CC BY
28
Следующая теорема является усилением теоремы 2 из работы А. Е. Ирисова и Е. Л. Тон-кова [2].
Теорема 1. Пусть отображение Q(t,x) удовлетворяет условиям (a), (b), (c), функция Ф(t,x,y) удовлетворяет условиям (а), (в), (y) и существует допустимое рекуррентное решение x(-) задачи L, которому соответствует рекуррентное решение ф(-) дифференциального включения ф £ r(t,x(t),ф) такое, что на паре (х(-),ф(-)) выполнено условие максимума
H(t, x(t), ф(^) = H(t, x(t), x(t), ф(t))
при почти всех t. Тогда рекуррентное оптимальное решение задачи L существует. Любое допустимое рекуррентное решение x(-) задачи L, удовлетворяющее перечисленным выше условиям, является оптимальным.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.
2. Ирисов А.Е., Тонкое Е.Л. Достаточные условия оптимальности рекуррентных по Биркгофу движений дифференциального включения // Вестник Удмуртского университета. Серия: Математика. Ижевск, 2005. №1. С. 59-74.
Исанбаев Павел Анатольевич Удмуртский государственный ун-т Россия, Ижевск e-mail: zoochg@gmail.com
Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В СВЕТЕ ИДЕЙ Н.В. АЗБЕЛЕВА
© Р. И. Кадиев
Исследуются вопросы устойчивости для линейного функционально-дифференциального уравнения по семимартингалу. Частными случаями такого уравнения являются, например, функционально-дифференциальные уравнения Ито и их гибриды, функционально-дифференциальные уравнения в мерах, а также другие стохастические дифференциальные уравнения с последействием. К такому уравнению сводятся обыкновенные дифференциальные уравнения по семимартингалу, дифференциальные уравнения по семимар-тингалу с запаздывающим аргументом, интегро-дифференциальные уравнения по семимартингалу. Исследование проводится с помощью метода вспомогательных или «модельных» уравнений («Ш-метод» Н.В.Азбелева).
Пусть (О, Т, (Тг)г^0,Р) — полное вероятностное пространство с фильтрацией;
2 := ео1(г1,..., гт) — т-мерный семимартингал на нем; Ьп(2) состоит из п х т-матричных
предсказуемых случайных процессов, заданных на [0, +го), чьи строки являются локально интегрируемыми по семимартингалу Z; кп состоит из п-мерных То-измеримых случайных величин (обозначение: к := к1); Пп состоит из п-мерных случайных процессов на [0, +го),
которые могут быть представлены в виде х(Ь) = х(0) + / Н(в)й2(в)(Ь ^ 0), где х(0) £ кп,
о
н £ ьп(г).
Объектом исследования является следующее уравнение:
йх(1) = [(Ух)(£) + / (Щй2(£) (£ ^ 0), (1)
где V : Пп — Ьп(2) — к-линейный ( V(а1х1 + а2х2) = а1Ух1 + а2Ух2 для любых ограниченных а1,а2 £ к и любых х1,х2 £ Оп), вольтерров (для любого момента остановки т = т(и) £ [0, +го) почти наверно (п.н.) и любых х1,х2 £ Еп из равенства х1(Ь) = X2(í), £ £ [0, т] п.н. следует, что (Vх1 )(£) = (Ух2)(Ь), £ £ [0, т] п.н.) оператор.
Уравнение (1) рассматривается в предположении, что через любое хо £ кп проходит единственное (с точностью до Р-эквивалентности) решение этого уравнения. Это решение здесь и в дальнейшем обозначим через Xf (Ь,хо).
Лемма. Пусть через любое хо £ кп проходит единственное (с точностью до Р-эквивалентности) решение Xf (Ь,хо) уравнения (1). Тогда для этого решения имеет место представление
Xf (г,хо) = х(г)хо + (о/)(г)(г ^ 0), (2)
где X(Ь)(Х(0) = Е — единичная матрица) — п х п-матрица, столбцами которой являются решения однородного уравнения (1) (фундаментальная матрица), а О : Ьп(2) — Пп — к-линейный оператор (оператор Коши) такой, что (0/)(0) =0 и О/ — решение уравнения (1).
Представление (2) является центральным результатом в теории устойчивости решений уравнения (1). В силу этого представления асимптотические свойства решений уравнения (1) определяются фундаментальной матрицей и оператором Коши для этого же уравнения.
На основе формулы (2) установлена эквивалентность между асимптотическим поведением решений уравнения (1) и их принадлежностью некоторым функциональным пространствам на полуоси. Свойство принадлежности решений исследуемого уравнения некоторым функциональным пространствам на полуоси проверяется, выбирая более простое уравнение (называемое вспомогательным или модельным уравнением), которое уже обладает требуемым свойством. С помощью этого уравнения исходное уравнение преобразовывается к «интегральному» уравнению. Если последнее разрешимо в соответствующем функциональном пространстве, то устойчивость доказана. Разрешимость полученного уравнения проверяется методами функционального анализа. Отметим, что этот метод оказывается во многих случаях более конструктивным, чем другие.
В детерминированной теории устойчивости важное место занимают вопросы допустимости пар пространств. В частности задача допустимости пар пространства тесно связана с задачами устойчивости и устойчивости по начальной функции решений для уравнений с запаздывающим аргументом. Этим вопросам посвящены многочисленные исследования Н.В. Азбелева и его учеников. Подобные вопросы исследованы и в стохастическом случае. Для стохастических уравнений эти вопросы, по-видимому, другими авторами не рассматривались.
Пусть В1, В2, В3 — линейные нормированные подпространства пространств Оа, Ьп(2), кп соответственно.
Определение. Будем говорить, что для уравнения (1) допустима пара (В1В2), если Xf (.,хо) £ В1 для любых хо £ В3, / £ В2 и существует такое с £ Я+1, что выполнено неравенство
\\xfС^Нбх < с(||хо||Бз + \\/\\б2).
Отметим, что для детерминированных уравнений в определении допустимости обычно не требуется выполнение неравенств для норм решений. Однако в силу банаховости пространств, непрерывности операторов и специфики объекта эти неравенства выполняются автоматически. Выбор пространств В\,В2,Вз определяется видом исследуемой устойчивости.
В теории устойчивости детерминированных уравнений отмечались явления, которые при определенных условиях на оператор уравнения из допустимости некоторых пар пространств для исследуемого уравнения следует допустимость пар пространств, которые являются некоторыми подпространствами исходных пространств для этого же уравнения. Такие утверждения в детерминированной теории устойчивости называют теоремами Боля - Перрона. Показано, что аналогичные утверждения имеют место и в случае уравнения (1). На основе этих утверждений получены достаточные условия устойчивости некоторых классов уравнений вида (1) в терминах параметров исследуемых уравнений. Этим же метом удалось исследовать на устойчивость такие классы уравнений вида (1), изучение которых ранее встречало принципиальные затруднения.
Кадиев Рамазан Исмаилович Дагестанский государственный ун-т Россия, Махачкала e-mail: kadiev_r@mail.ru
Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.
О МЕТОДИЧЕСКОМ ОБЕСПЕЧЕНИИ КУРСА МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
© А. А. Катрахова, В. В. Дежин
Как показывает опыт многолетней педагогической работы в техническом вузе, в условиях постоянного дефицита аудиторных занятий и неоднородности студенческих групп большинство студентов в процессе изучения математических дисциплин нуждаются в помощи при планировании и организации самостоятельной работы. Подсистема планирования определяет последовательность и непрерывность при изучении математических дисциплин и решает вопрос о распределении времени студента на все виды работ с учетом их трудоемкости. Подсистема контроля обеспечивает ритмичность в работе студентов и содержит контрольные мероприятия, структура и содержание которых дает возможность студентам планомерно и непрерывно организовать процесс обучения, что является необходимым условием для достижения высокого качества обучения. Выполнению этой задачи способствуют, прежде всего, соответствующие методические материалы, которые наряду с традиционными формами учебных пособий и методических рекомендаций по изучению того или иного
