CC BY
65
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Одним из наиболее важных требований к интерфейсу в системе «человек-машина» является свойство сохранения его функциональных характеристик в условиях возможных ошибок пользователя и других сбоев. Средства управления моделируемым процессом должны предоставлять необходимую обратную связь, обеспечивающую обратимость любого действия, возможность возврата системы к исходному устойчивому состоянию и полный контроль над динамическим процессом в ходе моделирования. При этом должна быть обеспечена возможность управления характеристиками отображаемых на экране объектов, в том числе их динамикой, возможность варьирования исходных данных, а также свободный доступ к промежуточным данным на всех стадиях моделируемого процесса. Средства управления изображением сцены должны обеспечивать реализацию гибких способов исследования объектов, таких как возможность вхождения в виртуальную модель динамической систе-
мы, позволяющую свободное перемещение по сцене с изменением ракурсов обзора и т.п.
Использование графических интерфейсов на принципах трехмерной графики имеет большое практическое значение для моделирования и изучения динамических систем, а также для задач оперативного управления динамическими процессами. Предлагаемые разработки предназначаются для реализации отображения динамической информации в процессе оперативного управления космическими аппаратами на средствах отображения коллективного и индивидуального пользования в ЦУП-М.
Библиографический список
1. Эйнджел, Э. Интерактивная компьютерная графика: Вводный курс на базе OpenGL / Э. Эйнджел. - 2 изд.: пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2001.
2. Хилл, Ф. OpenGL. Программирование компьютерной графики / Ф. Хилл. - СПб.: Питер, 2002.
3. Гайдуков, С. Профессиональное программирования трехмерной графики на С++. Bolero / С. Гайдуков. - Озон, 2004.
ТИПОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЗАДАЧ ИНВЕСТИЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИй
П.А. КУРЗИН, ст. преп. каф. высшей математики МГУЛ
При решении задач инвестиционной деятельности существенное значение имеют различные целевые функции, факторы влияния и варианты принятия решений. При создании математической модели требуется ряд упрощений в отношении действительности, поэтому не все цели, альтернативы, факторы влияния, ограничения и взаимосвязи могут быть учтены в соответствующей действительности форме. Модель принятия решений обычно содержит следующие элементы: - цели (или некоторую совокупность целей), охватывающие как множество целевых функций, так и приоритетные соотношения, отражающие относительную достижимость различных целевых функций, а также характерные проявления целевых функций;
- альтернативы (модели или отдельные варианты действий, или комплекс этих действий);
- состояния внешней среды (состояние в будущем, факторы влияния);
- функции результативности.
Все наблюдаемые состояния внешней среды, взаимоисключающие друг друга, образуют полное пространство состояний. При необходимости учета нескольких вариантов состояния внешней среды имеют место два типа условий поиска решения задачи:
- неопределенности;
- риска.
В условиях риска проявляется либо объективная, либо субъективная вероятность наступления события внешнего характера.
Прогноз принятия решения при определенном состоянии внешней среды оценивается функцией результативности. Относительно нее условия решения могут подразделяться на ситуации определенности, риска или неопределенности.
150
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2007
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Таблица 1
Типология математических моделей задач инвестиционной деятельности
Критерий Характер проявления критерия
Степень неопределенности Определенность Неопределенность
Полная неопределенность Условия риска Нечеткость (неясность) условий
Альтернативы Абсолютная выгода Относительная выгода Срок эксплуатации Срок погашения кредитов
Количество целей Одна Несколько
Учет временных изменений условий Статические модели Динамические модели
Динамические модели одноступенчатые многоступенчатые
жесткие гибкие
Для системы из альтернативы и состояния внешней среды однозначные решения задач получаются только в условиях определенности, а в ситуациях неопределенности и риска возможно некоторое нечеткое множество решений.
Анализ математических моделей задач инвестиционной деятельности предприятий (табл. 1) в упрощенном виде предусматривает следующие этапы [1,2]:
- определение проблемы (характеристики ситуации, при которой принимается решение);
- создание модели (определение степени сходства между ситуацией, при которой принимается решение, и построенной математической моделью);
- обеспечение данными;
- оценка модели.
В рамках стратегического инвестиционного планирования преследуется цель создания потенциала успеха. Преобразование этой целевой установки в операционные и по возможности количественные целевые функции - важная и трудоемкая проблема. Особенно трудным является количественное отражение факторов влияния и расчета данных в случае осуществления инвестиций нематериального характера или включения в модель новых технологий или новых рынков, а также учет в модели фактора доступа к источникам информации или влияния внешних факторов и вероятности их наступления.
Выделенные при создании модели варианты решения, состояния внешней среды, функции результативности и полезности обусловливают определенные требования к
обеспечению данными. Информация прогнозного характера приоритетна при обеспечении данными. Особенно важно применение определенного круга методов составления прогнозов и сценариев развития внешней среды предприятия. Для одноразовых инвестиций наиболее применимы интуитивные методы. Для динамических моделей расчета инвестиций характерен следующий набор данных:
- будущие поступления и платежи, относящиеся к определенным периодам и срокам;
- расчетные процентные ставки для конкретных периодов;
- вероятности для определенных сценариев в условиях риска.
Сведения, получаемые при оценке модели относительно влияния инвестиционных альтернатив, составляют основу принятия решения. Анализ модели позволяет определить степень влияния нескольких альтернатив в понятной форме и интегрировать в модель фактор неопределенности в будущем.
В статистических моделях принятия решений о выгодности инвестиций при одной целевой функции рассматривают либо определенный срок эксплуатации, либо гипотетический средний период, а в качестве целевых функций - издержки, прибыль, рентабельность, срок амортизации. В соответствии с этим модели и методы в условиях определенности подразделяются на расчеты по сопоставлению затрат; прибыли; рентабельности; статистические амортизационные расчеты. Например, оценка выгодности инвестиций с помощью метода сравнительного учета затрат формулируется правилом: объем инвестиций
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2007
151
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
абсолютно (относительно) выгоден, если его издержки ниже затрат при альтернативе отказа от инвестирования (на любой другой предлагаемый на выбор объект).
Пример 1. Для изготовления нового вида деловых столов и освоения производства требуются инвестиции в цеха А и В, характеризующиеся следующими данными (табл.2). Альтернативой инвестированию выступают закупки столов (альтернатива C) по цене 14 тыс. руб./ед. Провести сравнительный учет затрат и принять окончательное решение по инвестированию.
Решение. Переменные издержки (ПИ) определяются как сумма затрат на сырье, зарплату и прочих переменных затрат и при максимуме объема производства для цехов A и B равны
ПИА = 2000 + 2880 + 33 = 4913 тыс. руб./год; ПИВ = 2500 + 4500 + 84 = 7084 тыс. руб./год.
Приведенные переменные издержки для цеха B , пересчитанные на объем производства цеха A, равны
ППМ = ПИ -200/250 =
B B
= 7084-4/5 = 5667,2 тыс. руб./год.
Средние амортизационные отчисления (САО) имеющихся вариантов инвестиций определим по линейному методу как САО = (Закупочная цена - Выручка от ликвидации)/Срок эксплуатации.
САОа = (140 - 0)/14 = 10 тыс. руб./год;
САОВ = (460 - 10)/15 = 30 тыс. руб./год.
Т а б л и ц а 2
Потребности в инвестициях для изготовления нового вида продукции
Основные характеристики Цех А Цех В
Затраты на приобретение, тыс. руб. 140 460
Срок эксплуатации, лет 14 15
Выручка от ликвидации, тыс. руб. 0 10
Оплата персонала управления, тыс. руб./год 240 530
Максимум объема производства, ед. /год 200 250
Зарплата, тыс. руб./год 2880 4500
Прочие постоянные издержки, тыс. руб./год 35 84
Сырье и материалы, тыс.руб./год 2000 2500
Прочие переменные издержки, тыс. руб./год 33 41
Расчетная процентная ставка, % 11 11
Предположим, что в промежутке между привлечением капитала в размере затрат на приобретение в начале планового периода и привлечением капитала в размере выручки от ликвидации в конце планового периода происходит его непрерывная амортизация; при этом показатель средних затрат капитала определяется следующим образом:
СЗК = (Затраты на приобретение +
+ Выручка от ликвидации)/2.
В нашем случае для вариантов инвестирования A и B имеем
СЗКа = (140 + 0)/2 = 70 тыс. руб./год; СЗКВ = (460 + 10)/2 = 235 тыс. руб./год.
Проценты при заданной процентной ставке составляют 75-0,11= 8,25 тыс. руб./год для варианта А и 235-0,11= 25,85 тыс. руб./год для варианта В соответственно.
Средние величины совокупных постоянных издержек (СВСПИ) по вариантам инвестиций равны:
СВСПИА = 240 + 35 + 10 +
+ 8,25 = 293,25 тыс. руб./год; СВСПИв = 530 + 84 + 30 +
+ 25,85 = 669,85 тыс. руб./год.
Тогда средняя величина совокупных издержек (СВСИ) при объеме выпуска 200 ед./год по вариантам инвестиций A и B равна СВСИ А = ПИА + СВСПИА =
= 4913 + 293,25 = 5204,25 тыс. руб./год;
СВСИ = ППИ + СВСПИ =
В В в
= 5667,2 + 669,85 = 6337,05 тыс. руб./год.
Для варианта С получаем:
СВСИс = 14-200 = 2800 тыс. руб./год.
Таким образом, из сравнения вариантов инвестиций видим:
СВСИС <СВСИ . < СВСИВ, т.е. альтернатива С является наиболее предпочтительной по сравнению с альтернативами А и В.
Оценивая статическую модель, отметим следующее.
1. Простой сравнительный учет затрат.
2. Трудно обеспечить необходимые и надежные данные по общей проблеме инвестиционных расчетов, качеству и адекватности модели реальной действительности, так как нет взаимосвязи с другими сферами функционирования предприятия; выработка реше-
152
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2007
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ния ограничена одной функцией; применена единая ставка процента для любого момента времени и любых размеров капитала.
3. В модели применен единый срок эксплуатации, игнорируется фактор загрузки мощностей и состав издержек, хотя наличие свободных производственных мощностей, различие в составе совокупных издержек по отдельным компонентам постоянных и переменных издержек могут иметь значение для принятия решения по предприятию.
4. При отклонении фактических объемов производства от прогнозируемых относительная выгодность инвестиций может изменяться вследствие различий в показателях переменных и постоянных затрат.
5. Абстрагирование модели от результатов производства (невозможность выдачи оценки абсолютной выгодности для всех видов инвестиций; продукция, производимая в рамках различных вариантов инвестирования, предполагается равноценной по качеству и др.).
Применяются такие статические модели, как метод сравнительного учета прибыли, метод сравнительного учета рентабельности, метод статических амортизационных расчетов. Все они имеют похожие с методом сравнительного учета затрат ограничения и отличаются:
- учетом производственных результатов вариантов инвестиций (метод сравнительного учета прибыли);
- видом целевой функции и предположением об уравновешивании различий в объеме инвестирования (метод сравнительного учета рентабельности);
- абстрагированием от последствий, проявляющихся по истечении срока амортизации (метод статических амортизационных расчетов).
В целом использовать сравнительный учет рентабельности рекомендуется при большом числе вариантов инвестиций с очень высоким уровнем рентабельности, конкурирующих между собой за ограниченные финансовые ресурсы. Амортизационные расчеты могут использоваться для оценки возможной степени связанного с инвестициями риска, а амортизационный срок можно рассматривать как критический показатель
срока эксплуатации или как результат анализа чувствительности системы.
Инвестиционные объекты при использовании динамических моделей связаны с многократными поступлениями и выплатами по времени. Исследование динамики показателей поступлений и выплат по нескольким периодам - существенная специфика отличия динамических моделей от статических.
Динамические модели оценки выгодности инвестиций можно подразделить на две основные группы: в моделях первой группы предполагается существование рынка совершенного капитала, когда платежи ревальвируются или дисконтируются по единой ставке в процентах [3,4]; в моделях второй группы процентные ставки различаются при вложении и привлечении финансовых средств, что применимо в деятельности банков.
Например, метод определения стоимости капитала предполагает наличие совершенного рынка и служит для оценки альтернатив инвестиций относительно целевой функции стоимости капитала. Целевая функция представляет собой сумму всех дисконтируемых или ревальвируемых по единой процентной ставке на какой-либо момент времени поступлений и выплат, возникших при инвестировании объекта. Стоимость капитала представляет собой фактическую стоимость, характеризующую прирост имущества в денежной форме, приносимый инвестиционным объектом в начале планового периода с учетом процентов. При этом можно пользоваться правилом: инвестиционный объект абсолютно (относительно) выгоден, если стоимость его капитала выше нуля (выше аналогичного показателя).
Поскольку расчетная процентная ставка одинакова для всех периодов, то стоимость капитала (СК) на начало планового периода (t = 0) равна
СК = £ (et - a)q \
t =0
где t - индекс времени;
T - последний момент времени, в который осуществляются платежи; et - поступления в момент времени t; at - выплаты в момент времени t; q-t - коэффициент дисконтирования на момент времени t.
ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 6/2007
153
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Относительную выгодность двух инвестиционных объектов A и B можно определить разницей стоимостей их капиталов АСК = СК. - СК„. Если АСК > 0, то объект A является относительно более выгодным по сравнению с объектом B.
Абсолютную выгодность оценить при этом нельзя.
Имеются различные модификации метода определения стоимости капитала, в которых ценой дополнительных допущений удается построить детализированные формулы для вычисления СК.
Метод определения стоимости капитала в самом общем виде опирается на допущения: а) целевая функция одна - стоимость капитала; б) существует совершенный рынок капитала.
В реальности при принятии решений относительно инвестиций приходится учитывать не одну, а несколько целевых функций. Также известно, что процентные ставки при инвестировании и заимствовании существенно отличаются друг от друга, так как составляют основу банковской прибыли, и важно определить наиболее подходящий размер этой ставки, влияющей как на сравнимость альтернатив, так и на инвестиционные возможности в настоящем и в будущем. При расчете ее используют средневзвешенную величину собственного и заемного капитала, средний показатель долгосрочной рентабельности, а также дифференцированные ставки по вложению и привлечению финансовых средств и получаемые величины реальных доходов и расходов.
Аналогичными методу определения стоимости капитала являются метод аннуитетов, метод определения внутренней процентной ставки, метод динамических амортизационных расчетов. Различия между ними состоят в выборе целевой функции и некоторых дополнительных допущений.
Более сложными динамическими моделями принятия выгодности инвестиций при одной целевой функции являются такие модели, как метод определения конечной стоимости имущества, метод определения процентной ставки привлечения финансовых средств, метод составления полных финансовых планов (ПФП).
В методе определения конечной стоимости имущества предполагается наличие двух процентных ставок - привлечения и вложения в неограниченном размере финансовых средств. Конечная стоимость имущества (КСИ) - прирост имущества в денежной форме, вызванный реализацией инвестиционного объекта в завершающий момент планового периода. Инвестиционный объект считается абсолютно (относительно) выгодным, если КСИ выше нуля (выше подобного показателя для любого другого представленного на выбор объекта).
Метод определения процентной ставки привлечения финансовых средств как целевую функцию использует критическую процентную ставку привлечения финансовых средств (КПСПФС), представляющую собой такую ставку, при применении которой конечная стоимость имущества (КСИ) равна нулю.
Метод составления полных финансовых планов (ПФП) предусматривает составление полного финансового плана, в котором отражаются платежи, относящиеся к одному финансовому объекту (вложению) и включающиеся как платежные ряды этого инвестиционного объекта, так и платежи, относящиеся к выплатам финансового характера по данному объекту (так называемые деривативные платежи). Для ПФП-метода инвестиционный объект абсолютно (относительно) выгоден, если его конечная стоимость превышает конечную стоимость собственного капитала, относящегося к инвестиционному объекту на начало планового периода (конечную стоимость любого другого представленного на выбор объекта). В целом ПФП-метод более эффективен по сравнению с другими динамическими методами. Этот метод позволяет определить оптимальные сроки эксплуатации и замены с включением фактора неопределенности в модели инвестиционных расчетов, а также интегрировать как различия между процентной ставкой по привлечению и вложению финансовых средств, так и самофинансирование, учесть многообразие условий при привлечении кредитов, дифференцированность процентных ставок при вложении собственных средств.
154
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2007
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В любой оптимизационной динамической модели инвестирования на выбор решений при оценке альтернатив инвестиционных вложений и приоритета покупки или лизинга материальных средств влияет налоговый компонент. В модель следует включать лишь налоги, размер которых непосредственно зависит от прибыли, размер которой должен быть достаточным для немедленного покрытия убытков в периодах их возникновения вследствие реализации рассматриваемого инвестиционного проекта.
Расчет стоимости капитала с учетом налогов предусматривает два дополнительных шага, не учитываемых в ранее рассмотренных моделях:
1. Первоначальный платежный ряд следует модифицировать на платежи, связанные с налогообложением;
2. Расчетная процентная ставка должна быть изменена.
В модели стоимости капитала с учетом налогов действуют те же правила определения выгодности инвестиционных объектов, что и в модели без учета налогов.
При стратегических инвестициях, преследующих серьезное повышение эффективности и качества функционирования сложных производственно-технологических, социальноэкономических систем, приходится рассматривать не одну, а несколько целевых функций.
Множество моделей и методов нахождения единичных решений при нескольких целевых функциях можно подразделить на две большие группы: многоцелевые единичные решения и многообъектные решения (проблемы векторного максимума).
Многоцелевые методы принятия решений различают
А) по упорядоченности альтернатив:
- классические (существует слабый порядок и упорядочение альтернатив с целью отыскания оптимальных из них);
- технологические (отсутствует слабый порядок в альтернативах);
Б) по возможности влияний:
- компенсаторные (неблагоприятные проявления в отношении одной целевой функции можно компенсировать благоприятным проявлением другой целевой функции;
- некомпенсаторные;
В) по виду имеющейся в распоряжении лица, принимающего решения ЛПР, и используемой информации. Речь может идти как об уровне требований или норм замены, информации о порядковых и количественных величинах, а также об отсутствии сведений о каких-либо предпочтениях ЛПР.
При использовании метода полезной стоимости [5] учитывают несколько целевых функций, взвешенных по их значимости для ЛПР. При этом стремятся определить степень достижения отдельных целей посредством ряда инвестиционных объектов, указывая их в форме частичной полезности стоимости и сводя в единую полезную стоимость для каждой альтернативы с присвоением весов критериям. Это позволяет скомпенсировать неблагоприятные проявления отдельных целевых функций.
В целом анализ полезной стоимости включает этапы:
1. Определения и взвешивания целевых критериев;
2. Определения показателей частичной полезной стоимости и полной полезной стоимости;
3. Оценки выгодности инвестиционных объектов.
Целевые критерии предполагаются независимыми друг от друга относительно показателя полезности. Оценка показателей частичной полезности производится с помощью единой шкалы количественных измерений. Показатели частичной полезности пк альтернатив i в отношении критериев к низшего уровня иерархии делаются сопоставимыми посредством умножения на веса критериев w а затем суммируются друг с другом. Полезная стоимость NNi альтернативы i является суммой взвешенных показателей частичной полезности, рассчитываемой как
nNi = I wk.
к=1
Инвестиционный объект абсолютно (относительно) выгоден, если его показатель полезности превышает заранее заданный критический показатель полезности (выше подобного показателя любого другого представленного на выбор объекта).
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2007
155
