CC BY
23
Ю.Г.Игнатьев, Е.Г.Чепкунова
ТОЧНОЕ ПЛОСКО-СИММЕТРИЧНОЕ НЕСТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ САМОСОГЛАСОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА -МАКСВЕЛЛА ДЛЯ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЫ
1. Введение
В [1] на основе точного решения уравнений релятивистской магнитной гидродинамики (РМГД) на фоне метрики плоской гравитационной волны (ПГВ) был открыт новый класс релятивистских существенно нелинейных явлений, возникающих в сильно замагниченной плазме под действием ПГВ и названных гравимагнитными ударными волнами (ОМ8\\0. Суть явления ОМ5\¥ заключается в том, что сильно замагниченная плазма:
2 И\
а =-------±---»1,
4тг(80 + р0)
(где Н± - перпендикулярная по отношению к направлению распространения ПГВ составляющая напряженности магнитного поля, £0 , Ро - невозмущенные плотность энергии и давление плазмы без учета магнитного поля) аномально сильно реагирует даже на слабую ПГВ при достаточно больших значениях второго параметра СМБ\У.
В [2] па основе модели энергобаланса плазмы и ПГВ показано, что энергия ПГВ практически полностью передается на ускорение магнитоактивной плазмы (преимущественно в направлении распространения ПГВ) и создание ударной волны с высокими плотностями энергии плазмы и магнитного поля. При этом достигается околосветовая
скорость движения плазмы в указанпом направлении. Существенное изменение характеристик электромагнитного излучения плазмы в GMSW было использовано в [2] для создания нового экспериментального теста по выявлению гравитационного излучения пульсаров. В частности, в [3] показано, что так называемые гигантские импульсы в радиоизлучении пульсара NP 0532 можно объяснить механизмом GMSW.
В указанных работах рассматривалась локально изотропная плазма, анизотропия создавалась лишь исключительно магнитным полем. В сильных магнитных полях в результате магнитотормозного излучения нарушается локальное термодинамическое равновесие (JITP) в плазме. Данная статья посвящена точному исследованию этой проблемы.
2. Тензор Риччи
Будем искать решения уравнений Эйнштейна с плоской симметрией,
2 3
когда “плоскостью” симметрии является П{л , х }. Метрику пространства V4 сигнатуры (- 1, -1, -1, + 1), допускающей два пространственноподобных вектора Киллинга:
S*=5J; i = 83
1 2
и соответствующей симметрии ПГВ с поляризацией е+, можно записать в виде:
ек2=Ф - L2 [e2p(dx2)2+e2p(dx3)2l где
L=L(x',x4); Р = Р(х',х1) и Ф = = g„/x', х4) -
- метрика двумерной псевдоевклидовой поверхности X: х2 = Const; х3 = Const.
Таким образом, V4 — £ х П^.
Как известно (см., например, [4]), метрику двумерной поверхности всегда можно привести к конформно - плоскому виду. Следовательно,
1 4
допустимыми преобразованиями координат х, х, не изменяющими метрику (Пе.), метрику V4 можно привести к виду:
аз2 = е2Х[(с1х4)2 - (сіх1)2] -12 [е2р(с1х2)2 + е2/) (ах3)2, (1)
где 1 = Я (х1, х4).
Отметим, что метрика (1) инвариантна по отношению к преобразованиям Лоренца в плоскости £.
В координатах запаздывающего, и, и опережающего, V, времени:
1 1
и = (г ~ х>‘ у = ~ЗТ(1 + х) (2)
метрика (1) принимает вид:
Іс1и (IV -12 \е2р((1х2)2 + е 2р (ах3)2 . (3)
Метрика (1) совпадает с осесимметричной метрикой [5]. Исходя из этого, получим ненулевые компоненты тензора Риччи, которые в координатах и и V примут вид:
Кии = -2 / Ь (Ьии + Ь р и 2 - 2 Ли Ьу);
Яуу — -2 / Ь (Хуу + Ь р / - 2 Ьу);
ЯиУ - - 2 / Ь (Ьиу + Ь РиРу + Ь Хиу);
Д/ + Д/ = - 2 еа (1})Л2;
К/ . я/ = . 4 е п ф„ +(Х„ Д, +ЦЫ/Ь).
3. Условия вморожеиности магнитного поля и уравнения Эйнштейна
Будем исследовать движение магнитоактивной плазмы в метрике (1). В [1] показано, что электромагнитное поле магнитоактивной плазмы должно удовлетворять условиям вморожеиности в плазму:
V* - 0, (4)
к „ где V - вектор динамическом скорости плазмы, который совпадает с
вектором динамической (по Сингу [5]) скорости электромагнитного поля.
При этом первый инвариант электромагнитного поля равен нулю:
Р* £к = о,
а второй инвариант положителен:
о, (5)
где - Я, вектор напряженности магнитного поля:
*
я,- =у*^й,
♦
а I7 и - тензор, дуачьный к кососимметрическому тензору Максвелла
В [1] показано, что полный тензор энергии - импульса (ТЭИ) локально изотропной магнитоактивной плазмы имеет вид:
Тік = (е + Р) vi ук-Р §ік -2 Рн щ пк, (6)
где Рн = Н2 /8ж; є = є + єн; Р=р + Рн,
Р, є - суммарные давление и плотность энергии магнитоакгивной плазмы, а л,- = Я, / Я - единичный пространственно-подобный вектор направления магнитного поля:
(п,п) = -1, причем, (п,у) = 0.
В условиях плоской симметрии будем рассматривать плазму, движущуюся в направлении х1 и магнитным полем, направленным вдоль х2. Такому полю соответствует векторный потенциал [1]:
Аи = Ау = А 2 = О, А3 = у/(и,у), (7)
где у/ - произвольная функция своих аргументов. Вычисляя тензор Максвелла относительно потенциала (7), найдем его ненулевые компоненты:
РиЗ ~ Ч?и > РуЗ ~ У V ■
Вычисляя инвариант (5), найдем:
е2рш 11/
и2 — О ' мт V
н ® Таким образом, должно быть: V «V у < 0 . Выберем:
\|/и < 0; \ру >0,
такому выбору соответствует положительное направление магнитного поля: п2 > 0.
Тогда условия вмороженности (4) с учетом соотношения нормировки вектора скорости дает для ненулевых компонент этого вектора:
С учетом этих соотношений и (6) выпишем нетривиальные уравнения Эйнштейна:
Ьии + Ь р и2 - 2 Хи Ьи=к Ь е2Ху/и(е+р+Н2 / 4п) / 4у/у; + Ь /? у 2 - 2 Яу Ьу= к Ь е2}'\(//е+р+Н2 /4п) /4у/и;
£цу +Ь ри13у+ Ь Х^=- к Ь е2Хр /2 ; (10)
(Ь2)иу = к Ь2егх(з-р) / 2;
рт +(Ьир„ + Ьури) /Ь = ке2ХН2/ 16п.
2
Уравнения (10) совместно с определением Н (8) и локальным уравнением состояния плазмы р = р(е) представляют полную систему
уравнений относительно пяти неизвестных скалярных функций: Я, Д Ь, у, е. Заметим, что вследствие последнего из уравнений (10):
Р=сопз1 НЛ2 = 0.
Именно это свойство ставит под вопрос корректность модели энергобаланса, использованную в [1], [2] для учета обратного влияния ОМ8\У на метрику гравитационной волны.
Если в (10) положить все функции зависящими лишь от одной переменной г, мы получим однородную анизотропную модель Вселенной с магнитным полем. Если положить все функции зависящими лишь от переменной х, получим статическую модель плоского анизотропного слоя. В вакууме система (10) допускает также запаздывающее решение (все функции зависят лишь от переменной и), либо опережающее решение (все функции зависят лишь от переменной у), называемых плоскими гравитационными волнами. В этих случаях из системы (10) остается одно нетривиальное уравнение на три метрические функции, что дает возможность выбрать, например:
Х(и) = 0,
а функцию Р(и) - амплитуду ПГВ сохранить произвольной. Тогда на фоновый фактор ПГВ, т.е. на Ь(и), получим уравнение (см. [6]):
Ьии + Ри2 Ь = 0.
4. Статическое решение
Полагая в отсутствие гравитационной волны у/ = у/(х), сразу получим у/ц = — у/у, и согласно (9) уи = Уу V =0, т.е. плазма покоится. Для статической метрики первые два уравнения (10) совпадают, независимые уравнения Эйнштейна принимают вид:
Ь” +1Р’2 - 2 Я’ Ь’= - к I е2Х (е+р+Н2 /4л)/2;
ь” + ьр'2 +Х”Ь=к1е2Хр; (11)
(Х2Г’=-к£2Л<г-й>; р” +2(,'Ь' /Ь-ке^Н2 / 16к.
К
Из четырех уравнений (11) два уравнения являются определениями е и Н2. Таким образом, на три метрические функции А, /5 и £ имеется всего два уравнения, что дает возможность наложить на эти функции одно дополнительное условие, определяющее класс решений.
Из системы (11), произведя тождественные преобразования, получим следствие, которое с вводом новой переменной V = (3 — X можно записать в
виде: Ь'Ч-ЬР* +ЬХ” = -[Ь2у ’- (Ь2)'\ 2]'/2Ь. (12)
С помощью (12) уравнения (11) могут быть приведены к более удобному виду:
[Ь2 V*+ ([?) ’ /2] ’= - 2к I2 е2Хр; (13)
(Ь2) ” = -к Ь2 еп(е - р); (14)
ф* Ь2) '=- к Ь2 е2ХН2 /16к. (15)
Если взять в качестве локального уравнения состояния плазмы баротропное уравнениер = к е; (0 < к < 1), то из (13), (14) получим алгебраическое следствие:
[(1 - к)Ь2 у'-(1 +Зк)(Ь2)'/2]' = О, из которого найдем первый интеграл:
I2 V ' = С1 + (1+Зк)(Ь2)'/(2 (1-к)), (16)
где С/ = Сою1.
Вследствие (16) справедливы, например, соотношения:
/XV-(I2//2/' =2к (Ь2) "/(1-к); [Ь2у' + (Ь2)'/2]' =(1+к)(Ь2)п/(1-к),
с помощью которых определения плотности энергии плазмы (14) и магнитного поля (15) могут быть записаны в более симметричном виде: ке=-2 ё2Х (Ь2у’У/[(1+Зк) I2]; (17)
(L2v)' О
(L2 p)’ 0.
(18)
Использование интеграла (16) позволяет записать первое из условий
Таким образом, найдем локальное значение введенного в [1]
а = Н2/[4к (є +p)J = 2 (l+3k) (L2($')'/[(1+к) (L2v)]. (19)
В случае баротропного уравнения состояния система уравнений Эйнштейна сводится к двум независимым нелинейным дифференциальным уравнениям на три метрические функции, одно из которых, (16), первого порядка, а второе, (12), - второго. На эти три функции можно наложить одно дополнительное условие, не противоречащее (18). Выбирая в интеграле (16): С] = О,
получим частное решение: v — (1 + Зк) In L / (1 — к). (20)
Пользуясь свободой в выборе дополнительного условия на метрические функции, мы можем, например, положить в (19): а2 = а02 - const.
Положив а.о 0, из (19) получим еще один первый интеграл:
L2v' = 2 (l+3k) L2 ft' / [o.q (1+k)/ + Cj, где С2 — const. Выбирая
(18) в более компактной форме: (L2) " 0.
параметра а2(х):
и здесь С2 = 0, получим:
р = ао О + к) In L / [2(1 - к)].
(21)
Запишем интегралы (20) и (21) в виде v^qjlnL, где qi=qi(k) =(1 + Зк) / (1 - к);
P = q2ln L, где q2=qi(k. ао)= а02 (1 + к) / (2 (1 - к)).
Подставляя эти интегралы в оставшееся уравнение (12), получаем замкнутое относительно функции Ь уравнение:
L,,L = q3L'2, где
Чз=д,<ка,) = (±^1±МгМ1.
1 + 2ц2 - q1
Решая его, получим:
1
I = Шу)и(1+Ц>) + (22)
где Ц1 (у), ц2 (у) - произвольные функции, вид которых определим из условия статичности решения:
у/— у (х)= у/ (у-и), откуда следует:
Л
^ (у)= —ш: “ сотГ’
^j2(l + q3)
М2(у) = ^-у + 5-
При переходе от переменной V к переменной х, согласно (2), выражение (21) примет вид:
I = (Ах + В)4 4 , (23)
где
1
q4 = q4 (к, а0) =
1 + Яз
Полагая В = /, получим условие на функцию Ь: ЦО) = 1,
а решение (22) примет вид:
I = (Ах + х/4 .
Подставляя полученное решение в (17), (19) и (20), имеем Ь = Ч4 (я2 -Яі) 1п(Ах + 1); (24)
%
8=8 0(Ах + 1)<,5> (25)
_ 2 А2 д, д4 (1-2д4)
где 0 “ к (1 + 3 к)
д5 = д5 (к, а0) = (д2 -Я,)-2; (26)
Н2 =Н20(Ах + 1)“\ (27)
тт2 _ 1 бп А2д2 д4 (1-2 д4)
где П0 - >
К
V = Я\ Я41п(Ах 4-1) • (28)
Р = <?4 + 1). (29)
При этом метрика (1) примет вид
= (Ах1 + 1)2<і4(<і2~Яі) [(<1х4)2 -(Ох1)2]-
-[(Ах1 +1)2^0+ +(Ах! +1)2<І4(1~Ч2) (сіх3)2 ]. (30)
Константу А легко получить из (27):
У - Н° к
/бл?г (1-2д,)-
Для метрики (30) получим следующие ненулевые компоненты тензора Римана
Ъпз = -<А (<32 - V Л2(Ах1 + 1У+4* ■
= ч1(Ч2 - Ч,)(ь - 1М2(Ах' +
«я» = «/?,- У А2Ш2Чі -4,-0+ 0(Ах' + .
К,2,2 = 44(1+л V?, + я4ягШАх'+у; 2^+;^-
R2424 = -Ч1(Ч2-Я,) A2(l + q2)(Ax‘ +
R1414 -44(42~4l)A2(AxI +l)4s.
В пределеа0 oo, из вышеприведенной функции следует:
?з=00> ^4=0, 45=0>
а метрика (30) приводится к виду:
ds2 =(AxJ +l)'2[(dx4)2 - (dx1 f ] - [(А х1 +l)'2(dx2)2 +(AxJ + l)2(dx3)2] Таким образом, получен ряд точных плоскосимметрических решений самосогласованных уравнений Эйнштейна - Максвелла для релятивистской магнитоактивной плазмы. Исследование этих решений будет проведено в следующей статье.
Литература
[1] Ignat'ev Yu.G. Gravitation & Cosmology, Vol.l, 19.95, No 4, 287.
[2] Ignat'ev Yu.G. Gravitation & Cosmology, Vol.2,1996, No 4, 213.
[3] Ignat'ev Yu.G. Phys. Letters, A, 1997.
[4] Норден А.П. Дифференциальная геометрия. M, 1948.
[5] Synge J.L. Relativity: The General Theory. Amsterdam, 1963.
[6] Misner C.W., Tom K.S., Wheeler J.A. Gravitation. San Francisco, 1973.1
