Теоретическая модель расчета статической диэлектрической проницаемости смеси сельскохозяйственные семена - воздух для степени заполнения семенами объема р = 0,60 Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

в

естник АПК

Ставрополья Агроинженерия

----------- — № 3(3), 2011 ■ ■

УДК 631.53.027:57.043

41

Хайновский В. И., Козырев А. Е.

Khainovskii V. I., Kozyrev A. E.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА

СТАТИЧЕСКОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ СМЕСИ

СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЕ СЕМЕНА - ВОЗДУХ

ДЛЯ СТЕПЕНИ ЗАПОЛНЕНИЯ СЕМЕНАМИ ОБЪЕМА р = 0,60

THEORETICAL MODEL OF CALCULATION OF STATIC DIELECTRIC PERMEABILITY OF MIXED AGRICULTURAL SEEDS -AIR FOR DEGREE OF FILLING WITH SEEDS OF VOLUME р = 0,60

Представлена математическая модель расчета статической диэлектрической проницаемости смеси сельскохозяйственные семена - воздух для степени заполнения ими объема, равной р = 0,60. Модель основана на рассмотрении упорядоченной периодической структуры плотно заполненного объема семенами эллипсоидальной формы.

Ключевые слова: электромагнитное поле, диэлектрическая проницаемость, ячейка измерительного конденсатора.

The mathematical model of calculation of static dielectric permeability of a mix agricultural seeds - air for degree of filling by them of the volume, equal p = 0,60 is presented. The model is based on consideration of the ordered periodic structure of densely filled volume by seeds ellipsoidal forms.

Keywords: electromagnetic field, dielectric permeability, cell of the measuring condenser.

Хайновский Владимир Иванович -

кандидат физико-математических наук, доцент

Ставропольский государственный

аграрный университет

Тел. 8-906-489-41-08

E-mail: scarface_anton@mail.ru

Козырев Антон Евгеньевич -

аспирант

Ставропольский государственный аграрный университет Тел. 8-919-746-67-96 E-mail: scarface_anton@mail.ru

Khainovsky Vladimir Ivanovich -

Ph. D. in physics and mathematics sciences, docent

Stavropol State

Agrarian University

Tel. 8-906-489-41-08

E-mail: scarface_anton@mail.ru

Kozyrev Anton Evgenievich -

Ph. D. student

Stavropol State

Agrarian University

Tel. 8-919-746-67-96

E-mail: scarface_anton@mail.ru

Выращивание сельскохозяйственных культур экологически чистыми методами с привлечением предпосевной обработки семян электромагнитными полями является в настоящее время актуальной проблемой [1, 5].

Для объяснения результатов воздействия электрических полей высокой и низкой напряженности в различных диапазонах частот необходимо знать величину внутреннего электрического поля, возникающего в семенах, следовательно, необходимо знать величину диэлектрической проницаемости семян. Для этой цели, как правило, используют широко распространенные модели диэлектрической проницаемости смесей коллоидной химии, которые применимы лишь для малых степеней заполнения включениями объема среды (р << 1). В то же время теоретическая модель Бруггемана, которую считают адекватной эксперименту, и при достаточно больших степенях заполнения объема среды

(р ~ 0,8) является результатом «интегрального метода» расчета диэлектрической проницаемости смеси. Поэтому она содержит внутренние противоречия, присущие этому методу, и вследствие чего ее можно считать приближенной [2].

В силу сказанного задача построения теоретической модели расчета диэлектрической проницаемости смесей применительно к смеси сельскохозяйственные семена - воздух и определения на ее основе диэлектрической проницаемости семян сельскохозяйственных культур остается актуальной и является целью настоящей работы.

Расчет средней по объему диэлектрической проницаемости смеси сельскохозяйственные семена - воздух (есм) основан на ее классическом определении согласно соотношению [2]

&см = Ссм/ Со, ( 1 )

где Ссм и С0 - соответственно электрические емкости измерительного конденсатора,

42

Ежеквартальный

научно-практический

журнал

в

заполненного смесью семена - воздух и пустого (заполненного только воздухом).

При этом нами применена модель упорядоченного периодического расположения семян одинаковой формы и одинаковой ориентации в объеме плоского измерительного конденсатора относительно поверхностей его электродов. Эта модель упорядоченных структур была предложена впервые Релеем (1892 г.) применительно к частицам цилиндрической (игольчатой) формы, размещенных параллельно в узлах квадратной решетки [2] и позволяет разделить вертикальную структуру семян в заряженном измерительном конденсаторе горизонтальными эквипотенциальными плоскостями, параллельными обоим его электродам. По вертикали указанная структура разделяется также на соответствующие столбцы. Таким образом, объем измерительного конденсатора, заполненного частицами (семенами) одинаковой формы, может быть разделен на отдельные «элементарные» конденсаторные ячейки, каждая из которых включает в себя определенную часть семени. Электрическую емкость всего конденсатора - Ссм определяют последовательно - параллельным соединением одинаковых электрических емкостей отдельных элементарных ячеек. Следовательно, задача сводится к вычислению электрической емкости выбранной элементарной ячейки.

Наиболее общей формой семян сельскохозяйственных культур является эллипсоидальная, которая математическим преобразованием трех пространственных координат может быть превращена в сферическую. Поэтому в последующем расчет величин есм проводится для семян сферической формы. Анализ показывает, что переход к семенам эллипсоидальной формы учитывается умножением полученной есм на соответствующий коэффициент формы - Кф, определяемый экспериментально для каждого вида семян.

В качестве примера на рисунке 1 (а, б, в) схематически изображена в трех проекциях конденсаторная структура, заполненная периодически сферическими семенами одинакового радиуса со степенью заполнения ими объема, равной р = 0,60 [3, 4].

На рисунке 1 г схематически изображен вид сверху на выбранную элементарную ячейку со стороны верхнего электрода конденсатора (для р = 0,60). Согласно этому рисунку указанная ячейка разделяется на соответствующие симметричные и равные по площади части: 1-11; ИМУ имеющие одинаковые электрические емкости, и дополнительную часть V.

Поэтому для расчета электрической емкости всей ячейки достаточно рассчитать электрические емкости отдельных ее частей, например: I, III, V. Тогда электрическая емкость элементар-

ной ячейки выражается суммой параллельно соединенных емкостей - С, С(Ш), С(у) - составных частей

Сяч = 2[С(|) + С(|||)]+ С(У).

(2)

Рисунок 1 - Схематическое изображение заполнения объема измерительного конденсатора семенами сферической формы для степени заполнения ими объема равной - р = 0,60: а - вид спереди; б - вид сбоку; в - вид сверху (со стороны верхнего электрода); г - вид, выделенной элементарной ячейки, в плоскости сверху: I, II, III, IV, V - отдельные части ячейки

В свою очередь, относительная диэлектрическая проницаемость смеси сельк. семена - воздух єсм может быть рассчитана исходя из (1) и (2) по формуле

Єсм Сяч/С0 2[єс

гпе е 0) = с(0 /С е (ш) = С(ш) /С е (у) = С(у) /С —

где есм = С /С0, есм = С /С0, есм = С /С0 -

относительные диэлектрические проницаемости отдельных частей ячейки. Здесь С0 -электрическая емкость заполненной воздухом ячейки (т. е. без семян).

На рисунке 2 представлено схематическое объемное изображение элементарной ячейки, необходимое для расчета ее электрической емкости. Ячейка имеет вид прямоугольного параллелепипеда с площадью основания г2 (г - радиус сферического семени) и высотой 2с = 1,732г. с* - вертикальная координата (по оси г) соприкосновения двух 1/8 частей сферического семени, заключенных в элементарной ячейке. Остальной объем ячейки считается заполненным воздухом.

(III).

(I) + _ (III)

4 ьсм

-(Ш)

]+ Єс

(V).

(V)

(3)

-(V)

в

в

№ 3(3), 2011

(Х*)2+ (У*)2+ (/)2 = г2, где обозначили согласно рисунку 2 х* = х - г, у* = у, г* = г - 2с

(4а)

(4б)

(5)

Агроинженерия

43

С другой стороны, проекции поверхностей (6) и (7) на плоскости верхнего и нижнего оснований ячейки ограничиваются соответствующими кривыми (рис. 1г)

г2 = х2 + у2 (кривая - 1), 2хг = х2 + у2 (кривая - 2),

(9)

которые пересекаются в точке В с координатами

хв = 0,5г; ув = 0,866г = с

(10)

Рисунок 2 - Схематическое изображение объема элементарной ячейки, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда, включающего в себя две примыкающие по 1/8 части сферического семени; остальное пространство ячейки -воздух; степень заполнения объема ячейки семенами р = 0,60

Введем две прямоугольные системы координат: первую - (х, у, г), связанную с центром «О» нижней части семени и вторую (х*, у*, г*), привязанную к центру «О*» верхней части семени. Уравнения сферических поверхностей, ограничивающих указанные части семян в предложенных системах координат, записываются виде соотношений

х2+ у2+ г2 = г2,

Последовательно рассчитаем электрические емкости частей I, III и V элементарной ячейки. Согласно рисунку 2 выделим на верхнем и нижнем основаниях ячейки малую площадку 6Б = аХ*ау.

Обозначим через е1 и е2 соответственно средние по объему относительные диэлектрические проницаемости воздуха и семян. Тогда указанной площадке Ь8 в объеме по вертикали части I соответствует три последовательно соединенные электрические емкости (рис. 2):

601 = (£0*е2*Ь8)/21, аС2 = (е0*£1*Ь8)/(22 - 21), аСз = (е0* е2*с18)/(2с* - 22), (11)

где б01 и аС3 - локальные емкости, приходящиеся на нижнюю и верхнюю части семян, а аС2 - соответствующая воздушная часть промежутка между ними.

Учитывая (11), получаем выражение для локальной электрической емкости, приходящейся на площадку 6Б, которое после интегрирования по площади электрода части I приводит, с учетом (3), к интегральному соотношению для относительной диэлектрической проницаемости смеси семена - воздух части I конденсаторной элементарной ячейки

С(1)

С^ ■ Ы|

0 {і -0,5774./?.|у24-(Є V) +41-(£2 V)]}'

(12)

Из соотношений (4а, б) и (5) можно получить уравнения для сферических поверхностей частей нижнего и верхнего семян в явном виде в системе координат (х, у, г)

г1 = ^(г2 - (х2 + у2)), (нижнее семя), (6) г2 = 2с* - ^(2хг2 - (х2 + у2)), (верхнее семя). (7)

Используя (6) и (7), получаем координаты точки А соприкосновения указанных сферических поверхностей(рис. 1-2)

х = 0,5г; у = 0; г = 0,866г = с

(8)

где обозначили 0(^ - электрическая емкость части I для смеси сельск. семена - воздух, С0 = (е0*е1*г2)/(1,732*г) - электрическая емкость всей ячейки без семян (т. е. заполненной только воздухом), Р = (е2 - е1)/е2.

В выражении (12) для удобства интегрирования ввели также безразмерные координаты: 4 = х/г, п = У/г.

Соотношение (12) не может быть проинтегрировано аналитически, а только численным образом с применением ЭВМ, например, в программной среде Ма1ИСаЬ. Для этого применили один из численных методов вычисления интегралов - «метод трапеций» [6]. Разделим интер-

0

44

Ежеквартальный

научно-практический

журнал

в

валы интегрирования 0,5 < 4 < 1,0 и 0 < п < >(1- 42) соответственно на п и т дискретных шагов

4 | = 0,5 + (0,5/п)*1; п = 0/т)*>(1 - 4 I2),

(0 < / < п; 0 <}< т), (13)

тогда подынтегральная функция в (12) преобразуется к виду

1

{-0,5774р|у24,.-(4,2+П,/) +1-,2+2) ] }

(14)

е (|) =

см

где обозначили

Б = 1

т

■ 0,5(Б + 0,5I)/n,

0,5(^ 0 + )+Х Ч

1=1

0,866

т

0.5(0 +0т )+!

1=1

1-1,1458^ 0,75 —

№

е

^(///) 0,5

"" -—=| I

С

00

{-0,5774•в^ 1-(42 +п2) }

. (18)

(0 < I < п; 0 < ] < т),

е (///) = -см

0,5

п

0.5/0 +11,

(19)

где обозначили:

0,%00 +1)+£ 00

1=1

/ =

т

0.5(д, 0+1)+Е д,

1=1

(20)

{-0,5774в[^1-(4,2 + л,2) ] }

(21)

да части Vи достаточно большой толщины воздушного диэлектрика, и ею можно пренебречь. Поэтому в целом, исходя из постановки задачи, искомая относительная диэлектрическая проницаемость смеси сельскохозяйственные семена - воздух для степени заполнения семенами эллипсоидальной формы объема, равной р = 0,60, определяется соотношением

Цм = 2*Кф*(£см(1) + Цм(111)), (22)

а двойной интеграл (12) в численном (дискретном) представлении выражается суммой

(15)

(16)

. (17)

Вычисления функций /0о, ^0т и /|о, /|т в соотношениях (16) и (17) выполняются по выражению (14).

Расчет электрической емкости, а затем относительной диэлектрической проницаемости части III (рис. 1г) выполняем аналогично изложенному выше способу (как для части I) и получаем интегральное выражение

где дополнительно учли коэффициент формы семян - Кф.

Для семян эллипсоидальной формы (например, сои сорта «Дуар») средние длины полуосей эллипсоида, определенные экспериментально, равны: а = 3,3 мм; Ь = 2,96 мм; с = 2,36 мм. В зависимости от ориентации семян относительно электродов измерительного конденсатора (следовательно, относительно направления электрического поля) коэффициент формы представляется как среднее значение трех его значений: Кф = (К + К2 + К3)/3, где К1 = (а*Ь)/(с*гСр); К2 = (с*Ь)/(а*гср); К2 = (а*с)/(Ь*гср); гср = 3>(а*Ь*с).

Применительно к сое Кф = 1,684. Для семян гороха сорта Мадонна измерения длин полуосей дали значения: а = 3,17 мм; Ь = 3,09 мм; с = 2,77 мм, следовательно, Кф = 1,01 (практически сфера). Аналогичным образом для семян пшеницы сорта Старшина и просо сорта Волжское соответственно получили: а = 3,44 мм; Ь = 1,82 мм; с = 1,44 мм - Кф = 1,30 и а = 1,13 мм; ЬП с = 0,86 - Кф = 1,24.

Для вычисления интеграла (18) численным образом «методом трапеций» выразим его в дискретном представлении 41 = (0,5/п)*/, п = >/(24 - 42) + а/т)*(>/(1- 4 I2)) - >(2 4 I - 4 I2)) ;

Причем функции д00, дю, д0 рассчитываются по выражению

1

Оценка электрической емкости части V с воздушным диэлектриком дает существенно меньшую величину в сравнении с вкладом остальных частей ячейки в силу малой площади электро-

Рисунок 3 - Зависимости диэлектрической проницаемости смеси сельскохозяйственные семена - воздух - Псм от диэлектрической проницаемости П семян эллипсоидальной формы нескольких сортов сельск.

культур и для степени заполнения ими объема р = 0,60: гороха Мадонна (кривая 1), просо Волжское и пшеница Старшина (соответственно кривые 2 и 3), сои Дуар (кривая 4), кривая 5 соответствует модели Бруггемана

///

в

естник АПК

Ставрополья

№ 3(3), 2011

е - е

V С1 2 У

(

1

\3

V еом у

= 1-Р .

(23)

Агроинженерия

45

На рисунке 3 представлены зависимости диэлектрической зависимости смеси сельскохозяйственные семена - воздух - есмот диэлектрической проницаемости семян е2 для упомянутых культур с учетом их коэффициента формы, а именно: кривая 1 - для семян гороха, кривые

2 и 3 соответственно для семян просо и пшеницы, а кривая 4 - для семян сои. Из рисунке 3 следует, что диэлектрическая проницаемость есм существенно зависит от формы семян. Представленная также на рисунке 3 подобная зависимость (кривая - 5), рассчитанная по формуле Бруггемана:

дает в сравнении с кривыми (1) □ (4) промежуточные значения єсм. Указанное отличие мы объясняем особенностями «интегрального метода», примененного Бруггеманом для получения соотношения (2), который не учитывает конкретную форму частиц в среде (в данном случае семян).

Таким образом, учет конкретной формы семян сельск. культур является достоинством предложенного в настоящей работе метода расчета их диэлектрической проницаемости.

Список литературы

1. Дульский, А. Н. Предпосевная обработка семян моркови сорта Витаминная-6 импульсным электрическим полем /

A. Н. Дульский, Г П. Стародубцева,

B. И. Хайновский // Вестник Российской академии сельскохозяйственных наук. - 2009. - № 6. - С. 59-60.

2. Духин, С. С. Диэлектрические явления и двойной слой в дисперсных системах и полиэлектролитах / С. С. Духин, В. Н. Шилов. - Киев : Наукова Думка, 1972. - С. 206.

3. Хайновский, В. И. Оценка степени заполнения семенами измерительного объема / В. И. Хайновский, А. Е. Козырев // Вестник АПК Ставрополья. - 2011. -Вып. 2. - С. 41-42.

4. Хайновский, В. И. Оценка степени заполнения семенами объема измерительного конденсатора / В. И. Хайновский, А. Е. Козырев // Техника в сельском хозяйстве. - 2011. - Т. 3. - С. 25.

5. Хайновский, В. И. Предпосевная обработка семян сои электромагнитным полем / В. И. Хайновский, А. Е. Козырев // Научный потенциал XXI века, естественные и технические науки : материалы V Междунар. науч. конф. / СевКавГТУ. -Ставрополь, 2011. - Т. 1. - С. 181-185.

6. Фихтенгольц, Г М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г М. Фихтенгольц. - М. : Наука, 1969. -Т. 2. - С. 153.

List of references

1. Dulsky, A. N. Pre-plant processing of carrot seeds breed Vitamin-6 by impulse electric field / A. N. Dulsky, G. P Starodubtseva, V. I. Khaynovsky // Bulletin of the Russian Academy of Agricultural Sciences. - 2009. -№ 6. - P 59-60.

2. Dukhin, S. S. Dielectric effects and double layer in disperse systems and poly-electrolytes / S. S. Dukhin, V. N. Shilov. - Kiev : Nau-kova Dumka, 1972. - P 206.

3. Khaynovsky, V. I. Evaluation of filling of measuring unit with seeds / V. I. Khaynovsky, A. E. Kozyrev// Agricultural Bulletin of Stavropol Region. - 2011. - Vol. 2. - P 41-42.

4. Khaynovsky, V. I. Evaluation of filling of measuring condenser with seeds / V. I. Khaynovsky, V. I. Kozyrev // Machinery in agriculture. - 2011. - V. 3. - P 25.

5. Khaynovsky, V. I. Pre-plant processing of soya seeds by electromagnetic field / V. I. Khaynovsky, A. E. Kozyrev // Scientific potential of XXI century, natural and technical sciences: materials of V International scientific conference / NCSTU. - Stavropol, 2011. - V. 1. - P 181-185.

6. Fikhtengolts, G. M. Course of differential and integral calculus / G. M. Fikhtengolts. - M. : Science, 1969. - V. 2. - P 153.