Влияние краевого Поляна электрическую емкость конденсатора Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

в

естник АПК

Агроинженерия ---:№ 4(12), 2013. ~ ~

УДК 631.53.027:57.043

99

Хайновский В. И., Козырев А. Е., Никитин П. В.

Khainovskii V. I., Kozyrev A. E., Nikitin P. V.

ВЛИЯНИЕ КРАЕВОГО ПОЛЯ НА ЭЛЕКТРИЧЕСКУЮ ЕМКОСТЬ КОНДЕНСАТОРА

THE IMPACT OF THE EDGE FIELD ON ELECTRICAL CAPACITY OF A CONDENSATOR

Приведен аналитический расчет распределения экви- The paper provides an analytical calculation of the distribu-

потенциальных и силовых линий краевого электрического tion of equipotent and power lines of regional electric field of the

поля конденсатора. На основе этого выполнена оценка до- capacitor. Based on this assessment of the added capacitance,

бавочной электрической емкости, создаваемой краевым created the territorial field. полем.

Ключевые слова: электрическое поле, емкость, крае- Key words: electric field capacity, regional effect, condenser. вой эффект, конденсатор.

Хайновский Владимир Иванович -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики Ставропольский государственный аграрный университет Тел.: 8-906-489-41-08

Козырев Антон Евгеньевич -

аспирант кафедры физики Ставропольский государственный аграрный университет Тел.: 8-919-746-67-96 Email: scarface_anton@mail.ru

Никитин Павел Владимирович -

кандидат технических наук, доцент кафедры физики Ставропольский государственный аграрный университет Тел.: 8-906-489-41-08

Khainovskii Vladimir Ivanovich -

Doctor of Science, associate professor, Department of Physics,

Stavropol State Agrarian University Tel.: 8-906-489-41-08

Kozyrev Anton Evgenevich -

Post-graduate student,

Department of Physics Stavropol State Agrarian University Tel.: 8-919-746-67-96,

Email: scarface_anton@mail.ru

Nikitin Pavel Vladimirovich -

Doctor of Science, associate professor, Department of Physics Stavropol State Agrarian University Tel.: 8-906-489-41-08

Известно, что низкочастотную диэлектрическую проницаемость веществ определяют измерением электрической емкости конденсатора - С, заполненного веществом, и сравнивают ее с емкостью незаполненного диэлектриком конденсатора - С0, согласно соотношению [1, 2]

8 = С/Со. (1)

Как правило, негласно считается, что величина электрической емкости С0 достаточно близка к ее расчетной геометрической емкости. Однако на практике это отличие может быть существенным. На рисунке 1 представлена экспериментальная зависимость электрической емкости конденсатора с плоскими прямоугольными электродами площадью - 50х50 мм2 каждый, заполненного воздухом. Расстояние воздушного зазора между электродами - 15 мм.

Расчетная величина электрической емкости конденсатора равна - 1,5 пФ и существенно меньше измеренной величины - 5 пФ (для частот, больших 50 кГц по рис. 1). Для частот, меньших 50 кГц, электрическая емкость конден-

сатора, по-видимому, определяется конечной влажностью воздуха и возбуждением молекул воды электромагнитным полем, что приводит к немонотонному характеру изменения емкости конденсатора.

Анализ показал, что ощутимый вклад (до 30-40 %) в увеличение электрической емкости - С0 может внести дополнительная электрическая емкость, возникающая вследствие существенного «выпучивания» наружу краевого электрического поля конденсатора. Исследованию этого явления посвящена настоящая работа.

Расчет краевого электрического поля конденсатора нельзя выполнить классическим способом, решая уравнение Пуассона с соответствующими граничными условиями, поскольку плотность распределения поверхностного электрического заряда на краях его электродов с внешней и внутренней сторон заведомо не известна. Однако, как известно, методы конформного отображения в теории функций комплексного переменного позволяют решать подобные задачи [3].

Ежеквартальный

научно-практический

журнал

естник АПК

Ставрополья

С, Ф

/, кГц

Рисунок 1 - Зависимость электрической емкости от частоты для конденсатора без диэлектрика

Геометрическая модель, представленная на рисунке 2, поясняет конформное отображение вспомогательной полуплоскости ю посредством интеграла Кристоффеля - Шварца на комплексную плоскость г расположения электродов конденсатора. Затем полуплоскость ю с помощью функции w = (У/п)!пю конформно отображается на полосу комплексного потенциала -V . і < Ітм < +У . і в комплексной плоскости w. Окончательно получаем для конформного отображения следующие соотношения:

г = Г 2-1 (2 • 1п со + (1 -а) 2 )+£• і, (2)

ю = ехр(лм^).

Здесь обозначили: Ь - расстояние между электродами конденсатора, V - напряжение на электродах, 5 - координата смещения электродов конденсатора вдоль вертикальной оси у плоскости г (рис. 2а). Величиной 5 можно пренебречь, так как она произвольная и полагаем 5 = 0. Представим координаты точек комплексной плоскости г и комплексной полуплоскости ю соответственно в прямоугольных и цилиндрических координатах: Ъ = х + іу и ю = р . ехр(іу), где і - «мнимая» единица, р - модуль и у - аргумент комплексного представления.

Рисунок 2 - Геометрическое представление конформного отображения: а) поперечное сечение электродов конденсатора в комплексной плоскости г; б) вспомогательная комплексная полуплоскость ю; в) полоса комплексного потенциала в комплексной плоскости w; V - разность потенциалов между верхним

и нижним электродами конденсатора

естник АПК

Ставрополья

Подставляя это в (2) и отделяя действительную и мнимую части, получаем необходимые уравнения для координат x и у в параметрическом виде:

х = ^ у"-)^ + ^" 1n P~P2c°s2^), (3)

У = [^2~р-^ ~ Р2 sin 2у\

С другой стороны комплексный потенциал w электрического поля записывается в виде:

w = Rew + i*Imw = u + iv, u = Rew = (V/та) * In p

и v = Imw = (V/та) y, (4)

где u, v - соответственно силовая и потенци-

альная части функции w электрического поля. Полагая в (3) и (4) y = const, получаем параметрические уравнения эквипотенциальных линий распределения краевого электрического поля конденсатора. Соответственно, полагая p = const из (3) и (4) имеем параметрические уравнения распределения силовых линий краевого поля «выпучивания». На рисунке 3а представлен график силовых и эквипотенциальных линий, построенных по соотношениям (3) в предположении d = 15 мм; напряжение V = 1,0 В - соответственно между верхним и нижнем электродами конденсатора.

Необходимо отметить, что рассматриваемая в настоящей работе модель отличается от модели конформного отображения, изложенной в работах [3, 4]. Однако количественно она полностью совпадает с нею.

График рисунка 3б построен для напряженности электрического поля вдоль нескольких эквипотенциальных линий по соотношению:

Е = ^/С8| = Су/С8 =

(2У/С) ■ (1/л/ (р4 - 2р2 ■ соэ2у +1), (5)

где С8 = Л(Сх2 + Су-2), а указанные дифференциалы координат получаем из выражений (3).

Из рисунка 3 следует, что при у = 00 или 1800 соответствующие эквипотенциальные линии огибают внутренние и внешние контуры электродов. Причем на краях электродов, когда х = 0 мм (р = 1) напряженность электрического поля становится бесконечно большой. Однако для значений 00 < у < 1800 напряженность краевого поля становится конечной, не превосходит его максимального значения внутри конденсатора и монотонно уменьшается при удалении от краев электродов. Причем для -12 мм < х < 0 мм, т. е. на краю под электродами внутри конденсатора напряженность поля меньше его максимальной величины, что связано с уменьшением плотности поверхностного заряда вблизи края. Указанные изменения электрического поля создают уменьшение электрической емкости измерительного конденсатора внутри него (между электродами) на величину ДСкрая и одновременно добавляют электрическую емкость ДСвып, создаваемую краевым «выпучиванием» поля вне электродов конденсатора. Причем это краевое поле существенно охватывает электроды конденсатора с наружных сторон (рис. 3а). Определим ДСкрая по соотношению

0 ! ! і щл

0 : ' V, /

%

'М5;!е%я^ ...

У, Ш:

70 F кося

f ЯГа.С

■ 50

50

■ І0 10

- 30

■ го 0,8 -

■ W

■ 0 0,6 -

-~ю

--20 ОЛ -

■-30

■Щ) 0,2 -

■-50

-60

70

/о о а Ш Ш Ж # Ш 60 70 х, мм

-70 -60 -5S-І0 -30-20 АО 0 10 20 SO k0 50 60 Ш х, мм

а)

б)

Рисунок 3 - а) распределение эквипотенциальных линий (у = 0; 30; ...; 180) и силовых линий (р = 0,1; 0,5; 1; ...; 5) электрического поля «выпучивания» на краю конденсатора без диэлектрика (воздух);

б) зависимости краевого электрического поля конденсатора от координаты х вдоль эквипотенциальных линий (1 - у = 1500, 2 - у = 1350, 3 - у =1200, 4 - у = 900)

102

Жквар™ьн.'ї^...-.

Jj Ставрооодья

научно-практический журнал

АСкрая =

SQ • 5края(dкрая ~ d) d • <;я ’

(6)

где Бкрая = 4 . (38 . 12) мм2 « 1872 мм2 - боковая площадь, соответствующая уменьшению электрического поля вблизи края внутри конденсатора; d = 15 мм -расстояние между электродами; d^Gn = d/0,82 « 18,3 мм - длина силовой линии, соответствующая средней величине поля внутри края конденсатора -E ср = 1/ . (E - E ) ~ 0 82 . E

'—края /2 V1—max ■—min/ ~ ‘—max-

Подставляя все указанные величины в соотношение (6), получаем ДСкрая « 0,20 пФ. Оценку электрической емкости дСвып выполним по выражению

S0 • .SU (7)

дс: =-

d

ср

вып

где 8вып = 4 . (50+30) . 30 и 9600 мм2 - оценка площадки перекрывания снаружи электродов конденсатора силовыми линиями поля на среднее расстояние ~ 30 мм (при р = 4, рис. 3).

Это расстояние существенно меньше общей протяженности «выпучивания» поля наружу краев электродов конденсатора по оси его симметрии (у = 7,5 мм), достигающей х и 252 мм (при

E„

: 0,01Emax и p = 10). С другой стороны, сред-

няя величина напряженности поля «выпучивания» при 0 < х < 252 мм равна Евыпср и 0,125 ■ Етах и соответствует координате хср = 24 мм для р = 2,65 (рис. 3б). Тогда оценка длины соответствующей силовой линии дает Ьвыпср = Ь/0,125 и 120 мм и из (7) получаем, что ДСвып и 0,71 пФ. Следовательно, измеренная электрическая емкость рассматриваемого конденсатора (без диэлектрика) -Сизм с учетом краевых эффектов должна определяться алгебраической суммой емкостей:

С = С0 + A^

2,01 пФ,

где ДСдоп (ДСвып ДСкрая) и 0,51 ГіФ И С0 1,5 ПФ СО-

ответственно дополнительная и расчетная геометрические емкости конденсатора.

Причем, получаем, что ДСдоп/С0 и 0,34. Следовательно, влияние краевых эффектов электрического поля на измеряемую электрическую емкость конденсатора достаточна велико.

Измерения емкости конденсатора показали, что дополнительный вклад дают также «паразитные» емкости металлических креплений электродов конденсатора (винтов и втулок) суммарной величиной ~3 пФ. Поэтому в целом величина измеренной емкости равна ~ 5 пФ (рис. 1).

Необходимо отметить, что при заполнении конденсатора диэлектриком (например, семенами) он остается подключенным к источнику напряжения. Это означает, что напряжение между его электродами, а следовательно, и напряженность электрического поля в конденсаторе не изменяются, т. е. в обоих случаях одинаковы. При этом электрическое смещение внутри конденсатора увеличивается в є раз. Во столько же раз увеличивается заряд на электродах конденсатора и, следовательно, в є раз увеличивается его электрическая емкость. Поэтому при измерениях диэлектрической проницаемости диэлектрика - є пользуются строго соотношением (1) без учета рассмотренных краевых эффектов электрического поля.

Таким образом, в статье рассмотрены краевые эффекты электрического поля в методике определения диэлектрической проницаемости веществ посредством измерения электрической емкости конденсатора. Это позволяет с большим пониманием применять указанную методику, следовательно, получать достоверные результаты измерений.

Литература

1. Духин С. С., Шилов В. Н. Диэлектрические явления и двойной слой в дисперсных системах и полиэлектролитах. Киев : Наукова Думка, 1972. С. 206.

2. Хайновский В. И., Козырев А. Е. Определение диэлектрической проницаемости семян сельскохозяйственных культур // Механизация и электрификация сельского хозяйства. 2011. № 11. С. 30-31.

3. Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. М. : Наука, 1964.

4. Козырев А. Е., Хайновский В. И., Копылова О. С., Никитин П. В. Определение диэлектрических параметров семян сельскохозяйственных культур с учетом бокового электрического поля измерительного конденсатора // Политематический сетевой электронный научный журнал КубГАУ. 2013. № 85 (01). С. 1-10.

Reference

1. Dukhin S. S., Shilov V. N. The dielectric phenomena and double layer in disperse systems and polyelectrolytes. Kiev : Naukova Dumka, 1972. P. 206.

2. Khainovskii V. I., Kozyrev A. E. Determination of dielectric permeability of seeds of crops // Mechanization and agriculture electrification. 2011.№ 11.P 30-31.

3. Fuks B. A., Shabat B. V. Functions complex variable and their some appendices. M. : Nauka, 1964.

4. Khainovskii V. I., Kozyrev A. E., Kopilo-va O. S., Nikitin P. V. Determination of dielectric parameters of seeds of crops taking into account lateral electric field of the measuring condenser // The Polythematic network electronicscientific magazine KubSAU. 2013. № 85 (01). P. 1-10.