CC BY
42
УДК 519.27
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЕЛЬСАРТА ДЛЯ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ
Р. Е. АФОНИН, А. Б. ПЕВНЫЙ
Сыктывкарский государственный университет, г.Сыктывкар pevnyi@syktsu.ru
Максимум целевой функции в задаче Дельсарта является оценкой снизу для количества элементов сферического дизайна порядка t. В статье находится точное решение экстремальной задачи Дельсарта в случае, когда степень полиномов равна t.
Ключевые слова: сферические дизайны, неотрицательные полиномы
R. AFONIN, A. PEVNYI. EXACT SOLUTION OF DELSARTE EXTREMAL PROBLEM FOR NONNEGATIVE POLYNOMIALS
Maximum in Delsarte extremal problem is a lower bound for the number of elements of spherical design. The exact solution of the extremal problem is found.
Key words: spherical designs, nonnegative polynomials
Введение
Экстремальная задача Дельсарта заключается в нахождении величины Ъ0(п,ь), определяемой далее формулой (5). Эта величина является оценкой снизу для количества элементов сферических дизайнов порядка ь на сфере Яп-1.
Начало изучению сферических дизайнов положили статьи [1, 2]. Множество Ф = [ф1,. ..,фт} на единичной сфере Яп-1 называется сферическим дизайном порядка ь, если выполняется условие
1 Г 1 т
— Р(х) ¿Я = Р(ф)
&п 7 — '
5^-1 г=1
для любого полинома Р(х) степени не выше ь. Здесь ап - площадь сферы Яп-1.
Установлено [1,2], что количество элементов — такого дизайна удовлетворяет неравенству — > Ъ0(п,ь). Упрощенное доказательство этого неравенства приводится в [3]. Авторы работ [1,2] не занимались решением экстремальной задачи Дельсарта, но указали полиномы (разные при ь четном и нечетном), которые, в конечном счете, оказались экстремальными полиномами. Наша работа посвящена доказательству экстремальности полиномов, указанных в работе [2].
1. Полиномы Гегенбауэра
Зафиксируем натуральные числа п и ь, п > 3,
Ь > 2.
Пусть \^к(х)}£=0 - система ортогональных полиномов степени к для веса
ьп(х) = (1 - х2)(п-3)/2.
Запишем условие ортогональности:
Qk (x)Ql (x)wn(x) dx = 0 при к = l.
(1)
Это частный случай полиномов Якоби Р(а,в) при а = в = (п - 3)/2.
При а = в эти полиномы называются полиномами Гегенбауэра или ультрасферическими многочленами [4]. Следуя [5], будем использовать нормировку
Qk (1)
h II2 : =
:=/ [Qk (x)]2 wn(x) dx, к = 0,1,...
(2)
-1
Полином Q0(x) равен константе, которую также обозначаем Q0 ив силу (2) Qo = Ко||2.
Пусть Р+ - множество алгебраических полиномов Е(х) степени не выше ь, удовлетворяющих условиям
Е(х) > 0 для всех х £ [-1,1] и Е(1) > 0. (3)
Каждый полином Е(х) разложим по полиномам Ге-генбауэра
F(x) = Y^ FkQk (x),
k=0
где, в частности,
F0
F(x)QoWn(x) dx
1
= J F(x)wn(x) dx > 0.
(4)
2. Экстремальная задача Дельсарта
Сформулируем задачу Дельсарта [1,2]. Требу ется найти максимум
Е(1)
bD (n,t) = max .
f QoFo
(5)
1
1
1
2
1
1
1
Величина bD(n,t) является оценкой снизу количества элементов сферического дизайна порядка t в Rn и называется границей Дельсарта (Delsarte bound).
Для задачи (5) можно явно указать экстремальный полином и точно найти bD(n,t). Основным результатом статьи является следующая теорема. Теорема. При t четном, t = 2s, полином
F (x)
^ у Q k (x) Lk=0
является экстремальным и
bD (n, 2s) = СП-— + cn-s1_2.
(6)
При t нечетном, t = 2s + 1, полином
F (x) = (1 + x)
[s/2]
'У ' Qs — 2j (x) j=0
является экстремальным и
Ъо(п,2в + 1) = 2 сП+1-1. (7)
3. Доказательство теоремы для ь четного
Пусть ь = 2s, s - натуральное число. Общий вид отрицательного на [-1,1] полинома приведен в книге Полиа и Сегё ([6], раздел VI). При ь = 2.в полином Е £ Р+ представляется в виде
Е(х) = [Л(х)]2 + (1 - х2) [Б(х)]2 =: Е1(х) + Е2(х),
где Л(х) - полином степени < s, а Б(х) - полином степени < s - 1.
Нулевые коэффициенты Фурье Е^_,0 и Е2,0 неотрицательных на [-1,1] функций Е1(х) и Е2(х) неотрицательны. Поскольку Е2(1) = 0, то
Fi(1) + F2(1) < Fi(1)
QoFi,o + Q0F2.0 Q0F10
(8)
Поэтому в задаче (5) достаточно максимизировать по ненулевым полиномам Е1 (х) вида Е1(х) = [Л(х)]2 .
(1,1,..., 1). Тогда Fi(x) = Y. Qk (x)
k=0
мальным полиномом, при этом
будет экстре-
Fi(1)
Fi,0
Lk=0
2
Qk(1)
=0
s
Qk(x)
ElIQk II2
k=0
k=0
Wn(x) dx =^2 IlQk I2
k=0
В результате получим
bD(n,2s) = m = Q £l
Q0Fi,0 Q0
l2
(10)
k=0
Величина (10) довольно громоздкими вычислениями найдена в [3] и она равна числу ОгП+^1_1 + ОгП—1_2, что завершает доказательство теоремы при ь = 2s.
4. Доказательство теоремы для t нечетного
Пусть теперь t нечетное, t = 2s + 1. Полином F £ P+ можно представить в форме
F(x)=(1 + x) [A(x)f + [B(x)]2 +
+ (1 - x) [C(x)]2 + (1 - x2)[D(x)f =:
=: Fi(x) + F2(x) + Fÿ(x) + F^(x),
и притом так, что все четыре слагаемых были самое большее степени t (см. [6], раздел VI). Два последних слагаемых можно откинуть, пользуясь тем же рассуждением, что и при t = 2s. Допустим, что хоть один из полиномов C(x) и D(x) отличен от тождественного нуля. Тогда
Fs,o + F4,o > 0, F3(1) + F4(1) = 0
и, следовательно,
F(1)
Fi(1) + F2(1)
<
Fi(1) + F2(1)
Е0 Е1,0 + Е2,0 + Ез(1) + ЕЛ(1) Е1,0 + Е2,0
поэтому экстремальный полином не может содержать слагаемых Е3(х) и Е4(х).
Более тонко доказывается, что слагаемое
бауэра
Разложим полином A(x) по полиномам Геген- F2(x) = [B(x)]2 также нужно откинуть. Разложим A(x)
A(x) = ^ akQk(x).
k=0
и B(x) по полиномам Гегенбауэра:
ss A(x ^ у akQk (x), B(x) ^ y bkQk (x),
Предыдущее рассуждение показывает, что
F(1)
k=0
k=0
и будем рассматривать ненулевые векторы a
sup
F eP+
F0
Fi(1) suP F—’
(ao,...,as) Fi,0
(9)
(a0,
.. ,as) и b = (b0,... ,bs). Ранее показано, что
F2(1)
где Е1(х) = [Л(х)\2. В докладе [3] доказана следующая лемма.
Лемма 1. Супремум в (9) достигается тогда и только тогда, когда
ïs+i Q0F20
: bD (n, 2s) =
= C-S-i + cn+l_2 =: M2.
(11)
a0 = a
as = 0,
т. е. когда все числа {ак} равны между собой и отличны от нуля.
В силу однородности целевой функции в задаче (9) в качестве точки максимума можно взять точку
Введем подпространство
L = {a £ Rs+ i | as-1 = 0, as-3 = 0, as-5 = 0,...}. Для a £ L полином A(x) имеет вид
[s/2]
A(x~) ^ ^ as — 2jQs — 2j (x).
j=0
2
1
2
2
1
2
Такие полиномы рассматривались в работе [3], лемма 2. Было показано, что
Fi(1)
max ' aeb QoFi,o
= 2 СП-1
1 =: Mi.
(12)
Здесь Е1(х) = (1 + х) [Л(х)]2. Очевидно, что М1 > М2, так как СП-—1 > СП-—2. Если в (12) взять максимум по всему пространству Кя+1, то максимум не уменьшится:
Е1(1)
Ml :=
sup Q F
aess+1 Q0F1,0
(13)
Возьмем произвольные a, b e RS+1, b = 0. В силу (11) и (13)
F1(1) < M1QoF1,o, F2(1) < M2QoF2,o < MlQoF2,o и поэтому
F(1) < MlQoF1,o + MlQoF2,o
QoFo
QoF1,o + QoF2,o
Ml
и, значит, слагаемое Е2(х) = [Б(х)]2 не может вхо дить в экстремальный полином.
Перейдем к нахождению величины
Е(1)
Ml
suP Q F
ael't1 QoFo
(14)
где Е(х) = (1 + х) [Л(х)]2, Л(х) = £ акQk(х) - произ-
к=0
вольный ненулевой полином степени < s.
Вычислим Е(1) и Е0. Имеем
F (1)=2
ak \\Qk у2
Lk=o
Fo
[A(x)]2 wn(x) dx + I x [A(x)]2 wn(x) dx
У^а1 \\Qk II2 + ^2 Iklakai,
k=o
k,l=o
где
lki
xQk (x)Qi (x)wn(x) dx.
1-1
Отметим сразу, что Ikl = Ilk и Ikk = 0, так как при к = l получается интеграл от нечётной функции.
При решении задачи (14) можно фиксировать числитель и минимизировать знаменатель. Можно считать, что вектор a e RS+1 удовлетворяет ограничению F(1) = 2. Приходим к задаче квадратичного программирования
S
Fo(a) = ^2 ak \\Qk\\2 +2Y: Iklak al ^ min, (16)
k=o k<l
ak \\Qk1Г
1.
(17)
k=o
Собственно здесь две задачи - для +1 и -1. Целевая функция Е0(а) является положительно определенной квадратичной формой:
Поэтому решение задач (16) и (17) существует и единственно. Когда в (17) стоит +1, решение обозначим а*, а для -1 решением будет -а*.
В дальнейшем нам удастся явно решить задачу (16)-(17), но предварительно необходимо вычислить интегралы 1к1.
4.1. Вычисление интегралов 1к1 Нам потребуется рекуррентное соотношение для полиномов Гегенбауэра. Особенно просто оно выглядит для полиномов Ок(х) с нормировкой Ок (1) = 1,к > 0:
(к + n — 2) Gk+1(x) —(2к + n — 2) x Gk(x) — — kGk-1(x), к ^ 1,
(18)
где Go(x) = 1, G1(x) = x. Перепишем (18) в виде
п г \ к + n — 2
xGk = 2к + n — 2 Gk+1(x) +
к
+ 2к + n — 2 Gk-1(x).
(19)
Полиномы Ок(х) с постоянным множителем отличаются от Qк(х): Ок(х) = скQk(х). При х = 1 получаем 1 = скQk(1) = ск КкII2. Отсюда
ck = , Gk (x) = Qk(x)
WQI............. IIQk I2'
Подставив последнее выражение в (19), получим
xQk (x) ak Q k+1(x') + ßk Qk — 1(x') , к ^ 1, (20)
ak —
к + n — 2
ßk
2к + n — 2 \\Qk+1\\z
WQk II2
к
(21)
2к + n — 2
k 1\
(15) По формуле (7) доклада [3]
2 2к + n — 2 Г(к + n — 2)
= к!Г2(^) .
2
i-2
Если подставить в (21), то получим
к + 1 a к + n — 3
ak
ßk
2к + n’ r'k 2к + n — 4'
Теперь можно вычислить интеграл (15) при l > к
(22)
1
Ikl j' ak(x) 1
alQl+1(x) + ßlQl—1(x)
wn(x) dx.
Fo(a)
F(x)wn(x) dx > 0 при a = 0.
В силу ортогональности системы \^к} справедливы равенства 1к1 = 0 при I = к + 2, к + 3,..., s, а при I = к + 1 получаем (в силу (21))
1к,к + 1 = вк+1 1Юк||2 .
2
1
1
1
1
2
1
\
k
1
4.2. Явное решение задачи (16)—(17) Подставив вычисленные интегралы 1к1 в (16) придем к задаче
Fo(a)=Y^ a2k WQk ii2 +
k=o
S-1
+ 2^2 akak+1ßk+1 WQk W2 ^ min, (23)
k=o
S
^2ak WQk ii2 =
k=o
Решение a* задачи с +1 существует и единственно,
a = 0.
Необходимое и достаточное условие максимума имеет вид
dFo(a)
da
к
где Л - множитель Лагранжа. Придем к системе уравнений
2а0 |Ш|2 + 2а1в1 |Ш|2 = Л |^0||2 ,
2ак Кк ||2 + 2ак-1 вк 11 к — 1II2 +
+ 2ак+1вк+1 К к II2 = Л К к II2 > к £ 1 : s - 1
2ав |^а||2 + 2аь — 1 ва |Юа—1Ц2 = Л |^я||2 .
Поскольку а = 0, то Л = 0.
Поделим к-е уравнение на 2 ||Qk||2 и обозначим у = ^. Основное уравнение (при к £ 1 : s - 1) примет вид
ak + ak—1ßk~
ik—1
WQk W
2 + ak+1ßk+1 ß-
Вычислим коэффициенты этого уравнения. В силу (21) и (22)
Yk :— ßk-
k lW
2
k
Sk :— ßk+1 —
k W2 2k + П — 2
k + n — 2
(24)
2к + n — 2
Окончательно систему уравнений для определения a * можно записать в виде
j Yk ak—i + ak + 3k ak+i к £ 0 : s,
\ a_ 1 = 0, as+i = 0.
(25)
Здесь у = Л/2 = 0 ив силу (24) справедливы соотношения
50 = 1; 1к > 0,6к > 0,^к + ¿к = 1, к £ 1: s. (26)
Лемма 2. Единственное решение а * системы (25) при условиях (26) состоит из чисел у и 0 в чередующемся порядке:
* г, * * г,
ßt as — 1 — ° as — 2 — ßt as—3 — 0, . . .
(27)
Доказательство. Допустим,что {ак }к=0 - решение системы (25). Последовательно будем выражать все неизвестные ак через а0.
При k — 0 При k — 1 При k — 2
ao + ai — ß, отсюда ai — ß — ao.
Yl ao + ß — ao + ¿1 a2 — ß, отсюда a2 — ao. Y2 ai + ao + S2 a3 — ß, отсюда a3 — ß — ao.
По индукции можно доказать, что
аI = у - а0 при г нечётном, а^ = а0 при г чётном.
Если s чётно, то из уравнения уа аа — 1 + аа = у получим у.а (у- а0)+а0 = у, откуда а0 = у и получаем решение (27). Если же s нечётно, то у.а а0+у - а0 = у, значит, а0 = 0 и снова получим решение (27).
Лемма доказана. □
Вектор а , определенный равенствами (27), является точкой максимума в задаче (16)-(17) (неизвестный параметр у определяется из ограничения
а
Е ак №к II2 = 1).
к=0
Этот же вектор а * будет являться точкой максимума в задаче (14). Экстремальный полином имеет вид
F * (x) — (1+ x)
[s/2]
ß ^ Qs — 2j(x)
j=o
а максимальное значение целевой функции равно
Е (1)
Ъ0 (п, 2s + 1)= п „(Д .
QoЕo(a *)
Здесь (с учетом формулы (23))
[s/2] 2
F*(1) — 2 ßJ2 \\Qs—2j II2
j=o
[s/2] 2 Fo(a*) — ß2J2 \\Qs—2j\\2 .
j=o
(28)
(29)
Поделив (28) на (29), придем к окончательной формуле
[s/2]
bD(n, 2s + 1) — IIQs—2j\\2 .
Qo
(30)
j=o
В докладе [3] доказано, что величина (30) равна
2C
l
n+s — 1
что завершает доказательство теоремы. Литература
При k — 3: Y3 a2 + ß — ao + S3 a4 — ß, отсюда a4 — ao.
1. Delsarte Ph. An algebraic approach to the association schemes of coding theory // Philips Res. Reports (Suppl.), 1973. No. 10. P. 1-97.
2. Delsarte Ph., Goethals J.M., Seidel J.J. Spherical codes and designs // Geometricae Dedicata, 1977. Vol. 6. No. 3. P. 363-388.
3. Афонин P.E., Малозёмов B.H., Певный А.Б. Оценка Дельсарта для количества элементов сферического дизайна // Семинар «DHA & CAGD». Избранные доклады. 20 марта 2010 г. (http://dha.spb.ru/reps10.shtml#0313)
4. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: ГИФМЛ, 1962. 500 c.
5. Bannai E, Munemasa A., Venkov B. The nonexistence of certain tight spherical designs // Алгебра и анализ, 2004. Т. 10. Вып. 4. С. 123.
6. Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. 2. М.: ГИТТЛ, 1956. 432 c.
2
2
2
a
