Точное решение уравнений электродинамики для магнитоактивной плазмы в метрике плоской гравитационной волны Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ТГГПУ. 2010. №3(21)

УДК 530.12:531.51; 537.8; 533.9

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ДЛЯ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЫ В МЕТРИКЕ ПЛОСКОЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ ВОЛНЫ

© А.А.Агафонов

В статье получено точное решение уравнений электродинамики для анизотропной магнитоактивной плазмы на фоне метрики вакуумной плоской гравитационной волны (ПГВ) Бонди - Пирани -Робинсона с произвольной поляризацией, обобщающее решение, полученное ранее одним из авторов для случая поперечной поляризации гравитационной волны.

Ключевые слова: гравитационные волны, магнитоактивная плазма, релятивистская магнитная гидродинамика, точные решения.

1. Введение

В работе "Magnetohydrodynamic Equations in a Gravitational Field and Exitation of Magnetohydrodynamic Shok Waves by a Gravitational Wave" Ю.Г.Игнатьевым [1] из требования равенства динамических скоростей плазмы и электромагнитного поля1 на основе уравнений Эйнштейна и уравнений Максвелла были сформулированы уравнения

релятивистской магнитной гидродинамики (РМГД) магнитоактивной плазмы в

гравитационном поле. В этой же работе был найден замечательный класс точных решений полученных уравнений РМГД, описывающий движение магнитоактивной локально изотропной плазмы в поле плоской гравитационной волны (ПГВ) и названный гравимагнитными ударными волнами (GMSW). Найденный класс решений, во-первых, описывает существенно-нелинейные процессы, которые отсутствуют в линейном приближении магнитной гидродинамики; во-вторых, - существенно релятивистские процессы в смысле преобладания безмассового электромагнитного компонента в

магнитоактивной плазме.

В исследовании "Gravimagnetic Shock Waves and Gravitational Wave Experiments" доказывается, что GMSW в магнитосферах пульсаров могут являться высокоэффективным детектором гравитационного излучения нейтронных звезд [2]. В частности, наблюдательным проявлением перекачки энергии гравитационной волны в энергию GMSW могут являться так называемые гигантские импульсы, спорадически

возникающие в излучении ряда пульсаров. Оценки, сделанные в работах "Gravimagnetic

1 Это требование полностью эквивалентно условию бесконечной проводимости плазмы [1].

Shock Waves and Gravitational Wave Experiments" и "GMSW as a Detector of Gravitational Waves" [2; 3], позволяют интерпретировать гигантские импульсы в излучении пульсара PSR B0531+21 как излучение гравимагнитных ударных волн, вызванное гравитационным излучением этого пульсара на основной квадрупольной моде нейтронной звезды. В действительности, пока трудно говорить о достоверности идентификации гигантских импульсов как электромагнитных проявлений развившейся в магнитосфере пульсара гравимагнитной ударной волны, и тем самым однозначно связать эти импульсы с гравитационным излучением пульсаров. Тем не менее, сама идея об анализе особенностей электромагнитного излучения компактных астрофизических объектов на предмет выявления влияния на это излучение гравитационных волн от самих же объектов представляется нам весьма плодотворной для решения проблемы детектирования

гравитационных волн.

Принципиальная важность для теории гравитации GMSW, как прямого эффекта конвертации энергии гравитационных волн в электромагнитную энергию, приводит к необходимости более детального и всестороннего исследования этого явления. В своей работе "Kinetic Model of GMSW in an Anisotropic Plasma" [4] Ю.Г.Игнатьев на основе релятивистской кинетической теории дает строгое обоснование гидродинамической теории GMSW. В исследованиях [1; 2; 3] показано, что GMSW реализуется в существенно бес-столкновительной, неравновесной плазме, находящейся в аномально сильных магнитных полях. Исследование, проведенное Ю.Г.Игнатьевым и Д.Н.Гороховым [5], выявило сильную зависимость процесса GMSW от степени анизотропии плазмы, что привело к необходимости построения динамической модели движения анизотроп-

ной магнитоактивной плазмы в поле гравитационного излучения.

Однако, при всем разнообразии моделей плазмы во всех цитированных работах исследовался лишь случай монополяризованной гравитационной волны с поляризацией е+. При

этом было показано, что случай монополяризованной гравитационной волны с поляризацией ех сводится с помощью преобразований координат и физических величин к случаю поляризации е+ . Однако случай одновременного существования двух поляризации гравитационной волны остался неисследованным. В этой статье мы рассмотрим именно такой случай. При этом удалось снять ряд дополнительных условий, с помощью которых в [1] была установлена форма потенциала электромагнитного поля в магнитоактивной плазме, и тем самым придать полученным ранее результатам более общий характер. Везде в статье принята система единиц, в которой: (c = G = Й = 1).

2. Самосогласованные уравнения релятивистской магнитной гидродинамики в гравитационном поле

2.1. Условие вмороженности магнитного поля в плазму

В статье "Magnetohydrodynamic Equations in a Gravitational Field and Exitation of Magnetohydrodynamic Shok Waves by a Gravitational Wave" [1] в предположении равенства динамических времениподобных скоростей, v1, плазмы и электромагнитного

поля1 :

p f

Tij vJ = Sp vt; T ij vJ = £f vt; (v,v) = 1 (1)

на основе сохранения полного тензора энергии-импульса плазмы и электромагнитного поля . . p .. f..

Tij = t i + T 4 (2)

T j = 0 (3)

получена полная самосогласованная система уравнений релятивистской магнитной гидродинамики магнитоактивной плазмы в произвольном гравитационном поле,

описывающая движение релятивистской плазмы и электромагнитного поля в заданном гравитационном поле.

В частности, было показано, что при положительности первого инварианта

электромагнитного поля:

1 Индекс " p " относится к плазме, индекс " f " - к полю, запятой обозначены ковариантные производные.

1пу1 = Е^ = 2Н2 > 0 (4)

и равенстве нулю второго инварианта:

*

1пу2 = Гу Ец = 0 (5)

необходимым и достаточным условием разрешимости уравнений (1) является условие вмороженности магнитного поля в плазму, т.е. равенство нулю сопутствующей напряженности электрического поля Е ^:

Е = Г,.,.у а =0. (6)

В формулах (4)-(6) и далее: Га -

*

антисимметричный тензор Максвелла, Гу -дуальный к нему тензор:

г а =\щиРш, (7)

где Цщ - ковариантно постоянный

дискриминантный тензор (тензор Ьеу>С1уйа) [8].

При выполнении условий вмороженности (6) условие совпадения динамических скоростей (1) выполняется независимо от (4)-(5). Одним из авторов на основе строгой кинетической модели плазмы было показано [4], что условие вмороженности (6) фактически является следствием дрейфового приближения, т.е. малости Ларморовской длины для электронов, Яе = с/ос, по сравнению с характерным масштабом неоднородности, г :

.с еН

Л =------< 1; (Ос =----, (8)

ГОе те

где ос - Ларморовская частота для электронов.

2.2. Самосогласованные уравнения магнитной гидродинамики

Полная самосогласованная система

уравнений релятивистской магнитной

гидродинамики (РМГД) для плазмы в гравитационном поле, полученная в [1], состоит из уравнений Максвелла первой группы:

Г Лк = 0; (9)

уравнений Максвелла второй группы:

Г % = -4/ (10)

с пространственноподобным дрейфовым током:

2Г^% т 1

•4=----------т; (/ / )<0 (11)

г. Гат

* ]т*

и закона сохранения полной энергии-импульса системы:

=0. (12)

Вследствие уравнений (10) автоматически выполняется уравнение непрерывности для дрейфового тока:

/ г ,/ = 0. (13)

Отметим также ряд полезных строгих следствий уравнений магнитной гидродинамики:

*

(14)

Fik Jdr = 0;

. p

vT f,k =0; ,p

(15)

Ei = Fji vJ; Ht = Fji vj,

так что:

(E, E) = -E2; (H, H ) = -H2;

(17)

(1S)

можно выразить через

пространственноподобных сопутствующих напряженностей [7]:

Fij = viEj- v jEk -nijklvkH;

причем:

fj = viHj- vjHk + njklvkE,

1 ■. 1 * * ■.

_Fj^ =2fijF J=

= (E, E) - (H, H) = H2 - E2;

1

2ilJ

-FjF 1 = (E,H).

Тензор энергии-импульса

электромагнитного поля:

f ' 1 ^f^ ^l 1 1 ?i T?lm ]

4n \

Tk= —\ FlFk +-5kF"nFlm

f

1

Tlk = - ІП

(Sk - 2vlvk )H2 + 2HlHk)

(24)

f f

T = T i = 0.

(25)

Легко проверить, что и вектор V и пространственноподобный орт магнитного поля

к

'j = ^; (h, h) = -1; (v,h) = 0 H

действительно

являются

f

ИЧІь =0. (16)

2.3. Представление тензора Максвелла через сопутствующие напряженности

Компоненты тензора Максвелла удобно представить через пару

пространственноподобных векторов

сопутствующей напряженности

электрического, Еі (6), и магнитного, Нг-, поля

[7]:

векторами тензора T

f

ik

гг i k i

T kv = fHv ; Tikhk = fHhl,

где

fH

H 2 Sn

(2б)

собственными

(27)

(2S)

(29)

(v,E) = 0; (v,H) = 0.

Тогда тензор Максвелла и дуальный к нему

пару

векторов

(19)

(20)

(21)

(22)

(ТЭИ)

(23)

также можно представить через тройку векторов V,Е,Н (см. [1]). В интересующем нас случае равенства динамических скоростей плазмы и электромагнитного поля (1) ТЭИ представляется через пару векторов, V,Н [1]:

- плотность энергии магнитного поля.

2.4. Тензор энергии-импульса

магнитоактивной плазмы

Тензор энергии-импульса релятивистской анизотропной магнитоактивной плазмы в гравитационном и магнитном полях имеет вид (см., например, [5]):

Т У = (е + р± )у у - р±+

+(Р|| - Р±)к1к],

где р_1, рц - давление плазмы в ортогональном и

параллельном магнитному полю направлениях. След тензора энергии-импульса (30) равен:

Р Р .

Т = Т\= е-р±- 2 Р|| > 0 (31)

и поскольку он неотрицателен, выполняется соотношение:

Р± + 2Р|| ^ е (32)

Нетрудно также убедиться в том, что векторы у и к также являются собственными векторами и тензора энергии-импульса плазмы (см. (27), (28)):

k

Г Itt , J ,

vk = fv;

Tikhk = - piih1.

(33)

(34)

З. Решение уравнений РМГД в метрике ПГВ 3.1. Метрика плоской гравитационной волны

Метрика вакуумной ПГВ имеет вид (см., например, [9]):

ds2 = 2dudv - L2d Е2, (35)

где:

так что:

d Е2 =ch2Y(e2в(dx2)2 +

+е_2в (dx3 )2) - 2sh2Ydx2 dx3 .2 ..З'

(3б)

vv (u й 0) = vu (u й 0) = 1Л/2;

- метрика "плоскости" (x ,x ); в^), Y(u) -амплитуды поляризаций e+ и ex,

соответственно;

u = -i-(t - x1)

L'' + L(ch2 2ув'2 +y'2) = 0.

(37)

2 3

При инверсии координат в плоскости (х , х ) и преобразовании амплитуды ПГВ:

х2 = х'3; х3 = х'2; в = -в; / = 7 (38)

двумерная метрика переходит сама в себя. При

2 3

повороте в плоскости (x ,x ) на "угол" п/4:

(39)

x2 = -U(x'2 + x'3); V2

(40)

Для слабой гравитационной волны: \в(и)| < 1;| y(u )|< 1;

L2 (u ) = 1 + O 2(| в, Y |)

(41)

поворот (39) эквивалентен преобразованию: в = 7; 7' = -в. (42)

3.2. Начальные условия Пусть в отсутствие ПГВ (и < 0) : в(и < 0) = 0; в (и < 0) = 0; Ь(и < 0) = 1, (43)

плазма однородна и покоится:

1 Штрих означает дифференцирование по запаздывающему времени u.

(44)

1 , К

запаздывающее, V = —=у + х ) - опережающее л/2

время. Амплитуды ПГВ - произвольные функции запаздывающего времени и , а фоновый фактор ПГВ, Ь(и), определяется единственным нетривиальным вакуумным уравнением

Эйнштейна1:

х3 =-^( х '3 + х '2)

>/2

двумерная метрика преобразуется к виду: ё Е '2 = (сЬ27сЬ2в + зЬ27)(^х '2)2 +

+(еЬ27сЬ2в- да2у)(ёх,3)2 +

+2сЬ 278Ь 2вёх '2 ёх '3.

При в = 0, т.е. в случае ПГВ с единственной поляризацией ех , получим из (40):

ё Е '2 = е27 (ёх '2)2 + е“27 (ёх '3)2

- метрику ПГВ с единственной поляризацией

v2= v3 = 0;

s(u < 0) = s;

0

p|l(u < 0) = p\\;

0

pi (u < 0) = p±,

а однородное магнитное поле направлено в

плоскости {х1, X 2}:

0 0

H1(u < 0) = H cos Q; H2 (u < 0) = H sin Q;

H3(u < 0) = 0; Ei(u < 0) = 0,

где Q - угол между осью Ox1 (направлением распространения ПГВ) и вектором напряженности магнитного поля H .

Как мы отмечали выше, в цитированных работах [1-6] исследовалось действие ПГВ с поляризацией е+ на однородную плазму с начальными условиями (44)-(45). С учетом указанных в разделе 3.1 свойств преобразования метрики это означает, что ранее было исследовано действие монополяризованной ПГВ на однородную плазму в случае параллельности проекции вектора начальной напряженности магнитного поля, H , на плоскость фронта ПГВ и оси поляризации. При этом нет принципиальной разницы между случаями, когда эта проекция

2 3

совпадает с направлением х или х -достаточно лишь сделать замену (38), - ни между выбором состояния поляризации е+ или ех, - в этом случае поворотом в плоскости фронта ПГВ на угол п/4 совместно с поворотом вектора напряженности магнитного поля - один случай можно свести к другому. Для полного понимания механизма взаимодействия сильной ПГВ с анизотропной магнитоактивной плазмой принципиально важно исследовать

комбинированную ситуацию, когда ПГВ имеет сразу две поляризации, а проекция вектора напряженности магнитного поля на плоскость фронта ПГВ параллельна оси одной из них. Этому случаю и соответствуют начальные условия (44)-(45).

3.3. Симметрии задачи

Как известно, метрика (35) допускает группу движений G5, которой соответствует три линейно независимых в точке вектора Киллинга:

? = К; ? = 4; ? = ^3.

(1) (2) (3)

(4б)

e+ .

Вследствие существования векторов Киллинга в метрике автоматически сохраняются при движениях вдоль направлений Киллинга все геометрические объекты, в том числе символы Кристоффеля, тензор Римана, тензор Риччи, а следовательно, и - тензор энергии-импульса магнитоактивной плазмы:

L gj = 0;^ L Rij = 0;^ L Tij = 0,

La La La

(47)

где L Tj - производная Ли в направлении L :

L Tij = Tj,kLk + TkjL + TkLJ.

(4S)

Потребуем далее, чтобы симметрию

наследовали по отдельности тензоры энергии-

Р

импульса плазмы, Ту, и электромагнитного /

поля, Т у :

L T. =0;

La

f —

L Tij =0; (a = 1,3).

La

Следствиями (50) являются:

*

L Fjj = 0, L Fj =0 ^

La J La

L H = 0, L E. = 0, L H. = 0.

La La La

Следствиями (49) и (51) являются:

L f = 0, L vl =0,

(49)

(50)

(51)

L p± = 0,L p|| =0.

La La

(52)

Таким образом, все физически наблюдаемые величины Р наследуют симметрию метрики (35):

L P = 0; (a = 1,3),

La

(53)

Av Au A2 0;

0 1 2 (56)

A3 = H(x sin Q- x cos Q); (u < 0).

Этим условиям соответствуют следующие начальные значения тензора Максвелла:

0

F23(u < 0) = -HcosQ;

1 0

Fv3 (u < 0) = —j= H sin Q; v2

Fv2(u < 0) = 0;

Fu2(u < 0) = 0;

Fu 3(u < 0)=--j2i7sin Q;

Fuv (u < 0) = 0.

Как известно, первую группу уравнений Максвелла (9), являющуюся следствием существования векторного потенциала, можно записать в форме:

(57)

(5S)

g

Учитывая (55), получим отсюда:

*

L2 f ua= c(a) (= Const); a = {v,2,3},

Полагая здесь и в дальнейшем следующий порядок перечисления координат:

(59)

Coords :=

2 3

v, u, x , x

(б0)

установим связь компонентов тензора Максвелла с компонентами дуального к нему тензора:

* 1

= --^ ^23;

L

Fu 2=^- Fv3;

L

F u3= —ItFv2;

т.е. с учетом явного вида векторов Киллинга

(46):

р = р(и); е = е(и); уг = уг (и); (54)

Гк=Гк(и); Н = Н(и); к к (и). (55)

3.4. Тензор Максвелла

В этом разделе мы получим выражение для векторного потенциала электромагнитного поля в метрике с учетом начальных условий (44)-(45) методом отличным от использованного в работе [1] и основанным только на уравнениях Максвелла первой группы и начальных условиях, и поэтому имеющему большую общность. Начальным условиям (45)

соответствует векторный потенциал:

L

(б1)

Fv2=-r Fu3;

L

F v3=— F 2

J 0 u 2’

L2

* 1

F 23= —— F

uv

L2

Тогда начальные условия (45) дают:

2 * 0

L2 F uv = -F23 = H cos Q;

* 10

L2 F u2= Fv3 = -=H sin Q;

v3

(б2)

(б3)

L2 F u3= -Fv2 = 0.

(б4)

Таким образом, второй инвариант

электромагнитного поля равен:

1пу2 = Г1кГ ' = ~(Ги2 - Г23Гт), (65)

I2

так что условие (5) равенства нулю второго инварианта электромагнитного поля с учетом (63), (64) сводится к соотношению:

I2 Г ^ Ги2= -42Гиу0180. (66)

Как известно (см., например, [10]), первая группа уравнений Максвелла эквивалентна условию существования векторного потенциала

4:

Г1к = д'Ак -дк4. (67)

Заметим, что в отличие от тензора Максвелла компоненты векторного потенциала А могут

зависеть от переменных V, х2, х3. Запишем соотношения (62)-(66) относительно векторного потенциала А', используя определение тензора Максвелла (67):

0

дзA2 - д2A3 = H cos Q;

10

дvA3 - дзAv = —= H sin Q; V2

^S)

(б9)

дvA2 -д2Av =0; (70)

^2 - д 2 Au = ^tig^uA - ). (71)

Вводя новые функции:

- 0 3

A2 — A2 — H cos Q x = A2 — S A2

0

(72)

Av = Av +H sin Qx3 = Av -SAv, (73)

V2

где:

A3 A3,

0

SA2 = H cos Q x

3

1

0

SAv = —j= H sin Q x ;

(74)

(75)

8А3 = 0,

придадим соотношениям (68) и (69) вид, аналогичный (70):

с^3 А2 — д 2 А3 = 0; (76)

дгА3 -д3=0. (77)

Заметим, что перенормировка компонентов векторного потенциала (72), (73) сохраняет неизменным соотношение (70). Но тогда систему уравнений (70), (76), (77) можно записать в виде: д^-д^ =0; (сг,£ = у,2,3) (78)

и рассматривать как уравнения на трехмерной

3 2 3

гиперповерхности V ={v, х , х }. Как известно, единственными решениями уравнений (78) на V3 являются градиентная функция:

Аа = даФ, (а = v,2,3), (79)

где - Ф = Ф(u,v, х , х ) произвольная скалярная функция. Заметим, что начальным условиям (56) соответствует следующее значение

потенциальной функции:

Ф^ < 0) = х3 H^-1-(v-u)sinQ - х2 cosQ^. (80)

Таким образом:

Ax = д^Ф + КАг (81)

Как известно (см., например, [10]), на 4 компонент векторного потенциала можно наложить одно калибровочное условие. Выберем это условие в виде, соответствующем начальным условиям (56):

А, =0. (82)

Тогда для не сохраняющихся компонент тензора Максвелла Fux справедливо

представление:

Fux = дыаФ; =v,2,3). (83)

Но тогда условие (71) может быть записано в виде:

ди (А2 +V2ctgQAv) = 0. (84)

Интегрируя (84) с начальными условиями

(56), найдем:

А2 +V2ctgQAv =0. (85)

Учитывая теперь тождество:

8А2 + jlctgQS Av = 0, (86)

получим из (85) линейное дифференциальное уравнение:

д 2Ф + ^/2ctgQдvФ = 0, интегрируя которое, найдем:

Ф = Ф^л/2^т Q- х2 cos Q, u, х3), (87)

где Ф - произвольная функция своих аргументов. Используя теперь начальное условие (80), получим окончательно:

Ф = х3 H f-^(v - <//(u)) sin Q - х2 cos q], (88)

где

.л/2

у(и) - произвольная функция

запаздывающего времени, удовлетворяющая

начальному условию:

у (и < 0) = и. (89)

Таким образом, окончательное выражение для компонент векторного потенциала

принимает вид:

A2 = Av = Au =0;

A3 = H |^^^(v-'(u))sin Q-x2cos Q^j. (90)

Компоненты тензора Максвелла

относительно потенциала (90) равны:

F =0; F =0;

vu 2u

1 0

F3u =72H'sin Q;

F2v = 0; F3v = —— H sinQ;

10

(91)

(92)

F23 = - H cos Q и определяются лишь одной неизвестной функцией y(u). Для компонент дуального тензора Максвелла (7) найдем:

F vu=-2Я cos Q;

I2

*2 1 0

F 2u = --^ H sin Q;

*

F 3u =0;

* 2 1 0 F 2v= ^^Hy' sin Q; v2I2

jp 3v =0; ,F23=0.

3.5. Сопутствующие напряженности и условие вмороженности поля

Определим теперь согласно (17) компоненты вектора сопутствующей напряженности

электрического поля, Ei:

1 0 3

Ev = —j= H sin Q v ;

v V2

1 0 3 Eu = —j= H ' sin Q v ; V2

(93)

E2 = H cos Q v

3

более общей метрики гравитационной волны, и получены они при более слабых предположениях. В цитированной работе, в частности, для получения явного вида компонент тензора Максвелла и вектора скорости проводился анализ компонент дрейфового тока и использовался закон сохранения этого тока. Как показали вышеприведенные вычисления, для достижения этой цели достаточны три предположения: 1. наследование симметрии

пространства по отдельности тензором импульса электромагнитного поля и тензором энергии-импульса плазмы; 2. равенство нулю второго инварианта тензора Максвелла;

3. вмороженность магнитного поля в плазму. При этом достаточен анализ первой группы уравнений Максвелла и начальных условий.

Вычисляя далее ковариантные компоненты дуального тензора Максвелла с учетом (92), найдем:

0

I Н О

Рт = ^-со8 О;

I2

Fu 2 = -He2вch2yly' sin Q;

Fv2 = -

0

H

Ж

0

H

2в

ch2ysin Q;

(95)

Fv3 =—;=sh2ysin Q; V2

0

H

Fu3 = —j= sh2yw' sin Q; V2

Г23 = 0.

Ковариантные компоненты вектора напряженности магнитного поля относительно тензора Максвелла (92) равны:

0

H

1 0 0 2 Ез=—HsinQ(vv-'vu)-HcosQ v . v2

Таким образом, условия вмороженности магнитного поля в плазму (б) принимают вид:

3

v =0;

1 2 (94)

—j=(vvy'-vu)sinQ + v cosQ = 0. v2

В итоге ковариантные, контрвариантные компоненты тензора Максвелла и компоненты дуального тензора, а также контрвариантные компоненты вектора скорости определяются выражениями, полученными в [1], но уже для

Hv = -H|vvcosQ + -^v2sinQ І; (9б)

0

Hu = L21 vucos Q—^vV 'sin QІ; (97)

1 2 ' •

л/Ґ

1 0 2R

H2 = —-j= H ch2ye в sin Q(vv' + vu); (9S)

v2

H 3 = —^ H sh2ysin Q(vv' + vu). (99)

V2

При этом легко показать на основе формул

(92):

H3 = F l3vt = 0,

(100)

т.е. третья контрвариантная координата вектора напряженности магнитного поля, как и вектора динамической скорости плазмы, равна нулю. Легко также убедиться в ортогональности векторов динамической скорости и напряженности магнитного поля (18):

И, Vі =0. (101)

Квадрат напряженности магнитного поля, т.е.

скаляр И2, проще всего вычислить с помощью соотношения (21), используя явную форму контрвариантных, (92), и ковариантных, (95), компонент дуального тензора Максвелла:

0 „

И 2= И

■(LУch1ye1вsm1a + cos1Я). (102)

vv cos Q -

' v2

1

и

sin Q

H 2 T4 sin

—vv L----;

2Q

L2ch2ye

2в

(103)

H

2

Jd r= -

1

Тогда:

2 du (L Fiu).

4nL

JdVr= Jdur=0,

0

H sin Q

2f2nl}

ch2y-y ',

(104)

(105)

(106)

H sin Qelв

(sh2yy' + ch2y•в). (107)

0

H

2

(Jdr,H) = 2(vv^' + vu )(/ -вsh4r)- (108)

4nL2 2

Таким образом, наличие второй поляризации

гравитационной волны приводит к нарушению

ортогональности векторов плотности дрейфового

тока и напряженности магнитного поля1.

1. Ignat’ev Yu.G. Magnetohydrodynamic Equations in a Gravitational Field and Exitation of Magnetohydrodynamic Shok Waves by a Gravitational Wave // Grav. Cosmol. - 1995. - Т.1. -№4. - С.287-300.

2. Ignat’ev Yu.G. Gravimagnetic Shock Waves and Gravitational Wave Experiments // Grav. Cosmol. -1996. - Т.2. - №4. - С.345-360.

3. Ignat’ev Yu.G. GMSW as a Detector of Gravitational Waves // Phys. Lett. - 1997. - №A230. - С.171-176.

4. Ignat’ev Yu.G. Kinetic Model of GMSW in an Anisotropic Plasma // Grav. Cosmol. - 1997. - Т.3. -№4. - С.254-260.

5. Ignat’ev Yu.G., Gorokhov D.N. Gravitational Magnetic Shock Waves in Anisotropic Plasma // Grav. Cosmol. - 1997. - Т.3. - №4. - С.261-265.

6. Ignat’ev Yu.G. On Gravimagnetic Shock Waves // Grav. Cosmol. - 1996. - Т.2. - №2. - С.174.

7. Захаров А.В., Игнатьев Ю.Г. О распространении

излучения в плазме, находящейсяв

гравитационном поле. I. Построение общерелятивистского тензорного оператора эле6ктропроводности // Изв. ВУЗов: Физика. -1976. - Т.19. - №9. С.57-62.

8. Синг Дж.Л.. Общая теория относительности. -М.: Иностр. лит., 1963 - 432 с.

9. Мизнер Ч., Торн. К., Уилер Дж. Гравитация. - М.: Мир, 1977. - Т.3. - 510 с.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. - М.: Наука, 1988. - 512 с.

I4

Условия вмороженности магнитного поля в плазму (94) устанавливают связь между ненулевыми контвариантными компонентами

вектора скорости V2, Vу = Уи, Vй = . Кроме того,

имеется еще соотношение нормировки вектора скорости (1). Поэтому, фактически, независимой остается лишь одна координата вектора скорости, а электромагнитное поле определяется одной неизвестной функцией запаздывающего времени, у/(и). Заметим, что соотношение нормировки вектора скорости (1) с помощью (96)-(102) может быть представлено в эквивалентной форме:

-|2

3.6. Дрейфовый ток

Вычислим компоненты дрейфового тока с помощью уравнений Максвелла (10), учитывая зависимость компонент тензора Максвелла только от запаздывающего времени (55):

2-Ллі}

Вычисляя с помощью (98), (99), (105), (106), (107) скалярное произведение вектора напряженности магнитного поля и вектора плотности дрейфового тока, найдем:

1 Напомним, что в случае монополяризованной грави-

тационной волны эти пространственноподобные век-

торы взаимно ортогональны [1].

THE EXACT SOLUTION OF ELECTRODYNAMIC EQUATIONS FOR THE MAGNETOACTIVE PLASMA ON THE BACKGROUND OF PLANE GRAVITATIONAL WAVE

A.A.Agathonov

The exact solution of electrodynamic equations for the anisotropic magneto active plasma on the background of Bondi - Pirani - Robinson metric for vacuum plane gravitational wave with arbitrary polarization was obtained. This generalizes the results earlier obtained by one of the authors in the case of gravitational wave with e+ polarization.

Key words: gravitational waves, magnetoactive plasma, relativistic magnetohydrodynamics, exact solutions.

Агафонов Александр Алексеевич - ассистент кафедры геометрии и математического моделирования Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.

E-mail: a.a.agathonov@gmail.com