CC BY
48
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 11-25 = Математика
УДК 517.5
Нижние асимптотические оценки мощности дизайнов на сфере S2 и шаре B2 *
Д.В. Горбачев Аннотация. Мы доказываем, что
c = lim inf s-2N(s) > 0.275,
где N (s) — минимальное число точек (мощность) s-дизайна на евклидовой сфере S2. Эта оценка лучше оценок c ^ 0.25 и c > 0.272, вытекающих из границ Дельсарта-Геталса-Зейделя и Юдина соответственно. В качестве следствия улучшена нижняя асимптотическая граница мощности дизайнов в евклидовом шаре B2, полученная Yuan Xu.
Ключевые слова: евклидова сфера, евклидов шар, дизайн, плотность упаковки, задача Дельсарта.
Введение
Пусть п € М, ж = (ж1,..., жп) € Мп, жу = ж^ + ... + жпуп — скалярное произведение векторов ж, у € Мп, |ж| = (хх)1/2 — евклидова норма ж, £п-1 = = {ж € Мп: |х| = 1} — единичная евклидова сфера, |£п-1| = 2пп/2/Г(п/2) — ее площадь, Вп = {ж € Мп: |ж| ^ 1} — единичный евклидов шар, |Вп| = = пп/2/Г(п/2 + 1) — его объем, вирр / — носитель функции / (замыкание множества {ж: /(ж) = 0}), ха — характеристическая функция множества А (Ха(ж) = 1 для ж € А и ха(ж) = 0 иначе). Обозначения < и > в асимптотиках означают ^ С и ^ С соответственно с некоторой константой С > 0.
Дизайнами называются узлы и веса квадратурных формул на многообразии, точных для многочленов. В частности, сферическим (чебышевским) дизайном порядка в (или в-дизайном), в € называется конечное множество точек X = {ж^}^=1 С £п-1, для которого квадратурная
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №13-01-00045), Министерства образования и науки РФ (госзадание №5414ГЗ) и Фонда Дмитрия Зимина «Династия».
формула с равными весами
1 f 1 N IS"-1! Js- f (x) = N Ц f (x")
точна для любого алгебраического многочлена f степени s [1, 2]:
f(x) = ^ fkl...knxk1 ■■■x", k € Z+, |k| = kl + ... + kn < s, k
Число точек N = |X | называется мощностью дизайна X. В силу инвариантности интеграла по сфере относительно вращений дизайны можно определять с точностью до вращений.
В связи с многочисленными приложениями представляют интерес так называемые минимальные s-дизайны Xn , для которых число точек N при заданных n и s минимально. Положим
Nn(s) = min |XI, X С Sn-1 — s-дизайн, Nra(s) = |Xn|.
В плоском случае имеем N2(s) = s + 1 и Xs+i — вершины правильного (s + 1)-угольника, вписанного в окружность S1. Также легко видеть, что Nn(0) = 1, Xi — любая точка сферы, например северный полюс, Nn(1) = 2, X2 — северный и южный полюсы сферы. Кроме того известно, что Nn(2) = = n + 1, Xn+i — вершины правильного симплекса, вписанного в сферу Sn-1; Nn(3) = 2n, X2n — вершины октаэдра.
Нахождение величины Nn(s) для произвольных n ^ 3 и s ^ 4, начиная с доказательства факта существования чебышевских дизайнов, является сложной задачей. Поэтому большой интерес представляют хорошие оценки Nn(s). Далее рассматриваются асимптотические оценки величины
N (s) = Na(s)
для больших s в случае сферы S2. В качестве следствия будет уточнена нижняя асимптотическая оценка мощности дизайнов в шаре B2.
Оценки сверху. P.D. Seymour и T. Zaslavsky [3] доказали, что сферические дизайны существуют для любых n и s:
Nn(s) < то.
J. Korevaar и J.L.H. Meyers [2] получили асимптотическое неравенство
Nn(s) < sn(n-1)/2, s ^ то,
и выдвинули гипотезу, что показатель в степени s можно заменить на n — 1. А. Бондаренко, Д. Радченко и М. Вязовская [4] доказали эту гипотезу:
Nn(s) < sn-1, s ^ то.
При n = 3 отсюда следует, что N(s) < s2 и существует константа
C = lim sup NW.
S^-TO s
Явных оценок константы C не найдено. Имеется гипотеза [5], что C ^ 1/2. Оценки снизу. Ф. Дельсарт, Дж. Геталс и Й. Зейдель [1] доказали, что
2(" +" 72), s = 2q - 1,
N"(s) X >n +7-2) (n + q - 1) (1)
(n + q - V (n + q - 4, s = 2q. n - 1 n - 1
n - 1 n - 1
Отсюда в случае n = 3 следует, что
{
N (») и qqv^:=2q-1 (2)
Эта оценка точная при в = 0,1,2,3, 5, в частности, N(5) = 12 и Х12 — вершины икосаэдра. Другие значения N (в) автору неизвестны, только оценки. Например, 22 ^ N(7) ^ 24 [6, 7].
Из (2) вытекает, что N^3) > в2 при в ^ то. Таким образом, существует константа
1. . , N (в) с = ПШ 1Ш —.
в^те в2
При этом неравенство (1) влечет оценку
1
с ^ - = 0.25. 4
Граница (2) за исключением малых в, сравнимых с п, была улучшена В.А. Юдиным [8]:
г1 (1 - ¿у/2-1 ^ Nn(в) ^ ---, й = п - 1, (3)
Л (1 - ¿У/2-1 ^
где ¿з — ближайший к единице нуль многочлена Якоби Рв(<*/2,<*/2)(г) [9]. При п = 3 (й = 2) имеем
2 о?
N (в) ^ -, ¿з ~ 1 - , в ^то,
1 - ' 3 2в2 '
где да — первый положительный нуль функции Бесселя (о) [9]. Отсюда следует оценка
с ^ = 0.27244... > 0.272, ?2
которая лучше оценки с ^ 0.25.
Следующая теорема является основным результатом работы.
Теорема 1. Справедливо неравенство
c > 0.275.
1. Оценка линейного программирования
Границы (1) и (3) были получены из оценки линейного программирования [1, 10]. Приведем ее в случае n = 3. Имеем
N(s) ^ N(s), (4)
гДе (0)
N (s) = sup d(-A, g eg (s), (5)
G(s) — класс функций g e C([0, п]), удовлетворяющих условиям
те те
g(0) = J^dfcgfcPfc(cos0) ^ 0, 0 e [0,п], |gk| < TO,
k=0 k=0 g(0) > 0, gfc ^ 0, k ^ s + 1.
Здесь Pk(t) — ортогональные многочлены Лежандра [9],
í Pk(cos 0)Pk' (cos 0) sin 0d0 = ^, dk = k + 1, Jo dk 2
gk — коэффициенты Фурье-Лежандра функции g:
1 Г
dogo = ~ g(0)sin 0d0 > 0. 20
gfc = / g(0)Pfc (cos 0)sin 0d0.
J0
Ясно, что для g € G(s)
1 ^
2 Jo
Отметим, что задача (5) и ей подобные часто называются экстремальными задачами Дельсарта [10].
Нам потребуется вывод оценки (4) [1, 10]. Пусть X = {xvС S2 и
N
Sfc = ^ Pfc(x^v), k € Z+, ao = N2.
M>v=1
В силу неотрицательной определенности многочленов Лежандра на сфере S2 и неравенства |Pk(t)| ^ 1, t € [-1,1], имеем
0 < Sfc < N2, k € Z+.
При этом множество X будет s-дизайном, s ^ 1, тогда и только тогда, когда
Sfc = 0, k = 1,..., s.
п
Пусть g € G(s). Рассмотрим сумму
N
I = Y^ ).
С одной стороны, в силу неотрицательности функции g имеем
I = Ng(0) + £ ) ^ Ng(0). (6)
С другой стороны, воспользовавшись разложением функции g в ряд Фурье-Лежандра, находим
те те
I = dkgkSfc = dogoN2 + ^ dfcgfcSfc.
k=0 k=s+1
По определению класса G (s) имеем gk ^ 0 при k ^ s + 1. Поэтому
I < dogoN2. (7)
Из неравенств (6), (7) получаем
Ng(0) < dogoN2,
откуда
N > »<0>.
do go
Максимизируя правую часть этого неравенства приходим к оценке линейного программирования (4).
Авторы [1] решили задачу линейного программирования для допустимых многочленов степени s и получили границу (1). В [8] была построена допустимая функция с компактным носителем, которая привела к неравенству (3). Мы не встречали точного решения задачи N(s) при s = 4, 6, 7,.... Отметим еще, что величина N(s) также оценивает снизу мощность произвольных дизайнов с положительными весами.
2. Задача оценки плотности шаровой упаковки
Для получения основного результата нам потребуется задача Дельсарта [11-13] для оценки плотности упаковки Дп евклидова пространства одинаковыми шарами [14, 15].
Плотность шаровой упаковки Дп определяется равенством
Дп = iim sup . .—, n r^J (2R)n '
где Nr — максимальное количество единичных шаров Bn, которые можно расположить внутри куба [—R, R]n с ребром длины 2R. Множество центров
шаров, на котором достигается верхний предел, называется плотнейшей упаковкой Pn С Rn. Она может быть не единственной. Очевидно, что Дп ^ 1, n € N, и Д1 = 1, P1 = Z.
В настоящее время плотность упаковки известна только в плоском и трехмерном случаях: Д2 = п/= 0.90689..., P2 — гексагональная решетка (Л. Фейеш Тот, см. [14, 15]); Д3 = п/л/18 = 0.74048..., P3 — гранецентрированная кубическая решетка (T.C. Hales [16]).
Пусть ¿n = |Bn|-1Дп — центральная плотность шаровой упаковки [15]. Например, ¿2 = = 0.28867... .В работах [11-13] доказано неравенство
¿n ^ ^nj
где
¿n = inf Ш, f €Fn, r(f) < 2, (8)
Fn — класс положительно определенных функций f € L1(Rn) П C(Rn), f (ж) ^ 0 для |ж| ^ r, 0 < r = r(f) < то, /(0) > 0, через
7(у)=/ f (x)e-2nixy dx, y € Rn, f = Fnf,
./Rn
обозначено преобразование Фурье функции f [17].
Для f € Fn имеем f € L1(Rn) П C(Rn), f ^ 0 и f (0) > 0. Рассматривая функцию fr = f(гж/2), для которой fr(y) = (2/r)n/(2y/r), получаем
¿n < (r)n fM. Ы /(0)
Если положить Дп = |Bn|¿n, то будем иметь
ДП ^ ДП.
В работе [11] доказано, что в задаче (8) можно ограничиться радиальными функциями: f (ж) = fо(|ж|), ж € Rn. Преобразование Фурье радиальной функции также радиально и выражается через интегральное преобразование Фурье-Ганкеля: /(y) = f0(|y|), y € Rn,
fo(0) = wj fo(í)j«(2n0í)í2a+1 dt, 0 € R+, fo = Hafo, Jo
где = 2па+1Г + 1), (¿) = Г(а + 1)(£/2) — нормированная
функция Бесселя (^«(0) = 1), а = п/2 — 1, шга/2-1 = |£"-1| [22].
Если /, / € Ь1^") П Сдля радиальной функции /, то в смысле равномерной сходимости = /, Д/0 = /о. Это верно для функций из
Примером радиальной функции из класса является функция [11]
¿П/2(9п/2М/2)
1 - (|х|/2)2 '
при помощи которой получается оценка Левенштейна
„п „п/2
Дга <
4пГ2(п/2 + 1) '
Задача Дельсарта ¿п не решена при всех п ^ 2 (в одномерном случае имеем ¿1 = 1/2). В работе [12] получены хорошие оценки ¿п при небольших п, в частности, _
¿2 < 0.28868. (9)
Для этого было рассмотрено подмножество Тт С ТП, т € полиномов следующего вида:
т
р(х) = ^Р^(х) € ТП, ^(х) = ¿а(2п|ж|2)е-пМ2, к=0
где — многочлены Лежандра [9], р(у) = I]т=0(-1)кРк(у) в силу равенства = (—1)к, р(0) = р(0) = 1. Отсюда следует, что
¿п < (^)п. (10)
Оценка (9) получена на полиноме р* € Т|3, для которого
— 7 2552
2пг2(р*) = 7.25519..., ¿2 < —;- < 0.28868.
8п
Отметим, что число 0.28868 ~ ¿2. Есть гипотеза, подтверждающаяся компьютерными вычислениями, что ¿п = ¿п при п = 2, 8, 24 [12, 18].
Идея доказательства основной теоремы 1 состоит в установлении неравенства
(2/г(р*))2
с ^
4п
откуда с > 0.275. Для этого мы докажем, что для мощности N = |Х| любого з-дизайна X С £2 справедлива нижняя граница
где р €
т. П .
N ^ (2/г(р))2 з2(1 + о(з-1/2)), з > 1, 4п
3. Доказательство теоремы 1
Общие свойства многочленов Лежандра и функций Бесселя, а также некоторые другие вспомогательные результаты возьмем из [9, 17, 22].
1. Нам потребуется вспомогательная радиальная функция Ла(ж), а > 0, для которой
Ла(у) = ¿а+1(2па|у|), 8пррЛа = 2аВ", Ла ^ 0. (11)
Для нормированной функции Бесселя имеем
Д/а(А*) = — А2.ь(А;£), *,А € R,
где
1 л Л
Справедливо равенство Грина
Г «2
/ (&и1и2 — и^-и^р^ = ^(¿)(и/1и2 — и1и/2)|«2. (12)
Jal
Найдем отсюда преобразование Фурье характеристической функции ха = = Х«Бп шара аВ":
Ха(у) = ЯаХ[о,а](*) = ^а /" (Аф^, А = 2п|у|.
о
Имеем
о где
Поэтому
Г{Ш ■ ¿а(А*) — 1 ■ Д/а(А*)}р^ = р(*){1' ■ ^а(А^) — 1 • (¿„(А*)^}
о
Л / л \ А2^ . .
^аа2а+2
Ха(у) = А;'а+1(2па|у|), А = а
2(а + 1)
Положим Ла = А-2ха * Х«, где /1 * /2 — свертка функций /1, /2:
(/1 * //)(х) = / /1(х — ж'Щж') ¿ж', ^„(/1 * //) = /1/2.
■У Rn
Тогда Ла = А-2ха и условия (11) выполнены.
2. Пусть р € ^т, ст ^ 1 — некоторое большое число, Л, = Ла — функция из п. 1 для 2па = д'/ст, где д' = да+ь
Положим / = р * Л. Поскольку свертка радиальных функций также радиальна, то /(ж) = /0(|ж|). Пусть ^ = /0 и ф = /0 — радиальные части функции / и ее преобразования Фурье / соответственно.
Покажем, что функция / € и обладает следующими свойствами: ф(£) = Ро^ХЛ+^'^/а) — четная аналитическая функция, ф(а) = ф'(а) = 0; равномерно по £ € К+
р(*) = шЛ ф(в),о(2п*в)вйв;
о
для любого 6 > 0 при £ € М+
|^)| + |ф(%)| < (1 + ИГ5, , =0,1; (13)
<£>(£) < 0 при £ ^ г + 2а, ф ^ 0, ф(0) = 1, <р(0) = 1 + 0(а2), где а = д'/(2па) =
= 0(а-1).
Имеем
/(ж) = / р(ж — ж')Н(ж') ^ж' = р(ж — ж')Н(ж') ^ж', / = рН ^ 0.
./К" ./|ж'|<2а
Оценим г(/). Пусть г = г(р), тогда р(ж — ж') ^ 0 при |ж — ж'| ^ г. Поскольку |ж — ж'| ^ |ж| — |ж'| ^ г при |ж| ^ г + 2а и |ж'| ^ 2а, то г(/) ^ г + 2а.
Очевидно, что |р(ж)| + |р(ж)| = 0(е-п|х| ), в частности, |р(ж)| + |р(ж)| < < (1 + | ж |) 5 для любого 6 > 0, ж € Мга. Поэтому функции /, / удовлетворяют таким же асимптотикам. При этом в случае / мы учли оценки
,а(*)| < 1, ,а(*)| < (1 + |£|)-а-1/2, £ € К. (14)
Для значений в нуле имеем /(0) = рГ(0)Н(0) = 1,
/(0) = р(ж)Н(ж) ^ж = (р(0)+ 0(|ж|2))Н(ж) ^ж = 1 + 0(а2).
./Ы<2а ./Ы<2а
р(0)+ 0(|ж' 1 1 '^Т'«2"»
Здесь мы воспользовались аналитичностью радиального полинома р(ж) в окрестности нуля, оценкой |ж|2 ^ (2а)2 и равенствами
/ Н(ж) ^ж = Н(0) = 1.
./|ж|<2а
3. Пусть п = 2, а = 0, ш0 = 2п, а > 1. На основе функции ф из п. 2 построим неотрицательную функцию #(в) € С 1([0, п]), к которой затем применим результаты секции 1.
Пусть Ф(£) = ф(£) + а-2ф1(£), где
1 Г
Ф1(£) = 24 Л ^Ф(^) ^ £ € К+.
Функция ф ^ 0, поэтому ф1(£) ^ 0 и Ф(£) ^ 0 при £ € [0, а]. Поскольку ф(а) = = 0, то ф1(а) = ф1 (а) = 0. Положим
#(в) = Ф(ав), в € [0,1], #(в) = 0, 0 € [1,п].
Тогда коэффициенты Фурье-Лежандра функции g равны
gfc = J g(0)Pfc(cos0)sin0d0 = 2пст2^ (cos0)0d0, k € Z+.
Нам потребуется равномерное асимптотическое равенство Сеге [19-21]: при больших k
y^^Pfc(cos0) = Jo(N0) + 0C|/N- 1 Ji(N0) + O(k-5/2), 0 € [O,0o],
где N = k + 1/2, 0o < 2^л/2 — 1)п « 0.828п. Запишем его в терминах нормированных функций Бесселя:
у^Рк (cos 0) = jo(N0) + A(0)ji(n0)02 + O(k-5/2),
где
A(0) = 0ct1g602— 1 = — ¿+ a(0), a(0)= O(02), 0 ^ 0. (15)
Выведем отсюда асимптотические равенства для при N > ст. Имеем
= 2пст2 / Ф(ст0){jo(N0) + A(0)ji(N0)02 + O(k-5/2)} 0d0 = o
o
га
= 2п Г Ф(^)(^о(А^) + А(£/ст)л(А£)(£/ст)2 + 0(к-5/2)} Ш, ■)о
где А = ^ст, А > 1.
В силу неотрицательности ф имеем
£ фф ¿¿^ < ф^ ¿¿^ = ^ < 1,
а используя асимптотику (13) при 5 > 4, получаем
га га га 1 га
24 / ф^) ¿¿^ = 0ф(0) ¿^¿¿^ = -/ ф(0) 03 ¿0 <
Уо Уо Jt 2 ■> о
1 г те
< 2 Уо ф(0) 03 ¿0 < 1. (16)
Поэтому
а
2п / Фф ¿¿^ ■ 0(к-5/2) = 0(к-5/2). о
Далее рассмотрим
га га
I = Ф(*){^о(А^) + А(^/ст)^1(А^)(^/ст)^ ¿¿^ = Ф(^)^о(А^) Ш + 7о Jо
+ ст^оо ф1 (^)^о(А^) ¿¿^ + ^ ф(^)А(^/ст)^1(А^) ¿3 ^ +
1 Га
+ ^ ф1(*)А(*/а)л(А*) ^ = /о + а-2/1 + а-4/2. а4 Уо
Преобразуем сумму
р Г'7 „
/1 = ф1(£),'о(Л£) + / ф(£)А(£/а),1(Л£) £3
оо
о
Воспользуемся равенством
^ (¿2а+2,«+1(А£)) = 2(а + 1)*2а+,а(Л*).
Имеем
/*<т /*<т
2
га га
2 ф1(£),о (Л£) = ф1(£) ^(¿2,1(Л£)) = ./о ./о
= £2ф1(£),1(Л£)|о — I ф!(£)£2,1(Л£) ^ = -4 ^ ф(£),1(Л£) £3
/ „/,' ЛЛ+2
■Луль)ш = —
Поэтому в силу (15)
/1 = [ ф(£)а(£/а),1(Л£) £3
о
Для /о имеем
гте /-те 1 , Л \
ф(£),о(Л£) Ш — I ф(£),Ъ(Л£) 2п) — Ю- (17)
Оценим /о, воспользовавшись формулой Грина (12):
г те
/ {Яф(*),о(Л*) — ф(*)Д/о(Л*)} = £{ф' (£),о(Л£) — ф(£)(,Ъ(Л£))^> |те = 0,
J а
поскольку ф(а) = ф'(а) = 0. Отсюда в силу оценок (13) и (14)
/о = — Л2 Яф(*),о(Л*) = ^ о(I™ £-5+1/2 = а4-50(^-5/2),
где предполагается 6 > 3/2.
Оценим а-2Д. Положим ф0(£) = ф(£)а(£/а). Как и выше, используя формулу Грина для оператора имеем
/1 = — Аф0(*)л(Л*) £3
Отсюда и из оценки ^1ф0(£) = а-20((1 + ), £ ^ а, вытекающей из (13), (15), находим
Л2/1 = Г + С = 02 ЧГ £3 Л) + 02^72 0 (/'(1 +£3/2 Л) =
= а-2{0(Л-4) + 0(Л-3/2)> = а-20(Л-3/2),
/о = о
о
12 = — Аа ¡о АФ1л(ША^ ¿3
где предполагается 5 > 5/2. Таким образом,
ст-2/1 = ст-40(А-7/2) = ст-1/20^-7/2). Наконец, для /2 имеем
1а
.Jо
где ф^СО = ф1(*)А(*/ст), Аф^) = 0((1 + ), * < ст. Отсюда ст-4/2 = ст-40(А-7/2) = ст-1/20^-7/2). Собирая все оценки вместе, для коэффициентов дн получаем
дн = ^ ) + ст4--5/2) + ст-1/20^-7/2) + 0(к-5/2),
где N = к + 1/2 > ст > 1, 5 > 4.
Для нулевого коэффициента имеем
до = 2п ^ ^(¿^^^¡/г/^ ¿¿^ = 2п Iа Ф(*){1 + 0((£/ст)2)} £ ^ =
= <^(0) + 0(ст-2), поскольку аналогично (17) и (3)
I'а фф ¿¿^ = ^ — [^ фф ¿¿^ = ^ + 0(ст2-^)
о
га га гте
/ ф1(^) ¿3 ^ </ ф(£) ¿5 ^ ф(£) ¿5 ^ < 1, Уо Уо Уо
если 5 > 6.
Значение функции д в нуле
1 /-а
д(0) = 2пст2 (ф(0) + ^ £ 0ф(0) = пст2(ф(0) + 0(ст-2)).
4. Завершим доказательство теоремы. Применим к неотрицательной функции д(0) € С 1([0,п]) результаты секции 1. Пусть X = {ж^ }^=1 С 52 — 8-дизайн. Тогда
те
2
Ng(0) < 2 + ^ 4дн5н,
н=«+1
где 0 < 5н < N2.
и
Имеем: ф(0) = 1, ^(0) = 1 + 0(ст-2), <^(t) ^ 0 при t ^ r + 0(ст-2). Поэтому go = 1 + 0(ст-2), g(0) = пст2(1 + 0(ст-2)). При этом
gk = К ¿ ) + gk, gk = ст4- O(k-5/2) + CT-1/2O(k-7/2) + O(k-5/2),
где <^(t) ^ 0, если t = N/(2na) ^ r + qi/(na). Поскольку N ^ s + 3/2 при k ^ s + 1, то, если выбрать ст из уравнения
s + 3/2 qi s + 3/2 - 2qi s i
- = r +--, ст =- =--+ O(s 1),
2пст пст 2nr 2nr
будем иметь <^(N/(2na")) ^ 0 при k ^ s + 1. Отсюда для § > 6 получаем
те те
dkgk Sk < N2 J] dkgk <
k=s+1 k=s+1
< N2 £ к(ст4-гk-5/2 + ст-1/2к-7/2 + k-5/2) <
k=s+1
< N2(ст4-s-1/2 + ct-1/2s-3/2 + s-1/2) < N2ст-1/2. Таким образом,
N2 N2 N ■ 2пст2(1 + 0(ст-2)) < — (1 + 0(ст-2)) + N20(ст-1/2) = — (1 + 0(ст-1/2)).
Отсюда
N > 4па2(1 + 0(а-1/2)) = ^^ в2(1 + 0(в-1/2)), 5 > 1.
4п
Теорема доказана.
4. Оценка мощности дизайнов в шаре В2
В работе [23] изучаются нижние границы мощности взвешенных дизайнов в шаре В2. В частности, в случае квадратурной формулы вида
N
f (x) dx = £ Avf (Xv),
Ib2 \J 1 - |x|2
v=1
где ж^ € В2, Л^ > 0, V = 1,...,N, точной для многочленов / степени в доказано, что _
N = N > N00.
^ 2
Отсюда и из оценок Дельсарта-Геталса-Зейделя и Юдина в [23] показывается, что
Ns s2(1 + O(s-1)), Ns ^ -2 s2(1 + O(s-1)), s > 1, 8 q2
где 1/8 = 0.125, 2/q2 - 0.13622.
Наш результат позволяет уточнить эти оценки:
Ns > 0.144s2(1 + O(s-1/2)).
Список литературы
1. Delsarte P., Goethals J.M., Seidel J.J. Spherical codes and designs // Geom. Dedicata. 1977. V. 6. P. 363-388.
2. Korevaar J., Meyers J.L.H. Spherical Faraday cage for the case of equal point charges and Chebyshev-type quadrature on the sphere // Integral Transforms Spec. Funct. 1993. V. 1. № 2. P. 105—117.
3. Seymour P.D., Zaslavsky T. Averaging sets: a generalization of mean values and spherical designs // Adv. Math. 1984. V. 52. P. 213—240.
4. Bondarenko A., Radchenko D., Viazovska M. Optimal asymptotic bounds for spherical designs // Ann. Math. 2013. V. 178. № 2. P. 443-452.
5. Hardin R.H., Sloane N.J.A. McLaren's improved snub cube and other new spherical designs in three dimensions // Discrete Comput. Geom. 1996. V. 15. P. 429-441.
6. Boumova S., Boyvalenkov P. Nonexistence results for spherical 7-designs // 11th International Workshop on Algebraic and Combinatorial Coding Theory. Pamporovo, Bulgaria, 2008. P. 35-39.
7. Горбачев Д.В. Оценка снизу мощности 7-дизайна на сфере S2 // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 15-23.
8. Юдин В.А. Нижние оценки для сферических дизайнов // Изв. РАН. Сер. матем. 1997. V. 61. № 3. С. 213-223.
9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966.
10. Levenshtein V.I. Universal bounds for codes and designs // In: Handbook of Coding Theory. Amsterdam: Elsevier, 1998. P. 449-648.
11. Горбачев Д.В. Экстремальная задача для целых функций экспоненциального сферического типа, связанная с оценкой Левенштейна плотности упаковки Rn
шарами // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 2000. Т. 6. Вып. 1. С. 71-78.
12. Cohn H., Elkies N. New upper bounds on sphere packings I // Ann. Math. 2003.
V. 157, № 2. P. 689—714.
13. Cohn H. New upper bounds on sphere packings II // Geom. Topol. 2002. V. 6. № 1. P. 329—353.
14. Роджерс К. Укладки и покрытия. М.: Мир, 1968.
15. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. Т. I. М.: Мир, 1990.
16. Hales T.C. A proof of the Kepler conjecture // Ann. Math. 2005. V. 162. P. 1065—1185.
17. Стейн И. , Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.
18. Cohn H., Kumar A. Optimality and uniqueness of the Leech lattice among lattices // 2009. V. 170. № 3. P. 1003-1050.
19. Szego G. Uber einige asymptotische entwicklungen der legendreschen funktionen // Lond. Math. Soc. (2). 1932. V. 36. P. 427-450.
20. Чухрукидзе Н.К. Асимптотические формулы для функции Лежандра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т. 5. № 4. С. 742—744.
21. Frenzen C.L., Wong R. A uniform asymptotic expansion of the Jacobi polynomials with error bounds // Canad. J. Math. 1985. V. 37. P. 979-1007.
22. Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений. 2 изд. Тула: Гриф и К, 2005.
23. Yuan Xu. Lower bound for the number of nodes of cubature formulae on the unit ball // J. of Complexity. 2003. V. 19. №3. P. 392—402.
Горбачев Дмитрий Викторович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Lower asymptotic bounds for cardinality of designs on the sphere S2 and the ball B2
D.V. Gorbachev
Abstract. We prove that
c = liminf s-2N(s) > 0.275,
where N(s) be cardinality of s-design on the Euclidean sphere S2. This bound is better than bounds c ^ 0.25 and c > 0.272, arising from Delsarte-Goethals-Seidel and Yudin bounds, respectively. As consequence, we improve lower asymptotic bound of designs cardinality in Euclidean ball B2, obtained by Yuan Xu.
Keywords: Euclidean sphere, Euclidean ball, design, packing density, Delsarte problem.
Gorbachev Dmitry ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 10.11.2014
