Неравенство Сидельникова и полиномы гегенбауэр Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 1(19). 20Ц

УДК 519.27

НЕРАВЕНСТВО СИДЕЛЬНИКОВА И ПОЛИНОМЫ

ГЕГЕНБАУЭРА

Н. О. Котелина, А. Б. Певный

Даётся новое доказательство неравенства Сиделъникова, основанное на свойствах полиномов Гегенбауэра. Неравенство обращается в равенство на сферических полудизайнах и только на них.

Ключевые слова: неравенство Сиделъникова, полиномы Гегенбауэра.

1. Неравенство Сиделъникова

Пусть (х,у) — обычное скалярное произведение векторов х, у е №п, п ^ 2, и норма ||ж|| = а/(х,х). Пусть §п_1 = {х £ Мп : ||ж|| = 1} — единичная сфера в Мп.

В 1974 г. В. М. Сидельников [1] установил важное неравенство, которое в случае конечной последовательности векторов из М™ имеет следующий вид.

ТЕОРЕМА 1. Пусть X = {х\,... , хт} — конечная последовательность векторов из М™. Тогда справедливо неравенство

т т.

т

(1)

{=1 з=1

1=1

где к — произвольное натуральное число,

Ск =

(2к — 1)!!

п(п + 2) ■ ■ ■ (п + 2к - 2)'

© Котелина Н. О., Певный А. Б., 2014.

Замечание. При к = 1 константа с\ равна — и хорошо известна в теории

п

фреймов. Оригинальные доказательства неравенства (1) даны в работах [2-5]. Наше новое доказательство основано на свойствах полиномов Гегенбауэра.

2. Полиномы Гегенбауэра

Пусть п ^ 2, и>га(£) = (1 — ¿2)(п_3'/2. Система полиномов Гегенбауэра определяется условиями с^ Ск = к, Ск( 1) = 1 и условием ортогональности

У = к (3)

При п = 2 получаются полиномы Чебышёва, а при п = 3 — полиномы Лежандра. Справедливо рекуррентное соотношение

{к + п- 2)Ск+1(1) = (2к + п- 2)Юк(1) - кСк.г(1),

причём Со(^) = 1, Сх(^) = Отсюда

1Ск(г) = акск+1(г) + (4)

где

к+п-2 п к

ак = ^ТГТ-й > °> & = Й7Г7-о > °> аск + 0к = 1.

2к + п — 2 2к + п — 2

Разложим £2к по полиномам Со, С?,..., С2к- При к = 1 имеем ¿2 = = ¿С= ахб^) + ДСо^), причем Д = 1/п. Умножив на получим

= а1(а2в3(г) + /32(п(г)) + /3x^1

Снова умножим на Получим разложение ¿4 по полиномам 6*4, С?2, Со с положительными коэффициентами. В общем случае получим

*2* = с0С2к(1) + С1С2к.2(-1) + • • • + скв0{1). (5)

Вычислим последний коэффициент ск при Со(^) = 1. Умножим (5) на и]п(1) и проинтегрируем по [—1,1]. Получим

J г2к1ип(г) сИ = ск у у)п(г)(И.

Вычисление довольно стандартных интегралов проведено в [3]. Приходим к равенству (2).

Неравенство Сидельникова и полиномы Гегенбауэра

41

Ключевым моментом в доказательстве теоремы 1 является использование неотрицательной определённости полиномов С к'- для произвольных ш > 0 и XI,..., хт Е матрица Ак = < ((ж^, ж^)) >

I J ¿,.7=1

является неотрицательно определённой, то есть

т

(АкУ, у) = Ск({хг,ху})ущ ^ О (6)

г,.7 = 1

для любого вектора у = (у\,... ,уп) из М™. При п = 3 (полиномы Ле-жандра) это свойство известно со времён Лежандра и Лапласа. Известны доказательства и для произвольного п (см., например, [6]).

3. Доказательство теоремы 1

Доказательство. Пусть X = {х\,..., хт} — последовательность точек из М™. Не умаляя общности, можно предполагать, что Ца^Ц ф 0 для всех г Е 1 : т. Рассмотрим точки ^ = а^/Ца^Ц, г Е 1 : т. Подставим в (5)

-8 4 8=0

Теперь умножим обе части получившегося равенства на ||^г||2'с||^||2'с и просуммируем по г, ] Е 1 : т:

т к т

г,,7=1 8=0 г, =1

Поскольку с8 > 0 и выполнено свойство (6), то можно откинуть слагаемые при 8 € 0 : к — 1. Придём к неравенству

т т т

(7)

г=1 ]=1 г=1

□

СЛЕДСТВИЕ. Если все точки хц лежат на сфере то неравенство (7) переписывается в виде

т

^2{хг,х3)2к ^ скт2. (8)

¿>.7=1

4. Условие достижения равенства

Это условие очевидно: то, что откинули, должно равняться нулю.

ТЕОРЕМА 2. Для системы X ненулевых векторов из Е™ неравенство (7) обращается в равенство тогда и только тогда, когда выполнены условия

т

£ й>) =0прии = 2А,...,2к. (9)

СЛЕДСТВИЕ. Если все точки х^ лежат на сфере §п_1; то неравенство (8) обращается в равенство тогда и только тогда, когда выполнены условия

т

Х])) = 0 при и = 2,4,..., 2к. (10)

¿>.7=1

Теорема 2 и следствие делают естественными следующие определения.

Определение 1. Последовательность X = {х\,... , хт} из Еп такая, что £ 1 : т, Ц^Ц ф 0, называется (несферическим) полудизайном порядка 2к, если выполнены условия (9).

Определение 2. Последовательность X = {х\,... ,хт} на й"-1 называется сферическим полудизайном порядка 2к, если выполнены условия (10).

Выводы: неравенство Сидельникова (7) обращается в равенство на (несферических) полудизайнах порядка 2/с и только на них, неравенство Сидельникова (8) обращается в равенство на сферических полудизайнах порядка 2к и только на них.

Другие эквивалентные определения сферических полудизайнов и примеры можно найти в [3]. Сферические полудизайны порядка 2к являются частным случаем И-дизайнов, введённых в [7], при И = = {2,4,...,2 к}.

Список литературы

1. Сидельников В. М. Новые оценки для плотнейшей упаковки шаров в п-мерном эвклидовом пространстве // Матем. сб. 1974Т. 95 № 1(9). С. Ц8-158.

Неравенство Сндельникова и полиномы Гегенбауэра

43

2. Котелина Н. О., Певный А. Б. Неравенство Сндельникова // Алгебра и анализ. 20Ц. Т. 26. № 2. С. 45-52.

3. Котелина Н. О., Певный А. Б. Экстремальные свойства сферических полудизайнов // Алгебра и анализ. 2010. Т. 22. № 5. С. 162-170.

4. Goethals J. M., Seidel J. J. Spherical designs // Proc. Symp. Pure Math. A.M.S. 1979. V. 34. P. 255-272.

5. Venkov В. B. Réseaux et designs sphériques // Réseaux Euclidiens, Designs sphériques et Formes Modulaires, L'Enseignement mathématique Monograph, Géneve. 2001. №. 37. P. 10-86.

6. Котелина H. О. Формула сложения для полиномов Гегенбауэра // Семинар «DHA & CAGD». Избранные доклады. 13 ноября 2010 г. (http://dha.spb.rU/repslO.shtml#1113).

7. Андреев H. Н. Минимальный дизайн 11-го порядка на трёхмерной сфере // Математические заметки. 2000. Т. 67. № 4-С. 489-497.

Summary

Kotelina N. О, Pevnyi А. В. Sidelnikov inequality and Gegenbauer polynomials

New proof of Sidelnikov inequality based on properties of Gegenbauer polynomials is given. The inequality turns to equality on the spherical semidesigns and only on them.

Keywords: Sidelnikov inequality, Gegenbauer polynomials.

СыктГУ Поступила 25.11.2014