internal block structure, anisotropy of properties, interblock sliding and softening. A closed system of equations is formulated making possible numerical solution of a quasistatic boundary problem.
Using the finite element method, a solution is derived for the problem on deformation of a rock massif near an extended horizontal mine working. Patterns of softening zones and zones of residual shear strength at different stage of stable and unstable loading are presented. Unstable loading involves uncontrollable dynamic release of accumulated elastic energy.
Keywords: rock massif, mine working, softening, instability, abrupt dynamic change, anisotropy, internal variables, numerical simulation
1. Введение
В механике горных пород задача о расчете напряженно-деформированного состояния горного массива в окрестности выработки является ключевой. Она находит применение как в теоретическом, так и прикладном аспектах. В теории эта задача используется для анализа математических моделей сред и оценки степени их применимости при решении прикладных задач. В практическом аспекте она используется во всех технологиях добычи полезных ископаемых закрытым способом.
Задача о расчете напряженно-деформированного состояния горного массива вблизи выработки исследова-
лась многими авторами в различных постановках [17]. В ряде работ массив рассматривается как имеющий существенно неоднородную блочную структуру [8-12]. Учет внутренней структуры массива приводит к существенному отличию решений от классических, полученных на основе моделей упругости и пластичности. Зачастую внутренняя блочная структура может оказывать решающее влияние на процесс деформирования и устойчивость массива в целом. По меньшей мере, она приводит к существенной нелинейности и анизотропному поведению. Значительную роль здесь играют процессы сдвигов между блоками и связанная с этим воз-
© Лавриков С.В., 2010
можность упрочнения либо разупрочнения среды. В целом учет внутренней структуры приводит к необходимости рассмотрения процессов деформирования, происходящих на различных масштабных уровнях среды — уровне отдельных блоков, зерен и включений, уровне конгломератов блоков, образующих блоки больших масштабов, уровне всего массива (либо какой-то его части) в целом и т.д. В последнее время исследованию иерархических многомасштабных процессов деформирования уделяется значительное внимание в связи с развитием новой научной дисциплины — физической ме-зомеханики [13, 14].
Попытка теоретического описания реальной горной породы приводит к необходимости определенной идеализации ее свойств. Реальные свойства зависят от множества факторов: наличия и распределения трещин, геометрии и взаимодействия элементов внутренней структуры (блоков, зерен), их микросвойств, наличия включений с отличными прочностными характеристиками и пр. На макроуровне это проявляется в виде сцепления, внутреннего трения, дилатансии и, главное, приводит к существенной нелинейности свойств с множеством степеней свободы. При моделировании процессов деформирования в горном массиве необходимо учитывать, в первую очередь, «основные» для данного рассмотрения свойства массива и более-менее сознательно пренебрегать другими «второстепенными» его свойствами. Такой подход является общепринятым и позволяет свести исходную задачу с множеством параметров к обозримой.
К основным фундаментальным свойствам горной породы можно отнести внутреннее трение, сцепление и дилатансию. В этот же ряд можно, по-видимому, поставить и способность аккумулировать упругую энергию в виде внутренних самоуравновешенных напряжений. Наличие выраженной внутренней структуры позволяет предположить, что внутренние напряжения могут достигать значительной величины и, следовательно, играть существенную роль в процессах деформирования. При определенных внешних условиях внутренняя запасенная энергия может быть высвобождена, и, таким образом, отдельные области массива могут выступать в качестве стоков и источников энергии.
Такой подход подкрепляется множеством экспериментальных фактов. Так, в работе [15] описан эффект последействия. Образцы керна цилиндрической формы подвергались сжатию в осевом направлении с одновременным наложением высокого гидростатического давления. После того как величина осевой необратимой деформации достигала определенного уровня (иногда 20-25 %), осуществлялась полная разгрузка. Было установлено, что после разгрузки высота и диаметр образцов без какого-либо усилия извне самопроизвольно увеличивались, а будучи помещенными в динамометр без зазоров, они развивали определенные усилия как в осе-
вом, так и в боковом направлениях. Ясно, что образец при этом совершает определенную работу, причем последняя совершается за счет внутренних ресурсов образца, которые он приобрел ранее в процессе предварительного нагружения. В работах [16, 17] приведены дополнительные факты, дающие основания для учета при моделировании эффекта аккумулирования энергии.
В [18] предложена физическая модель, обладающая указанным свойством. Модельный образец представляет собой пучок шероховатых стержней, стянутых снаружи упругой нитью. Лабораторные эксперименты по одноосному сжатию образца показывают, что диаграмма «сила - перемещение» имеет скачкообразный «рваный» характер с множеством «срывов» или ступеней разупрочнения. Это обусловлено относительным проскальзыванием стержней друг по другу, их переупаковкой в процессе нагружения и натяжением упругой нити. Более того, после сжатия и последующего снятия внешней нагрузки определенная часть энергии, затраченной на деформирование образца, остается запасенной в нем в виде внутренних самоуравновешенных напряжений — растянутая упругая нить компенсируется трением между стержнями и сжатый образец находится в равновесии. Незначительное возмущение приводит к скачкообразному высвобождению запасенной энергии. Оценки показывают, что величина запасаемой энергии в зависимости от трения между стержнями может варьироваться в диапазоне от 10 до 50 % от общей энергии, затраченной на деформирование образца.
В [19, 20] рассмотрен ряд различных лабораторных экспериментов по деформированию геоматериалов (сдвижение блочных плит, срез в сыпучей среде и др.). Во всех экспериментах отмечена общая закономерность — наличие неустойчивых режимов скольжения при сдвиге (срезе), которые сопровождаются скачками диаграммы нагружения. Сама диаграмма при этом имеет ступенчатый характер, причем размеры ступенек подчиняются определенному иерархическому закону.
В [21] рассмотрена серия экспериментов по сдвижению блоков с прослойкой из гранулированного материала. Авторы исследовали зависимость трения от величины проскальзывания. Показано, что полученные диаграммы также имеют «рваный» характер с множеством скачков разупрочнения.
Очевидно, что описанные выше эффекты обусловлены наличием внутренней блочно-зеренной структуры среды, упругими свойствами блоков, а также относительным проскальзыванием блоков и, соответственно, разупрочнением и высвобождением накопленной упругой энергии.
Настоящая работа посвящена численному моделированию процессов деформирования горного массива вблизи полостей на основе подхода, предложенного в рамках концепции горного массива как среды с внутренними источниками и стоками энергии [5]. При этом
в модели учитываются блочная структура массива, наличие материала, заполняющего межблочное (поровое) пространство, упругие свойства блоков и возможность их относительного проскальзывания с учетом разупрочнения.
2. Математическая модель
В [5] сформулирована концепция горного массива как активной среды с внутренними источниками и стоками энергии и даны принципы построения математических моделей геоматериалов, обладающих внутренней структурой. По существу, описанный в [5] подход представляет собой принцип построения двухмасштабной иерархической модели горной породы. Вводятся понятия микро- и макромасштабного уровней. На микроуровне структура среды моделируется относительно жестким скелетом, представляющим собой эффективную упаковку блоков (зерен), и цементирующим материалом, который заполняет межблочное пространство (рис. 1).
На границах между блоками скелета предусматривается возможность проскальзывания, причем по двум различным семействам контактов допускаются независимые проскальзывания. Вводится исходное разрывное поле скоростей (непрерывность сохраняется только в пределах соответствующего структурного элемента), и проводится операция осреднения. На этой основе определяются непрерывные поля микро- и макродеформаций. Для микронапряжений вводится энергетическое определение, позволяющее описать напряженное состояние тела в целом. Такое определение приводит к необходимости описать микронапряжения для различных площадок независимо. В свою очередь, макронапряжения определяются обычным «силовым» способом и связываются с введенными микронапряжениями через условия совместности.
В целом, на макромасштабном уровне модель представляет собой континуальную систему уравнений с внутренними переменными. Наличие внутренних пере-
о х,
Рис. 1. Модель микроструктуры среды
менных позволяет связать микро- и макропараметры модели и трансформировать на макроуровень неоднородные микросвойства (блочность, относительное проскальзывание блоков, разупрочнение). Заметим, что описание внутренней структуры среды с помощью внутренних переменных широко применяется в различных разделах механики, например для моделирования внутренних напряжений в металлах [22].
Концепция [5] на основе задания различных свойств структурных элементов позволяет строить определяющие уравнения, описывающие достаточно широкий класс структурно-неоднородных геоматериалов: твердые горные породы с различной трещиноватостью, сыпучие и порошковые материалы, гранулированные среды, сухие и водонасыщенные грунты и др.
Для описания микропараметров среды в соответствии с [5] введем поля микронапряжений и микродеформаций. Не конкретизируя пока свойства структурных элементов, определяющие соотношения на микроуровне можно записать в следующем матричном виде:
Е‘ = T‘t, ет = Tеp = Pp, еR = Rt. (1)
Здесь введены следующие матричные обозначения: et = (et 1 ег22 et2)1, eT= (е^ e22 e^)1 — компоненты тензоров микродеформаций; t = (tn t22 t12)r, Т = (t11 t22 x12)r— соответствующие им компоненты тензоров микронапряжений блоков (зерен) скелета в различных системах координат (рис. 1); е p =
= (е1Р1 e22 p = (Pl1 P22 Pl2)I компонен-
ты тензоров соответственно микродеформаций и микронапряжений порового материала (связующего); е = = (efi е22 (ef2 + е21)/2)Т — компоненты тензора
микродеформаций межблочных контактов (в общем
R , R
случае предполагается, что е12 Ф е21 — несимметричное функционирование двух семейств контактов); величины Tl, Tт, P, R представляют собой квадратные матрицы третьего порядка и отвечают за конкретные свойства блоков (по различным направлениям), поро-вого материала и межблочного взаимодействия соответственно; верхний индекс I означает транспонирование матрицы (здесь рассматриваются матрицы-столбцы). В [5] показано, что введенные величины должны подчиняться определенным условиям совместности. Последние после введения осредненных макродеформаций е* = (ef1 е22 е12) и макронапряжений ст* = = (ап ст22 ст12)т записываются в виде: ст* = t + 2mp = t + 2(1 - т)т,
(2)
е =е + е = (1 — т)е + те P, где 0 < m < 1 — безразмерный параметр формы блоков [5].
Конкретизируем теперь определяющие свойства структурных элементов на микромасштабном уровне. Ограничимся одним из возможных вариантов построения математической модели геоматериала, а именно:
примем, что скелет структуры представляет собой упаковку линейно упругих блоков (зерен). Примем далее, что межблочное поровое пространство заполнено также линейно упругим связующим материалом, но с другими (существенно меньшими) прочностными характеристиками. В этом случае матрицы Т1, Тт, Р в соответствии с (1) примут следующий вид:
- 1-V‘ -V ‘
*
2ц1 2ц1
-Vі 1 -Vі
2ц1 2ц1
0 0
0
0
1
2ц1
Р _
1 -V13 -Vі3
*
(3)
2ц р
-V р
2ц р 0
2ц р
1 -V р
2ц р 0
2ц р
где V
цр — упругие коэффициент Пуассона и модуль сдвига для блоков (зерен) и порового материала соответственно. Условия межблочного скольжения положим в виде:
е11 =е22 = 0, е12 = ^2/G1S, е21 = 42/G2, (4)
где G1s, G2 — заданные модули контактного проскальзывания вдоль каждого из семейств контактов. Первое условие (4) означает отсутствие дилатансии. Заметим, что явный учет дилатансии принципиальных трудностей не вызывает. Следующие два условия (4) характеризуют сдвиги между блоками, они представляют собой условия пластического скольжения. Зададим эти условия в виде кусочно-линейной диаграммы (рис. 2), тогда модули G1s, G2 однозначно определяются известными константами у*, у** т“ах, ва контактов, по следующему правилу:
^12 .
і = 1, 2 — номер семейст-
>ґагс1д6|Р
/ч агйдв®
Ь12, Ь21
о 7* 7**
Рис. 2. Диаграмма межблочного проскальзывания
б _
б, 0 <у<у*, - Gf, у* <у<у**, 0 У ** <У і •
Условия (4) однозначно определяют матрицу - *
0 0 0 0
R _
00
00
Введенные описания означают, что коэффициенты, связывающие микронапряжения и микродеформации, не являются постоянными. Так, модули контактного взаимодействия блоков , б2 являются функциями на-
пряженного состояния и в процессе деформирования могут меняться. Иными словами, свойства среды на микроуровне, а следовательно, и макросвойства в целом являются нелинейными. Проведем линеаризацию и запишем все уравнения в приращениях. Таким образом, заданные свойства среды на микромасштабном уровне (3), (4) и условия совместности и связи микро-и макроуровней (2) позволяют исключить дополнительные внутренние микропеременные и сформулировать определяющие уравнения среды в системе координат эффективной упаковки блоков Ох*х* (рис. 1) для приращений деформаций Де* и приращений напряжений Дст* на макромасштабном уровне в виде:
Де* _ [(Т + Я)-1 + 2(Т + Р)-1]-1 Д°* (5)
где через Т обозначена матрица: Т _ Т _ Тт. Параметр т формы блоков при сделанных выше предположениях автоматически сокращается. Он будет играть существенную роль, когда свойства блоков в различных системах координат (рис. 1) будут заданы независимо — независимая реакция блока на нагружение по различным направлениям (Т* ф Тт).
Итак, блочная структура в пределах элементарного объема рассматривается в эффективной регулярной упаковке. Это означает, что полученные определяющие соотношения (5) имеют свой вид только в системе координат Ох*х* (рис. 1). Для формулировки определяющих соотношений в произвольной системе уравнения (5) необходимо перепроектировать в систему координат, повернутую относительно исходной на произвольный угол а (система Ох1х2). Иными словами, определяющие соотношения (5) описывают анизотропную среду. В реальном горном массиве описанной анизотропии может соответствовать естественное напластование слоев массива. Заметим, что в [5] указан способ построения изотропных моделей, когда угол а не является постоянным, а связывается с направлениями главных напряжений и меняется вслед за ними в процессе деформирования. В данной работе ограничимся слу-
чаем анизотропной среды и угол а будем считать неизменным в процессе деформирования и известным из априорных оценок. Определяющие соотношения (5) после поворота на угол а окончательно примут следующий матричный вид:
Де = Ж[(Т + 2)-1 + 2(Т + Р)-1]-1 Ж _1Да, (6)
где поворотный тензор
- (1 + со8(2а))/2 (1 - со8(2а))/2 - 8т(2а)Л
Ж = (1 - со8(2а))/2 (1 + сов(2а)^2 sin(2а) 8т(2а)/2 - sm(2а)/2 cos(2а)
\ у
Итак, матричное соотношение (6) представляет собой три определяющих уравнения, связывающие в плоском случае шесть неизвестных функций: три компоненты приращений деформаций Де^ и три компоненты приращений напряжений Да у. Используя обычные соотношения для связи деформаций и смещений (в приращениях)
Де11 _
дДи2 Де22 _ ' 2
2ДЄ12 _
ЭДм1 Эх1
дДи ЭДм2
Эх.,
(7)
дхп
дх1
и замыкая полученную систему уравнениями равновесия (в приращениях)
дх1
дДа
+
12
12
дх2
дДа
+ ДХ1 _ 0;
(8)
дх1
дх-
22 + ДХ2 _ 0,
получаем замкнутую плоскую модель. Таким образом, три уравнения (6), три уравнения (7) и два уравнения (8) представляют собой замкнутую систему 8 уравнений с 8 неизвестными Дап, Да22, Да12, Де11, Де22, Де12, Д«1, Ди2 и могут быть использованы для расчета одного шага нагружения массива на макромасштабном уровне. В свою очередь, соотношения (1), (2), переписанные в приращениях, по заданным макропараметрам позволяют рассчитать напряженно-деформированное состояние микроструктурных элементов (блоков, порового материала и межблочного проскальзывания) в процессе нагружения. Последнее необходимо при численном моделировании для контроля ситуации и своевременной смены модулей контактного взаимодействия блоков с величины, соответствующей упрочнению, на величину, описывающую разупрочнение либо остаточную прочность (рис. 2). Полное напряженно-деформированное состояние в массиве будем рассчитывать в виде итерационного процесса:
^+1 —.^1 Л
ау _ау +Дау ,
Єk+1 _£ІІ. + Д£k.
У У У,
k+1 k . \ k
Чі _ и + Ди ,
(9)
Рис. 3. Расчетная область массива вблизи выработки кругового сече-
где к—номер итерации; Дак, Дек, Дик — приращения к-й итерации, полученные как решение задачи на основе модели (6)-(8).
3. Постановка задачи
На основе описанной модели разработаны конечноэлементный алгоритм и компьютерная программа, позволяющие численно исследовать плоское напряженно-деформированное состояние разупрочняющегося массива горных пород в окрестности горизонтальной протяженной выработки в квазистатической постановке (по шагам нагружения). Рассмотрим две задачи, отличающиеся конфигурацией поперечного сечения выработки. В первой задаче в качестве расчетной области рассмотрим ближнюю зону массива, окружающего выработку кругового поперечного сечения, Я0 < г < Я (рис. 3). Эта задача имеет особенное значение, поскольку позволяет рассматривать осесимметричные постановки и может использоваться в качестве тестовой. Во второй задаче рассмотрим область г < Я, окружающую горизонтальную выработку арочного поперечного сечения (рис. 4). В обеих задачах будем учитывать вес массива.
Корректная постановка задачи на основе описанной модели (6)-(8) и итерационного процесса (9) требует задания не только краевых условий, но и начального состояния среды. В качестве начального состояния (нулевая итерация) в обеих задачах примем:
а
22
_-У(н - х2^
0
а11 _ Са _0
а
11 “ ^22,
0 12
(10)
е0 _е0 _е0 _ 0
11 22 12 0,
22
и10 _ и20 _ 0,
где у — удельный вес среды; Н — глубина залегания выработки (расстояние от дневной поверхности до
Рис. 4. Расчетная область массива вблизи выработки арочного сече-
центра выработки); х2 — ордината декартовой системы координат; £ — коэффициент бокового распора. Таким образом, начальное напряженное состояние (10) в массиве линейно зависит от веса вышележащих слоев и с очевидностью удовлетворяет уравнениям равновесия (здесь и ниже массовые силы и их приращения равны Х1 _ 0, X2 _ -у, ДХ1 _ ДХ2 _ 0).
Рассмотрим теперь краевые условия. На внешней границе расчетной области в обеих задачах зададим нулевые приращения смещений
Диг1 _я _ °, Дие|г_Я _ 0,
(11)
где Диг, Дие — приращения смещений в полярной системе координат. Таким образом, условия (11) предполагают, что на внешней границе области деформирования массива не происходит. На внутренней границе примем:
Дап\г _ d > 0,
'г п
_ 0,
(12)
где Даи, Дти — приращения соответственно нормального и касательного напряжений; Г0 — внутренняя граница расчетной области (своя для каждой из задач); d — параметр нагружения. Иными словами, предполагается, что начальное равновесное состояние (10) имеет место в ненарушенном массиве. При проходке выработки это состояние нарушается, и, таким образом, требуется определенный отпор для поддержания равновесия. Задание положительного значения параметра нагружения d означает уменьшение этого отпора и влечет соответствующее деформирование массива в ближней зоне. Таким образом, решение состоит в поиске нового равновесного состояния с меньшей величиной отпора на поверхности выработки.
Итак, модель (6)-(8) с начальным состоянием (10), краевыми условиями (11), (12) позволяет на основе итерационного процесса (9) численно построить общее решение в обеих рассмотренных задачах.
Опыт [23] решения задач с учетом разупрочнения показывает, что напряженное состояние существенно зависит от соотношения величин разупрочнения и упругих параметров (модули разупрочнения —? и упругие модули Gгe, ц1). Анализ модели (6)-(8) позволяет еще до решения задачи сделать вывод о том, будет ли деформирование протекать устойчиво или же в среде в процессе нагружения будет происходить динамическое неконтролируемое высвобождение накопленной упругой энергии. В силу возможности несимметричного функционирования двух семейств межблочных контактов необходимо рассмотреть различные ситуации. Если ситуация такова, что в определенной точке расчетной области на одном из контактов (например с номером г) диаграмма вышла на ниспадающую ветвь (разупрочнение), а на другом контакте (например с номером j) находится еще на восходящем участке (упругое упрочнение), тогда устойчивое деформирование будет обеспе-
чиваться выполнением условия
бР <
ц1 б е
і, j = 1, 2, причем і ф j.
(13)
ц ‘+—
Если же диаграмма на обоих контактах вышла на ниспадающую ветвь, тогда устойчивость обеспечивается условием
GpGp ,
—1—— <ц ‘. (14)
—Р + —2Р
Условия (13), (14) означают, что ниспадающая ветвь диаграммы имеет некоторое критическое значение наклона, зависящее от упругих свойств среды. Превышение критического значения означает, что устойчивость нарушается и в среде будет происходить динамическое высвобождение накопленной упругой энергии.
4. Результаты расчетов
Рассмотрим конкретные примеры расчетов. Сначала рассмотрим первую задачу с выработкой кругового поперечного сечения (рис. 3) и выберем следующие параметры задачи:
2/20 = 3.5, Я/20 = 500, у = 2.5 г/см3,
£ = 0.42, ц‘ = 2000 МПа, V‘ = 0.2,
цР = 200 МПа, VР = 0.3, у* =у2 = 0.001, (15)
У** = у” = 0.05, т^ = т тах = 50 МПа,
т^ =т2* = 20 МПа.
В этом случае условие (14) выполняется, и, следовательно, деформирование будет протекать устойчиво (условие (13) проверять нет необходимости, т.к. выбран-
г
напряжения Т0 для стадии нагружения на рис. 5, а (б)
ные параметры соответствуют симметричному функционированию площадок скольжения). Наряду с параметрами (15) необходимо еще определить угол анизотропии а. Как уже отмечалось, задача с выработкой кругового поперечного сечения является в определенном смысле тестовой, т.к. позволяет рассматривать осесимметричные постановки. Поэтому вначале положим угол а таким, чтобы обеспечить осесимметричность анизотропии среды, а именно: а = аг^( *2/ *1) - тс/ 4.
Иными словами, предполагается, что направление анизотропии не является постоянной величиной, а зависит от координат точки расчетной области, причем таким образом, что это направление составляет угол 45° с радиус-вектором. Заметим, что это не означает зависимость направления анизотропии от напряженного состояния. В этом смысле направление анизотропии остается постоянным, т.е. не меняется в процессе деформирования.
Расчеты, проведенные при указанных параметрах, приводят к картине деформирования, показанной на рис. 5, а. Здесь и ниже нераскрашенные зоны соответствуют ситуации, когда диаграмма контактного взаимодействия блоков находится на восходящем участке (упругое упрочнение), серым цветом отмечены области массива, в которых диаграмма вышла на ниспадающий участок (разупрочнение), черным цветом показаны области, соответствующие горизонтальному участку диаграммы (остаточная прочность). Видно, что зоны максимальных межблочных сдвигов развиваются от поверхности выработки вглубь массива, полностью охватывая поверхность выработки, как это имеет место и в классических осесимметричных решениях задач теории пластичности. Развитие зон разупрочнения и остаточной прочности осуществляется последовательно в силу до-критического значения параметра разупрочнения. Оче-
видно, что полученное решение точным осесимметричным не является, т.к. в задаче учитывается вес массива. Влияние веса более наглядно можно продемонстрировать с помощью изолиний величины максимального касательного напряжения
Т0 = 0.5д/(ап -а22)2 + 4а^. (16)
Такие изолинии дают неплохое качественное представление о напряженном состоянии в ближней зоне массива, окружающего выработку. На рис. 5, б показаны изолинии величины Т0 для стадии нагружения, соответствующей рис. 5, а (здесь и далее минимальное значение Т0 соответствует линии в верхней части расчетной области, максимальное — в нижней части, т.е. увеличение Т0 происходит по мере увеличения веса вышележащих слоев массива).
Изменим теперь параметры задачи и рассмотрим ситуацию, когда у** = у2* = 0.0015, т^ = т^ = 0 МПа, угол анизотропии положим равным а = 15 °. Остальные параметры (15) оставим без изменения. Нетрудно подсчитать, что в этом случае условие устойчивости (14) не выполняется, и, как следствие, численное решение остается устойчивым только до определенного момента, а именно, пока диаграмма межблочного контактного взаимодействия в какой-либо точке расчетной области не достигнет своего пика и не выйдет на стадию разупрочнения. С физической точки зрения в этот момент в массиве должно происходить динамическое неконтролируемое краевыми условиями высвобождение накопленной упругой энергии. Однако в линейной для приращений схеме расчета учет такой ситуации явно не предусмотрен и дальнейшие расчеты приводят к парадоксу: в точке массива, где модули — =-—Р, положительное значение параметра нагружения d > 0 приводит к проскальзыванию вдоль данного контакта в противоположном направлении Де^ < 0 (и, соответственно, Де2 <
Рис. 6. Неустойчивое развитие зон потери сдвиговой прочности при а = 15° (а) и изолинии т0 рис. 6, а (б)
соответствующие стадии нагружения на
< 0). Иными словами, решение в классе d > 0 и на всех контактах Де^ > 0 не существует.
Рассмотренный в [23] искусственный алгоритмический прием позволяет при пошаговом нагружении осуществить численное моделирование нагружения с запредельным модулем разупрочнения вдоль межблочных контактов, т.е. построить решение динамической задачи в квазистатической постановке. Поступим здесь так же, как и в [23]. Зададим не положительное, а отрицательное значение параметра нагружения d < 0 и будем искать решение в следующем классе: на контактах, где
— = -—?, потребуем выполнения неравенства Де^ > > 0 (дальнейшее разупрочнение), а там где — = — — выполнения неравенства Де^ < 0 (упругая разгрузка). На тех контактах, где материал потерял прочность на сдвиг (— = 0), в силу условия тГ = 0 знак приращения Де12 может быть любым (безразличное деформирование). Оказывается, решение задачи в этом классе существует, и оно единственно. Причем, с точки зрения разномодульности активного нагружения и разгрузки здесь все корректно. Решение с отрицательным параметром нагружения d < 0 строится до тех пор, пока разу-прочняющийся контакт не выйдет на горизонтальный участок диаграммы. С физической точки зрения присвоение параметру нагружения отрицательной величины означает, что мы искусственно «придерживаем» динамический перескок и «стравливаем» его путем статического сдвижения блоков вдоль контакта на ту же самую величину сдвига. После того, как разупрочняю-щийся контакт выйдет на горизонтальный участок диаграммы (потеря прочности на сдвиг), снова полагаем d > 0, и процесс нагружения опять пойдет «вперед». Расчеты, проведенные по описанной схеме, приводят к картине деформирования, показанной на рис. 6, а. Видно, что области разупрочнения (ранее они выделялись серым цветом) здесь не присутствуют. Образуясь в про-
цессе нагружения, эти области скачком превращаются в области остаточной прочности (показаны черным цветом). В свою очередь, конфигурация областей потери прочности на сдвиг существенно отличается от полученной в предыдущем расчете (рис. 5, а). Основную роль здесь, конечно, играет направление анизотропии. Именно оно определяет направления развития областей потери сдвиговой прочности вглубь массива, окружающего выработку. На рис. 6, б приведены изолинии максимального касательного напряжения (16) для стадии нагружения, показанной на рис. 6, а.
Рассмотрим теперь примеры расчета для второй задачи с выработкой поперечного сечения арочной формы (рис. 4). Выберем следующие параметры задачи:
2/Ь = 3.5, а/Ь = 1, Н/Ь = 500, у = 2.5 г/см3,
4 = 0.42, ц‘ = 2000 МПа, V* = 0.2,
цР = 200 МПа, VР = 0.3, у* = у2 = 0.001, (17)
у** = у“ = 0.05, т^ = т^* = 50 МПа,
т[65 = т 268 = 20 МПа.
Здесь также рассматривается симметричное функционирование двух площадок скольжения, а параметры (17) гарантируют выполнение условия устойчивости (14). Опыт предыдущей задачи показывает, что основное влияние на развитие областей разупрочнения и, в конечном счете, на распределение напряжений в массиве, окружающем выработку, оказывает параметр анизотропии а. Рассмотрим сначала это влияние при постоянных значениях угла а. На рис. 7 и 8 показаны картины деформирования для а = 0° и 45° соответственно. В определенном смысле эти две ситуации являются противоположными, т.к. в силу симметричного функционирования площадок скольжения ситуации а = 0° и 90° идентичны. Видно, что в обоих случаях зоны разупрочнения и остаточной прочности развиваются последовательно
одна за другой от поверхности выработки. Зарождение этих областей происходит в концентраторах напряжений, связанных с геометрией выработки и направлениями анизотропии. При удалении от поверхности выработки вглубь массива зоны разупрочнения и остаточной прочности ориентируются в направлениях слоистой анизотропии массива.
Приведем еще один пример расчета. Выберем снова параметры (17) и изменим в них следующие величины у** = у2* = 0.0015, т^3 = тг2ез = 0 МПа. Теперь условие устойчивости (14) снова не выполняется и при численном расчете необходимо использовать описанный выше алгоритмический прием для моделирования динамических скачков. Угол анизотропии среды положим равным а = 15°. Расчеты с указанными параметрами приводят к картине деформирования, показанной на рис. 9, а. Результат расчета оказался вполне прогнозируемым: области разупрочнения (серый цвет) на рис. 9, а не присутствуют, образуясь, они скачком превращаются в об-
ласти потери сдвиговой прочности (черный цвет), последние же развиваются от поверхности выработки вглубь массива в направлениях слоистой анизотропии среды. На рис. 9, б показаны изолинии максимального касательного напряжения (16) для стадии деформирования, изображенной на рис. 9, а.
Полученные результаты показывают, что существенное влияние на развитие картины деформирования оказывает параметр анизотропии а. В первой задаче был рассмотрен осесимметричный вариант задания этого параметра (рис. 5), т.е. такой вариант, когда направления межблочного скольжения наклонены под углом 45° к радиус-вектору. Интересно рассмотреть аналогичную постановку для неосесимметричной конфигурации выработки. Итак, рассмотрим вторую задачу с параметрами (17) и положим а = агС^( х2/ *1) -тс/ 4. Результаты расчета показаны на рис. 10. Видно, что несиммет-рия поперечного сечения выработки (имеется в виду осевая несимметрия), а также учет веса массива при-
Рис. 9. Неустойчивое развитие зон потери сдвиговой прочности при а = 15° (а) и изолинии т0, соответствующие стадии нагружения на рис. 9, а (б)
Рис. 10. Устойчивое развитие зон разупрочнения и остаточной прочности при а = агС£(х2 /*1) - П4 и соответствующие изолинии максимального касательного напряжения т0
водят к неосесимметричному решению. Однако полученное решение существенно отличается от всех, полученных при значениях а = const. Здесь, как и в первой задаче (рис. 5, а), области разупрочнения и остаточной прочности развиваются последовательно, полностью охватывая поверхность выработки и имея тенденцию к осевой симметрии.
В заключение отметим, что дальнейший анализ процессов деформирования (а также устойчивости и разрушения) разупрочняющегося блочного горного массива может развиваться по следующим направлениям:
- анализ анизотропии и построение изотропных версий модели на основе изменяемого направления анизотропии в процессе деформирования;
- анализ несимметричного функционирования межблочных контактов и, как следствие, постановка и решение задач, моделирующих локализацию сдвигов и развитие изолированных линий (зон) скольжения;
- моделирование различных начальных состояний массива, «заряженного» аккумулированной упругой энергией. Последнее может приводить к катастрофическому характеру высвобождения энергии, когда зоны разупрочнения и полной потери сдвиговой прочности (разрушение) развиваются скачкообразно, мгновенно охватывая значительные объемы массива (модель горного удара).
5. Выводы
Концепция горной породы как среды с внутренними источниками и стоками энергии [5] позволяет строить математические модели, описывающие широкий класс структурно-неоднородных геоматериалов: твердые скальные горные породы, трещиноватые породы, гранулированные среды, сыпучие и порошковые материалы, сухие и водонасыщенные грунты и др.
Рассмотренная на основе общей концепции модель разупрочняющего горного массива адекватно описывает процесс накопления и высвобождения упругой энергии при деформировании. Показано, что в зависимости от соотношения параметров разупрочнения и упругих модулей высвобождение энергии может носить как устойчивый, так и неустойчивый характер. В последнем случае в массиве происходят неконтролируемые краевыми условиями динамические скачки разупрочнения.
Предложенный в работе алгоритмический прием позволяет исследовать динамические скачки, оставаясь в рамках исходной (линейной для приращений) постановки задачи, т.е. строить решение динамической задачи в квазистатической постановке.
Построены численные решения задачи о деформировании разупрочняющего массива вблизи горизонтальных протяженных выработок различной геометрии, приведены картины деформирования на различных стадиях нагружения и изолинии напряженного состояния.
Рассмотренная модель открывает широкие возможности для исследования процессов деформирования в геоматериалах с учетом таких фундаментальных свойств, как внутреннее трение, сцепление, дилатансия, анизотропия, разупрочнение, локализация деформаций.
Автор выражает благодарность профессору А.Ф. Ре-вуженко за ценные обсуждения по работе в целом и детальные консультации по используемой концепции горной породы как среды с внутренними источниками и стоками энергии [5].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №№ 08-05-00543, 10-05-91002_АНФ) и Сибирского отделения РАН (интеграционный проект № 69).
Литература
1. Шемякин Е.И. Две задачи механики горных пород, связанные с освоением глубоких месторождений руды и угля // ФТПРПИ. -1975. - №6. - С. 22-45.
2. Троллоп Д.Х., БохX., Бест Б.С., Уоллес К., Фултон М.Дж. Введение в механику скальных пород. - М.: Мир, 1983. - 276 с.
3. Виноградов В.В. Геомеханика управления состоянием массива вблизи горных выработок. - Киев: Наукова думка, 1989. - 192 с.
4. Айтматов И.Т. Напряженное состояние массивов горных пород и управление горным давлением // Матер. IX Всесоюзн. конф. по механике горных пород, окт. 1989 г. - Фрунзе: Илим, 1990. - 547 с.
5. РевуженкоА.Ф. Механика упругопластических сред и нестандарт-
ный анализ. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2000. - 428 с.
6. Лавриков С.В. О возможном способе повышения несущей способ-
ности горного массива вокруг выработки // ФТПРПИ. - 2003. -№ 5. - С. 30-38.
7. Kolymbas D. Tunnelling and tunnel mechanics. A rational approach to tunnelling. - Berlin: Springer-Verlag, 2005. - 437 p.
8. Алимжанов М.Т. Учет неоднородности свойств пород при исследовании механических процессов вокруг глубокой выработки // ФТПРПИ. - 1977. - № 5. - С. 10-15.
9. Линьков А.М. О механике блочного массива горных пород // ФТПРПИ. - 1979. - № 4. - С. 3-9.
10. Лавриков С.В., Ревуженко А.Ф. О деформировании блочной среды вокруг выработки // ФТПРПИ. - 1990. - № 6. - С. 7-15.
11. Кочарян Г.Г., Спивак А.А. Динамика деформирования блочных массивов горных пород. - М.: Академкнига, 2003. - 423 с.
12. Сибиряков Б.П., Подбережный М.Ю. Неустойчивость структурированных сред и некоторые сценарии развития катастроф // Геология и геофизика. - 2006. - Т. 47. - № 5. - С. 648-654.
13. Панин В.Е., Гриняев Ю.В. Физическая мезомеханика — новая парадигма на стыке физики и механики деформируемого твердого тела // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - С. 9-36.
14. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.
15. Ставрогин А.Н., Ширкес О.А. Явление последействия в горных породах, вызванное предшествующей необратимой деформацией // ФТПРПИ. - 1986. - № 4. - С. 16-27.
16. Влох Н.П., Липин Я.И., Сашурин АД. Исследование остаточных напряжений в крепких горных породах // Современные проблемы механики горных пород. - Л.: Наука, 1972. - С. 186-189.
17. Ржевская С.В., Петроченков Р.Г. Изменение прочностных свойств пород в куске при выемке их из массива // Исследование физических свойств горных пород и процессов горного производства. - М.: Изд-во Московского горного института, 1984. -С.125-130.
18. Лавриков С.В., Ревуженко А.Ф. Об одной экспериментальной модели горной породы // ФТПРПИ. - 1991. - № 4. - С. 24-30.
19. Бобряков А.П., Лубягин А.В. Экспериментальное исследование неустойчивых режимов скольжения // ФТПРПИ. - 2008. - № 4. -С. 13-23.
20. Косых В.П. Проявление эффекта Савара-Массона в сыпучих материалах // ФТПРПИ. - 2008. - № 6. - С. 13-18.
21. Frye K.M., Marone C. The effect of particle dimensionality on granular friction in laboratory shear zones // Geophys. Res. Lett. - 2002. -V. 29. - No. 19. - P. 1916 (4 pages).
22. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. - Л.: Машиностроение, 1990. - 223 с.
23. Лавриков С.В., Микенина О.А., Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. Концепция неархимедова многомасштабного пространства и модели пластических сред со структурой // Физ. мезомех. - 2008. -Т. 11. - № 3. - С. 45-60.
Поступила в редакцию 09.04.2010 г.
Сведения об авторе
Лавриков Сергей Владимирович, к.ф.-м.н., снс ИГД СО РАН, [email protected]
