Распространение света в сильном внешнем магнитном поле с учетом квантовых поправок Текст научной статьи по специальности «Физика»

14

ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2009. № 2

Распространение света в сильном внешнем магнитном поле с учетом квантовых поправок

И. С. Гринин

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет,

кафедра квантовой статистики и теории поля. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: wan_gritiiti@hotmail. com

Решены линеаризованные уравнения движения для поля электромагнитной волны во внешнем магнитном поле для конфигурации эксперимента PVLAS в рамках низкоэнергетического приближения квантовой электродинамики. Показано, что скорость распространения волны зависит от начального направления ее плоскости поляризации. Найдены законы дисперсии, соответствующие волнам со взаимно перпендикулярным направлением поляризации. Получена зависимость эллиптичности поля лазерного излучения от начальной поляризации и значения внешнего магнитного поля, а также найдено значение параметра эллиптичности для конфигурации системы, использованной в эксперименте PVLAS.

PACS: 12.20.Ds.

Ключевые слова: квантовая электродинамика.

Статья поступила 11.01.2008, подписана в печать 17.03.2008.

Введение

В настоящей работе проведено исследование распространения электромагнитной волны в сильном внешнем магнитном поле. Коллаборацией PVLAS (Polarizzazione del Vuoto con LASer) был проведен ряд экспериментов [1-2], в которых изучался эффект влияния сильного внешнего постоянного магнитного поля, направленного перпендикулярно оси распространения лазерного луча, на изменение его поляризации. Сначала для объяснения результатов, полученных в эксперименте, членами коллаборации была принята гипотеза существования поля аксионов в рамках парадигмы «темной материи». При этом также утверждалось, что стандартных квантово-электродинамических поправок недостаточно для объяснения полученных результатов (однако потом это заявление было признано преждевременным [2]). Поэтому представляется интересным рассчитать эти эффекты с учетом поправок квантовой электродинамики в условиях данного эксперимента. Хорошо известно, что в низкоэнергетическом пределе в эффективном лагранжиане в квантовой электродинамике появляются два дополнительных члена — лагранжианы Илинга [3] и Эйлера-Гейзенберга [4] (см. также [5-6]). Из полного лагранжиана следуют нелинейные уравнения движения, которые естественно линеаризовать по полю лазерного излучения. Следует отметить, что лагранжиан электродинамики с добавками Илинга и Эйлера-Гейзенберга широко используется, в частности, для изучения нелинейных эффектов электродинамики в сильных полях, например создаваемых пульсарами [7].

1. Лагранжиан, уравнения движения

Исходным моментом рассмотрения является низкоэнергетический эффективный лагранжиан, который представляет собой сумму классического лагранжиана электромагнитного поля и лагранжианов, соответствующих петлевым квантовым поправкам — лагранжиана Илинга (собственная энергия фотона) и Эйлера-Гейзен-берга (рассеяние света на свете). Данные лагранжианы приведены в работе [6]:

C = --FiaiFi»'-

С\ЕШПЕ^ ■

, (1)

где тензор электромагнитного поля

р¡IV ■— дргА^

d,Av =

(0 -Ех -Еу -Ег\

Ех 0 Ну

Еу нг 0 -нх

— Ну нх 0 )

Р^ = ^е^^Рре — тензор, дуальный к Е^, □ = дид" — оператор Даламбера, Си. = , а = — постоянная тонкой структуры, т — масса электрона.

Варьируя действие и приравнивая вариацию к нулю, как того требует принцип наименьшего действия, 55 = 81С йАх = 0, получаем нелинейные уравнения движения

dvF'lv ■

4 Си

т2

dvUF>w

8а2 90т41

dv(FpaF^Fn

56 а2 360т41

dv(FpaF^Fn = 0. (2)

Как было отмечено выше, будем рассматривать систему, представляющую собой электромагнитную волну, распространяющуюся в сильном внешнем постоянном магнитном поле. Для изучения влияния внешнего поля на характеристики волны нам достаточно исследовать линейные по полю излучения уравнения. Таким образом, представим тензор Е1*" в следующем виде:

piiv _ gPv рг^

(3)

где тензор В^ описывает сильное внешнее магнитное поле, а — поле лазерного излучения. Уравнения движения (2) принимают вид

dvB'lv

4 С

m¿

8 а2 90m4

dv(BpaB^B^)

т

2

56а2 360m4

dv(BpaB^B^)+dvf

[IV

4 С и т2

ад

[IV

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

15

8а

¡iv _

- 90^4'дР (2Я^Я"" + /^/""Я"" + Я^Я"7 56а2

+2В^РТНрсГГ) ~ зё^рг-

+ я^я"7"" + + = о. (4)

Очевидно, что внешнее магнитное поле можно полагать классическим:

^Я"" = 0.

Используя тождество Бьянки = 0 и пренебрегая

членами выше первого порядка по полю ¡^, получим линейные уравнения для поля лазерного излучения

то члены вида

f/iV ,

16а2 112а2

- Збо^т5"^/^'"'= 0. (5)

Для проверки этого результата представление (3) для тензора Е1*" было подставлено в исходный лагранжиан (1) и удержаны члены, квадратичные по полю f^lV. Уравнения движения, полученные с использованием такого лагранжиана второй вариации, полностью совпали с уравнениями (5), что служит дополнительной проверкой правильности проведенных вычислений. Таким образом, мы получили линейное уравнение движения для поля лазерного излучения.

2. Дисперсионные уравнения

Выберем систему координат, в которой внешнее поле В = Я/ направлено вдоль оси у, а лазерное излучение распространяется вдоль оси 2. Тогда

fPv_

/0 -Ех -Еу 0 \ /0 0 0 0\

Ех Еу 0 0 0 0 Ну -нх , B'iV= 0 0 0 0 0 0 я 0

\° -Ну Нх 0 \0 ^я 0 о)

( 0 -Ну 0) /0 0 ^я 0\

Нх Ну 0 0 0 0 -Еу Ех , B'lv= 0 я 0 0 0 0 0 0

{0 Еу -Ех 0 / \0 0 0 0/

Резонно полагать, что сильное магнитное поле вносит в пространство анизотропию, связанную с выделенным направлением вдоль оси у. Следует отметить, что аналогичные эффекты имеют место в оптических явлениях двойного лучепреломления или в эффекте Фарадея. В связи с этим представим поле лазерного излучения в виде двух линейно поляризованных волн с разными волновыми векторами kx, ky и одинаковыми частотами их=и2=и, плоскости поляризации волн параллельны осям х, у:

Ex(t) = Ех exp(ikxz — iut), Hy(t) = Ну exp(ikxz — iut);

Ey(t) = Ex exp(ikyZ — iut), Hx(t) = Ну exp(ikyz — iut).

(6)

Воспользовавшись уравнением Максвелла rot E = = —dH/dt, которое следует из самого определения тензора F"", получаем Ну = ^Ех , Нх = ~ЕУ.

Так как

B^B,V = 2Я2, В^Г = 2ВНу, В^Г = —2ВЕу,

dv{Bparwv= (о 2В2д-§

о о

dABjnB'iV= о о

о р2 Щ

dt

о

дают вклад только в компоненты ц = 1 и ц = 2 уравнения (5) соответственно. Остальные компоненты этого уравнения тождественно равны нулю. Для удобства обозначим

, — ( 1 — . Л2 = ^,

Л3 =

16а 2 90т4

32 oi о ■Я ,

т"

А\ —

224а2 „о -Я .

90т4 ' 360т4

В представлении (6) уравнение (5) расцепляется на два нетривиальных уравнения для волновых векторов к\ и к2 (как уже было отмечено, компоненты ц = 0 и ц = 3 этого уравнения дают тождества):

ц=1: А\(1г\ - и2) — Л2(йf - и2)2 — Аф\ =0,

ц = 2: Л, (к22 - и2) - А2(4 - и2)2 - Л4ш2 = 0.

Таким образом, мы получили дисперсионные уравнения, характеризующие зависимость волновых векторов от частоты лазерного излучения для двух электромагнитных волн с перпендикулярными плоскостями поляризации, распространяющихся в сильном внешнем магнитном поле.

Делая замену х\ = к2 — и2 и х2 = к2 — и2, имеем квадратные уравнения

Л2х? -(Л1 ^Л3)х, — А$и2 = 0, А2Х2 - А\Х2 - Л4Ш2 = 0, решения которых имеют вид:

Л, - Л3 ± у/(Ах — Л3)2 + 4Л2Лзш2

XI

Х2 :

2Л2

Ах ± \JA2 + 4Л2Л4ш2 2Лг '

(7)

Решения, соответствующие знакам « + » в формулах (7), — нефизические, так как они отвечают электромагнитным волнам, распространяющимся со скоростью, значительно превышающей скорость света в вакууме. Появление таких решений неудивительно, так как эффективный лагранжиан содержит член с высшими производными. Однако это не приводит к противоречиям, поскольку лагранжиан (1) отвечает низкоэнергетическому приближению.

Итак,

й = ь?-

¿1 - Л3 - У/(Ах - А3)2 + 4Л2Л3^2 2Л2

Ах - sJA2 + 4Л2Л4ш2 2А2 '

Проведем расчет коэффициентов Ль Л2, Л3, Л4, подставляя данные, используемые в эксперименте РУЬАБ [1]: напряженность поля Я и 2.5 Т, длина волны Ли 1000 нм. Выбрана система единиц, в которой Н = с = 1, и в этих единицах

Ах

0.25-10

-22

Л2 и 0.6 • 10 ГэВ ,

8 ВМУ. Физика. Астрономия. № 2

16

ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2009. № 2

Л3 и 0.5- 10

-22

Л4Й0.9- 10'

-22

Осуществляя разложение по малым параметрам у4з , А4 и А] — 1 вплоть до первого порядка малости, имеем

¿2 = (1-Л3)«Л ¿! = (1^Л4)Ш2.

Отметим, что те же результаты мы бы получили, вообще не используя член Илинга в исходном лагранжиане (1). Коэффициент А2, который появляется в результате добавки Илинга к классическому лагранжиану, будет давать весомый вклад при гораздо больших значениях внешнего магнитного поля, чем то, которое определяют коэффициенты Л3, Получение таких магнитных полей в искусственных условиях, на Земле во всяком случае, пока невозможно. Однако соответствующие поля могут наблюдаться, например, в пульсарах.

Таким образом, мы имеем две линейно поляризованные волны, распространяющиеся с разными скоростями. Можно считать, что волны распространяются в анизотропной среде с разными «показателями преломления» fj-и ||. В соответствии с этим, если начальная плоскость поляризации луча не параллельна осям, то на выходе из установки мы получим эллиптически поляризованную волну.

3. Расчет эллиптичности

Опираясь на проведенный эксперимент PVLAS [1, 2], рассчитаем изменение эллиптичности лазерного излучения на расстоянии 1 м после входа в установку. Входящий в установку свет предполагаем линейно поляризованным. Итак,

Ех = Eq eos (a) cos(k{ z - ut),

Ey = £0 sin(a) cos(&2z - ut) = (8)

= £0 sin(a) cos(k\z —ujt + 5(z)),

где ó(z) = (k<2 — k\)z. Преобразуя (8), получаем неканоническое уравнение эллипса

El

Е2

£q cos2 а Д? sin2 а.

^ 2 ЕХЕУ

Eq sin a cos а

cos ó(z) = sin ó(z).

(9)

Диагонализуя квадратичную форму (9), получаем каноническое уравнение эллипса, отношение полуосей которого называется эллиптичностью е:

■ eos ó(z) sin

arcctg

ctg 2a cos

ctg 2 a cos S(z)

ctg 2 a

x < cos<5(z) sin

■ ctg 2a cos

arcctg

arcctg

arcctg

ctg 2 a cos S(z)

ctg 2a \

cos<5(z)

sin 2 a

1/2

cos

S(z)J

sin 2 a

-1/2

(10)

На небольших расстояниях порядка десятков километров можно считать ¿(г) малой величиной. Проводя разложение соэ<5(2) по малому 6(г) вплоть до второго порядка

и считая а ;

■, получим

Подставляя значение длины одного прохода 2 = 1 м в (10), получаем значение эллиптичности

ей 2.1 • 10"

-16

(11)

Отметим, что в эксперименте PVLAS измерение эллиптичности проводилось на характерном расстоянии 45 км, а потом рассчитывалось изменение эллиптичности за один проход. Экспериментальные ограничения на значение изменения эллиптичности за один проход имеет вид £ехр < 3.1 • Ю-13, что не противоречит теоретически полученному значению (11).

Автор выражает благодарность д.ф.-м.н. И. П. Воло-буеву и к. ф.-м.н. М.Н. Смолякову за полезные обсуждения и помощь в подготовке настоящей работы.

Списож литературы

1. Zavattini Е., Zavattini G., Rtioso G. et al. // Phys. Rev. Lett. 2006. 96. P. 110406.

2. Zavattini E., Zavattini G., Rtioso G. et al. // arXiv:hep-ex/0706.3419.

3. Uehling E.A. // Phys. Rev. 1935. 48. P. 55.

4. Euler E., Heisenberg W. // Z. Phys. 1936. 98. P. 714.

5. Ritus V.l. Ц Sov. Phys. JETP. 1976. 42. P. 5.

6. Ravndal F. // arXiv:hep-ph/9708449.

7. Denisov V.l., Svertilov S.I. // Astron. Astrophys. 2003. 399. P. L39.

Propagation of light in a strong magnetic field in consideration of quantum corrections I.S. Grinin

Department of Quantum Statistics and Field Theory, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University,

Moscow 119991, Russia.

E-mail: ivan_grinin@hotmail.com.

In the framework of low-energy QED linearized equations of motion for the electromagnetic wave in the external magnetic field with respect to the PVLAS experiment are solved. It is shown that wave velocity depends on the initial direction of the polarization velocity. Laws of dispersion related to waves with mutually orthogonal directions of polarization are obtained. The field ellipticity is derived as the function of the initial polarization and the value of the external magnetic field. The value of the ellipticity parameter in the PVLAS experiment is also performed.

PACS: 12.20.Ds.

Keywords: quantum electrodynamics. Received 17 March 2008.

English version: Moscow University Physics Bulletin 2(2009).

Сведения об авторе

Гримим Иван Сергеевич — студент; e-mail: ivan_grinin@hotrnail.eorn.