Одна модификация теоремы Дельсарта для оценки контактных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. С ер Л. Вып. 13.2011

УДК 519.6

ОДНА МОДИФИКАЦИЯ ТЕОРЕМЫ ДЕЛЬСАРТА ДЛЯ ОЦЕНКИ КОНТАКТНЫХ ЧИСЕЛ

А. Б. Певный, М. Н. Истомина

Исследуется один метод оценивания контактных чисел, предложенный в работе [1]. Этот метод основан на модификации теоремы Ф. Дельсарта [2] и сводится к решению задачи линейного программирования. В изложение метода внесены некоторые уточнения. Ключевые слова: контактные числа, теорема Дельсарта, сферические коды.

1. Введение. Контактным числом Мп пространства W1 называется максимальное число шаров радиуса R — 1с непересекающимися внутренностями, касающимися одного такого же шара. Точные значения Мп известны только для размерностей п = 2,3,4,8 и 24:

М2 = 6, М3 = 12, М4 = 24, М8 = 240, М24 = 196560.

Для остальных п известны только оценки чисел Мп, см., например, таблицу таких оценок в книге [3], с. 42.

Пусть х • у — обычное скалярное произведение векторов х, j/ G Мп, \х\ = л/х • х — норма вектора х.

Нетрудно показать, что Мп равно максимальной мощности сферического |-кода. Множество С = {х\, ..., %} на единичной сфере называется |-кодом, если Х{ • Xj ^ | при г Ф j.

Итак, Мп равно максимальному М, для которого существует |-код из М векторов. Подробнее об этом см. в [4].

2. Пусть С = {xi, ..., хм} — сферический |-код, т.е. Xi • Xj ^ \ при i ф j. Пусть K(t) — количество упорядоченных пар (х^, Xj), для которых Х{ • Xj = t. Введём функцию

a(t) = ±-K(t), -l^t^l.

© Певный А. Б., Истомина М. Н., 2011.

Она обладает свойствами

a(t) = 0 при te 1); a(l) = 1; (0.1)

М2

Е = w = (0-2)

Ещё одно свойство a(t) связано с полиномами Гегенбауэра. Полином Гегенбауэра G^\t) имеет степень к, нормирован условием 1) = 1 и система ортогональна на [—1, 1] с весом (1 — ¿2)(п~3)/2. Для

любых точек х1з ..., хм G Sn~l справедливо неравенство

м

Y, G^ixi-xj) 2 0, k = 1,2,... (0.3)

hj = 1

Нетрудно показать, что

м

£ «(t)Gf(i) = £ . Xj) £ 0, k = 1,2,...

-1^1 г, J = 1

Использовав (1), получим неравенство

- J] a(t)G£\t)^ 1, Л = 1, 2, ...

Будем теперь рассматривать всевозможные функции a(i), отличные от нуля только в конечном числе точек отрезка [—1,1]. Рассмотрим «задачу линейного программирования» при фиксированном натуральном d:

L(a) := 1 + a(t) sup

-1

Y^ 1, kel:d,

(0.4)

; 2

a(t) ^ 0, te [-1,5].

Очевидно, что контактное число Мп не превосходит супремума L(a) при ограничениях (4).

Запишем теперь «двойственную задачу»:

d

S(f) inf,

к=1

(0.5)

к=1

л ^ 0, к Е 1 : ± В соответствии с общей идеей линейного программирования для любой удовлетворяющей (4), и для любого вектора / = (Д,..., удовлетворяющего (5), справделиво неравенство

од ^ 1+ £(/)• (0.6)

Действительно,

одо + £

< 1 +

<г

£

/С = 1

/С = 1

Е

/с=1

В силу (6) приходим к выводу: если вектор / удовлетворяет ограничениям (5), то для контактного числа Мп справедлива оценка Мп ^ 1 + £(/). Это одна из переформулировок теоремы Дельсарта [2].

3. Интересная модификация теоремы Дельсарта предложена в краткой заметке [1]. Идея состоит в том, чтобы к ограничениям (4) добавить дополнительные ограничения на Эти дополнительные

ограничения установим в следующих двух теоремах.

ТЕОРЕМА 1. Пусть т — натуральное число, = — у/(т + 1)/(2т). Тогда

1. (0.7)

Доказательство. Напомним, что функция а{€) порождается |-кодом С — {хх, ..., хм}- Зафиксируем к Е 1 : М. Пусть А^) — количество векторов Х{ таких, что Х{-Хк — Тогда а{€) — Достаточно

для любого к Е 1 : М доказать неравенство

Допустим противное: при некотором к Е 1 : М найдутся т векторов ..., х^ Е С таких, что

X

(г) ' хк г Е 1 : га.

(0.8)

Рассмотрим и оценим сумму

171

5 := ^ ' ^ гп + (т2 - т) • \ = \т(т + 1). (0.9)

С другой стороны, 5 = X • X, где X = • К вект0РУ хк можно

добавить векторы е2,...,еп так, чтобы получить ортонормированный базис {хк, е2,.. •, еп}. Тогда

|Х|2 = (X • х,)2 + (X • е2)2 + • • • + (X • еп)2 > (X • х,)2.

Отсюда

(га

г=1 У

В силу (8) х^ ' хк < < 0. Следовательно,

5 > (га£ш)2 = т2Ш + 1 = |т(т + 1).

2т z

Получим противоречие с неравенством (9). □

Замечание. = ~ -°-866; = ~ -0.816.

Следующая теорема приведена в [1] без доказательства и с неточным значением г о.

ТЕОРЕМА 2. Пусть г0 = ^ - \/3 « -0.915. Тогда

2 Е) <*(*) + Е) (0.10)

г0<г<г з

Доказательство. В предыдущей теореме при т = 3 получены неравенства

^2, к Е 1 : М. Зафиксируем к Е 1 : М. Нам нужно доказать неравенство

Г0<кг з

Оно равносильно утверждению: если Е С, • ^ г0, то не существует х^2) Е С, х(2) ф такого, что г0 < • < Ц. Допустим

противное: такой вектор х^ существует. Тогда из неравенства (9) при тп — 2 получим + х^\2 ^ 3. В то же время справедлива оценка снизу

2

+ *<*> I2 £ + *<2>) • Хк)г > (го + ¿з)2 = (4-^-4) =3-

|т(1)

1 1 1 " ' "" ' " 1,0 ' "" ' л/6 у/6,

Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. □

4. Пусть теперь а{€) обозначает функцию, отличную от нуля только в конечном числе точек отрезка [—1,1]. Выберем натуральное число А. Рассмотрим «задачу линейного программирования»

- ^ 1, ке1:<1;

<*(*)+

2 Е «(*) + £ «(*) + Е «(¿к2-

г о<^2 г2<г<гз

Ей соответствует «двойственная задача»:

к=1

+ Л+1 + 2Л+2 ^ 1, * е [-1, го], (0.11)

/с=1

+ + ^ 1, * е (г0, ¿2], (0.12)

/с=1

г_{п)

к=1

+/¿+2^1, *е(*2,*з), (0.13)

/с=1 (1

$><П)(*)Л * е [«з, Н, (0-14)

/с=1

0, к = 1, 2,..., с? + 2. (0.15)

Для любых планов прямой и двойственной задач справедливо неравенство L(a) ^ 1 + S(f) (аналогичное неравенство доказано в п. 2). Отсюда вытекает

ТЕОРЕМА 3. Если вектор f = (Д,..., fd+2) удовлетворяет ограничениям (11) - (15), то для контактного числа Мп справедливо неравенство

Mn^l + S(f).

5. Заменив непрерывный параметр t в ограничениях (11) - (15) на точки сетки, получим задачу линейного программирования, которую можно решать на компьютере. На этом пути можно получить оценку М9 ^ 379 (см. [4]).

Литература

1. Всемирнов М. А., Ржевский М. Г. Верхняя оценка контактного числа в размерности 9// Успехи матем. наук. 2002. Т. 57. Вып. 5. С. Ц9-150.

2. Delsarte Ph. An algebraic approach to the association schemes of coding theory // Philips Res. Repts. Suppl. 1973. N 10. P. 1-97.

3. Конвей Дж., Слоэн H. Упаковки шаров, решётки и группы. Т. 1. М.: Мир, 1990. 416 с.

4. Котелина Н.О. Методы оценивания контактных чисел // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Мат. Мех. Инф. 2011. Вып. 13. С. 89-98.

Summary

Pevnyi А. В., Istomina M. N. A modification of Delsarte's theorem for the estimation of kissing numbers

A modification of Delsarte's theorem is proved. Keywords: kissing number, Delsarte's theorem, spherical codes.

Сыктывкарский государственный университет Поступила 20.04-2011