The stability of solutions nonlinear stochastic functional-differential equations Текст научной статьи по специальности «Математика»

Исмагилов Раис Сальманович д. ф.-м. н., профессор МГТУ им. Н. Э. Баумана Россия, Москва

e-mail: [email protected]

Rais Ismagilov

doctor of phys.-math. sciences, professor MSTU named after N. Bauman Russia, Moscow

e-mail: [email protected]

УДК 517.929.4, 519.21

УСТОЙЧИВОРСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

© Р. И. Кадиев

Ключевые слова: устойчивость решений; стохастические дифференциальные уравнения; метод вспомогательных уравнений.

Аннотация: Исследуются вопросы р-устойчивости тривиального решения нелинейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений; получены достаточные условия устойчивости с помощью метода вспомогательных уравнений.

Пусть (О, Т, (Л)^0, Р) — полное вероятностное пространство с фильтрацией; 2 := ео1(г1,гт) — т-мерный семимартингал на нем; 1 ^ р < го; Е — символ математического ожидания; ||.|| — норма п х п-матрицы, согласованная с нормой |.| вектора в Кп.

В дальнейшем используются следующие линейные пространства случайных процессов:

— Ьп(2) состоит из п х т-матричных предсказуемых случайных процессов, заданных на [0, +го), чьи строки являются локально интегрируемыми по семимартингалу Ъ\

— кп состоит из п-мерных То-пзмерпмых случайных величин;

— Оп состоит из п-мерных случайных процессов на [0, +го), которые могут быть представлены

г

в виде: х(Ь) = х(0) + /Н(в)й2(в)(1 ^ 0) где х(0) € кп, Н Е Ьп(2).

0

Пусть 7 : [0, +го) ^ К1 — положительная функция. Введем следующие обозначения линейных нормированных пространств:

М^ = {х : х € пп, ЦхЦкп 8ир(Е|х(^)|р)1/р < го};

р г^о

к'п = {а : а € кп, ЦаЦк^ = Е^ < го}.

Главным объектом исследования является уравнение вида

йх(1) = (Жх)(£)^2(¿) (£ ^ 0), (1)

где N : иа ^ Ьп(2) — нелинейный вольтерров (для любого момента остановки т = т(и) Е [0, + +го) почти наверно (п.н.) и любых х1,х2 € Оп из равенства х^) = х2^), I Е [0,т] п.н. следует, что (Vх1){Ь) = (Vx2)(í) t Е [0,т] п.н.) оператор.

Частным случаем уравнения (1) является функционально-дифференциальные уравнения Ито. В этом случае 2(¿) = со1(£, В1^), Вт-1(1)), где Вг,г = 1,...,т — 1 — независимые, стандартные винеровские процессы. В виде уравнения (1) может быть записана также система линейных «обыкновенных» стохастических дифференциальных уравнений по семимартингалу, система линейных стохастических дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием по семимартингалу, система линейных стохастических интегро-дифференцпальных уравнений по семимартингалу, система линейных стохастических дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием по семимартингалу.

Для уравнения (1) рассмотрим задачу Коши

х(0) = а, (2)

где а Е кп. Обозначим через х(Ь, а) решение задачи (1), (2).

Пусть в дальнейшем для уравнения (1) имеет место ^0)^) = 0.

Определение!.. Тривиальное решение (1) называют:

— р-устойчиеым, если для любого е > 0 существует такое 5(е) > 0, что при Е|а|р < 5 задача

(1), (2) имеет единственное решение х(^ а) ж Еа)|р ^ е для любого I ^ 0;

— асимптотически р-устойчиеым, если оно р-устойчпво, и, кроме того, для любого е > 0

найдется такое 5(е) > 0, что при Е|а|р < 5 задача (1), (2) имеет единственное решение х(Ь,а) и

будет Нш Е|x(t,а)|p =+го; г^+ж

— экспоненциально р-устойчиеым, если найдутся такие положительные числа 5, с, в, что при Е< 5 задача (1), (2) имеет единственное решение х(Ь,а) и выполнено неравенство Е^ сехр {—вЦ.

Определение2. Будем говорить, что тривиальное решение уравнения (1) локально Мр -устойчиво, если для любого е > 0 существует такое 5(е) > 0, что задача (1), (2) имеет единственное решение х(.,а) Е Мр при ||а||к£ < 5 и ||х(., а)||М7 ^ е.

Отметим, что если тривиальное решение уравнения (1) локально Мр-устойчиво, то тривиальное решение уравнения этого же уравнения р-устойчиво при 7(^ = 1, аспмптотически р-

устойчиво при Нш 7(^ = +го и экспоненциально р-устойчиво при 7(^ = ехр{в^,в > 0. г^+ж

Пусть В — линейное нормированное подпространство ¿п(2), Nx = Vx + Рх, где V : Оп ^ ¿п(2) — линейный вольтерров оператор, а нелинейный вольтерров оператор Р : Па ^ ¿п(2) обладает свойством: (Р0)(t) = 0. Рассмотрим следующее линейное уравнение

йх({) = [^х)(^ + /(^]д,2(t)(t ^ 0), (3)

где / Е ¿п(2). Уравнение (3) рассматривается в предположении, что задача (3), (2) имеет единственное решение (с точностью до Р-эквивалентности). Обозначим это решение через х/(^а). Тогда для этого решения имеет место представление

х/(^ = X(^а + (К/)(t)(t ^ 0),

где X(^ — фундаментальная матрпца, а К — оператор Коши для уравнения (3).

Определение 3. Будем говорить, что для уравнения (3) допустима пара, (Мр, В), если существует такое с Е К+1, при котором для любых а Е к/ Е В имеем х/(.,а) Е Мр, причем выполнено неравенство

Нх/(.,а)||м2 < с(||а||к? + н/1|в).

Пусть для уравнения (1) нелинейный оператор F дуйствует из пространства Мр в пространство Б, где Мр пополнение пространства Мр. Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть для уравнения (3) допустима пара (Мр, Б) и для любого l > 0 найдется такое 5 > 0, что

WFxWb < l\\x\\uY

при всех x G Мр, \\x\\M7 ^ 5. Тогда уравнение (1) Мр -устойчиво.

На основе предыдущей теоремы исследуются вопросы р-устойчивости тривиального решения для различных классов уравнений вида (1).

Abstract: the questions of p-stability of nonlinear stochastic functional-differential equations trivial solution; sufficient conditions of stability are obtained by the method of auxiliary equations.

Keywords: stability of solutions; stochastic differential equations; method of auxiliary equations.

Кадиев Рамазан Исмаилович д. ф.-м. п., профессор

Дагестанский государственный университет Россия, Махачкала e-mail: [email protected]

Ramazan Kadiev

doctor of phys.-math. sciences, professor Dagestan State University Russia, Mahachkala e-mail: [email protected]

УДК 517.977.8

ПОСТРОЕНИЕ НЭШЕВСКИХ РЕШЕНИЙ В НЕАНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ПОЗИЦИОННОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ ДВУХ ЛИЦ 1

© А. Ф. Клейменов

Ключевые слова: неантагонистическая позиционная дифференциальная игра двух лиц; решение по Нэшу; алгоритм построения.

Аннотация: В работе предлагается модификация предложенного ранее автором подхода к задаче численного построения нэшевских решений в неантагонистической позиционной дифференциальной игре двух лиц; модификация позволяет приближенно найти не только некоторые нэшевские решения, но и все нэшевские решения, оптимальные по Парето.

В работе [1] представлен один подход к построению решений нэшевского типа {Н— решений) в неантагонистической позиционной дифференциальной игре двух лиц. Этот подход основан на использовании принципа неухудшения гарантированных выигрышей игроков вдоль траектории, порождаемой решением, и на использовании правила максимального сдвига в направлениях, определяемых решениями некоторых вспомогательных биматричных игр. На основе этого подхода был разработан и программно реализован алгоритм численного построения соответствующих

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 09-01-00313) и Федеральной программы Президиума РАН №29 «Математическая теория управления».