Математические модели систем регионального инвестирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

то на два непересекающихся подмножества: О+ и О-. Необходимо найти такой вектор весов связей что для всех Р'к из О+ выполняется <Ж'» Р'г к> > 0, а для всех Рк из О- выполняется < Р\к> < 0, т.е. научить персептрон разбивать множество входных состояний на два класса. Этот метод завершается за конечное число итераций в том и только в том случае, когда состояния Р0, ..., Р\ь-1 удовлетворяют условию линейной различимости, т.е. если существует такой весовой вектор что <Р', > 0, если Р', ('} е О+;

<Р', < 0, если Р', ('} е О-.

Для однородных КНС (в одномерном и в двумерном случае) эксперименты подтвердили, что предложенный метод обучения находит шаблон весов (один из класса эквивалентности), если на вход подать образ, сформированный другой КНС. При этом получен следующий результат: когда сформированный образ имеет границы с несколькими оттенками серого, то шаблон весов, с помощью которого был получен этот образ, и шаблон весов, полученный для этого образа с помощью метода обучения, принадлежат одному и тому же классу эквивалентности.

Работа выполнена в рамках проекта РФФИ № 03-01-00332.

Литература

1. Галушкин А.И. Теория нейронных сетей. М., 2000.

2. Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети: Теория и практика М., 2002.

3. Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управления / Под ред. А.А. Колесникова. Ч. 2. Таганрог, 2000.

Южно-Российский государственный технологический университет экономики и сервиса (г. Ростов-на-Дону)

15 июня 2005 г.

УДК 519.6

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ РЕГИОНАЛЬНОГО ИНВЕСТИРОВАНИЯ

© 2005 г. С. С. Саямов

This paper considers the regional investment process. The system of mathematic models (static investment distribution, discrete dynamic models) has been built. Some multicriteria optimization tasks have been solved on the basis of this system. A software for analyzing the regional investment process effectiveness and calculating the optimal values of the process's parameters has been made.

В настоящее время успешное экономическое развитие страны неразрывно связано с развитием каждого ее региона, что может быть достигнуто с помощью рационального использования имеющихся ресурсов и соз-

данием политических и экономических условий привлечения дополнительных инвестиций из других регионов и иностранного происхождения. Решения по распределению средств регионального бюджета до настоящего времени, в основном, имеют более или менее произвольный характер. Они могут быть не только не оптимальными, но и приносить убытки как региону, так и федеральному бюджету. Для оптимального инвестирования региона могут и должны быть использованы математические модели.

1. В качестве базовой, простейшей рассмотрим модель распределения инвестиций в регионе, которая является статической, так как в ней не учитывается развитие инвестиционной системы во времени [1-3].

Бюджет региона В предполагается известной величиной, сформированной за счет федерального бюджета, В = А + 2, где А - начальное значение бюджета, не зависящее от рассматриваемых инвестиций; 2 - часть регионального бюджета, формируемая за счет прибыли от инвестирования в регион.

Объем инвестиций, направляемых на развитие региона, формируется из двух источников:

- отчислений из бюджета региона В (с долей а), Х1 = В а;

- выделяемых независимыми инвесторами средств Х2, привлекаемых в регион.

Поскольку бюджет также зависит и от отчислений Ъ на прибыль, формируемую в результате инвестиций, Х1 = аА + а2, и пока является неизвестным. На самом деле имеются три источника финансирования: Х\ = аА - инвестиции от постоянной части бюджета; X' 1 = а2 - отчисления от части бюджета, формируемой за счет налогов с предыдущих проектов; Х2.

Существует большое количество различных инвестиционных проектов, на реализацию которых можно направить средства региона. В рассматриваемой модели ограничимся двумя типами «обобщенных» инвестиционных проектов: малыми инвестиционными проектами считаются такие, выполнение которых связано с некоторым риском. Он может быть учтен в прибыли от этих проектов. В модели рассматривается обобщенная сумма всех возможных проектов. Крупными инвестиционными проектами считаются такие, выполнение которых гарантировано государством, таким образом прибыль этих проектов не зависит от рисков. Также в модели рассмотрим один агрегированный инвестиционный проект, представляющий собой сумму всех проектов этого типа.

Суммарные инвестиции распределяются по трем направлениям: затраты на инфраструктуру (и другие нужды региона) с долей а1: Х1 = Х1 а1 (эти затраты являются обязательными для поддержания инфраструктуры региона, а, следовательно, и для успешной реализации других проектов, но сами по себе никакой прибыли не приносят); инвестиции в малые предприятия с долей а2: Х2 = Х1 а2 (с частичным возвратом в доле п, учитывающей риск); инвестиции в крупные проекты: X = Х1 а3 + Х2.

а1 + а2 + а3 = 1, (1)

где а1, а2, а3 - управляемые доли инвестиций.

Доход по каждому направлению инвестиций равен соответственно:

¥1 = 0; 72 = X2 (1 + П2); ¥3 = Xе (1 + Пз), (2)

где п2, п3 - доли прибыли для малых и крупных проектов соответственно.

Прибыль п2, п3 и чистую прибыль П2 и П3 соответственно можно записать в виде:

п2 =¥2 - X2, пз =¥3- X3, П2 = ¥2 - X2 - 22! - 222, Пз = ¥ -X3 - 2з1 - 2з2, где 221, 222 и 231, 232 - отчисления в администрацию региона и федеральный бюджет из прибыли от малых и крупных проектов. Вычислим отчисления из прибыли от мелких проектов. Используя формулу (1), получим п2 = X2 (1 + п2) - X2 = X2п2, 22 = д2 х х X2п2, где д2 - суммарные ставки налога на прибыль для малых проектов.

Пусть в2 - доля отчислений из прибыли мелких проектов в бюджет региона. Тогда

221 = ^2 = ¿#2^2^X1; 222 = (1 - в) <№^1.

Пусть в - доля отчисления из прибыли крупных проектов в региональный бюджет. Тогда аналогично можно получить: 23 = д3^ж3; 231 = = в323 = в3д3 (а3X1 + X2)[(1 + п3) - 1] = p3д3а3к3X\ + p3д3п3X2; д3 - суммарные ставки налога на прибыль для крупных проектов.

Учитывая, что бюджет региона формируется за счет региональной части отчислений, т.е. XI = а (А + 221 + 231), получим уравнение относительно XI:

X: = а [А + (^2<2а2П2 + вз<зазПзX = ^<3X3X2,

решением которого является X1 =-—-(А + bX 2; Ь = Дд3п3.

1 -аа2d2 -аа3й3

Если учесть, что а3 = 1 - а2 - а1, то XI можно представить в виде: XI =

= а(А + bX2) = Ба

1 -ас + aa2c2 1 -ас + аа2 c2

d2 = d3 = q3n3ß3, D = A + bX2,

с = ¿3 (1 - а1); С2 = ¿3 - ё2; 221 = ^а^; 231 = ¿3 (азXl+X2).

Используем соотношение (1) для долей инвестирования. Одна из них, например, а3, может быть представлена в виде: а3 = 1 - а1 - а2. Тогда 231 = = ¿>((1 - а1 - а2)Xl + X2).

Прибыль администрации региона формируется за счет налогов в региональный бюджет, а также за счет возвращаемых средств от инвестиционных проектов. При этом вложения в инфраструктуру не возвращаются, инвестиции в мелкие проекты возвращаются в частичном объеме с долей 1 - п, а инвестиции в крупные проекты - в полном, т.е. расход администрации составляет: X1(1 - а2 (1 - п) - а3) = X1 (а1 + ща2).

Прибыль администрации может быть представлена в следующем виде: По = 221 + 231 - Xl (а1 + Щт) = /оXl -/2 а2Xl + /3,

где /0 = (1 - а1)ёъ - а1 - безразмерный коэффициент, характеризующий влияние доли инвестиций а на прибыль администрации; /2 = й3 - й2 - п -безразмерный коэффициент, характеризующий влияние инвестирования в мелкие проекты на прибыль администрации; /3 = ё3Х2 - коэффициент, характеризующий вклад внешних инвестиций в прибыль администрации.

Прибыль от вложений в мелкие П2 и крупные П3 проекты выражена формулами:

П2 = X2 (1 +п2) - X2 - д2 [Х2(1 +п2) - X2] = Ь2а2Х1, П3 = а3Х\Ь3 + Ь3Х2 = ¿3Х3, где ¿2 = (1 - <?2) П2; ¿3 = (1 - <?3) П3.

Чистая приведенная прибыль независимого инвестора П2 при этом определяется долей П3, пропорциональной его вложенному капиталу, т.е.

3 2 П3 Х2 ¿3 X Х2 Х2 / Х : П = —— = ———— = ¿3Х2 и не зависит от выделения инве-

X3 X3

стиций из бюджета (от а, аь а2, а3, п), но зависит от Д! Норма его прибыли при этом равна р2 = ¿3.

Проведем вычислительный эксперимент при значениях параметров, характеризующих экономику Ростовской области за 2004 г. [4] (табл. 1).

Значения прибыли в зависимости от доли инвестирования а приведены в табл. 2.

Таблица 1

Параметр Модельное значение

Постоянная часть бюджета А, млрд руб. 18,66

Доля инвестиций в инфраструктуру а1 0,04

Доля возврата мелких проектов п 0,2

Внешние инвестиции Х2, млрд руб. 32,2

Верхняя граница а 0,12

Нижняя граница а 0,08

Доля прибыли мелких проектов п2 0,43

Доля прибыли крупных проектов п3 0,25

Доля рег. бюджета в налоге с мелких пр. р21 0,58

Доля рег. бюджета в налоге с крупных пр. р31 0,58

Ставка налога для мелких проектов 0,42

Ставка налога для крупных проектов 0,42

Из табл. 2 видно, что прибыль всех сторон инвестиционного процесса положительна и возрастает с увеличением доли инвестиций, что говорит об эффективности инвестиций при исходных данных из табл. 1.

2. На основе построенной модели рассматривается двухкритериальная задача максимизации прибыли администрации и мелких инвестиционных проектов.

Таблица 2

Значение а 0,08 0,1 0,12

Прибыль мелких проектов, млрд руб 0,00033 0,00041 0,00049

Прибыль крупных проектов, млрд руб 4,89248 4,948684 5,005

Прибыль администрации, млрд руб. 1,961996 1,9622 1,9625

Считается, что доля вложений в инфраструктуру а\ постоянна. Управляемыми параметрами задачи будут: доля инвестиций из бюджета а и доля инвестирования мелких проектов а2. Ограничения для задачи:

1) Неотрицательность Хь т.е. условие 1 - ас + аа2с2 > 0, или

1

а <-.

c а2 ^2

2) Неотрицательность прибыли администрации и мелких проектов:

п0, п2 > 0.

Рассмотрим условие неотрицательности прибыли администрации:

Da [f , а1 f > 0 дает а > fsc - Dfo 1 f _

[ - f2a2 ] + /3 ^ 0 Дает a2 ^

1 - ca + c2aa2 c2/3 - D/2 a c2/3 - D/2

_ /3c - D/o ^ _ /3

(3)

- Cj C2 ; Cj --; - ■

а ¿2 f - Df2 c2 f3 - Df2

Условие безубыточности мелких проектов аа2 > 0, оно тривиально. 3) Условия на доли: a < а < a;0 < a2 < (i-ai). Таким образом имеется следующая двухкритериальная задача:

а(А + bX2) г ,

По - ^-— [f - f2a2 ] + f 3^ max;

i -ac + aa2 c2 a a

a (A + bX2 ) П2 - b2a2------> max;

i -ac + aa2 c2 a,a2

i c

a2 > с - -; c -— (4)

ac?2 c2

a2 > Cj -C2— . (5)

a

a<a<a (6)

0 <a2 < i -ai (7)

Она имеет нелинейные критерии с нелинейной вогнутой областью альтернатив (рис. i), но может быть сведена к линейному виду путем двух-этапных преобразований. На первом этапе она преобразуется к задаче с дробно-линейными целевыми функциями и линейными ограничениями с

помощью замены переменных: x1 = а; x2 = аа2; П0 (x) = — (x2 + b0x1) ——

■ max; П2 (x) = — x2 D. у = 1 - cx1 + c2 x2. У

Рис. 1

a1 < x— < а1, 0 < x2 < x— (1 — a1 ),

x2 S —

1 с

--1--x—,

х2 > — С 2-

Вторым этапом преобразования является традиционная для дробно-линейного программирования замена переменных [5]: #0 = 1 / (1 - сх1 +

+ С2Х2); #1 = #2 = Ох#0-

С ее помощью все критерии и ограничения преобразуются к линейному виду, например, прибыль администрации

a(A + bX2) г

По = —*-^ [Л — Ла2 ] + Л = x—

1 — ac + аа2 c2

Ло Л

x

+ Л = ЛЛ— — Л #2 + Л ■

1 = #o +^#2,

Умножив у = 1 - сх1 + с2х2 на #0, получим уравнение связи для #0, #, #2:

С г С2 —#1 +— О1 О

позволяющее исключить один из параметров-

Ограничение х1 > а может быть преобразовано следующим образом: умножив ограничение на О#0, и воспользовавшись уравнением связи, по, . аО + #, (са -1) лучим: #1 >а(Б + с#1 - с2#2)- При с2 < 0 #2 <---- -

с2а

Таким образом, получим задачу линейного программирования:

п0 = Л#\ - Л#2 + /з ^ - (8)

#1,#2

П 2 = b2#2 — max.

(9)

ээ

#2 * #2 ^

#1fü + /3

Л

Da + #1 (ca -1) c2a

Da + #1 (ca -1)

C2

ас2

#2 ¿(1 -а: ^ 0

Область альтернатив задачи (значения параметров из табл. 1) является многогранником и представлена на рис. 2.

Для построения образа области альтернатив в критериальном пространстве необходимо отобразить эту область в пространство (П0, П2). Так как область альтернатив представляет собой выпуклый многогранник и критерии задачи (8), (9) - линейные функции по # и то её образ также представляет собой многогранник и, следовательно, полностью определяется своими вершинами. Таким образом, для построения образа множества альтернатив достаточно найти образы всех его вершин и найти их выпуклую оболочку.

Координаты вершин определяются из условий пересечения ограничений и могут быть выражены следующим образом:

л: f-Da,ü

D:

1 - ca

Da v1 - ca у

B:

C:

U

Da

(1 - a1) Da

1 + c2a(1 -a1)- ca 1 + c2a(1 -a1)- ca

Da (1 -a1 )Da

1 + c2 a (1 - a1) - ca 1 + c2 a (1 - a1) - ca

22 ' t

Рис. 2 34

На рис. 3 изображен образ области альтернатив в критериальном пространстве. Образ множества Парето образован образами точек С и Б области, т.е. само множество Парето совпадает с прямой СБ области альтернатив. Решением задачи, т.е. совокупностью всех точек Парето, является линейная комбинация вершин:

й =__=+(1 -л)Ра, = л(1-* _ ,0<1< 1.

1 + с2 а (1 -а1) - са 1 - са 1 + с2 а (1 - а1) - са

Рис. 3

Прямая СБ совпадает с линией ограничения а < а, следовательно любое значение а множества Парето лежит на линии этого ограничения, т.е. а =а. Этот результат подтверждается вычислительным экспериментом, результаты которого приведены в табл. 2.

Таким образом, администрация заинтересована в инвестировании, при этом максимальная доля определяется внешними ограничениями. Соотношение между крупными и мелкими проектами задается однопарамет-рическим множеством с параметром X, который выбирается лицом, принимающим решение (ЛИР).

3. Решение нелинейной оптимизационной задачи (3)-(7) обладает рядом свойств.

Лемма1

Пусть ё3Х2ц —4/2 > 0. Тогда в задаче (3)-(7) ограничение (5) несущественно.

Доказательство

Рассмотрим условие (5) и коэффициент С2:

а2 — C1 C2 =

1 _ f3c - Df0 1 f

a c2 f3 - Df2 aC2 f3 - Df2 f3 d3 X2

c2 f3 - Df2 (d3 - d2 )d3X2 - D (d3 - d2 -П)

do X 2 do X 2

3 2 - 3 2 ->0.

С3Х2 (сС3 - С2 - С3 + С2 + п) - А (сС3 - d2 - п) сС3Х2п - А/2

/3с - Ц/0

Знаменатель коэффициента С\ =—3-— положителен по предыду-

С2 /3 - В/2

щим рассуждениям, числитель: С3Х2С2 (1 - а- (А + С3Х2) [(1 - а1) й3 - а1] = = -А (1 - а1) С3 + а1 < 0.

Таким образом (5) мажорируется условием а2 > 0, т.е. является несущественным. Лемма 2

Пусть выполняются условия леммы 1. Тогда в многокритериальной задаче (3)-(7) значение а = а является допустимым.

Доказательство

Так как условие (5) несущественно, то область допустимых значений является прямоугольником, отсекаемым снизу кривой (4) (рис. 4).

1-я, - "Г

Рис. 4

Для области существует два варианта: 1) кривая (4) не пересекает (7); 2) кривая (4) пересекает (7) в точке апер.

Имеется условие (6): а < а < а. Определим точку пересечения апер (4) и (7).

с--1— = 1 -а1 ^а = --1—-—. Для того чтобы условие (4)

аперс2 (с +а1 - 1)с2

мажорировало (6), необходимо, чтобы апер входило в область допустимых

значений (рис. 4, вариант 2), т.е. а < а < а, или а <--1—-— < а.

(с + а1 -1) с2

Точка пересечения апер может вообще не существовать (рис. 4) вариант 1). Условием существования этой точки является lim 1

с -

ас2 )

с3

= с > 1 - а1, что означает --— > 1, а это маловероятно по экономиче-

С3 - С2

скому смыслу этого параметра. Значение С3 - С2 < 0 по экономическому смыслу крупных и мелких проектов (прибыльность проектов, связанных с

большим риском, как правило, выше прибыльности безрисковых проек-

й3

тов). Таким образом,-3— < 0.

й3 - й2

Рассмотрим апер :

11 1 1

(с +а1 - 1)с2 Г с | d3 (1 - — ) + a1 (d3 - d2)- d3 + d2 a1d2

■< 0;

--+ а1 -1 | с2

апер < 0 при ахё2 > 0, и так как а1 > 0 (как доля инвестиций) и й2 = д2р2п2 > 0 (как произведение долей), то точка пересечения апер не существует при любых исходных данных. Следовательно, имеем область, изображенную на рис. 4, вариант 1, и значение а = а - допустимое.

Теорема

Пусть условия леммы 1 выполняются; ас/ + /2 (1 - са) < 0; /0 - /2а2 >0 и 1 - ас >0. Тогда в многокритериальной задаче значение а = а будет оптимальным, если

1. с - а2с2 > 0; а <-1- либо 2. с - а2с2 < 0.

с а2 с2

Доказательство

Рассмотрим критерии задачи (3)-(7):

а (А + ЬХ2) г а(А + ЬХ2) Па = —*-^[Л - .¿а ] + 73; П2 = b2а2 1-22.

1 -ас + аа2 с2 1- ас + аа2 с2

дП0 _ Р(/0 -/2а2)(1 -ас + аа2с2) + аР(( -¡2а2)(с-а2с2) _ да (1 -ас + аа2с2 )2

_ Р (¡0 - 72а2 ) > 0 (1 - ас + аа2с2 )2

Это неравенство будет выполняться при/0 -/2а2 >0. Заметим, что /2 < 0 по экономическому смыслу, так как/2 = й3 - й2 - п, а й3 < ё2.

дП2 _ РЬ2а2 (1 -ас + аа2 с2 ) + Ь2а2аР (с -а2с2 ) Ь2а2 Р

да (1 -ас + аа2 с2 )2 (1 -ас + аа2с2 )

Это неравенство справедливо для любых исходных данных.

дП2 Ь2аР (1 -ас + аа2с2 ) + Ь2а2аР (с -а2с2 ) Ь2аР (1- ас)

>0.

>0.

да2 (1 -ас + аа2с2 ) (1 -ас + аа2с2 )

Неравенство выполняется, так как c = d3(1 - a1) < 1, а, следовательно,

1 - ac >0.

дП0 -aDac2 , ^ aDf2

— = - + тг^./0 -/—2)-1 _

^2 (1 - ca + aa2 c2) 1

да2

= -aD (ас2 fo + /2 (1 - са)) > о (1 - са + аа2 с2 )2 Это неравенство выполняется при условии ас2/ + /2 (1 - саа < 0. Таким образом, при условиях ас2/0 + / (1 - саа < 0 и 1 - ас > 0 оба

критерия возрастают по обоим управляемым параметрам и, следовательно, их максимум достигается в максимально допустимой точке.

Фиксируя значение второго критерия а2, получим задачу от одного параметра а. Постоянная/3 на координаты точки, в которой достигается оптимальное значение, не влияет. Следовательно, достаточно рассмотреть только первый член критерия П0.

Обозначим к = с - а2с2. При фиксированном а2 оба критерия являются однонаправленными и возрастающими, следовательно оптимальное значение а задачи (3)-(7) совпадает с оптимальным значением а выражения

n(0) = —а—. Исследуем п(а) в зависимости от к.

1 - ка

1. к < 0. В этом случае lim —а— = +да; lim —а— =-да;

а— ук-01 - ка а /к+01 - ка

1

lim-= —.

а—да 1 - ка к

График п(а) в этом случае представлен на рис. 5; п(а) является монотонно возрастающей функцией на интервале (0; 1/к), и так как по условию

теоремы а < 1/к, то максимум достигается на конце отрезка (0; а ], т.е.

оптимальное а = .

2. к < 0. Переобозначим к = | -к | >0. В этом случае при 0 < а < а < 1

1

имеем lim-= —, и график п(а) имеет вид, показанный на рис. 6.

а—да 1 + ка к

п(а) является монотонно возрастающей на (0, да), таким образом в этом

случае опять оптимальное а = .

Теорема показывает, что результат а = не зависит от выбранных модельных данных, а является свойством решения данной многокритериальной задачи. Этот результат подтверждается и вычислительным экспериментом, приведенным в табл. 1 и 2.

4. Дальнейшее развитие модели связано с исследованием динамических систем регионального инвестирования, рассматривающих многоэтапные инвестиционные проекты. Ограничимся основным принципом построения динамических систем регионального инвестирования. Рассмотрим инвестиционную систему на протяжении N условных лет. Бюджет региона на i-м периоде обозначим через Б, = A, + Z,.

л(а)

к

Рис. 5

Рис. 6

В 0-й период бюджет региона B0 = A0 считаем сформированным за счет средств федерального бюджета (инвестиционная часть Z0 = 0, так как никакого инвестирования на начальном этапе не происходит). Динамическое изменение бюджета региона происходит за счет изменения капитала A: A+ = Ai + AAi. На каждом отдельно взятом периоде может быть применена статическая модель региональных инвестиций.

На основе этого принципа построены различные динамические модели регионального инвестирования. Данные модели позволили определить как условия эффективности инвестирования в регион, так и период, когда инвестирование оказывается наиболее эффективным.

Для практического применения построенных математических моделей и оптимизационных задач в среде Delphi 6.0 был реализован программный продукт, позволяющий определять эффективность различных инвестиционных проектов по исходным данным, наглядно строить области альтернатив оптимизационных задач и анализировать изменения результатов в зависимости от исходных данных.

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учебное пособие для студентов эконом. спец. вузов. М., 1986. С. 214-223.

2. Жак С.В. и др. // Менеджмент. Экономика и финансы. Региональное упр.: III междунар. научно-практ. конф. Таганрог, 2003.

3. Жак С.В. и др. // Моделирование сложных систем. Воронеж, 2004. С. 90-92.

4. Петухов Е.Л., Саямов С.С., Саямова И.Г. // Тр. 7-й междунар. научно-практ. конф. «Системный анализ в проектировании и управлении» СПб., 2003. С. 421-423.

5. Официальный сайт Госкомстата России (www.gks.ru).

Ростовский государственный университет 1 сентября 2005 г.

Литература