Точное решение экстремальной задачи Дельсарта для неотрицательных полиномов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.27

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЕЛЬСАРТА ДЛЯ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ

Р. Е. АФОНИН, А. Б. ПЕВНЫЙ

Сыктывкарский государственный университет, г.Сыктывкар [email protected]

Максимум целевой функции в задаче Дельсарта является оценкой снизу для количества элементов сферического дизайна порядка t. В статье находится точное решение экстремальной задачи Дельсарта в случае, когда степень полиномов равна t.

Ключевые слова: сферические дизайны, неотрицательные полиномы

R. AFONIN, A. PEVNYI. EXACT SOLUTION OF DELSARTE EXTREMAL PROBLEM FOR NONNEGATIVE POLYNOMIALS

Maximum in Delsarte extremal problem is a lower bound for the number of elements of spherical design. The exact solution of the extremal problem is found.

Key words: spherical designs, nonnegative polynomials

Введение

Экстремальная задача Дельсарта заключается в нахождении величины Ъ0(п,ь), определяемой далее формулой (5). Эта величина является оценкой снизу для количества элементов сферических дизайнов порядка ь на сфере Яп-1.

Начало изучению сферических дизайнов положили статьи [1, 2]. Множество Ф = [ф1,. ..,фт} на единичной сфере Яп-1 называется сферическим дизайном порядка ь, если выполняется условие

1 Г 1 т

— Р(х) ¿Я = Р(ф)

&п 7 — '

5^-1 г=1

для любого полинома Р(х) степени не выше ь. Здесь ап - площадь сферы Яп-1.

Установлено [1,2], что количество элементов — такого дизайна удовлетворяет неравенству — > Ъ0(п,ь). Упрощенное доказательство этого неравенства приводится в [3]. Авторы работ [1,2] не занимались решением экстремальной задачи Дельсарта, но указали полиномы (разные при ь четном и нечетном), которые, в конечном счете, оказались экстремальными полиномами. Наша работа посвящена доказательству экстремальности полиномов, указанных в работе [2].

1. Полиномы Гегенбауэра

Зафиксируем натуральные числа п и ь, п > 3,

Ь > 2.

Пусть \^к(х)}£=0 - система ортогональных полиномов степени к для веса

ьп(х) = (1 - х2)(п-3)/2.

Запишем условие ортогональности:

Qk (x)Ql (x)wn(x) dx = 0 при к = l.

(1)

Это частный случай полиномов Якоби Р(а,в) при а = в = (п - 3)/2.

При а = в эти полиномы называются полиномами Гегенбауэра или ультрасферическими многочленами [4]. Следуя [5], будем использовать нормировку

Qk (1)

h II2 : =

:=/ [Qk (x)]2 wn(x) dx, к = 0,1,...

(2)

-1

Полином Q0(x) равен константе, которую также обозначаем Q0 ив силу (2) Qo = Ко||2.

Пусть Р+ - множество алгебраических полиномов Е(х) степени не выше ь, удовлетворяющих условиям

Е(х) > 0 для всех х £ [-1,1] и Е(1) > 0. (3)

Каждый полином Е(х) разложим по полиномам Ге-генбауэра

F(x) = Y^ FkQk (x),

k=0

где, в частности,

F0

F(x)QoWn(x) dx

1

= J F(x)wn(x) dx > 0.

(4)

2. Экстремальная задача Дельсарта

Сформулируем задачу Дельсарта [1,2]. Требу ется найти максимум

Е(1)

bD (n,t) = max .

f QoFo

(5)

1

1

1

2

1

1

1

Величина bD(n,t) является оценкой снизу количества элементов сферического дизайна порядка t в Rn и называется границей Дельсарта (Delsarte bound).

Для задачи (5) можно явно указать экстремальный полином и точно найти bD(n,t). Основным результатом статьи является следующая теорема. Теорема. При t четном, t = 2s, полином

F (x)

^ у Q k (x) Lk=0

является экстремальным и

bD (n, 2s) = СП-— + cn-s1_2.

(6)

При t нечетном, t = 2s + 1, полином

F (x) = (1 + x)

[s/2]

'У ' Qs — 2j (x) j=0

является экстремальным и

Ъо(п,2в + 1) = 2 сП+1-1. (7)

3. Доказательство теоремы для ь четного

Пусть ь = 2s, s - натуральное число. Общий вид отрицательного на [-1,1] полинома приведен в книге Полиа и Сегё ([6], раздел VI). При ь = 2.в полином Е £ Р+ представляется в виде

Е(х) = [Л(х)]2 + (1 - х2) [Б(х)]2 =: Е1(х) + Е2(х),

где Л(х) - полином степени < s, а Б(х) - полином степени < s - 1.

Нулевые коэффициенты Фурье Е^_,0 и Е2,0 неотрицательных на [-1,1] функций Е1(х) и Е2(х) неотрицательны. Поскольку Е2(1) = 0, то

Fi(1) + F2(1) < Fi(1)

QoFi,o + Q0F2.0 Q0F10

(8)

Поэтому в задаче (5) достаточно максимизировать по ненулевым полиномам Е1 (х) вида Е1(х) = [Л(х)]2 .

(1,1,..., 1). Тогда Fi(x) = Y. Qk (x)

k=0

мальным полиномом, при этом

будет экстре-

Fi(1)

Fi,0

Lk=0

2

Qk(1)

=0

s

Qk(x)

ElIQk II2

k=0

k=0

Wn(x) dx =^2 IlQk I2

k=0

В результате получим

bD(n,2s) = m = Q £l

Q0Fi,0 Q0

l2

(10)

k=0

Величина (10) довольно громоздкими вычислениями найдена в [3] и она равна числу ОгП+^1_1 + ОгП—1_2, что завершает доказательство теоремы при ь = 2s.

4. Доказательство теоремы для t нечетного

Пусть теперь t нечетное, t = 2s + 1. Полином F £ P+ можно представить в форме

F(x)=(1 + x) [A(x)f + [B(x)]2 +

+ (1 - x) [C(x)]2 + (1 - x2)[D(x)f =:

=: Fi(x) + F2(x) + Fÿ(x) + F^(x),

и притом так, что все четыре слагаемых были самое большее степени t (см. [6], раздел VI). Два последних слагаемых можно откинуть, пользуясь тем же рассуждением, что и при t = 2s. Допустим, что хоть один из полиномов C(x) и D(x) отличен от тождественного нуля. Тогда

Fs,o + F4,o > 0, F3(1) + F4(1) = 0

и, следовательно,

F(1)

Fi(1) + F2(1)

<

Fi(1) + F2(1)

Е0 Е1,0 + Е2,0 + Ез(1) + ЕЛ(1) Е1,0 + Е2,0

поэтому экстремальный полином не может содержать слагаемых Е3(х) и Е4(х).

Более тонко доказывается, что слагаемое

бауэра

Разложим полином A(x) по полиномам Геген- F2(x) = [B(x)]2 также нужно откинуть. Разложим A(x)

A(x) = ^ akQk(x).

k=0

и B(x) по полиномам Гегенбауэра:

ss A(x ^ у akQk (x), B(x) ^ y bkQk (x),

Предыдущее рассуждение показывает, что

F(1)

k=0

k=0

и будем рассматривать ненулевые векторы a

sup

F eP+

F0

Fi(1) suP F—’

(ao,...,as) Fi,0

(9)

(a0,

.. ,as) и b = (b0,... ,bs). Ранее показано, что

F2(1)

где Е1(х) = [Л(х)\2. В докладе [3] доказана следующая лемма.

Лемма 1. Супремум в (9) достигается тогда и только тогда, когда

ïs+i Q0F20

: bD (n, 2s) =

= C-S-i + cn+l_2 =: M2.

(11)

a0 = a

as = 0,

т. е. когда все числа {ак} равны между собой и отличны от нуля.

В силу однородности целевой функции в задаче (9) в качестве точки максимума можно взять точку

Введем подпространство

L = {a £ Rs+ i | as-1 = 0, as-3 = 0, as-5 = 0,...}. Для a £ L полином A(x) имеет вид

[s/2]

A(x~) ^ ^ as — 2jQs — 2j (x).

j=0

2

1

2

2

1

2

Такие полиномы рассматривались в работе [3], лемма 2. Было показано, что

Fi(1)

max ' aeb QoFi,o

= 2 СП-1

1 =: Mi.

(12)

Здесь Е1(х) = (1 + х) [Л(х)]2. Очевидно, что М1 > М2, так как СП-—1 > СП-—2. Если в (12) взять максимум по всему пространству Кя+1, то максимум не уменьшится:

Е1(1)

Ml :=

sup Q F

aess+1 Q0F1,0

(13)

Возьмем произвольные a, b e RS+1, b = 0. В силу (11) и (13)

F1(1) < M1QoF1,o, F2(1) < M2QoF2,o < MlQoF2,o и поэтому

F(1) < MlQoF1,o + MlQoF2,o

QoFo

QoF1,o + QoF2,o

Ml

и, значит, слагаемое Е2(х) = [Б(х)]2 не может вхо дить в экстремальный полином.

Перейдем к нахождению величины

Е(1)

Ml

suP Q F

ael't1 QoFo

(14)

где Е(х) = (1 + х) [Л(х)]2, Л(х) = £ акQk(х) - произ-

к=0

вольный ненулевой полином степени < s.

Вычислим Е(1) и Е0. Имеем

F (1)=2

ak \\Qk у2

Lk=o

Fo

[A(x)]2 wn(x) dx + I x [A(x)]2 wn(x) dx

У^а1 \\Qk II2 + ^2 Iklakai,

k=o

k,l=o

где

lki

xQk (x)Qi (x)wn(x) dx.

1-1

Отметим сразу, что Ikl = Ilk и Ikk = 0, так как при к = l получается интеграл от нечётной функции.

При решении задачи (14) можно фиксировать числитель и минимизировать знаменатель. Можно считать, что вектор a e RS+1 удовлетворяет ограничению F(1) = 2. Приходим к задаче квадратичного программирования

S

Fo(a) = ^2 ak \\Qk\\2 +2Y: Iklak al ^ min, (16)

k=o k<l

ak \\Qk1Г

1.

(17)

k=o

Собственно здесь две задачи - для +1 и -1. Целевая функция Е0(а) является положительно определенной квадратичной формой:

Поэтому решение задач (16) и (17) существует и единственно. Когда в (17) стоит +1, решение обозначим а*, а для -1 решением будет -а*.

В дальнейшем нам удастся явно решить задачу (16)-(17), но предварительно необходимо вычислить интегралы 1к1.

4.1. Вычисление интегралов 1к1 Нам потребуется рекуррентное соотношение для полиномов Гегенбауэра. Особенно просто оно выглядит для полиномов Ок(х) с нормировкой Ок (1) = 1,к > 0:

(к + n — 2) Gk+1(x) —(2к + n — 2) x Gk(x) — — kGk-1(x), к ^ 1,

(18)

где Go(x) = 1, G1(x) = x. Перепишем (18) в виде

п г \ к + n — 2

xGk = 2к + n — 2 Gk+1(x) +

к

+ 2к + n — 2 Gk-1(x).

(19)

Полиномы Ок(х) с постоянным множителем отличаются от Qк(х): Ок(х) = скQk(х). При х = 1 получаем 1 = скQk(1) = ск КкII2. Отсюда

ck = , Gk (x) = Qk(x)

WQI............. IIQk I2'

Подставив последнее выражение в (19), получим

xQk (x) ak Q k+1(x') + ßk Qk — 1(x') , к ^ 1, (20)

ak —

к + n — 2

ßk

2к + n — 2 \\Qk+1\\z

WQk II2

к

(21)

2к + n — 2

k 1\

(15) По формуле (7) доклада [3]

2 2к + n — 2 Г(к + n — 2)

= к!Г2(^) .

2

i-2

Если подставить в (21), то получим

к + 1 a к + n — 3

ak

ßk

2к + n’ r'k 2к + n — 4'

Теперь можно вычислить интеграл (15) при l > к

(22)

1

Ikl j' ak(x) 1

alQl+1(x) + ßlQl—1(x)

wn(x) dx.

Fo(a)

F(x)wn(x) dx > 0 при a = 0.

В силу ортогональности системы \^к} справедливы равенства 1к1 = 0 при I = к + 2, к + 3,..., s, а при I = к + 1 получаем (в силу (21))

1к,к + 1 = вк+1 1Юк||2 .

2

1

1

1

1

2

1

\

k

1

4.2. Явное решение задачи (16)—(17) Подставив вычисленные интегралы 1к1 в (16) придем к задаче

Fo(a)=Y^ a2k WQk ii2 +

k=o

S-1

+ 2^2 akak+1ßk+1 WQk W2 ^ min, (23)

k=o

S

^2ak WQk ii2 =

k=o

Решение a* задачи с +1 существует и единственно,

a = 0.

Необходимое и достаточное условие максимума имеет вид

dFo(a)

da

к

где Л - множитель Лагранжа. Придем к системе уравнений

2а0 |Ш|2 + 2а1в1 |Ш|2 = Л |^0||2 ,

2ак Кк ||2 + 2ак-1 вк 11 к — 1II2 +

+ 2ак+1вк+1 К к II2 = Л К к II2 > к £ 1 : s - 1

2ав |^а||2 + 2аь — 1 ва |Юа—1Ц2 = Л |^я||2 .

Поскольку а = 0, то Л = 0.

Поделим к-е уравнение на 2 ||Qk||2 и обозначим у = ^. Основное уравнение (при к £ 1 : s - 1) примет вид

ak + ak—1ßk~

ik—1

WQk W

2 + ak+1ßk+1 ß-

Вычислим коэффициенты этого уравнения. В силу (21) и (22)

Yk :— ßk-

k lW

2

k

Sk :— ßk+1 —

k W2 2k + П — 2

k + n — 2

(24)

2к + n — 2

Окончательно систему уравнений для определения a * можно записать в виде

j Yk ak—i + ak + 3k ak+i к £ 0 : s,

\ a_ 1 = 0, as+i = 0.

(25)

Здесь у = Л/2 = 0 ив силу (24) справедливы соотношения

50 = 1; 1к > 0,6к > 0,^к + ¿к = 1, к £ 1: s. (26)

Лемма 2. Единственное решение а * системы (25) при условиях (26) состоит из чисел у и 0 в чередующемся порядке:

* г, * * г,

ßt as — 1 — ° as — 2 — ßt as—3 — 0, . . .

(27)

Доказательство. Допустим,что {ак }к=0 - решение системы (25). Последовательно будем выражать все неизвестные ак через а0.

При k — 0 При k — 1 При k — 2

ao + ai — ß, отсюда ai — ß — ao.

Yl ao + ß — ao + ¿1 a2 — ß, отсюда a2 — ao. Y2 ai + ao + S2 a3 — ß, отсюда a3 — ß — ao.

По индукции можно доказать, что

аI = у - а0 при г нечётном, а^ = а0 при г чётном.

Если s чётно, то из уравнения уа аа — 1 + аа = у получим у.а (у- а0)+а0 = у, откуда а0 = у и получаем решение (27). Если же s нечётно, то у.а а0+у - а0 = у, значит, а0 = 0 и снова получим решение (27).

Лемма доказана. □

Вектор а , определенный равенствами (27), является точкой максимума в задаче (16)-(17) (неизвестный параметр у определяется из ограничения

а

Е ак №к II2 = 1).

к=0

Этот же вектор а * будет являться точкой максимума в задаче (14). Экстремальный полином имеет вид

F * (x) — (1+ x)

[s/2]

ß ^ Qs — 2j(x)

j=o

а максимальное значение целевой функции равно

Е (1)

Ъ0 (п, 2s + 1)= п „(Д .

QoЕo(a *)

Здесь (с учетом формулы (23))

[s/2] 2

F*(1) — 2 ßJ2 \\Qs—2j II2

j=o

[s/2] 2 Fo(a*) — ß2J2 \\Qs—2j\\2 .

j=o

(28)

(29)

Поделив (28) на (29), придем к окончательной формуле

[s/2]

bD(n, 2s + 1) — IIQs—2j\\2 .

Qo

(30)

j=o

В докладе [3] доказано, что величина (30) равна

2C

l

n+s — 1

что завершает доказательство теоремы. Литература

При k — 3: Y3 a2 + ß — ao + S3 a4 — ß, отсюда a4 — ao.

1. Delsarte Ph. An algebraic approach to the association schemes of coding theory // Philips Res. Reports (Suppl.), 1973. No. 10. P. 1-97.

2. Delsarte Ph., Goethals J.M., Seidel J.J. Spherical codes and designs // Geometricae Dedicata, 1977. Vol. 6. No. 3. P. 363-388.

3. Афонин P.E., Малозёмов B.H., Певный А.Б. Оценка Дельсарта для количества элементов сферического дизайна // Семинар «DHA & CAGD». Избранные доклады. 20 марта 2010 г. (http://dha.spb.ru/reps10.shtml#0313)

4. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: ГИФМЛ, 1962. 500 c.

5. Bannai E, Munemasa A., Venkov B. The nonexistence of certain tight spherical designs // Алгебра и анализ, 2004. Т. 10. Вып. 4. С. 123.

6. Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. 2. М.: ГИТТЛ, 1956. 432 c.

2

2

2

a