CC BY
43
УДК 631.53.027:57.043
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ С ВКЛЮЧЕНИЯМИ
СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ
© 2012 г. В.И. Хайновский, А.Е. Козырев
Ставропольский государственный аграрный университет. Stavropol State Agrarian University,
пер. Зоотехнический, 12, г. Ставрополь, 355017, Zootehnichekiy Lane, 12, Stavropol. 355017,
inf@stgau.ru inf@stgau.ru
Представлена математическая модель расчета статической диэлектрической проницаемости дисперсных систем с включениями сферической формы и степенью заполнения ими объема, равной 0,60. Модель расчета основана на рассмотрении упорядоченной периодической структуры плотно заполненного объема включениями (частицами) сферической формы. Результаты расчета, в частности, применимы для определения действительной части диэлектрической проницаемости семян сельскохозяйственных культур.
Ключевые слова: электромагнитное поле, диэлектрическая проницаемость, ячейка измерительного конденсатора.
In work the mathematical model of calculation of static dielectric permeability of disperse systems with inclusions of the spherical form and degree of filling with them of the volume, equal 0,60 is presented. The calculation model is based on consideration of the ordered periodic structure of densely filled volume by inclusions (particles) of the spherical form. Results of calculation, in particular, are applicable for definition of the valid part of dielectric permeability of seeds of agricultural cultures.
Keywords: electromagnetic field, dielectric permeability, сell of the measuring condenser.
Выращивание сельскохозяйственных культур экологически чистыми методами с привлечением предпосевной обработки семян электромагнитными полями является в настоящее время актуальной проблемой [1, 2].
Для объяснения результатов воздействия электрических полей высокой и низкой напряженности в различных диапазонах частот необходимо знать величины внутреннего электрического поля, возникающего в семенах, и диэлектрической проницаемости семян. Для этой цели, как правило, используют широко распространенные модели диэлектрической проницаемости смесей коллоидной химии, которые применимы лишь для малых степеней заполнения включениями объема среды (р << 1) (модели Максвелла - Вагнера, Лихтенекера, Бетчера, Бруггемана и др.). Теоретическая модель Бруггемана, которую считают адекватной эксперименту и при достаточно больших степенях заполнения объема среды (р ~ 0,8), является результатом «интегрального метода» расчета диэлектрической проницаемости смеси. Поэтому она содержит внутренние противоречия, присущие этому методу, вследствие чего ее можно считать приближенной [3].
Задача построения теоретической модели расчета диэлектрической проницаемости смесей применительно к смеси сельскохозяйственные семена + воздух и определения на ее основе диэлектрической проницаемости семян сельскохозяйственных культур остается актуальной и является целью настоящей работы.
Смесь семена сельскохозяйственных культур + воздух можно отнести к одной из разновидностей дисперсных систем. Экспериментально установлено, что степень заполнения в воздушной среде объема измерительного конденсатора семенами различной формы и размеров (например: сои, гороха, пшеницы, гречихи, просо) заключена в диапазоне - 61 ^ 66 % [4, 5].
Расчет средней по объему диэлектрической проницаемости смеси сельскохозяйственные семена + воздух (есм) основан на ее классическом определении согласно соотношению [3]:
£см Ссм/С0, (1)
где Ссм и С0 - соответственно электрические емкости измерительного конденсатора, заполненного смесью семена + воздух, и пустого (заполненного только воздухом). Нами применена модель упорядоченного периодического расположения семян одинаковой формы и одинаковой ориентации в объеме плоского измерительного конденсатора относительно поверхностей его электродов. Эта модель упорядоченных структур была предложена впервые Рэлеем (1892 г.) применительно к частицам цилиндрической (игольчатой) формы, размещенным параллельно в узлах квадратной решетки [3]. Ее использование позволяет разделить вертикальную структуру семян в заряженном измерительном конденсаторе горизонтальными эквипотенциальными плоскостями, параллельными обоим его электродам. По вертикали указанная структура разделяется также на соответствующие столбцы. Таким образом, объем измерительного конденсатора, заполненного частицами (семенами) одинаковой формы, может быть разделен на отдельные «элементарные» конденсаторные ячейки, каждая из которых включает в себя определенную часть семени. Электрическую емкость всего конденсатора Ссм определяют последовательно - параллельным соединением одинаковых электрических емкостей отдельных элементарных ячеек. Следовательно, задача сводится к вычислению электрической емкости выбранной элементарной ячейки.
Форму большинства семян сельскохозяйственных культур (злаковых, бобовых) приближенно можно считать эллипсоидальной. Однако в настоящей работе
в первом приближении рассматривается упрощенная модель теоретического расчета применительно к сферической форме семян. Обобщение полученных зультатов на случай эллипсоидальной формы семян будет выполнено в последующих исследованиях. При этом необходимо учесть классические представления о различии дипольных моментов поляризации тел эллипсоидальной и сферической форм во внешнем электрическом поле [6].
В качестве примера на рис. 1 (а, б, в) схематически изображена в трех проекциях конденсаторная структура, заполненная периодически сферическими семенами одинакового радиуса со степенью заполнения ими объема, равной р = 0,60 [4, 5].
Верхний электрод
Нижний электрод
эквивалентная
Ячейка
/ плоскость
o.mr
л
' / "i
-¿Г
Рис. 1. Схематическое изображение заполнения объема измерительного конденсатора семенами сферической формы
для степени заполнения ими объема, равной - р = 0,60: а - вид спереди; б - вид сбоку; в - вид сверху (со стороны верхнего электрода); г - вид выделенной элементарной ячейки в плоскости сверху: I, II, III, IV, V - отдельные части ячейки
Согласно рис. 1г, элементарная ячейка разделяется на соответствующие симметричные и равные по площади части: I-II; III-IV, имеющие одинаковые электрические емкости, и дополнительную часть V.
Поэтому для расчета электрической емкости всей ячейки достаточно рассчитать электрические емкости отдельных ее частей, например: I, III, V. Тогда электрическая емкость элементарной ячейки выражается суммой параллельно соединенных емкостей - С®, С<ш), £<V) - составных частей:
Сяч = 2[С® + С<ш)]+ С™. (2)
В свою очередь относительная диэлектрическая проницаемость смеси сельскохозяйственные семена + воздух есм может быть рассчитана исходя из (1) и (2) по формуле:
где есм (I) = С® Ю0, £см (III) = С*'111'1 /Ссъ £см (V) = C<V) /С0 -относительные диэлектрические проницаемости отдельных частей ячейки. Здесь С0 - электрическая емкость заполненной воздухом ячейки (т.е. без семян).
На рис. 2 представлено схематическое объемное изображение элементарной ячейки, необходимое для расчета ее электрической емкости. Ячейка имеет вид прямоугольного параллелепипеда с площадью основания Г (r - радиус сферического семени) и высотой 2c = 1,732r. c - вертикальная координата (по оси z) соприкосновения двух 1/8 частей сферического семени, заключенных в элементарной ячейке. Остальной объем ячейки считается заполненным воздухом.
Введем две прямоугольные системы координат: первую (x,y,z), связанную с центром О нижней части
ж * * ^^^ *
семени и вторую (x , y, z ), привязанную к центру О верхней части семени. Используя уравнения сферических поверхностей, ограничивающих указанные части семян в предложенных системах координат, можно получить уравнения для сферических поверхностей частей нижнего и верхнего семян в явном виде в системе координат (x,y,z):
z1 = V(r2 - (x2 + y2)) (нижнее семя) , (4)
z2 = 2c* - V(2xr2 - (x2 + y2)) (верхнее семя). (5) Используя (4), (5), получаем координаты точки А соприкосновения указанных сферических поверхностей (рис. 1 и 2):
x = 0,5r; y = 0; z = 0,866r = c*. (6)
С другой стороны, проекции поверхностей (4) и (5) на плоскости верхнего и нижнего оснований ячейки ограничиваются соответствующими кривыми (рис. 1г):
9 9 9 9 9
r2 = x2 + y2 (кривая 1), 2xr = x2 + y2 (кривая 2), (7) которые пересекаются в точке В с координатами xB = 0,5r; Ув = 0,866r = c*. (8)
Последовательно рассчитаем электрические емкости частей I, III и V элементарной ячейки. Согласно рис. 2, выделим на верхнем и нижнем основаниях ячейки малую площадку dS = dx-dy.
Обозначим через е1 и е2 соответственно средние по объему относительные диэлектрические проницаемости воздуха и семян. Тогда указанной площадке dS в объеме по вертикали части I соответствуют три последовательно соединенные электрические емкости (рис. 2): dC1 = (e0e2dS)/z1, dC2 = (e0e1dS)/(z2 - z1), DC3 = (e0£2DS)/(2c* - z2), (9)
где dC1 и dC3 - локальные емкости, приходящиеся на нижнюю и верхнюю части семян; dC2 - соответствующая воздушная часть промежутка между ними.
Учитывая (9), получаем выражение для локальной электрической емкости, приходящейся на площадку dS, которое после интегрирования по площади электрода части I приводит с учетом (3) к интегральному соотношению для относительной диэлектрической проницаемости смеси семена + воздух части I конденсаторной элементарной ячейки: N(I)
ь(I_.
ь т —
N
(I) (III)
°см Сяч/С0 21°см °см J
(III)
(V)
(3)
1,0 V1-T — J J
0,5 0
dЕ, - dq
1 - 0,5774ß
i/2£-(£
2 + q2) + д/ 1 -(i;2 + q2)
(10)
2с'
y"
_ в lOr
/ /I^a. dS \
\ \! \ \! V I 14 / yj
■IT, \
УТМ ds \
0,5 г
1,0 г
jl - 0,5774ß
2 +Лг/ 2
)+1
-(4г2 +q ij2)
а двойной интеграл (10) в численном (дискретном) представлении выражается суммой
есм (I) = 0,5(S + 0,50/п, где обозначили
ifi/1-if
п — 1
S _ z i=1
/=i
m—1
0,5/ + fm )+ z fj
j=1 -
(13)
(14)
m—1
0Д/00 + fom )+ Z
j=1
1 -1,1458ß^ 0,75 -q2 у
(15)
Вычисления функций /00, /о,т и /0, /т в соотношениях (14), (15) выполняются по выражению (12).
Расчет электрической емкости, а затем относительной диэлектрической проницаемости части III (рис. 1г) выполняем аналогично изложенному выше способу (как для части I) и получаем интегральное выражение:
N(ж)
ь т _"
0,5^
_ J J
d4' dq
0 т/24-42 <¡1 - 0,5774ß^ 1 -(42 +q2)
(16)
Рис. 2. Схематическое изображение объема элементарной ячейки, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда, включающего в себя две примыкающие по 1/8 части сферического семени; остальное пространство ячейки - воздух; степень заполнения объема ячейки семенами р = 0,60
где С® - электрическая емкость части I для смеси сельскохозяйственные семена + воздух; С0= (£0£1г2)/(1,732г) -электрическая емкость всей ячейки без семян (т.е. заполненной только воздухом); в = (е2- е1)/е2. В выражении (10) для удобства интегрирования ввели также безразмерные координаты: £ =х/г, п = у/г.
Соотношение (10) не может быть проинтегрировано аналитически, а только численным образом с применением ЭВМ, например, в программной среде МаШСа^ Для этого применили один из численных методов вычисления интегралов - метод трапеций [6]. Разделим интервалы интегрирования 0,5 < £ < 1,0 и 0 < п < ^(1- £2) соответственно на п и т дискретных шагов:
£ 1 = 0,5 + (0,5/п)/; щ = (//т) ^(1- £ ,2); (0 < / < п; 0 </ < т). (11)
Тогда подынтегральная функция в (10) преобразуется к виду
Гу =
1 >(12)
Для вычисления интеграла (16) численным образом методом трапеций выразим его в дискретном представлении: £1 = (0,5/п)/'; щ = - £12) + (//т)(^(1- £ 12)) - ^(2 £ 1 - £ 12)) ; (0 < 1 < п; 0 < / < т)
-(III)
где
: С,
III
0,5
0,510 + ZI,
i =1
(17)
m-1
0,5(^00 +1)+ Z g0j
j=1
-У24, -42
m-1
0,5(g,0 +1)+ Z gj
j_1 j
(18)
Причем функции g00, gl0, g0J рассчитываются по выражению
1_. (19)
gj _
1 - 0,5774ß
^1- (4i2 +qj 2)
Оценка электрической емкости части V с воздушным диэлектриком дает существенно меньшую величину в сравнении с вкладом остальных частей ячейки в силу малой площади электрода части V и достаточно большой толщины воздушного диэлектрика и ею можно пренебречь. Поэтому в целом, исходя из постановки задачи, искомая относительная диэлектрическая проницаемость смеси сельскохозяйственные семена + воздух для степени заполнения семенами сферической формы объема, равной р = 0,60, определяется соотношением
е = 2(е (I) + £ (Ш))
(III)
(20)
На рис. 3 представлена зависимость диэлектрической проницаемости смеси сельскохозяйственные семена + воздух от диэлектрической проницаемости £2 для семян сферической формы (кривая - 1), рассчитанная по рассматриваемой теоретической модели. Для сравнения также представлена подобная зависимость (кривая 2), рассчитанная по формуле Бруггемана:
12 M-^l3 _ 1 - А
(21)
'-1 _ь2
которая дает в сравнении с кривой 1 завышенные значения £см. Указанное отличие мы объясняем особенностями «интегрального метода» примененного Бруг-геманом для получения соотношения (21), основанного на предположении малой концентрации включений (частиц).
n-1
n
10 _
I
m
m
m
1
х
Рис. 3. Зависимости диэлектрической проницаемости дисперсной системы - есм с включениями сферической формы и степенью заполнения ими объема, равной - 0,60 от диэлектрической проницаемости включений - е2: по модели авторов (кривая 1), по модели Бруггемана (кривая 2)
Предложенный расчет диэлектрической проницаемости тел сферической формы, заполняющий среду, справедлив для высокой плотности заполнения (р = 0,60) ими среды.
Поступила в редакцию_
Таким образом, посредством данных кривой (1) можно осуществить пересчет экспериментально измеренных значений действительной части диэлектрической проницаемости смеси семена + воздух (есм) в соответствующую диэлектрическую проницаемость семян (е2) сферической формы. В последующем нами предполагается обобщить предложенную модель на семена эллипсоидальной формы с учетом особенностей изменения их дипольного момента поляризации от направления ориентации осей семян относительно внешнего электрического поля.
Литература
1. Дульский А.Н., Стародубцева Г.П., Хайновский В.И.
Предпосевная обработка семян моркови сорта «Вита-минная-6» импульсным электрическим полем // Вестн. Рос. академии с.-х. наук. 2009. № 6. С. 59 - 60.
2. Хайновский В.И., Козырев А.Е. Предпосевная обработка
семян сои электромагнитным полем // Научный потенциал XXI в. Естественные и технические науки: материалы V междунар. науч. конф. Ставрополь, 2011. Т. 1. С. 181-185.
3. Духин С.С., Шилов В.Н. Диэлектрические явления и
двойной слой в дисперсных системах и полиэлектролитах. Киев, 1972. С. 206.
4. Хайновский В.И., Козырев А.Е. Оценка степени заполне-
ния семенами объема измерительного конденсатора // Техника в сельском хозяйстве. 2011. Т. 3. С. 25.
5. Хайновский В.И., Козырев А.Е. Оценка степени заполне-
ния семенами измерительного объема // Вестн. АПК Ставрополья. 2011. Вып. 2. С. 41-42.
6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 1969. Т. 2. С. 153.
1 декабря 2011 г.
