Теория пластичности и математический анализ на неархимедовой прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теория пластичности и математический анализ на неархимедовой прямой

А.Ф. Ревуженко

Институт горного дела СО РАН, Новосибирск, 630091, Россия

В теории пластичности и ряде других областей возникают задачи, которые приводят к близким математическим объектам: полям скоростей, которые испытывают разрывы на различных масштабных уровнях, траекториям нагружения с бесконечно малыми изломами и т.д. Показано, что подобные объекты можно конструировать и исследовать с помощью функций, заданных на неархимедовой прямой. Рассмотрены понятия предела, производных, неопределенного и определенного интегралов. Кроме того, введено понятие, для которого нет аналога в классическом анализе, — понятие величины скачка функции при переходе с одного масштабного уровня на другой. Приведены условия стационарности функционалов и некоторые примеры приложений.

1. Введение

По-видимому, наиболее универсальным свойством реального мира является его иерархичность. Иерархию мы наблюдаем во Вселенной, природе, сообществах животных, человеческом обществе, строении растений, живых существ и т.д. Иерархичность необходима для самого существования систем. Везде царит принцип иерархии и подчинения, то есть имеет место ситуация, совершенно противоположная так называемому “равенству” из известного лозунга.

Открытия последних десятилетий показывают, что эта общая закономерность простирается и на процессы деформирования твердых тел [1]. Иерархия строения и функционирования сложных систем приводит к появлению у них целого ряда масштабных уровней. Основным средством их теоретического изучения являются математические модели. Адекватные модели и сам математический аппарат, который лежит в их основе, должны отражать основное свойство реальных объектов — наличие в них различных масштабных уровней. Так, для описания формы сложных объектов создана фрактальная

геометрия — геометрия объектов, форма которых имеет бесконечный ряд масштабных уровней [2]. Аналитическое же описание структур со многими масштабными уровнями возможно методами нестандартного анализа.

Согласно [3], “...открытие нестандартного анализа состоит в том, что геометрическая прямая или континуум может нести в себе множество точек более богатое, чем множество обычных действительных чисел. Это, кроме всего прочего, дает нам подходящие рамки для геометрического анализа физических явлений со многими масштабами”. В настоящее время методы нестандартного анализа находят применение для решения различных задач математической физики. Есть основания надеяться, что нестандартный анализ даст подходящий аппарат и для описания масштабных уровней пластичности. В этом направлении выполнена работа [4], где в качестве независимой рассматривалась обычная действительная переменная. Однако для функций допускались и нестандартные значения. Дальнейшее развитие [4] привело к необходимости использования нестандартных значений и для независимой переменной.

© Ревуженко А.Ф., 2001

Рис. 1. Угол а равен актуальной бесконечно малой величине, так как он меньше любого положительного угла 8

Последнее означает, что само пространство наделяется структурой и становится неархимедовым. Согласно аксиоме Архимеда, для любых положительных чисел а > Ь можно указать такое натуральное число N что выполнится неравенство Ь • N> а. Отказ от аксиомы Архимеда приводит к появлению актуальных бесконечно малых чисел. Наглядное подтверждение существования подобных чисел можно получить таким образом. Следуя [5], числа будем характеризовать углами, одна сторона которых представляет собой прямую линию, а другая сторона может быть как прямой, так и некоторой кривой. Будем считать, что а > Ь, если угол, соответствующий числу Ь, лежит внутри угла, соответствующего числу а. Обычному числу 8 > 0 будем ставить в соответствие угол с прямолинейными сторонами, тангенс которого равен 8. Введем теперь угол а между прямой и окружностью, которая касается данной прямой. Ясно, что величина этого угла будет меньше любого наперед заданного числа 8 > 0. Рассмотренный угол и дает представление об актуальной бесконечно малой величине (рис. 1).

2. Неархимедовая прямая

Перейдем теперь к более строгим определениям. Будем считать, что натуральные числа и операции над ними (сложение, умножение, вычитание и деление) заданы изначально. Следовательно, можно считать заданными и рациональные числа. Переход от рациональных к действительным числам может быть осуществлен различными способами. Однако появление бесконечно малых чисел приводит к необходимости уточнения концепции “обычного” действительного числа. (В нестандартном анализе “обычные” действительные числа и соответствующую действительную прямую принято называть стандартными числами и стандартной прямой [6]). С другой стороны, хорошо известно, что для построения классического анализа вполне достаточно запаса только рациональных чисел [7]. Воспользуемся этим и предположим, что вначале на стандартной прямой находятся только рациональные точки. Рациональным точкам соответствуют результаты конечного числа действий над натуральными числами. Определим теперь результат бесконечного числа действий.

В классическом анализе результатом являются иррациональные числа. Однако можно рассмотреть и другой путь, когда в результате появляются числа новых масштабных уровней. Пусть рациональное число ап является

результатом n действий над натуральными числами. Тогда под результатом бесконечного числа действий будем понимать класс эквивалентных последовательностей, представленный последовательностью a1, a2,an,: A = Lim an.

n ^го

Две последовательности будем считать эквивалентными, если они различаются только конечным числом членов. Объект A будем называть кофинитным числом или кофинитным пределом последовательности an при n ^ го. Значения an по отношению к A будем называть приближениями A. Число а отождествим с классом стационарных последовательностей an = а. Все операции над кофинитными числами введем через соответствующие операции над их приближениями. Будем говорить, что A > B = Limbn, если, начиная с некоторого

n ^го

номера n, an > bn. Например,

A =Lim

n ^го

V

1 1 1

— + — + ... +---------------

2 4 2n

< 1,

ві = Lim

1+1

\n

\ 2 n

< e2 = Lim

1 + — 2n

(i)

< e =Lim

1 + -

n!

Кофинитное число B > 0 будем называть (положительным) бесконечно малым, если B < 8 для любого рационального 8 > 0 и бесконечно большим, если B > N для любого натурального N. В качестве эталонных будем использовать два кофинитных числа

w = Lim n и — = П = Lim—. (2)

nw nn

Обозначим через X, Y переменные, которые могут принимать как стандартные значения х, у, так и значения, полученные в результате операций над стандартными и эталонными числами w и П. Например,

X = n k wk +... + п1ш + х + ^1П +... + £ т П т, (3)

Y = vs ws +... + + у + ^П +... + ur Пr, (4)

где k, m, s, r — натуральные числа, а все переменные Пk, х, ..., £т, vs, ..., у, ..., ur — принимают только стандартные значения. Будем говорить, что числа nk wk принадлежат k-мегауровню, £ тПт — m-микроуровню, а числа х—базовому масштабному уровню. Множество чисел X будем называть неархимедовой прямой, а множество пар чисел (X, Y) — неархимедовой плоскостью.

3. Функции

Везде по возможности будем использовать терминологию классического анализа. Пусть задана некоторая функция Y = F(X). В частном случае (3), (4) имеем:

<

n

n ^го

Н^го

Рис. 2. Функция, заданная на двух масштабных уровнях

Vs — Vs (П£, •••? •••? £т X •••

у — У(пk ’ х’ £т )’ • • • (5)

иг — иг (пk, •••? х, •••? £т)‘

Таким образом, одна скалярная функция, заданная на неархимедовой прямой, свелась к совокупности обычных функций, зависящих от нескольких обычных (стандартных) аргументов. Поэтому для описания можно использовать все результаты классического анализа (понятие предела, непрерывности, производных, интегралов и т.д.).

Ясно, что представление (5) не исчерпывает всех возможных функций, заданных на неархимедовой прямой. Например, если снять ограничение (4), то получим

У — ф(^X,..., £т, П). (6)

Допустим теперь, что сам закон ф может включать в себя описание операций между значениями аргументов, стандартными числами и кофинитными числами вида (2). Тогда последний аргумент в записи (6) можно опускать. Ниже подробнее рассмотрим случай, когда функция ф задана только на двух масштабных уровнях:

У — Г (X) — ф( X, т),

х — X + т, т — £П, 0<X<X0 — X0 + т0,

где переменные х, £ принимают стандартные значения.

В классическом анализе указание границ интервала 0 < а < а0 было вполне достаточно для его описания. (Здесь и ниже а обозначает действительную переменную классического анализа.) Для описания же интервала на неархимедовой прямой указания только его границ недостаточно. Здесь необходимо задать некоторую область в многомерном пространстве. Например, если известно, что точки могут принадлежать только двум масштабным уровням, то необходимо задать двумерную область: 0 < т < р(х) при 0 < х < х0. Ниже ограничимся частным случаем, когда

0 < X < X0 = X0 + т0, 0 < X < х°,

0 < т < р(х), р(х) = р = const при 0 < х < х0, (8)

р(х) = т0 < р при х = х0.

На плоскости (х, т) область определения функции

Y = F (X) = ф( х, т) представляет собой прямоугольник, а на прямой ОХ — последовательность интервалов (рис. 2).

4. Связь различных масштабных уровней

Вопрос о том, как связаны между собой различные масштабные уровни, является основным для приложений. Описание таких связей требует введения новых понятий, которых нет в классическом анализе.

Зафиксируем у функции (7) аргументы х, £, выберем некоторое стандартное значение параметра p и будем подсчитывать значения функции в точках х + p/n + £П, где n = 1, 2, 3, .... Каждое из чисел p/n является рациональным и, следовательно, принадлежит базовому масштабному уровню. С другой стороны, каждое из значений p/n служит приближением числа p П, которое принадлежит уже первому микроуровню. Может оказаться, что для любого стандартногоp имеет место равенство

Lim F (х + p + £П) = F (х + Limp + £П) =

n—<^ n n——^ n (9)

= F (х + (£ + p )П).

В этом случае будем говорить, что в точке X = х + + £П функция F является непрерывной при переходе с базового масштабного уровня на первый микроуровень. Подсчитаем теперь значения F в точках х + (£ + qn)П, где q — стандартный параметр. Если для любого q

Lim F (х + (£ + qn^ ) = n—~ (10)

= F (х + £П + П Lim(qn)) = F ((х + q) + £П),

то будем говорить, что в точке X функция F является непрерывной при переходе с первого микроуровня на базовый уровень. Если равенства (9), (10) имеют место для любых X, то F(X) сводится к одной скалярной функции одного аргумента

F (х + £П) =ф( х + £П). (11)

Поясним смысл записи (11). В общем случае можно сказать, что оператор F “расщепляет” аргумент X = x + + £П на его структурные уровни x и £П и с каждым из них выполняет собственные преобразования. С другой стороны, обычная функция ф(х), как правило, “воспринимает” свой аргумент как целое, так что закон ф сводится, например, к ф(х) = х2. Ясно, что и функция F(X) также может быть устроена подобным образом, например F(X) = X . Именно на это и указывает условие непрерывности (11).

Предположим теперь, что у функции (7) существуют частные производные по обоим аргументам. Тогда условие непрерывности между масштабными уровнями можно записать в виде

Y = F(X) = ф(х, т), т = £П, . (12)

дх от

Здесь переменные х, £ принимают только рациональные значения. Как отмечалось, этого достаточно для выполнения основных построений классического анализа [7]. Поэтому в (12) частные производные понимаются в классическом смысле.

Далее рассмотрим способ непрерывного продолжения функций с одного структурного уровня на другой. Пусть функция задана только на базовом масштабном уровне: y = f (х). Непрерывным продолжением на мик-ро- и мегауровни естественно назвать функции

Lim f (х + -^) = f (х + £П),

n—~ П

Lim f (х + nn) = f (пю + х),...

n ——^

Особый интерес представляет случай, когда f (х) задана только при натуральных х = n, а ее непрерывное продолжение осуществляется на неограниченное число мегауровней:

f (ю) = Lim f (n), f (ю+1) = Lim f(n +1),

n—^ n—^

f (2ю) = Lim f (2n),..., f (ю2) = Lim f (n2),..., (13)

n—^ n—^

f (юю) = Lim f (nn),...

n—^

Таким образом, условие непрерывности перехода с одного масштабного уровня на другой является весьма сильным. Поэтому можно ожидать, что основной интерес будут представлять случаи, когда непрерывности не будет. В этих случаях появляются новые характеристики функций — ее скачки при переходе с одного

масштабного уровня на другой. Например, скачки функции (7), определенной на двух уровнях, равны

R(x) = ф(x, 0) — ф(х -р, р). (14)

6. Непрерывность

Хорошо известно, что математические конструкции носят в определенном смысле объективный характер. В этом смысле можно говорить о существовании некоторой объективной математической реальности. Математический аппарат представляет собой набор различных средств для ее исследования. Можно провести аналогию между указанными идеальными средствами и средствами, которые используются в физических экспериментах. Пусть, например, исследуется деформация образца на микроуровне. Здесь необходимы измерения относительных смещений точек на малой базе. Следовательно, должны быть и средства, позволяющие различать близкие точки. Предположим теперь, что в математической реальности требуется вести наблюдение за двумя точками, которые принадлежат базовому масштабному уровню (т.е. заранее известно, что обе точки являются стандартными). Любые стандартные числа a и b обладают следующим свойством: если известно, что для произвольного рационального числа е > 0 имеет место неравенство |а — b| < е, то a = b. Иными словами, если а ф b, то найдется такое рациональное число е, что |а — Ь > е. Следовательно, если стандартные точки наблюдать с разрешением, равным любому рациональному числу, то любые не совпадающие точки всегда можно различить. Имея в виду последнее обстоятельство, будем говорить, что любые стандартные точки можно различать невооруженным глазом.

Ясно, что для точек первого микроуровня наблюдения невооруженным глазом уже не достаточно. Так, точки 1 и 1 + П таким способом различить уже невозможно. Однако, если указанное выше значение е заменить на еП, то проблема решается и для первого микроуровня. Предположим теперь, что заданы две точки X, X0, которые могут принадлежать любому масштабному уровню. В этом случае необходимо исследование уже с неограниченной разрешающей способностью. Последнее означает следующее. Примем, что X = X 0, если для любого рационального числа 8 > 0 и любого выражения Р(П) > 0 имеет место неравенство

|X — X 0| <8-р(П). (15)

Пусть теперь X — переменная величина, а X0 — некоторое фиксированное значение X. Будем считать X ^ X0, если для любых указанных выше 8 и Р(П) всегда найдутся значения X, которые будут удовлетворять условию (15). Будем говорить, что A является абсолютным пределом F(X) при X ^ X0, и записывать

limit F(X) = A, (16)

X ^ X 0

если для любых наперед заданных рационального числа е > 0 и выражения а(П) > 0 найдутся такие рациональное число 8 > 0 и выражение в(П) > 0, что условие (15) повлечет за собой выполнение условия (X) - А| <

<е-а(П). Если функция F(X) первоначально определена не на всех масштабных уровнях, которые необходимы для вычисления F(X) при значениях аргумента, удовлетворяющих условию (15), то определение (16) предполагает непрерывное продолжение F (X) на все необходимые масштабные уровни.

Примем по определению, что F (X) непрерывна в точке X0, если предел (16) равен F(Т0) = А. Последнее ограничение будет более слабым, если потребовать, чтобы X ^ X0 по определенному закону.

7. Производные и неопределенные интегралы

Если существует абсолютный предел

F'(X) = Шпй

XX ^0

(17)

который не зависит от закона XX ^ 0, то этот предел назовем полной производной F (X). Ясно, что полные производные имеет только весьма узкий класс функций. Больший интерес будет представлять случай, когда предела (17) не существует, но существуют пределы при XX ^ 0 по определенным путям, например XX = Ах или XX = А^П, XX = Аг|ю и т.д.

В некоторых задачах имеет смысл рассматривать производные, которые определяются при фиксированном приращении аргумента, например

Р^, р) =

F (X + р) - F (X) Р :

где Р — некоторая актуальная бесконечно малая величина, например р = П, П . Операции, обратные указанным, назовем неопределенным интегрированием.

8. Определенный интеграл

В классическом анализе понятие определенного интеграла ассоциируется с представлением о сплошности криволинейной трапеции и ее площадью. Однако для неархимедовой плоскости говорить о сплошности в обычном понимании смысла не имеет: какое бы множество точек (X, У) на неархимедовой плоскости мы ни взяли, всегда можно указать вакансии, указывающие на несплошность этого множества. Например, на отрезке 0<Х<1 прямой (3) вакантными являются точки П“, 1(1 + П). Указанное обстоятельство приводит к одной трудности при формулировке понятия определенного интеграла. Ситуацию можно пояснить на следующем примере. Пусть f (ст) = 1, 0 <ст< 1 — обычная действительная функция обычной действительной переменной ст. Согласно классическому определению ин-

теграл от такой функции равен 1 (площадь единичного “сплошного” квадрата). Предположим теперь, что по-прежнему, f (ст) = 1, но ст принимает только рациональные значения. Теория меры дает для этого случая однозначный вывод: значение интеграла равно нулю [8]. (Это соответствует тому, что площади сети размерами 1 м х х 1 м приписывается значение не 1 кв. м, а нуль на том основании, что толщина нити, из которой сплетена сеть, является исчезающе малой.)

Рассмотрим теперь ту же самую функцию, но заданную на базовом масштабном уровне неархимедовой прямой, то есть F(X) = 1 при X = х, 0 < х < 1. Фактически F(X) определена также только в рациональных точках х. Отличие от случая f (ст) = 1 состоит в том, что теперь мы вообще можем не располагать никакими другими точками X, кроме базовых. В указанном смысле других точек отрезка [0, 1] просто не существует. Фигурально выражаясь, последнее означает следующее: если сетью с нитями вдоль рациональных координат перекрыть поток жидкости, который может течь только по каналам точечного сечения с рациональными координатами, то поток жидкости такой сетью будет перекрыт полностью. Площадь подобной сети размерами 1м х 1 м естественно считать равной 1 кв. м, а не 0.

Это, конечно, только наводящие соображения. Для дальнейших построений необходимо дать формальную концепцию определенного интеграла. Вначале выпишем тождество:

Yn - Yo =

У - Yo + * 2 XX

У - Y

XX

+... +

У - У

п-1

XX

XX,

(18)

где У0,..., Уп — значение функции в (п +1) “близких” точках.

Тождество является безусловно верным для любого натурального п (все слагаемые попарно уничтожаются). На этом основании примем, что тождество является верным для любых математических объектов, которые могут придать ему смысл и для п = ^ (при соответствующем смысле самого равенства п = ^). Процедуры, которые придают смысл каждому из слагаемых (У - У0)/XX,... и их сумме, умноженной на XX, эквивалентны введению понятий предела, производной и определенного интеграла. Примем концепцию, согласно которой все три указанные понятия по самому их определению должны быть связаны между собой тождеством (18).

Посмотрим, что дает этот подход на примере функции У = ф(х) = х (х — рациональное). В этом случае каждое из слагаемых в скобках равно F(X) = 1. Тот факт, что х принимает только рациональные значения не является препятствием для введения понятий предела, производной, а значит, и определенного интеграла. Пусть У- = ф(гАх), Ах = 1/п, г = 0,..., п. Тогда левая часть

тождества (18) будет равна 1 = ф(1) - ф(0) при любом п. Следовательно, и для интеграла от функции F(X) = 1, определенной на отрезке [0, 1], необходимо принять значение, равное 1. Таким образом, несмотря на то, что функция определена только при рациональных значениях х, концепция (18) приводит для нее к такому же значению интеграла, как и в классическом случае, когда функция определена при всех действительных значениях аргумента. Легко видеть, что и в общем случае при F(X) = f (х) все формулы классического анализа сохранятся без изменений.

Пусть теперь функция задана на двух структурных уровнях. Оказывается, что задачу интегрирования подобной функции можно промоделировать на обычной действительной прямой. Как отмечалось, о функции F можно сказать, что она “расщепляет” аргумент X на составные части х и т, каждую из них преобразовывает по своему закону ф. Именно это свойство и попытаемся воспроизвести в модели. Итак, требуется найти закон Да), который “расщеплял” бы аргумент а на отдельные составляющие и каждую из них преобразовывал бы по своим правилам. Положим

f (а) = Ф(N, т), N = [а],

т = {а}, а = N + т, а> 0,

где N и т — целая и дробная части числа а; ф — ограниченная и гладкая функция двух аргументов. Переменная N неограничена, но может принимать только дискретные значения: 0, 1, 2, ..., переменная т ограничена, но меняется непрерывно: 0 < т < 1. Поэтому производная по а — это фактически производная по т. Отсюда виден следующий путь вычисления интеграла (по Рима-ну) на отрезке 0, а0 = N0 + т0:

J =

а N т

| f (а)1а = | f (а)1а+|ф( №, т)1т. (19)

Введем обозначения:

N 0 т 0

с(N0) = | f (а^а, G(N0, т0) = |ф(N0, т)1 т. 00 По формуле Ньютона-Лейбница дG( N, т)

дт

• = ф(^ т), в(N,0) = 0.

(20)

Двум точкам на плоскости (N, т) с координатами (£,1) и (£ +1,0), k = 0,1,..., соответствует одна и та же точка на оси Оа: а = £ +1. Из условия непрерывности интеграла в этой точке получим

С (N) + G( N, 1) = С( N +1) + G( N +1,0). (21)

Учитывая, что G(N +1,0) = 0, придем к следующему разностному уравнению относительно С (М):

С(N +1) - С(N) = в(N,1), С(0) = 0. (22)

Таким образом, алгоритм интегрирования сводится

к следующему. По заданной функции двух переменных ф(Ж, т) строится первообразная функция (20). Далее строится решение разностного уравнения (22). Окончательный результат записывается в виде (19).

Нетрудно заметить, что построение решения разностного уравнения (22) эквивалентно вычислению суммы:

С(N +1) = G(N, 1) + G(N -1,1) +... + G(0,1).

В частном случае, когда ф(N, т) = у(х), имеем

N 0

| у (N )ат = у (0) + у (1) +... + у N0 -1).

0

Пусть заданы две функции и (х, т), V(х, т) и 1 = и • V. Тогда интегрирование по частям можно осуществить по формуле

N0 +т0 N0 +т0 ^ N0 +т0

г , го

и — аст = — 1

дт дт

до , с д г ди ,

w аа - І V— аа, дт

0 дт 0 дт

0

где первый интеграл легко вычислить, используя описанный выше алгоритм:

N 0 +т0

І

дw(N, т) дт

1ат =

(23)

N 0 +1

w(N0, т0) - и<0, 0) - | R(N)1а.

Здесь R(N) — это скачок функции ™ в точке ст = N

R(N) = 1(N, 0) -1(N -1,1). (24)

Отметим, что все полученные формулы — это формулы классического анализа, записанные для функций, разрывных при натуральном значении аргумента. Именно в таком виде они допускают обобщение на случай неархимедовой прямой.

Пусть неархимедовая прямая содержит два масштабных уровня. Введем для интеграла следующее обозначение:

X 0 X 0

J(X0) = | F(X^ = |ф(х, т^. (25)

0 0

Рассмотрим последовательность операций (точнее, последовательность определений), которые позволяют вычислить интеграл (25). Положим J (0) = 0,

х 0 х 0 +т0

J (X 0) = | F (X )№ + | F (X )№,

0 х 0

0 0,0

х х +т

С(х0) =|F(X)dX, G(х0, т0) = |F(X)dX, (26)

0 х 0

С(0) = 0, G(х0, 0) = 0.

Во втором интеграле увеличение переменной X в

г 0 0 і _0 т

интервале [х , х + т ] происходит только за счет увеличения т при фиксированном х°. Поэтому, если записать сумму (18) для некоторого шага по аргументу т и перейти к пределу, то получим, что

L

G(х0, т) = | ф(х0, x)dx,

(27)

где правая часть представляет собой интеграл Римана. Отсюда

дв(х0, т)

Эт

■ = ф(х0, т), G(х0, 0) = 0.

(28)

Перейдем теперь к вычислению интеграла С(х ), взятому по промежутку [0, х0] (см. рис. 2). В пределах каждого из интервалов [х, х + р] переменная х не меняется. Поэтому положим по определению

х+р р

| F(X)ах = |ф(х, тМт = 0(х, р). (29)

х0

Следовательно, С(х0) можно представлять себе как сумму интегралов (29), взятых по всем х < х0. В модели аналогичное выражение для С(Ы) представляло собой сумму интегралов по дискретному набору натуральных N. Для вычисления этой суммы достаточно было воспользоваться условием непрерывности определенного интеграла как функции своего верхнего предела. Условие непрерывности (21) привело к разностному уравнению (22), которое совместно с начальным условием позволило найти С(Ы). Этот путь может быть использован и в случае неархимедовой прямой. Интеграл J (X0) в (25) представляет собой некоторую функцию, с областью определения на двух масштабных уровнях. Отрезок АВ в область определения функции не входит, (то есть отрезок АВ — это купюра в области определения) (см. рис. 2). Поэтому значения определенного интеграла в точках А и В должны совпадать между собой. Точка А принадлежит первому микроуровню, а точка В — базовому уровню. Следовательно, указанное условие есть условие непрерывности функции между разными масштабными уровнями:

J(X) = J(х, т), J(х + р, 0) = J(х, р). (30)

Отсюда и из (26) с учетом обозначения (29) получим уравнение:

С(х + р) - С(х) _ 1

Р

Р

I ф(х, T)dT :

G(х, р) Р

(31)

= g(х Р).

Таким образом, алгоритм поиска определенного интеграла сводится к следующему: по заданной функции F(X) = ф(х, т) строится обычный римановский интеграл G(х, р) (29). Далее из разностного уравнения (31)

и нулевого начального условия вычисляется функция С (х) и окончательный результат записывается в виде суммы (26).

Остановимся подробнее на процедуре решения разностного уравнения (31). В уравнении (31) величина р — это конкретная актуальная бесконечно малая величина. Поэтому задача (31) похожа на задачу отыскания функции по ее производной. Отличие от обычной задачи интегрирования состоит в том, что здесь во всех выражениях бесконечно малые высших порядков не отбрасываются. Легко видеть, что в случаях, когда имеет место представление

£(^ р) = (Р)gi(хХ

І

решение имеет вид

С( х) = £х,- (р) С, (х).

Поэтому с самого начала можно считать, что g(х, р) = g(х). Так как р является не переменной величиной, а конкретным параметром (например р = П), то в законе перехода от х к С(х) могут содержаться как действия с обычными числами, так и с величинами П, р и т.д. Это обстоятельство можно отметить, записав, искомую функцию в виде С = С(х, р). Тогда вместо (31) имеем

С(х + р, р) - С(х, р) Р

= g( х).

Раскладывая левую часть в ряд по р и пользуясь тем, что правая часть от р не зависит, получим решение в явном виде:

С(х, р) = ko | g (x)dx + (32)

+ kiP • g(x) + k2p2 • g (x) + k3p3 • g'(x) +... + H(x, р), где H(x, р) — произвольное решение однородного уравнения; ko = 1 ki = -2ko> k2 = -2ki -3ko> k3 =

= -—^2 -3k - — ko,... — числа Бернулли. Известно, что

k3 — k^ — ky —... — 0

k2n

/ k2n+2

^-4n2 = -39.4784...

при п ^ <» [9]. Таким образом, число масштабных уровней в решении (32) зависит от числа производных, которыми обладает функция g(х). При этом переход с одного масштабного уровня на другой управляется универсальной постоянной, равной 39.4784... . Именно во столько раз уменьшается коэффициент при переходе к следующему члену разложения (32).

Для вычисления интегралов по неархимедовой прямой можно вывести все формулы, обобщающие классические. Например, формула интегрирования по частям примет вид, аналогичный (23):

X0 д

[ и — dX = w(х0, т0) - w(0, 0) -

0 дт

X0 д х0 +р (33)

- [ V — dX - [ - R(х) dX,

' дт } р

0р

где R(x) — разрывы функции ю = и • V, определяемые по формуле (14).

9. Стандартные действительные числа

Теперь все готово для того, чтобы расширить запас чисел, принадлежащих базовому масштабному уровню. Выше к базовому уровню были отнесены только рациональные числа. Предположим, что в результате некоторых построений появился новый объект А. Объект А мог быть получен либо как идеальный, либо как кофи-нитное число, либо каким-то иным образом. Будем считать А числом, причем числом, принадлежащим базовому масштабному уровню (стандартным числом), если выполняются следующие два условия:

1) Для любого фиксированного числа г, которое уже отнесено к базовому уровню, и объекта А должно иметь место одно и только одно из соотношений: г > А, г < А, г = А (считается, что г = А, если для любого рационального е > 0 и любого выражения а(П) > 0 выполняется неравенство |А - г| < е • а(П)).

2) Если для любого фиксированного числа г ф А найдется такое рациональное число е, что |г - А| > е.

Пусть вначале на стандартной прямой находятся только рациональные точки, и мы делаем первые шаги к ее дальнейшему заполнению. Ясно, что число 1 + П поместить на эту прямую нельзя: для него выполняется условие 1, но не выполняется условие 2. С другой стороны, идеальный объект А, определяемый двумя признаками А > 0 и А2 = 2, поместить можно. Аналогично можно ввести и другие алгебраические числа и операции над ними.

Теперь о трансцендентных числах. Рассмотрим примеры (1). Можно доказать, что для кофинитного числа е1 найдется место среди рациональных и алгебраических чисел (условие 1), причем е1 будет отстоять от них достаточно далеко (условие 2). Однако тогда для числа е2 места на базовой прямой уже не найдется (не существует фиксированного рационального числа е, для которого |е1 - е2| > е). Можно построить еще ряд других чисел, которые могли бы претендовать на роль числа е. Однако на базовый масштабный уровень может быть помещено только одно из них. Подобный произвол весьма удобен, так как позволяет привлечь дополнительные соображения и выбрать наиболее приемлемый вариант. Интуитивно ясно, что число е находится ближе к “истинному” числу е, чем е1 или е2 из (1). Поэтому для введения числа е воспользуемся процедурами, имеющими неограниченную разрешающую способность,

например процедурой (13) неограниченного продолжения функции /(п) = (1 +1/п)п, либо процедурой взятия производной. (Производная определяется через абсолютный предел (16) и поэтому представляет собой инструмент с неограниченной разрешающей способностью.) Для дальнейших выкладок последний вариант представляется наиболее удобным.

Итак, введем идеальный объект — функцию / (х), относительно которой известно следующее: а) функция определена при рациональных х > 0, б) /(1) = 0, в) функция такова, что существует ее первая производная, равная /' (х) = 1/х. Далее можно ввести определение обратной функции и число е как идеальный объект, для которого известно, что /(е) = 1. Аналогичным образом можно ввести и другие трансцентдентные числа, тригонометрические функции и т.д.

10. Прикладные задачи

Рассмотренные выше понятия могут быть использованы для постановки и решения различных задач. По сравнению с классическим анализом здесь появляются новые возможности, связанные с иерархией масштабных уровней. Последнее обстоятельство имеет значение для описания пластичности. Пластичность, как известно, развивается на ряде уровней и связана с относительным скольжением и поворотом структурных элементов материала [1]. Поэтому можно ожидать, что в описании пластичности наряду с производными большую роль будут играть и скачки функций при переходе с одного масштабного уровня на другой.

Предположим, что физическое пространство, занимаемой средой, является неархимедовым. Состояние среды характеризуется совокупностью некоторых функций. Какой должна быть область определения указанных функций? Фактически это вопрос о “степени сплошности” среды. Ограничимся плоской деформацией. Пусть X, У — декартовы координаты материальной точки, и, V — компоненты вектора смещения. Тогда и = и^, У), V = V(X, У).

Естественно предположить, что любая реальная среда может заполнить собой только конечное число масштабных уровней пространства. Кроме того, любое реальное тело имеет ограниченные размеры на базовом масштабном уровне (значит, мегауровни вообще исключаются). Предположим также, что подобная ограниченность имеет место и на микроуровнях. Например, если тело заполняет только два масштабных уровня, то его протяженность на микроуровне ограничена постоянной величиной р. Поэтому область определения переменных Xи У имеет вид (8) (см. рис. 2). Совокупность производных и, V совместно с разрывами будет полностью характеризовать кинематику деформирования. Кинематические характеристики можно использовать при построении определяющих уравнений.

В качестве иллюстрации рассмотрим простой сдвиг. Пусть

и = 0, V = v(X) = v(х, т). (34)

Тогда график на рис. 2 можно рассматривать как профиль смещений (если У заменить на V). Купюры в области определения указывают на то, что в неархимедовом пространстве среда всегда будет “несплошной”.

Предположим, что деформации на микроуровне являются линейно упругими. Тогда упругий сдвиг и касательное напряжение равны дu х дu

1 е = эГ ’ ст ху = цэГ ’

где ц(х, т) — модуль сдвига. Согласно (14), касательный разрыв (проскальзывание) равен

R(х) = V(х, 0) - V(х -р, р). (35)

Проскальзывание локализовано на микроуровне и связано с соответствующим касательным напряжением, то есть стру = Т(К), где Т — заданная функция. Условие равновесия стеху = стру приводит к следующему дифференциально-разностному уравнению относительно профиля смещений V(х, т): ди

ц(х, т) — = T(u(х, 0) - и(х - р, р)). дт

Если ограничиться только первым приближением по р, то вместо (35) получим

г дu(х, 0) дv(х, 0)Л

R( х) =Р

дх

Эт

Последний результат вполне согласуется с [4]: выражению до/дт соответствует локальная производная, а до/дх — производная в среднем. Их различие и определяет скачки функции на микроуровне.

Рассмотрим еще одну задачу, где роль подобных скачков можно продемонстрировать весьма наглядно, — задачу о вычислении длины кривой. Эта задача позволяет также показать некоторые специфические черты интегрального функционала, заданного на неархимедовой прямой. Пусть Y = F(X), 0 < X < X°.

Графиком функции назовем множество пар чисел (X, F(X)). Пару чисел будем называть также точкой (на плоскости), а сам график — линией. Если функция F(х) является линейной, то ее график будем называть прямой. Будем использовать также другие термины, принятые в геометрии. Задача состоит в том, чтобы ввести определение функционала L[F(X), 0 < X < X0], который можно было бы назвать длиной соответствующей кривой. В качестве исходных примем следующие посылки:

а) Свойство аддитивности: если X1 — любая точка внутри интервала, то

Ь ^(X),0 < X < X0] = (36)

= Ь ^(X), 0 < X < X1] + Ь [F(X), X1 < X < X0] =

= Ь ^(X), 0 < X < X1] + Ь [F(X), X1 < X < X0].

б) Если F(X) — aX + b, a, b — const, то

L [F(X), 0 < X < X0] —-у/ 1 + a2X0. (37)

Отсюда следует, что длина интервала принимается равной

L [F(X) — 0; 0 < X < X0] — X0. (38)

Внешне определение (38) повторяет классическое: длина интервала [a, b] на обычной прямой равна (b - a). Однако по существу определение (38) отличается от классического. Все дело в том, что для классического случая запись a < a < b характеризовала интервал [a, b] полностью. Как уже отмечалось, в случае неархимедовой прямой это не так: запись 0 < X < X0 допустимые значения X характеризует не полностью. Если ограничиться двумя уровнями прямой, то для полного описания необходимо задать двумерную область, например, прямоугольник (8). Формула (36) показывает, что длина такого интервала зависит только от протяженности области вдоль ее границ.

Неформально ситуацию можно пояснить таким образом. Пусть материальная точка переместилась вдоль оси ОХ из положения X — 0 в положение X — X0. Утверждается, что путь, который прошла точка, равен X0 и не зависит от внутренней структуры пространства, по которому эта точка двигалась. Пространство могло содержать только один базовый уровень, либо целый ряд микроуровней и т.д. Во всех случаях результат движения представлен только конечным положением точки X0. Поэтому и длина пути определяется только конечным результатом.

Для функции, заданной на одном масштабном уровне, y — f (x), 0 < x < x0, на основании (36), (37) имеем

x0 _________

L[f (x), 0 < x < x0] — JV1 + (f )2dx.

0

Таким образом, переход к формуле классического анализа есть. Далее, если функция задана на двух масштабных уровнях, то условия (36), (37) приводят к следующей формуле

X0 ________

L[F(X), 0 < X < X0] — J -у/1 + (ФТ)2dX. (39)

0

Рассмотрим частный случай, когда функция, по-прежнему, определена на двух масштабных уровнях, но значения ее зависят от координаты только одного уровня: F(x + т) — ф(x), то есть фТ = 0. Формула (39) показывает, что длина соответствующей кривой от вида функции ф^) вообще не зависит:

L^(x), 0 < x < x0] — x0.

Парадокса здесь нет. Просто утверждение о том, что ФТ = 0, означает, что график функции F(X) набран из горизонтальных отрезков. Длина такой кривой — это

Рис. 3. Длина пути, пройденная по горизонтальным отрезкам, равна х0, по вертикальным — у0

сумма длин указанных отрезков. От способа расположения отрезков сумма их длин, конечно, не зависит. Такое поведение является следствием разрывности функции Г(X) = ф(х) при переходе с одного масштабного уровня на другой (рис. 3)

Разрывы необходимо учитывать, если длину кривой трактовать как путь, который проходит материальная точка, двигаясь вдоль графика функции. В точке х величина разрыва дается формулой (14). Чтобы не усложнять все построения введением модуля, ограничимся случаем, когда Я(X) > 0. Тогда функция V(X), равная пути, пройденному по “вертикальным” отрезкам, удовлетворяет уравнению V (х + р) - V (х) = Я (х) и равна

х 0 +р

R(x) Р

dX.

Если через £ обозначить путь материальной точки, который она проходит, двигаясь вдоль графика У = Г(X), то

S [F(x),0 < X < X 0 ] -

x +р

= | л/1 + (ф'т)2^ + | — ¿X.

0 р р

Таким образом, путь представляет собой функционал, который зависит от разрывов функции. В более общем случае функционал имеет вид

J -

Jw (x, т, ф(x, т), p (x, T))dX -

x” +p

Г - ф(х, Я(х))М,

: р

р

где Т, Ф — достаточно гладкие функции своих аргументов, р(х, т) = дф/дт. Функционал Jможет означать

энергию, затраченную на одномерную деформацию тела, либо время, затраченное точкой на смещение вдоль графика У = ф(х, т), и т.д.

Придадим функции ф(х, т) вариацию 5ф и воспользуемся формулой интегрирования по частям (33). В результате получим условие стационарности:

_ё_

¿т

W(x, т, Ф(x, т), p(x, т)) -—Wp — 0, (40)

Wp (x - р Pj ф( x - р P)j Р (x - p Р)) —

— Wp (x, 0, ф(x, 0), p (x, 0)) —

— ФR (x, ф(x, 0) -ф(x -p, p)),

(41)

где индексы обозначают частные производные. Краевые условия имеют вид

ф(0, 0) = фн, ф(х0, т0) = фк, (42)

либо

Тр (0, 0, ф(0, 0), р(0, 0)) = 0,

Тp(x0, т0, ф(x0, т0), p(x0, т0)) — 0.

(43)

В случае (42) предполагается, что вариации ф на границе отсутствуют: начальные и конечные значения ф заданы. Во втором случае (43) вариации ф допускаются.

Рассмотрим пример. Пусть W — W(x, p). Уравнение (40) дает

Тp (x, p (x, т)) — D( x),

где D( x) — произвольная функция. Если зависимость W по второму аргументу является нелинейной, то p = = p(x) и

ф( x, т) — a (x) + p (x) • т. (44)

Здесь a( x), p (x) — произвольные функции. Обратимся теперь к уравнениям (41). Из первого уравнения следует, что p (x - p) — p (x). Если исключить экзотические варианты, когда функция p(x) отлична от постоянной и имеет бесконечно малый период р, то можно считать, что уравнение (41) приводит к следующему решению: p (x) — p — const. Второе уравнение (41) сводится к разностному уравнению относительно функции a (x):

Wp(x? p°)— ФR(x? a(x) - a(x - p) - p0 • p). (45)

Рассмотрим частные случаи. Пусть x0 — 1, ф(0, 0) —

— 0, ф(1, 0) — 1. Следовательно, задача сводится к поиску пути из точки (0, 0) в точку (1, 0), для преодоления которого требуется наименьшее время. При этом сопротивление движению неоднородно и зависит от локального угла наклона траектории движения точки. (Скорость продвижения равна д/1 + p 2 /т (x, p). Подобная ситуация имеет место при движении парусника галсами против ветра.) Предположим вначале, что затраты времени для движения по вертикальным отрезкам являются пренебрежимо малыми. Тогда ФR = 0 и уравнение (45)

дает оптимальный локальный угол наклона траектории. При этом функция a(x) может быть любой, лишь бы она проходила через граничные точки (42). Ситуация будет аналогичной, если движение по вертикальным отрезкам осуществляется с постоянной скоростью (Ф R — const). В остальных случаях решение (45) дает вполне определенную траекторию. Локально любая из траекторий “собрана” из прямолинейных отрезков, которые выстилают определенную гладкую кривую y — a( x).

11. Заключение

В заключение отметим, что необходимость в подобных объектах возникает во многих прикладных областях, таких как теория оптимального управления [10, 11], исследованиях по динамике полета [12], теории пластичности [4], теории обработки металлов давлением [13] и т.д. Так, в работе [13] рассматриваются экстремальные пути нагружения, которые позволяют достичь заданных деформаций тела при наименьших затратах энергии. Тело удовлетворяет обобщенному закону Максвелла. Показано, что траектории нагружения должны включать в себя вертикальные отрезки, которым соответствует “ударная, ковочная” деформация. При этом деформации должны носить пульсирующий характер: чем больше частота пульсаций, тем меньше общая работа. В пределе переключения должны осуществляться с бесконечно большой частотой.

Таким образом, в теории пластичности и в ряде других областей возникают задачи, которые приводят к близким математическим объектам: траекториям нагружения с бесконечно малыми изломами, полям скоростей, которые испытывают разрывы на уровнях различных масштабов, и т.д. Выше показано, что подобные объекты можно конструировать и исследовать с по-

мощью функций, заданных на неархимедовой прямой. Такой подход приводит к естественному и достаточно ясному математическому аппарату, который непосредственно примыкает к классическому анализу.

Работа выполнена в рамках проекта № 99-01-00545, финансируемого Российским фондом фундаментальных исследований.

Литература

1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2 т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.

2. Фракталы в физике / Под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. - М.: Мир, 1988. - 670 с.

3. Альбеверио С., Фенстад Й., Хуэг-Крон Р., Линдстрем Т. Нестан-дарные методы в стохастическом анализе и математической физике. - М.: Мир, 1990. - 616 с.

4. РевуженкоА.Ф. Механика упругопластических сред и нестандарт-

ный анализ. - Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. - 428 с.

5. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Геометрия. Т. 2. - М.: Наука, 1987. - 416 с.

6. Робинсон А. Введение в теорию моделей и математику алгебры. -М.: Наука, 1967. - 355 с.

7. Решетняк Ю.Г. Курс математического анализа. Ч. 1, кн. 1. -Новосибирск: Изд-во Института математики, 1999. - 454 с.

8. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. - М.:

Гостехтеориздат, 1957. - 552 с.

9. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. - М.-Л.: Объединенное научно-техн. изд-во НКТП СССР, 1936. - 176 с.

10. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. - М.: Наука, 1973. - 448 с.

11. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. - М.: Мир, 1974. - 488 с.

12. Кротов В.Р., Букреев В.З., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. - М.: Машиностроение, 1969. - 288 с.

13. Кротов В.Ф., Бровман М.Я. Экстремальные процессы пластического деформирования металлов // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. - 1962. - С. 148-153.