Theoretical model of calculation of static dielectric permittivity of disperse systems for degree of filling with inclusions of volume of the environment equal to 0,70 Текст научной статьи по специальности «Физика»

бо

научно-практический журнал

УДК 631.53.027:57.043

Хайновский В. И., Козырев А. Е., Никитин П. В.

Khainovskii V. I., Kozyrev A. E., Nikitin P. V.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ ДЛЯ СТЕПЕНИ ЗАПОЛНЕНИЯ ВКЛЮЧЕНИЯМИ ОБЪЕМА СРЕДЫ, РАВНОЙ 0,70

THEORETICAL MODEL OF CALCULATION OF STATIC DIELECTRIC PERMITTIVITY OF DISPERSE SYSTEMS FOR DEGREE OF FILLING WITH INCLUSIONS OF VOLUME OF THE ENVIRONMENT EQUAL TO 0,70

Представлена математическая модель расчета статической диэлектрической проницаемости дисперсной системы на примере смеси сельскохозяйственные семена - воздух для степени заполнения ими объема, равной р = 0,70. Модель основана на рассмотрении упорядоченной периодической структуры плотно заполненного объема семенами сферической формы.

Ключевые слова: электромагнитное поле, диэлектрическая проницаемость, ячейка измерительного конденсатора.

In the work the mathematical model of calculation of static dielectric permittivity of disperse system is presented on an example of agricultural seeds mixture (air for degree of volume filling with them, equal to p = 0,70). The model is based on consideration of the ordered periodic structure of volume densely filled with spherically shaped seeds with spherical form.

Keywords: electromagnetic field, dielectric permittivity, cell of the measuring condenser.

Хайновский Владимир Иванович -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики Ставропольский государственный аграрный университет Тел. 8-906-489-41-08 E-mail: scarface_anton@mail.ru

Козырев Антон Евгеньевич -

аспирант кафедры физики Ставропольский государственный аграрный университет Тел. 8-919-746-67-96 E-mail: scarface_anton@mail.ru

Никитин Петр Владимирович -

кандидат технических наук, доцент кафедры физики Ставропольский государственный аграрный университет Тел. 8-928-324-65-58,

E-mail: ssau_phisics@mail.ru

Khainovskii Vladimir Ivanovich -

Ph. D. in Physics and Mathematics, Docent of Department of Physics Stavropol State Agrarian University Tel. 8-906-489-41-08,

E-mail: scarface_anton@mail.ru

Kozyrev Anton Evgenevich -

Ph.D. Student, Department of Physics Stavropol State Agrarian University Tel. 8-919-746-67-96,

E-mail.: scarface_anton@mail.ru

Nikitin Peter Vladimirovich -

Ph. D. in Technical Sciences,

Docent of Department of Physics Stavropol State Agrarian University Tel. 8-928-324-65-58 E-mail.: ssau_phisics@mail.ru

Знание диэлектрической проницаемости семян сельскохозяйственных культур является необходимым при объяснении экспериментальных результатов по влиянию экологически чистой предпосевной их обработки электромагнитными полями с целью повышения их урожайности [1]. Смесь семена сельскохозяйственных культур -воздух можно отнести к одной из разновидностей дисперсных систем. Экспериментально установлено, что степень плотного заполнения в воздушной среде объема измерительного конденсатора семенами различной формы и размеров (например, сои, гороха, пшеницы, гречихи, проса) заключена в диапазоне — 61-66 % [2, 3].

Нами ранее рассчитаны теоретические модели диэлектрической проницаемости смеси сельскохозяйственных семена - воздух для степени заполнения ими объема - 66,7 % (для оцилиндрованной формы) и 60 % (для семян сферической формы) [4-6].

В настоящей работе представлена теоретическая модель расчета статической диэлектрической проницаемости смеси семена сельскохозяйственных культур - воздух для степени плотного заполнения ими объема, равной 70 %. Это позволит в последующем получить аппроксимацией значения статической диэлектрической проницаемости указанной смеси для любой степени заполнения семенами объема в диапазоне 60-70 %.

в

естник АПК

Ставрополья

№ 3(7), 2012

Экономика

61

В свою очередь, полученная модель расчета дает значения статической диэлектрической проницаемости семян по соответствующим значениям диэлектрической проницаемости смеси семена - воздух, измеренным для достаточно высоких частот. При этом среднюю диэлектрическую проницаемость смеси (есм) находим исходя из ее классического определения согласно соотношению [7]

£ см Ссм /Со,

(1)

где Ссм и С0 - соответственно электрические емкости измерительного конденсатора, заполненного смесью семена - воздух, и пустого (т. е. без семян).

В работе нами применена модель упорядоченного периодического расположения семян сферической формы в объеме плоского измерительного конденсатора относительно поверхностей его электродов. Это позволяет разделить объем измерительного конденсатора, заполненного семенами, на отдельные «элементарные» конденсаторные ячейки, каждая из которых включает в себя определенную часть семени. Электрическая емкость всего конденсатора - Ссм представляет собой последовательно-параллельное соединение емкостей отдельных элементарных ячеек. Поэтому задача сводится к вычислению электрической емкости, а затем и статической диэлектрической проницаемости отдельной выбранной элементарной ячейки.

Наши наблюдения показали, что форму большинства семян сельскохозяйственных культур (злаковых, бобовых) приближенно можно считать эллипсоидальной. Однако в настоящей работе в первом приближении рассматривается упрощенная модель для расчета сферической

формы семян. Обобщение полученных результатов на случай эллипсоидальной формы семян будет выполнено в последующих исследованиях. При этом необходимо учесть классические представления о различии дипольных моментов поляризации тел эллипсоидальной и сферической форм во внешнем электрическом поле [7].

На рисунке 1а схематически изображен вид сверху на конденсаторную структуру, заполненную периодически в «шахматном порядке» сферическими семенами одинакового размера со степенью заполнения ими объема, равной р = 0,70.

На рисунке 1б представлено схематическое изображение вида сверху (со стороны верхнего электрода) на выбранную элементарную ячейку рассматриваемой периодической структуры, которая содержит три части: I, II, III (заштрихованные на рис. 1б). Поэтому электрическая емкость элементарной ячейки выражается суммой параллельно соединенных емкостей - Сш С(И), С(Ш) частей:

составляющих ее

С(|) + С(||) + С1

(III).

(2)

Исходя из соотношений (1) и (2) средняя статическая относительная диэлектрическая проницаемость смеси семена - воздух - есм рассчитывается по формуле

ссм = Сяч/С0

є (|) + є (") + є (|10

см см см

(3)

где С0 - электрическая емкость заполненной воздухом ячейки (т. е. без семян);

с (') = С('> /С с (") = С("> /С с ('") = С(|И> /С _

см = С /С0, см = С /С0, см = С /С0 -

соответственно средние относительные диэлектрические проницаемости отдельных частей ячейки.

а)

б)

Рисунок 1 - Схематическое изображение заполнения объема измерительного конденсатора семенами сферической формы для степени заполнения ими объема, равной р = 0,70:

а) вид сверху (со стороны верхнего электрода); б) вид выделенной элементарной ячейки в плоскости сверху: I, II, III - отдельные части ячейки

Ежеквартальный

62 науЧнО-ПраКТИЧеСКИй

журнал

На рисунке 2 дано необходимое для расчетов схематическое объемное изображение 2х соседних элементарных ячеек. Каждая элементарная ячейка заключена в объеме прямоугольного параллелепипеда с площадью основания 0,5г * Ь (где Ь = 0,866г, г - радиус семени) и высотой 2с* = 1,732г, где с* - вертикальная координата(по оси z, рис. 3) соприкосновения двух равных по объему 1/8 частей сферических семян, заключенных в полном объеме двух соседних элементарных ячеек (рис. 2).

Рисунок 2 - Схематическое объемное изображение двух прилегающих элементарных конденсаторных ячеек, заключенных в прямоугольном параллелепипеде, включающем в себя две примыкающие 1/8 части сферического семени; остальное пространство - воздух; степень заполнения объема ячейки семенами р = 0,70

Для расчета электрической емкости Сяч необходимо получить алгебраические уравнения, описывающие формы сферических поверхностей частей семян, входящих в объем, по рисунку 2. Для этого введем три прямоугольные системы координат: первую

(хъ уъ z1), связанную с центром «О!» нижней 1/8 части семени, вторую (х2, у2, Z2), привязанную к центру «О2» верхней 1/8 части семени, и третью (х3, у3, z3), имеющую начало в «О3» (рис. 2). В указанных системах координат можно записать уравнения сферических поверхностей рассматриваемых частей семян. Затем, выразив координаты второй и третьей системы через координаты первой системы координат, получаем уравнения сферических

поверхностей нижней и верхней частей семян в системе координат (хъ уъ z1) в явном виде:

Z1 = %2 - (х12 + У12)),

(нижнее семя с центром О1) (4)

Z2 = 2с* - ^(*(2г - х1) - У12)),

(верхнее семя с центром О2) (5)

zз = 2с* - ^((г2 - х12) - (у1 - 2с*)2),

(верхнее семя с центром в О3). (6)

Соотношения (4) и (5) позволят получить координаты точки А соприкосновения двух сферических поверхностей, расположенной в плоскости (х1, у1) и изображенной на рисунке 3, а именно

хА = 0,5г; уА - с* = 0,866г

В свою очередь, используя (5) и (6), получаем проекции верхних сферических поверхностей на плоскость верхнего основания ячейки,

2с

г

*

с

Рисунок 3 - Вид сбоку на проекции двух частей семян на плоскость (х^ 2^; А - точка соприкосновения с координатами: хт = 0,5г; 2! = с* = 0,866г

выраженных следующих кривыми:

у1 = ^(2г - *)), (кривая 2) (7)

у1 = 2с* - ^(г2 - х12), (кривая 4), (8)

которые пересекаются в плоскости (х1, у1, 2 с) в точке В с координатами хв = 0,5г; ув = Ь* = 0,866г (рис. 1б).

Следует отметить, что представленное подробное геометрическое описание фигур и кривых необходимо при вычислении электрической емкости элементарной ячейки. В частности, области I, II и III, образующие площадь верхнего электрода (основания) ячейки, заключены в пределах:

Область I:

0 < у1 < л/(хД2г - х1)), 0 < х1 < 0,5г;

Область II:

^(хД2г - х1)) < у1 < 2с* - ^(г2 - х12), 0 < х1< 0,5г; (9)

Вестник АПК

Ставрополья

№ 3(7), 2012

Область III:

0,5>/?(2^) =2,31! 1

с^-с^

-,(12)

Экономика

63

2с* - ^(г2 - х12) < у1 < Ь* = 0,866г, 0 < х1 < 0,5г.

Последовательно рассчитаем электрические емкости частей I, II и III элементарной ячейки. Согласно рисунку 2 выделим на верхнем и нижнем основаниях ячейки малую площадку ЬЭ = Ьх*Ьу. Обозначим через е1 и е2 соответственно средние по объему относительные диэлектрические проницаемости воздуха и семян. Тогда указанной площадке ЬЭ в объеме по вертикали части I соответствуют три последовательно соединенные электрические емкости (рис. 2а):

^1* = (60* е^Э)^, ЬС2* = (60* е^Э)/^ - 21),

^3* = (60* е2*^С)/(2с*- 22), (10)

где ЬС1* и ЬС3* - локальные электрические емкости, приходящиеся на нижнюю и верхнюю части семян, а ЬС2 - электрическая емкость, соответствующая воздушному промежутку между ними. Полная электрическая емкость, приходящаяся на площадку ЬЭ, определяется соотношением

1 ^С"1 = (1/^*) + (1/^2*) + (1/dCз*) (11)

Подставив в (11) последовательно (10), (4), (5), а затем проинтегрировав по площади части

I, получаем интегральное выражение для ее емкости Сш, из которого согласно определениям (1) и (3) следует интегральное соотношение для относительной диэлектрической проницаемости смеси семена - воздух части I элементарной конденсаторной ячейки

Соотношения (12) - (14) не могут быть проинтегрированы аналитически, а только численным образом с применением ЭВМ, например в программной среде MathCad. Для этого применим один из численных методов вычисления интегралов - «метод трапеций» [8]. Вычислим сначала интеграл (12). Для этого разделим интервалы интегрирования 0 < £, < 0,5 и

0 < С < ^(^(2 - £)) соответственно на п и т дискретных шагов:

^ = (0,5/п)*1; ?„ = ((^(^(2 - £))/т)*]

(0 < I < п; 0 < ] < т)

Тогда подинтегральная функция в (12) преобразуется:

{^ + 0,5774^-[1,732-1-(£.2 + ^2))] }

(15)

а двойной интеграл (12) в численном (т. е. дискретном) представлении выражается суммой:

(Л-1)

0,5(/0 + /„) +2

где обозначили:

(т-1)

0,5(ц т + ц-,0І + ^ и,., ^=1

(16)

(17)

Аналогичным образом для численного интегрирования интеграла (13) разделим интервалы интегрирования 0 < £, < 0,5п, ^(^(2 - £)) < (1,732 - ^(1 - |2)) соответственно на п и т дискретных шагов: ^ = (0,5/п)*1; СУ = N(^(2 - ^) + ((1,732 - >/(1- |2)) - ^(2 - ^))/ т)*] (0 < I < п; 0 < ] < т). А сам интеграл (13) выразим в дискретном виде согласно соотношениям:

0,5(/0 + 1п) + £1,- , (18)

{,5 + 0,5774^(1,732-(V£(2-<?)^ 1-(^2 + ^2))]

где обозначили С0 = (е0*е1*г2)/(1,732г) - электрическая емкость всей элементарной ячейки без семян (т.е. заполненной только воздухом), р = (е2 - е1)/е2. В выражении (12) для удобства последующего интегрирования ввели также безразмерные координаты: | = х/г, С = у/г.

Аналогично вышеизложенному нами получены интегральные выражения для относительных диэлектрических проницаемостей части II:

где обозначили:

((1,732--^,(2-£)

/ {

0,5(цт + и,.,0) + 2]ц-,;

п

1

и а =1----------, —,

{1-0,5774^ 1-(£2 + <-2) }

(19)

(20)

Для интеграла (14) численное интегрирование выполняется подобным алгоритмом:

іі = (0,5/п)*і;

СУ = (1,732 - >/(1- |2)) + (>/(1 - і2) - 0,866)/т)*] (0 < і < п; 0 < ] < т)

0,51,732-^(1"^2)

=2,31! I

и части III:

dt■d£

{1-0,5774^-д/1-(£2 + ^2) }’

С<")

(13)

|^+0,5774^-Г1,732-^(1-^2)-(С-1,732)2 +41-(£2 +^2))!

. (14)

е<«) _С(,") _231Г0,5

Є см ~^Т~ 431'

С0

П

(Л-1)

0,5(І0 + /п) + £/,

где обозначили:

/ =

-0,866

(т-1)

0,5(иі,т + и ,,0) +Е и,а

а=1

1

{<У + 0,5774^(1,732 - Ц/(1-£2) - (і, -1,732)2 + ,/ 1- (£2 + £,/))]

(21)

(22)

(23)

С

см

0

С

0 1.732

.? 4 6 8 10 12 К 16 IS 20 22 Щ2

0 0,1 0,2 0,3 Ш 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Ц 1,2 1,3 ‘У ь2

Рисунок 4 - зависимость статической диэлектрической проницаемости смеси семена - воздух - всм от статической диэлектрической проницаемости семян - в2:

кривая 1 - по модели авторов; кривая 2 - по модели Бруггемана; прямая 3 - представление кривой 1 в двойном логарифмическом масштабе

На рисунке 4 представлена зависимость статической диэлектрической проницаемости смеси семена - воздух - есм от диэлектрической проницаемости семян сферической формы - с2 (кривая 1) ,рассчитанная по предложенной теоретической модели. Кривая 2 отражает аналогичную зависимость, рассчитанную по модели (формуле) Бруггемана (р = 0,70):

=1-р, (24)

и существенно отличается от значений по кривой 1, поскольку модель Бруггемана получена на основе «интегрального метода» и не учитывает конкретную форму включений, что возможно для малой концентрации этих включений в среду (р << 1).

Данные по графику 1, построенные в двойном логарифмическом масштабе, изображаются прямолинейной зависимостью 3 на рисунке 3. Это позволяет достаточно точно аппроксимировать зависимость смеси семена - воздух - есм от статической диэлектрической проницаемости с2 семян следующей степенной зависимостью (р = 0,70):

1десм = 0,08 + 0,4731д е2,

т. е. 6см = 1,20*е20,473 ( 25)

В последующем нами предполагается обобщить предложенную модель на семена эллипсоидальной формы с учетом особенностей изменения их дипольного момента поляризации от направления ориентации осей семян относительно внешнего электрического поля.

Литература

1. Хайновский В. И., Козырев А. Е. Предпосевная обработка семян сои электромагнитным полем // Научный потенциал XXI века, естественные и технические науки : материалы V Международной научной конференции. Ставрополь : СевКавГТУ, 2011. Т. 1. С. 181-185.

2. Хайновский В. И., Козырев А. Е. Оценка степени заполнения семенами объема измерительного конденсатора // Техника в сельском хозяйстве. 2011. Т. 3. С. 25.

3. Хайновский В. И., Козырев А. Е. Оценка степени заполнения семенами измерительного объема // Вестник АПК Ставрополья, 2011. № 2(2). С. 41-42.

4. Хайновский В. И., Козырев А. Е. Теоретическая модель диэлектрической прони-

References

1. Khainovskii V. I., Kozyrev A.E. Presowing soya seeds processing with electromagnetic field // Scientific potential the XXI-st century natural and engineering sciences: materials from 5th International scientific conference. Stavropol : SevKavSTU, 2011. V. 1. P 181185.

2. Khainovskii V. I., Kozyrev A. E. Estimation of the degree of measuring condenser volume filling with seeds // Technics in agriculture. 2011. V. 3. P 25.

3. Khainovskii V. I., Kozyrev A. E. Estimation of the degree of measuring volume filling with seeds // Bulletin of agriculture of Stavropol region. 2011. № 2(2). P 41-42.

4. Khainovskii V. I., Kozyrev A.E. Theoretical model of dielectric permittivity of mix

Вестник АПК

Ставрополья

-----№ 3(7), 2012 =

цаемости смеси семена сельскохозяйственных культур - воздух // Современная наука: теория и практика : материалы

I Международной научно-практической конференции. Ставрополь : СевКавГТУ,

2010. Т. 1. С. 77-79.

5. Хайновский В. И., Козырев А. Е. Теоретическая модель расчета статической диэлектрической проницаемости смеси сельскохозяйственные семена - воздух для степени заполнения семенами объема р = 0,60 // Вестник АПК Ставрополья. Ставрополь : АГРУС, 2011. № 3(3). С. 4145.

6. Хайновский В. И., Козырев А. Е. Теоретическая модель расчета статической диэлектрической проницаемости дисперсных упорядоченных структур для степени заполнения ими объема р = 0,60 // III тысячелетие - Новый мир : материалы Международного форума по проблемам науки, техники и образования. М. : МИИГАиК,

2011. Декабрь. С. 108-111.

7. Духин С. С., Шилов В. Н. Диэлектрические явления и двойной слой в дисперсных системах и полиэлектролитах. Киев : Наукова Думка, 1972. С. 206.

8. Фихтенгольц Г М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М. : Наука, 1969. Т. 2. С.153.

agricultural seeds - air // Modern science: theory and practice : materials of 1st International scientific and practical conference. Stavropol : SevKavSTU, 2010. V. 1. P 77-79.

5. Khainovskii V. I., Kozyrev A. E. Theoretical model of calculation of statical dielectric permittivity of a agricultural seeds mixture -air for degree of filling with volume seeds p = 0,60// Bulletin of agriculture of Stavropol region. 2011. № 3(3). P 41-45.

6. Khainovskii V. I., Kozyrev A.E. Theoretical model of calculation of static dielectric permittivity of the disperse ordered structures for degree of volume filling with them p = 0,60 // The 3d millennium - The New World : Materials of International Forum on problems of nature, technic and education. M. : MSUGA&M. December. 2011. P 108111.

7. Dukhin S. S., Shilov V. N. The dielectric phenomena and double layer in disperse systems and polyelectrolytes. - Kiev: Naukova Dumka, 1972. P 206.

8. Fihtengolc G. M. Course of differential and integral calculus. M. : Nauka, 1969. V. 2. P 153.