Оценка снизу количества элементов сферического дизайна с помощью линейного программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. С ер Л. Вып. 12.2010

УДК 621.391.1:519.27

ОЦЕНКА СНИЗУ КОЛИЧЕСТВА ЭЛЕМЕНТОВ СФЕРИЧЕСКОГО ДИЗАЙНА С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

А. Б. Певный, Н. О. Котелина

Приводится теорема Дельсарта для оценки снизу числа элементов сферического дизайна и ее модификация, использующая только четные полиномы. Рассматривается соответствующая сеточная задача линейного программирования и приводятся результаты расчетов.

1. Обозначения и предварительные сведения.

Используем скалярное произведение (х, у) — Х\у\ + • • • + хпуп векторов х, у е Кп и норму ||я|| = у/(х, х). Пусть

= {х е мп : ||х|| = 1}

— единичная сфера в Мп.

Определение 1.2. Пусть £ — натуральное число. Система векторов

Ф = • • • т^т} С ¿>п_1 называется сферическим £ - дизайном,

если

1 Г 1 171

- = (1.1)

и Зп~1 771 г=1

для всех полиномов Р(х) степени не выше Здесь оп - площадь сферы

Б"-1.

Одной из важных задач теории дизайнов является нахождение для данных п и £ сферического £ - дизайна с минимальным количеством элементов (см., например, [4]). Важная оценка снизу для т — |Ф| была получена Ф. Дельсартом ( [1], [5]). Формулировка и доказательство теоремы Дельсарта используют полиномы Гегенбауэра.

© Певный А. Б., Котелина Н. О., 2010.

2. Полиномы Гегенбауэра и теорема Дельсарта.

Зафиксируем натуральное п ^ 2. Рассмотрим вес

иип(и) = (1 -и2)^, и е [-1, 1].

Пусть {С^к}^0 — система полиномов Гегенбауэра. Она обладает свойством ортогональности с весом ъип(и):

/

1

Qk(u)Qs(u)wn(u)du = О, к ф 5,

'-1

и для них выполняется условие нормировки

Qk( 1) = 1.

Для полиномов Гегенбауэра справедливо также рекуррентное соотношение:

Qo(u) = 1, Qi(u) = и, {к+ п- 2)Qk+\{u) = (2k + n- 2)uQk(u) - kQk-i(u). Из этого следует, что

п , ч _ (fc + n - 2)Qfc+i(u) + fcQfe-iH , _ л 0

2fc + n-2 ' /с-1,2,...

Обозначив

к+п-2 к

аь — —- и Oh — —-,

2k + n-2 2к + п — 2

получим

uQk(u) = + fc = 1,2,... (2.2)

Заметим, что при n ^ 2 и к ^ 1 числа а^ и положительные.

Ф. Дельсарт [5] в 1973 г. предложил замечательный метод оценивания количества элементов сферического дизайна порядка t. Зафиксируем натуральное d^t. Пусть Vj — множество алгебраических полиномов степени не выше d, удовлетворяющих условиям

F(x) ^ 0 для всех х G [-1, 1] и F( 1) > 0.

Каждый полином F(x) разложим по полиномам Гегенбауэра

d

к=0

где коэффициенты Фурье F^ определяются следующей формулой

\\Qk\r

Здесь ( , ) - скалярное произведение в L2[—1, 1] с весом wn{u), ||Q/c||2 = (Qk,Qk)- Введем множество

M(n,i,d) = {F G Vj\ 0, ket + l:d}.

Теорема 1. (Делъсарт [5].) Пусть Ф = • • •, Рт} ~ сфери-

ческий дизайн порядка t. Тогда

т ^ sup F G M(n,i,d) | , (2.3)

где Fq - нулевой коэффициент Фурье полинома F(x).

Замечание. Теорему Дельсарта еще можно сформулировать в следущем виде. Обозначим t) минимальное количество элементов сферического дизайна порядка t в пространстве W1 (при условии, что хотя бы один такой сферический дизайн существует). Тогда справедливо неравенство

b(n,t) ^ supjffi^, F G M(n,i,d) | ,

где Fq - нулевой коэффициент Фурье полинома F{x).

Для оценки снизу количества элементов сферического t - дизайна можно также использовать модификацию теоремы 1, использующую только четные полиномы.

3. Модификация теоремы Дельсарта, использующая только четные полиномы.

Пусть везде дальше t нечетное и t — 2s +1. Введем класс полиномов

М(щ t, d) := {F G М(щ t, d) и F(-u) = F(u), Vw G [-1, 1]}.

Тогда справедлива теорема, которая впервые появилась в работе [3]. Нами приведено более подробное и точное доказательство.

Теорема 2. Справедливо неравенство

b(n, t) ^ sup | F G М(гс, t,d) | , (3.4)

где Fq - нулевой коэффициент Фурье полинома F{x).

Доказательство. Возьмем F G M(n, i, d). Докажем, что i) ^

Введем F*(u) = + Проверим, что F* G M(n, i, d+1). Так как

^(гл) неотрицательная на [—1, 1] и F( 1) > 0, то F* тоже будет неотрицательной на [—1, 1] и F*(l) > 0. Рассмотрим коэффициенты Фурье для F*. При четном к интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен нулю. Получаем

Fk = ÏÏ7T7Ï2 { I F(u)Qk(u)wn(u)du + J uF(u)Qk(u)wn(u)du \ = Fk.

1

\\Qk\r u-i

При нечетном воспользовавшись соотношением (2.2), получим

ri

Fk = 1 | J F(u)Qk(u)wn(u)du + J uF(u)Qk(u)wn(u)du \ =

1 Г1 -

uF(u)Qk(u)wn(u)du

WQ-112

mi J-1 /•î

IIQ-112

fcii j-i 1

IIQfci

12

Проверим, что

Fk+i +/3k\\Qk-i\\ Fk-1

о, к е £ +1: й +1.

Пусть к четное, /с ^ £ + 1. Тогда

= ^ ^ 0.

Пусть к нечетное, /с ^ £ +1. Тогда к — 1, к +1 четные и £; —+ + так как Л нечетное. Поскольку Р е М(п, й), то ^ 0, ^ 0 и,

следовательно, ^ 0. Из этого следует, что е М(п, 1). По

оценке Дельсарта (2.3) получаем, что

(3.5)

о

причем

1 Г1 /ч

^о = ^Г^ / С1 + = ^*(1) = 2^(1)

Следовательно (3.5) можно переписать в виде

В силу того, что ^ - произвольная функция из класса М(п, й), то, переходя к супремуму в неравенстве (3.5), получаем оценку (3.4). Теорема доказана. □

4. Сеточная задача линейного программирования.

Для данных п, используя оценку Дельсарта (3.4), оценим величину 6(п, £). Будем предполагать, как и ранее, что £ нечетное, £ = 25 + 1. Выберем с1 > в и равномерную сетку на [0, 1]. Положим

7 — 1

щ = ' 7 = 1,.. .,М0 + 1. Мо

Задача оценивания Ь(п, £) сводится к нахождению полинома ^('гх) Е М(п, 2с?), имеющего вид

(1 /с=1

где ^ ^ 0 при к ^ 8 + 1, максимизирующего ^(1), при этом будем фиксировать, взяв равным 1. Запишем соответствующую задачу линейного программирования. Тогда

ВД,..., = 2^(1) = 2 + 2(^1 + Р2 + • • • + тах,

(1

Г(щ) = 1 + 5] > 0, 7 Е 1 : М0 + 1, (4.6)

/с=1

^ ^ 0, к Е 8 + 1 : А.

Если — оптимальное решение (4.6), то = 1 +

— оптимальный полином. Для того, чтобы на отрезке [О, 1] выполнялось условие неотрицательности, введем

£ = -min{F*(n), u Е [0, 1]}.

Тогда рассмотрим полином

F(u) = F*(u)+s.

Заметим, что F(u) ^ 0 на [0, 1] и F(u) Е M(n, i, d). Коэффициенты F и F* связаны соотношениями

По оценке Дельсарта (3.4)

F0 1 + 6 1 + г '

где L* = L(F*,..., FJ) - максимальное значение целевой функции.

5. Модифицированный симплекс-метод.

В задаче (4.6) представим

Fk = F'k-Fl F'k> О, F''^ 0, k £ 1 : s; Fk = -Fk, F'i ^ 0, k e s+1 : d.

Добавим переменные z^ ¿Gl: M0+2 и запишем задачу, эквивалентную (4.6):

s d

Z(Fb..., =-2F(1) =-2-2^ + 2 £ Fj! ^ min,

s d

Fo + Y1 Q2k{ui){F'k - - Q2k{ui)F''-zl = 0, ге1:М0ф%)

k=1 fc=s+l

^0 = 1,

Fk ^ 0, F{! ^ 0, k e 1 : d.

Введем индексные множества M = 1 : Mo + 2, D = 1 : d и рассмотрим матрицу A [M, D], где

А[г, /с] = Q2k(ui), г G 1 : M0 + 1, /с G 1 : d; A[M0 + 2,k] = 0, k e 1 : d.

Тогда систему ограничений в задаче (5.7) можно переписать в виде

s d Мо+1

f0i[M] + k] - J2 - E = w

k=1 fc=s+l г=1

где

1[M] = (1,...,1)T, Ь[М] = (0,..., 0,1)т.

Задачу (5.7) будем решать с помощью модифицированного симплекс-метода. Укажем начальный базисный план

F0 = 1, Zi = 1 при г G 1 : М0 + 1,

остальные переменные равны нулю. Проиндексируем неизвестные в задаче (5.7). Пусть х - массив неизвестных в задаче (5.7). Положим

x[k] =F'k, к е 1 : 5; х[0] = F0; х[-к] = F^ к el: d\

x[s + i] = Zi, ¿el: Mq + 1.

Тогда множество базисных индексов Nf выглядит следующим образом: для выбранного нами начального базисного плана

Nf = {0, 8 + 1,..., 8 + М0 + 1} , INf\ = М0 + 2.

Столбцы, соответствующие базисным неизвестным, линейно независимы. Это следует из того, что для базисной матрицы А[М, TV7] можно указать обратную базисную матрицу B[NМ] (смотри далее формулы (5.8)). Базисная матрица и обратная к ней имеют следующий вид при М0 = 4:

-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 0

0 0 -1 0 0 , В = 0 -1 0 0 0

0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0

0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1

(5.8)

При составлении программы мы не будем хранить в памяти компьютера всю матрицу коэффициентов, достаточно хранить матрицу А[М, D].

Обратим внимание на то, как в нашей программе будут вычисляться оценки.

Возьмем границу barrier=10-14. Будем продолжать вычисления, пока максимальная оценка max ^ barrier. Оценки будем вычислять по следующим формулам

e[F'k] = у[М]А[М, к] + 2 при к е 1 : s;

4FH] = -e[F'k] при к е 1 :

e[F''\ = -у[М]А[М, к] - 2 при к е s + 1 : d;

e[zi] = у[М](-ег) = -у[г\ при г е 1 : М0 + 1.

6. Результаты работы программы.

Результаты работы программы поместим в таблицу

п t d Mo L* £ L*+ 2e l+e MM) К

2 3 2 100 4 0 4 4 4

3 5 3 100 12.006 7.17e-004 11.99 12 12

4 3 2 100 8 0 8 8 8

4 5 3 100 20.007 0.002 19.97 20 24

4 7 5 100 41.1 7.54e-004 41.07 40 46

4 7 5 200 41.1 1.81e-004 41.09 40 46

4 9 7 100 73.64 0.006 73.20 70 86

4 11 11 100 120.05 0.06 119.33 112 120

4 19 19 1000 499.35 0.002 498.61 440 720

8 7 4 100 240 0.001 239.70 240 240

8 11 8 800 1856 2.28e-004 1855.50 1584 2400

8 13 12 1000 4360.7 7.02e-004 4357.7 3432 24240

8 15 16 500 9191.5 0.005 9140 6864 26400

12 5 3 100 156.08 6.34e-004 155.98 156 756

12 7 4 100 728.52 0.002 727.08 728 756

12 9 6 600 2939.80 2.28e-4 2939.10 2730 8064

12 11 7 1000 10604 1.05e-4 10602 8736 50400

В приводимой выше таблице используются обозначения: К — наименьшее известное количество элементов сферического дизайна, приведенное в [3]. Там же указан источник, где описан сферический дизайн с К элементами, например, при п = 4, t — 11, дизайн со 120 элементами описан в [2]; br>(n,t) — оценка Дельсарта, вычисляемая по следующей формуле (см. [1], [5])

bD(n, t) = для t = 2s + 1.

Литература

1. Delsarte P., Goetals J.M., Seidel J.J. Spherical codes and designs // Geom. Dedicata. 1977. V. 6. P. 363-388.

2. Андреев H.H.Минимальный дизайн 11-го порядка на трехмерной сфере//Машем, заметки. Сер. 2000. Т. 67. Щ. С. 489-497.

3. de la Harpe P., Pache С., Venkov В.Construction of spherical cubature formulas, using lattices// Алгебра и анализ. 2006. Т. 18. Вып. 1. Р. 162-186.

4. Bonnai Е., Munemasa A., Venkov В. The nonexistence of certain tight spherical designs // Алгебра u анализ. 2004• Т. 16. Вып. 4• P-1-23.

5. Delsarte P. An algebraic approach to the association schemes of coding theory// Philips Res. Reports(Suppl). 1973. V. 10.

Summary

Pevnyi А.В., Kotelina N. O. Lower bound for cardinality of spherical design using linear programming

The theorem of Delsarte for lower bound for cardinality of spherical design and its modification using only even polynomials are given. The corresponding grid problem of linear programming is considered and the results of calculations are given.

Сыктывкарский университет

Поступила 2.11.2010